矩阵s
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第二章 矩阵
" a1n ⎞ ⎟ " a21 ⎟ % # ⎟ ⎟ " amn ⎟ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 3 6 9 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 × ⎜ 4 5 6 ⎟ = ⎜12 15 18 ⎟ ⎜ 7 8 9 ⎟ ⎜ 21 24 27 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
4.矩阵乘法的定义和性质： 当矩阵 A 的列数和 B 的行数相等时,A 和 B 才能相乘,乘积记作 AB. AB 的行数和 A 相等,列数和 B 相等. AB 的(i,j)位元素等于 A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
总结：对一个 n 阶方阵 A,我们引入了取行列式、转置、逆矩阵、伴随矩阵这四种运算,即 | A |, A , A , A . 这 四种运算，除了取行列式与求伴随不可互换外,相互之间都是可换的,即: (1) | A |=| A | ；
T T
T
−1
*
(2) | A |=| A | ; (5) ( A ) = ( A ) ；
令 Cm × p
⎛ c11 c12 ⎜ ⎜ c21 c22 = AB = ⎜ # # ⎜ ⎜c ⎝ m1 cm 2
" c1 p ⎞ ⎟ " c2 p ⎟ ， 则 % # ⎟ ⎟ " cmp ⎟ ⎠
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + " + ainbnj
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: ① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律. 即 AB 一般不等于 BA 。 ③ 矩阵乘法无消去律,即一般地 由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0. 由 AB=AC 和 A≠0 推不出 B=C.(无左消去律) 由 BA=CA 和 A≠0 推不出 B=C. (无右消去律) 常见错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 例 1。举例说明，由 AB = 0 ⇒
第一章 矩阵
(c)
对称矩阵的和、差、数乘仍是对称矩阵； 反对称矩阵的和、差、数乘仍是反对称矩阵，
但：设 n 方阵 A，B 对称，则 AB 对称 ⇔ AB = BA ； 设 对称 ⇔ AB = BA ． 另: A 为任意级方阵，则 A + A′ 为对称矩阵， A − A′ 为反对称矩阵, 且 A 可表为对称矩阵与反对称矩阵之和 A =
⎛ Er ⇔ 对任意 A ∈ P m×n 都可以经过行和列的初等变换化为 ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ Er ⇔ 存在可逆矩阵 U ∈ F m× m ， Q ∈ F m×n ，使得 UAQ = ⎜ ⎜ 0 ⎝
3．可逆矩阵
（1）定义：设 A ∈ P n×n ，若存在 B ∈ P n×n ，使得 AB = BA = E ，则称 A 是可逆矩阵，并 称 B 是 A 的逆矩阵，记为 B = A −1 。 （2）一些性质：
a12 ⎛ b11 ⎜ ⎜b L ain )⎜ 21 L ⎜ ⎜b ⎝ n1 b12 b22
(ai1
ai 2
L
an2
L b1m ⎞ ⎟ L b2 m ⎟ = (ci1 L L⎟ ⎟ L abm ⎟ ⎠
ci 2 L cin ) ，
及其它分块方法． （ii）可逆分块矩阵的逆： ⎛ A1 ⎜ ⎜ 设A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ，其中 Ai 为方阵，则 O ⎟ As ⎟ ⎠
A 可逆 ⇔ Ai ≠ 0, i = 1,L , s ⇔ Ai可逆, i = 1,L , s ，且
⎡ A1−1 ⎢ −1 A =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−1 A2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ As−1 ⎥ ⎦．
2
主讲：陈顺民
数学竞赛：高等代数部分
另：两个相同分法的准对角矩阵的和、积仍然是分块对角矩阵，且主 对角线上的子块是对应子块的和、积。 （iii）一般： AB ≠ BA ； ( AB ) ≠ A k B k （但不排除特殊情况）
10矩阵概念
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 13 11 4 = 1 + 6 − 9 + 5 0 + 4 = 7 − 4 4 . 6 8 9 3+ 3 6+ 2 8+1
2．性质 ．
(1) A + B = B + A (2) 交换律 结合律
cij = ai 1b1 j + L + ainbnj = ∑ aik bkj
k =1
n
i = 1,2,L , s ,
j = 1,2,L , m
称为 A 与 B 的积，记为 C = AB ．
注意 的列数＝ 的行数. ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B 的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行 列相应元素相加得到． 乘 B 的第 j 列相应元素相加得到． 如
