初中数学开放探索题课件

A
E BD
F C
初步运用（二）
如图,已知Rt△ABC, ∠ACB=90°,AC=BC=1,点P在 斜边AB上移动(点P不与点A、B重合),以点P为顶点作 ∠CPQ=45°,射线PQ交BC边与点Q,设AP=x，BQ=y，求 出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
C
Q
A
P
B
拓展延伸
4、如图，抛物线y=（x-m-1）²-1，（m＞0），图象 交。x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点 C。以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D 落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式。
y
C
D
OA B
x
A
“一线三等角”课堂小结
知识聚焦
模型
a
αα Bb C
E
d α
c
D
用相似求点的坐标
边长
面积
方法聚焦
由特殊到一般 分类思想、方程思想 类比、猜想、归纳
探索“一线三等角”
－－－初三专题复习课
福州民族中学 许族生
1、如图:在△ABC中，∠BAC=90°直线m经过
点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点D、E,
求证：△ABD∽△CAE
C
4
B
3
12
DA
E
探索“一线三等角”基本图形：
A
F
α
1 α2
α
BCΒιβλιοθήκη D△ABC∽△CDE
初步运用（一）
如图，已知等边△ABC的边长为6，D是BC边上一 动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，CF=3时，求BE的长

2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，

开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC上的点。

（1）如果 ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。

分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：A D E FO F EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。

问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

例2、（2005年长沙）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ； 对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明． 分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。

北师大版 数学 八年级 上册同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！A B勾股树导入新知素养目标3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.知识点做一做abca 2,b 2,c 2之间关系问题1你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?CAB图1（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.同理:正方形B的面积是个单位面积.999思考1用什么办法能求出图1中A,B的面积?数格子图1分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2 怎样求出C 的面积?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1S 正方形C = 4×12×3×3 =18练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A ,B ,C 中面积各是多少?ABC ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图 1图 2解：正方形A 的面积是4个单位面积，正方形B 的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.（1）观察图3、图4：（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积图3图44 916 9？ABCCBA图3图4做一做（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.图3ABCCBA图4“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形（4）分析填表数据AB CCBA图4图3A的面积B的面积C的面积图3图44 916 91325问题2通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？S A + S B = S C结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.做一做如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数2.4量关系还成立吗？说明你的理由.　1.6问题4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？a2+ b2= c2勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：Rt △ABC 中，∠C =90°, 则a 2 + b 2 = c 2.在西方又称毕达哥拉斯定理a 2 +b 2 =c 2勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，直角三角形中弦斜边称为 .勾2 + 股2 = 弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.趣味小常识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.素养考点 1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC =5厘米,AC =12厘米,求斜边AB 的长度. ab c A C B 解：在Rt △ABC 中根据勾股定理,AC²+BC²=AB²，AC =12，BC =5所以12²+5²=AB²，所以AB ²=12²+5²=169，所以AB =13厘米.答：斜边AB 的长度为13厘米.变式训练求下列图形中未知边的长度：所以x =8.解：由勾股定理得：62+x 2=102 ,所以x 2=64,巩固练习1.寻求图形面积之间的关系素养考点 2利用勾股定理求面积问题方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S 1=S 2+S 3（S 1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S 2和S 3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.例2 如图，以Rt △ABC 的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1+S 2+S 3=16，则S 1的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10探究新知B例3 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，求△ABC 的面积．方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.2.求非直角三角形的面积解：作AD ⊥BC 于D ，在等腰△ABC 中，因为AB =AC =13，BC =10，所以BD =CD =5，所以AD 2=AB 2-BD 2 =132-52 =144，AD =12所以S △ABC =12 BC•AD = 12×10×12=60．探究新知如图，△ABC 中，∠ACB =90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，已知S 1=6，S 2=8，则S 3= ．14变式训练巩固练习连接中考1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A．5 B．6 C．7 D．82.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 ．3A基础巩固题ABC 1.判断题（1）△ABC 的两边AB =5,AC =12,则BC =13. ( )（2）△ABC 的a =6,b =8,则c =10. ( )2.在△ABC 中, ∠C =90°,AC =6,CB =8,则△ABC 面积为_____,斜边为上的高为______.⨯⨯24 4.8基础巩固题15 cm17 cm 64 cm²3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.4312xx 1517所以x =8 .解：由勾股定理得：152+x 2=172 ,所以x 2=64 ,所以x =13 .解：由勾股定理得：x 2= 32 +42+152 ,所以x 2=169 ,基础巩固题5.已知∠ACB =90°,CD ⊥AB ,AC =3,BC =4. 求CD 的长.AD BC 解：因为∠ACB =90°，AC =3，BC =4，所以AB 2=AC 2+BC 2=25，即AB =5.根据三角形面积公式， AC ×BC = AB ×CD.1212所以CD = .152能力提升题如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3的关系是（ ）A.S 1+S 2=S 3B. S 12+S 22=S 32C. S 1+S 2>S 3D. S 1+S 2<S3A拓广探索题如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的（2）2018斜边长是___________．勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2利用勾股定理进行计算课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。