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵 ．
C = (cij ) s×n = ( aij + bij ) s×n
称为矩阵 与B的和，记作 C = A+ B ．即 称为矩阵A与 的 矩阵
a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 A+ B = L L a +b a +b s2 s1 s1 s 2
2．矩阵乘法的运算规律 ．
(1) (2) ( AB )C = A( BC ) A( B + C ) = AB + AC
(结合律) 结合律) （分配律) 分配律)
( B + C ) A = BA + CA (3) (4) As×n E n = E s As×n = As×n A0 = 0, 0 A = 0
高中数学矩阵知识点
高中数学矩阵知识点一、矩阵的定义矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
在高中数学中，我们主要处理的是二维矩阵，即有行和列的矩阵。
二、矩阵的表示矩阵的元素可以用a_{ij}表示，其中i表示行号，j表示列号。
例如，矩阵A的第2行第3列的元素记作a_{23}。
三、矩阵的类型1. 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的方阵。
3. 对角矩阵：主对角线上的元素可以是任意数，其余位置为0的矩阵。
4. 行矩阵：行数为1的矩阵。
5. 列矩阵：列数为1的矩阵。
四、矩阵的加法和减法两个矩阵相加或相减，必须具有相同的行数和列数。
对应位置的元素相加或相减得到新的矩阵。
五、矩阵的乘法1. 两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
2. 乘积矩阵的元素c_{ij}由第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列对应元素相乘后求和得到。
六、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行变成列，列变成行得到的新矩阵。
记作A^T。
七、行列式行列式是一个与方阵相关的标量值，它提供了矩阵是否可逆的重要信息。
行列式的值可以通过拉普拉斯展开或对角线乘积减去小对角线乘积的方法计算。
八、逆矩阵一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，它满足以下条件：AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
并非所有矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵（或称为非奇异矩阵）才有逆矩阵。
九、矩阵的应用矩阵在现实生活中有广泛的应用，如在解决线性方程组、图像处理、金融建模、物理学中的向量分析等领域。
十、常见矩阵运算性质1. 交换律：矩阵加法不满足交换律，即A + B ≠ B + A。
2. 结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 分配律：矩阵乘法满足分配律，即(A + B)C = AC + BC。
4. 单位元：矩阵乘法满足单位元的存在，即IA = AI = A，其中I是单位矩阵。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
2.1 矩阵的概念
y1 , y 2 , , y m x 1 , x 2 , , x n
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
第一章 矩阵
1、数乘
阳光普照
定义3 规定数 与矩阵 A [ai j ]mn 的乘积 A 为
A A [ai j ]m n .
显然
0 A O, 1 A A. A (1) A [ai j ]m n 称为矩阵A的负矩阵。
数乘满足运算律：
1 A A; 2 A A A;
二、矩阵的乘法运算
显然可考虑定义矩阵的乘法和除法为：
A B [ai j bi j ]mn
和
A B [ai j bi j ]mn ,
这是个著名的病态矩阵，称为Hilbert矩阵。
例 4 （图的邻接矩阵） 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干 航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用箭头从 A指向 B.
到达城市
A
出 发 城 市
B
C
D
A
B
C
A B C D
D
我们先用表格来表示航班图（见前页） 。表格中
太繁琐了，得换个思路！！
注意到二元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a21、a22
及常数项 b1、b2 所确定。
三元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33
及常数项 b1、b2、b3 所确定。
一般地，归纳可知，n元的线性方程组
将上式回代入
(1)
中，并整理，可得
b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12a21
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
阳光普照
定义3 规定数 与矩阵 A [ai j ]mn 的乘积 A 为
A A [ai j ]m n .
显然
0 A O, 1 A A. A (1) A [ai j ]m n 称为矩阵A的负矩阵。
数乘满足运算律：
1 A A; 2 A A A;
二、矩阵的乘法运算
显然可考虑定义矩阵的乘法和除法为：
A B [ai j bi j ]mn
和
A B [ai j bi j ]mn ,
这是个著名的病态矩阵，称为Hilbert矩阵。
例 4 （图的邻接矩阵） 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干 航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用箭头从 A指向 B.
到达城市
A
出 发 城 市
B
C
D
A
B
C
A B C D
D
我们先用表格来表示航班图（见前页） 。表格中
太繁琐了，得换个思路！！
注意到二元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a21、a22
及常数项 b1、b2 所确定。
三元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33
及常数项 b1、b2、b3 所确定。
一般地，归纳可知，n元的线性方程组
将上式回代入
(1)
中，并整理，可得
b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12a21
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
第二节 矩阵的定义
判断矩阵 A 和矩阵 B 相等（ A = B）：
①同型矩阵（相同的行、列数） ②对应的元素相等
3 1 4 2 5 6 a c e b d f
与
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
例4
反 对 称 矩 阵
实对称矩阵
A A , 即 a ij a ji ( i , j 1 , 2 , , n ),
T
则称 A 为对称矩阵 . A A , 即 a ij a ji , a ii 0 ( i , j 1 , 2 , , n ),
T
则称 A 为反对称矩阵 .
a 11 a 21 A a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n . a nn
例如
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵
除主对角线的元素外，其余的元素全为0的 方阵称为对角矩阵，如
a 11 A
a 22
. a nn
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j ,
对角阵常记为 diag a 11 ,
i, j = 1, 2, … , n ,
a 22 , , a nn . 例如
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A= ( a1 a2 … an ). 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
b1 b2 B . bm
第一章 矩阵
⎛ 250 500 190 10 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 300 500 300 410 ⎟ ⎜ 600 310 110 400 ⎟ ⎝ ⎠
表示，其中矩阵 C 的第 i 行第 j 列（ i =1，2，3； j =1，2，3，4）元素恰好是矩阵 A 与 B 的 第 i 行第 j 列元素之和． 定义 2 设有两个 m × n 矩阵 A = (aij ) 与 B = (bij ) ，那么 m × n 矩阵
a12 a 22 # am2
a1n ⎞ ⎟ " a 2n ⎟ " # ⎟ ⎟ " a mn ⎟ ⎠ "
(1.1)
称为一个 m 行 n 列矩阵，简称 m × n 矩阵．这 m × n 个数称为矩阵 A 的元素，其中 aij 表示 矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素． 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵． 本书中的矩阵都指实矩 阵． （1.1）式可以简记为
设矩阵 A = (aij ) ，记 − A = ( −aij ) ，那么 − A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有
A + (− A) = (− A) + A = 0 ．
从而规定矩阵的减法为
A − B = A + (− B) ．
如果三个门市部销售四种计算机（单位：台）在第一月内的销售情况矩阵为
⎛ 150 200 100 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 170 300 50 210 ⎟ ， ⎜ 320 160 10 230 ⎟ ⎝ ⎠
第一章 矩 阵
矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学、物理学，工程技术以及社会科学等领 域都有广泛的应用．本章主要介绍矩阵及其应用．
§1
矩阵的概念
主要知识点：矩阵的定义；矩阵的例子（线性方程组的系数矩阵及增广矩阵） ；矩阵相
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• 有的教材上写0矩阵不是那种普通的零，而 是花写的零我们要理解
• 两个0矩阵的比较：两个零矩阵必须得是同 型矩阵的时候才相等。不同型的零矩阵之 间也不能去划等号。
4.对角矩阵
• （定义由来）我们在第一章的时候学过对角行 列式，所以直接照搬过来对角行列式就可以了。
• （定义）就是主对角线以外的元素全为零。主 对角线上可以有零元的。
（aij）m*n，（aij）mn。 • 方阵，用An来表示 • 行矩阵和列矩阵：用大写或者是小写字母
开头，=，一行元素要加逗号隔开，一列元 素竖着写下来就可以了。
• 零矩阵，零矩阵就是0或者是0mn
• 对角阵/n阶对角矩阵，A=diag（入1，入 2，…入n）
• 单位矩阵/n阶单位矩阵，大写字母E。
结论
• 当两个元素是同型矩阵，所有的元素又对 应相等的时候，我们才能说这两个矩阵是 相等的。才能在这两个矩阵之间画等号A=B
• 所以等号我们用的不是很多。
• 知道了什么是矩阵，矩阵的表示，以及我 们需要注意的一些注意事项和两个矩阵在
什么时候相等以后。我们来了解一下矩阵 在实际生活中有哪些应用。
矩阵在实际生活中的运用
• 写法：既然行数和列数相等的话我们就没 必要把行数和列数都给他写出来，所以我 们一般就写成An或者是Am。
• 名称：n阶方阵/m阶方阵
一个m*n的矩阵，m表示的是行数，特殊的如 果m=1，那么这样的矩阵应该是只有一行。
我们把这样的矩阵称为是行矩阵，或者是行 向量。
M=1
只有一行
行矩阵
行矩阵，行向量应该去如何表示
• 规定入A=A入=？
• 规定：入A=A入=我在每一个aij上都乘上一 个入就行了，最终的得到的就是入aij。
数乘的运算规则
• 如果A B都是m*n阶的矩阵，入 u都是数 • 结合率：(入u)A可以拆开，写成 入（uA）
或u(入A) • 分配率：（入+u）*A可以把入 u拆开写成 • 入A+uA。 入（A+B）=入A+入B。 入A=0：要么这个入=0要么这个矩阵A是零矩 阵0mn
• 这个形式我们就会发现，就是由若干个数 按照一定的次序所构成的一个数表。
• 咱们把这样的数表称为是矩阵。
矩阵的基本概念和它的运算
• 什么是矩阵？刚才也说了矩阵本质上就是 一个若干个元素按一定次序排列起来的数 表。
• 由m*n个数，aij，i从一到m，j从一到n所排 成的m行n列的数表。
• A11 a12 一直到a1n，a21 a22一直到a2n， am1 am2一直到amn，这就是一个m行n列的 数表，咱们把这个数表称为m行n列的矩阵。 有时候我们直接写他是一个m*n的矩阵。
• 例一：有m个产煤地，a1到am，n个销售地 b1到bn，我们说从产煤地到销售地的任意 一个调配方案，其实可以用下面这一个矩 阵来表示。
这是一个调配方案
• 我们只要把这个矩阵里的元素给他做一下 规定就行。这里边的元素aij指的是由产煤地 ai到销售地bj所配送的煤炭量。
• 也就是说a11，代表的是从产地a1到销售地 b1所配送的煤炭的量。
• 注意对应元素相加的话，他必须要有对应 元素才行，所以两个矩阵可以做加法的前 提就是他们得是同型矩阵。
• 第一行：13 11 4 • 第二行：7 -4 4 • 最后一行 6 8 9
• 只要把这些对应数相加，我们就很容易算 出这两个矩阵的和了。
加法在运算中有一些运算规律于需 要知道：
• 假设ABC都是m*n阶矩阵。
矩阵的运算
矩阵的运算
• 矩阵的运算大体可以分为两类：
1.线性运算 2.乘法
线性运算-加法
• 两个m*n的矩阵A=（aij）m*n，B=(bij)m*n • 我们可以把A与B的和记为是A+B，规定A与
B的和就是下面这个矩阵： • a11+b11，a12+b12，…，a1n+b1n • am1+bm1………..………….，一直加到amn+bmn • 也就是说两个元素对应相加就行
• XY出现在了两个地方，那我们就把这个2b 分成两个部分，分别放在这两个位置。
结论
• 给于一个二次的曲面方程，只要它的左边 的这个二元二次的多项式，只要x，y，1的 位置确定了，那么他就可以用一个3*3的矩 阵来表示了。
• 反过来任给这样一个三行三列的矩阵，我 门按照同样的思路，用a作为x2的系数，用 b+b作为xy的系数。。。。。。也就可以写 出这样唯一形式的二次曲线方程。一一对 应
矩阵
矩阵的概念和矩阵的运算
• 在这一章之前我们也说过现实生活中的很 多问题，我们最终都可以通过数字处理， 最终把它转化成线性方程组（未知元一次） 的问题。也就是说我们可以把生活中的很 多问题最终转化成方程组的求解问题。
• 重要的也就是这些方程组了，咱们先看一 个一般的n元线性方程组。
• 仔细观察这个方程组我们可以发现，这个 方程组中有m个方程，有n个未知元。所以 这是含有m个方程n个未知元的一般的n元线 性方程组。
• 既然这个矩阵是由元素构成的那么我们自 然就会想到这个元素是什么元素，他所构 成的也就应该是什么样的矩阵。
• 如果所有的元素都是实数，那么这样的矩 阵就叫做实矩阵。而如果不全为实数，有 负数那么这样的矩阵就叫做复矩阵。
两个矩阵的比较（宏观）
• 既然矩阵有行也有列，行列又不一定相同， 那么两个矩阵在进行比较的时候，我们肯 定就会关心他的行数和列数是不是一样。
• 这样的一个航线图我们也可以把它用矩阵来表 示，只要你把他里面的元素给他设定好就行了。
• 规定如果从i到j有单向航线的话，那我们这个 元素就去取1.没有就取0.每一个aij都可以根据 这个航线图写出来了。
• 20个城市用网状图很难表示，矩阵就很容易。
第三个
• 这是一个二次的曲线方程。
Ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
• 他们有本质的区别，行列式是m行n列但是他 们本质上是一个数。行列式他最终得到的是行 列式里面的这些数经过一定的运算最终所算出 的一个数。而矩阵只是一个数表，两个矩阵一 样必须得数表完全一样才行
• 2.矩阵是m行n列，并没有告诉我们m等于几， n等于几。也就是说m和n可以不相等。但是
行列式行数和列数一定是相同的，不然他 没有办法构成行列式。
• 3.我们在计算行列式的过程当中全部用的是 等号，无论中间的形式有什么区别他最后 都等于最终的那个数（所以他会使用等 号）。但是矩阵我们一般不再用等号了， 因为刚才说了两个矩阵想要相等必须得一 模一样才行
矩阵的表示方法
• 如果我们只写成刚才那种形式，大家会发现， 占得篇幅是比较大的。所以在实际当中矩阵也 会有简化写法。
• 在这个方程组中在未知元x1，x2，xn给定情 况下，除去未知元，除去这些加号和等号，
其实这个方程组中真正起作用的是这些系 数aij，和等号右边的这些常数项bx。其他的无非是
一些运算符号和一些未知元。
• 既然如此我们就可以把方程组当中所有的 系数和它的常数项，原来在它的方程组中 的位置不变，照搬下来。
• 不如A=（aij）m*n，这就代表着a是一个 m*n的矩阵，它的一般元素就是aij， 如果我们不关心它是几行几列的我们 可以把m*n去掉，我们也可以把乘号 去掉直接写成mn，他们表示同样的一 个矩阵。
aij
• 这里的aij（因为讲到这里才出现了aij）像行 列式一样可以称为是这个矩阵的元素。而 且第一个下表依然代表他在哪一行当中是 行标，而j依然表示他在那一列当中是列标。 所以啊aij就表示就是这个矩阵A的第i行第j 列位置的那个元素。
• 我们发现每一个产地到每一个销售地的配 送的量我们都知道，再按照我们的规定放 到相应的位置，这样的矩阵就代表了所有 的调配方案。
结论
• 所以现实生活中的物资调配，我们的调配 方案完全可以用我们的矩阵来表示。
常见旅途我们也可以用矩阵表示
• 我们举了北京上海济南广州这四个城市
• 图是这四个城市之间的航线图。只要有箭头就 表示有单向航线。
矩阵的数乘运算
加法可能比较容易理解，将两个矩阵相加，即把 两个同型矩阵里面的对应元素都加起来就会得到 一个新的矩阵了。
矩阵的数乘可能比较难以理解，就是一个数去和 一个矩阵做乘积。 定义：假设一个数 入，和一个矩阵A，他们两个 的乘积我们记做为：入A或者是A入。（也就是 这个数既可以放在矩阵的左边也可以放在矩阵的 右边）（因为是两个不同的元素所以有左右之分）
• 如果两个矩阵的行数相同，列数也相同， 他的形状就是一样的，这种我们就会把它 叫做同型矩阵。
=
• 什么时候，我们才称两个矩阵相等？两个矩阵 如果说明他相等，我么刚才也是说了，他必须 得是一模一样的。
• 1.首先他得是同型矩阵。（在这个前提下有下 面）
• 2.他里面的元素完全相同，我们一般这麽说就 是他的对应元素（即对应位置的元素）相等。 也就是说：矩阵a的i行j列一定要跟矩阵b的i行j 列的哪个元素相同。Aij=bij，i j可以取遍所有 值。
列矩阵
• 如果n=1，这样的矩阵就只有一列，我们会 把它叫做列矩阵/列向量。同样我们在写的 时候也没必要把列标也加上了
• 这是一个列矩阵，用大写字母B去表示
• 为了把行矩阵，行向量，列矩阵，列向量 与其他的矩阵相区分，我们习惯上会用行 列向量用小写字母去表示。
零矩阵
• 一个矩阵的元素如果全部都是0，这样的矩 阵我们称为是零矩阵。你可以记做0mn是一 个m*n的矩阵。也可以直接记为0.
矩阵的用途
• 无论是实际中的调配问题还是航线问题还 是我们数学几何中的一些问题我们都可以 用矩阵的方法来解决。从这我们可以看到 矩阵的重要用途。
特殊的矩阵
• 刚才说了对于矩阵来说，m和n不一定相等， 但是也会有特殊情况就是：m和n相等。这 样从整体上来看他就是一个正方形。所以 这种矩阵我们一般把它称为是方阵。
• 两个0矩阵的比较：两个零矩阵必须得是同 型矩阵的时候才相等。不同型的零矩阵之 间也不能去划等号。
4.对角矩阵
• （定义由来）我们在第一章的时候学过对角行 列式，所以直接照搬过来对角行列式就可以了。
• （定义）就是主对角线以外的元素全为零。主 对角线上可以有零元的。
（aij）m*n，（aij）mn。 • 方阵，用An来表示 • 行矩阵和列矩阵：用大写或者是小写字母
开头，=，一行元素要加逗号隔开，一列元 素竖着写下来就可以了。
• 零矩阵，零矩阵就是0或者是0mn
• 对角阵/n阶对角矩阵，A=diag（入1，入 2，…入n）
• 单位矩阵/n阶单位矩阵，大写字母E。
结论
• 当两个元素是同型矩阵，所有的元素又对 应相等的时候，我们才能说这两个矩阵是 相等的。才能在这两个矩阵之间画等号A=B
• 所以等号我们用的不是很多。
• 知道了什么是矩阵，矩阵的表示，以及我 们需要注意的一些注意事项和两个矩阵在
什么时候相等以后。我们来了解一下矩阵 在实际生活中有哪些应用。
矩阵在实际生活中的运用
• 写法：既然行数和列数相等的话我们就没 必要把行数和列数都给他写出来，所以我 们一般就写成An或者是Am。
• 名称：n阶方阵/m阶方阵
一个m*n的矩阵，m表示的是行数，特殊的如 果m=1，那么这样的矩阵应该是只有一行。
我们把这样的矩阵称为是行矩阵，或者是行 向量。
M=1
只有一行
行矩阵
行矩阵，行向量应该去如何表示
• 规定入A=A入=？
• 规定：入A=A入=我在每一个aij上都乘上一 个入就行了，最终的得到的就是入aij。
数乘的运算规则
• 如果A B都是m*n阶的矩阵，入 u都是数 • 结合率：(入u)A可以拆开，写成 入（uA）
或u(入A) • 分配率：（入+u）*A可以把入 u拆开写成 • 入A+uA。 入（A+B）=入A+入B。 入A=0：要么这个入=0要么这个矩阵A是零矩 阵0mn
• 这个形式我们就会发现，就是由若干个数 按照一定的次序所构成的一个数表。
• 咱们把这样的数表称为是矩阵。
矩阵的基本概念和它的运算
• 什么是矩阵？刚才也说了矩阵本质上就是 一个若干个元素按一定次序排列起来的数 表。
• 由m*n个数，aij，i从一到m，j从一到n所排 成的m行n列的数表。
• A11 a12 一直到a1n，a21 a22一直到a2n， am1 am2一直到amn，这就是一个m行n列的 数表，咱们把这个数表称为m行n列的矩阵。 有时候我们直接写他是一个m*n的矩阵。
• 例一：有m个产煤地，a1到am，n个销售地 b1到bn，我们说从产煤地到销售地的任意 一个调配方案，其实可以用下面这一个矩 阵来表示。
这是一个调配方案
• 我们只要把这个矩阵里的元素给他做一下 规定就行。这里边的元素aij指的是由产煤地 ai到销售地bj所配送的煤炭量。
• 也就是说a11，代表的是从产地a1到销售地 b1所配送的煤炭的量。
• 注意对应元素相加的话，他必须要有对应 元素才行，所以两个矩阵可以做加法的前 提就是他们得是同型矩阵。
• 第一行：13 11 4 • 第二行：7 -4 4 • 最后一行 6 8 9
• 只要把这些对应数相加，我们就很容易算 出这两个矩阵的和了。
加法在运算中有一些运算规律于需 要知道：
• 假设ABC都是m*n阶矩阵。
矩阵的运算
矩阵的运算
• 矩阵的运算大体可以分为两类：
1.线性运算 2.乘法
线性运算-加法
• 两个m*n的矩阵A=（aij）m*n，B=(bij)m*n • 我们可以把A与B的和记为是A+B，规定A与
B的和就是下面这个矩阵： • a11+b11，a12+b12，…，a1n+b1n • am1+bm1………..………….，一直加到amn+bmn • 也就是说两个元素对应相加就行
• XY出现在了两个地方，那我们就把这个2b 分成两个部分，分别放在这两个位置。
结论
• 给于一个二次的曲面方程，只要它的左边 的这个二元二次的多项式，只要x，y，1的 位置确定了，那么他就可以用一个3*3的矩 阵来表示了。
• 反过来任给这样一个三行三列的矩阵，我 门按照同样的思路，用a作为x2的系数，用 b+b作为xy的系数。。。。。。也就可以写 出这样唯一形式的二次曲线方程。一一对 应
矩阵
矩阵的概念和矩阵的运算
• 在这一章之前我们也说过现实生活中的很 多问题，我们最终都可以通过数字处理， 最终把它转化成线性方程组（未知元一次） 的问题。也就是说我们可以把生活中的很 多问题最终转化成方程组的求解问题。
• 重要的也就是这些方程组了，咱们先看一 个一般的n元线性方程组。
• 仔细观察这个方程组我们可以发现，这个 方程组中有m个方程，有n个未知元。所以 这是含有m个方程n个未知元的一般的n元线 性方程组。
• 既然这个矩阵是由元素构成的那么我们自 然就会想到这个元素是什么元素，他所构 成的也就应该是什么样的矩阵。
• 如果所有的元素都是实数，那么这样的矩 阵就叫做实矩阵。而如果不全为实数，有 负数那么这样的矩阵就叫做复矩阵。
两个矩阵的比较（宏观）
• 既然矩阵有行也有列，行列又不一定相同， 那么两个矩阵在进行比较的时候，我们肯 定就会关心他的行数和列数是不是一样。
• 这样的一个航线图我们也可以把它用矩阵来表 示，只要你把他里面的元素给他设定好就行了。
• 规定如果从i到j有单向航线的话，那我们这个 元素就去取1.没有就取0.每一个aij都可以根据 这个航线图写出来了。
• 20个城市用网状图很难表示，矩阵就很容易。
第三个
• 这是一个二次的曲线方程。
Ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
• 他们有本质的区别，行列式是m行n列但是他 们本质上是一个数。行列式他最终得到的是行 列式里面的这些数经过一定的运算最终所算出 的一个数。而矩阵只是一个数表，两个矩阵一 样必须得数表完全一样才行
• 2.矩阵是m行n列，并没有告诉我们m等于几， n等于几。也就是说m和n可以不相等。但是
行列式行数和列数一定是相同的，不然他 没有办法构成行列式。
• 3.我们在计算行列式的过程当中全部用的是 等号，无论中间的形式有什么区别他最后 都等于最终的那个数（所以他会使用等 号）。但是矩阵我们一般不再用等号了， 因为刚才说了两个矩阵想要相等必须得一 模一样才行
矩阵的表示方法
• 如果我们只写成刚才那种形式，大家会发现， 占得篇幅是比较大的。所以在实际当中矩阵也 会有简化写法。
• 在这个方程组中在未知元x1，x2，xn给定情 况下，除去未知元，除去这些加号和等号，
其实这个方程组中真正起作用的是这些系 数aij，和等号右边的这些常数项bx。其他的无非是
一些运算符号和一些未知元。
• 既然如此我们就可以把方程组当中所有的 系数和它的常数项，原来在它的方程组中 的位置不变，照搬下来。
• 不如A=（aij）m*n，这就代表着a是一个 m*n的矩阵，它的一般元素就是aij， 如果我们不关心它是几行几列的我们 可以把m*n去掉，我们也可以把乘号 去掉直接写成mn，他们表示同样的一 个矩阵。
aij
• 这里的aij（因为讲到这里才出现了aij）像行 列式一样可以称为是这个矩阵的元素。而 且第一个下表依然代表他在哪一行当中是 行标，而j依然表示他在那一列当中是列标。 所以啊aij就表示就是这个矩阵A的第i行第j 列位置的那个元素。
• 我们发现每一个产地到每一个销售地的配 送的量我们都知道，再按照我们的规定放 到相应的位置，这样的矩阵就代表了所有 的调配方案。
结论
• 所以现实生活中的物资调配，我们的调配 方案完全可以用我们的矩阵来表示。
常见旅途我们也可以用矩阵表示
• 我们举了北京上海济南广州这四个城市
• 图是这四个城市之间的航线图。只要有箭头就 表示有单向航线。
矩阵的数乘运算
加法可能比较容易理解，将两个矩阵相加，即把 两个同型矩阵里面的对应元素都加起来就会得到 一个新的矩阵了。
矩阵的数乘可能比较难以理解，就是一个数去和 一个矩阵做乘积。 定义：假设一个数 入，和一个矩阵A，他们两个 的乘积我们记做为：入A或者是A入。（也就是 这个数既可以放在矩阵的左边也可以放在矩阵的 右边）（因为是两个不同的元素所以有左右之分）
• 如果两个矩阵的行数相同，列数也相同， 他的形状就是一样的，这种我们就会把它 叫做同型矩阵。
=
• 什么时候，我们才称两个矩阵相等？两个矩阵 如果说明他相等，我么刚才也是说了，他必须 得是一模一样的。
• 1.首先他得是同型矩阵。（在这个前提下有下 面）
• 2.他里面的元素完全相同，我们一般这麽说就 是他的对应元素（即对应位置的元素）相等。 也就是说：矩阵a的i行j列一定要跟矩阵b的i行j 列的哪个元素相同。Aij=bij，i j可以取遍所有 值。
列矩阵
• 如果n=1，这样的矩阵就只有一列，我们会 把它叫做列矩阵/列向量。同样我们在写的 时候也没必要把列标也加上了
• 这是一个列矩阵，用大写字母B去表示
• 为了把行矩阵，行向量，列矩阵，列向量 与其他的矩阵相区分，我们习惯上会用行 列向量用小写字母去表示。
零矩阵
• 一个矩阵的元素如果全部都是0，这样的矩 阵我们称为是零矩阵。你可以记做0mn是一 个m*n的矩阵。也可以直接记为0.
矩阵的用途
• 无论是实际中的调配问题还是航线问题还 是我们数学几何中的一些问题我们都可以 用矩阵的方法来解决。从这我们可以看到 矩阵的重要用途。
特殊的矩阵
• 刚才说了对于矩阵来说，m和n不一定相等， 但是也会有特殊情况就是：m和n相等。这 样从整体上来看他就是一个正方形。所以 这种矩阵我们一般把它称为是方阵。