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薄透镜系统初级像差理论

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第2章薄透镜系统的初级像差方程组

第2章薄透镜系统的初级像差方程组

南京理工大学紫金学院
像质评价技术
下面由 P ，W 求P，W：
由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行规化，
因此
P ，P W，W只要对
得：P P
(h )3
W W
(h )2
规h,化，由公式
P P (h)32 .2(1 8) 0 3 1 .7 7 1 5 0
4000
h 放大到1，即 h 1
A
u1
h
F
u
A’
F’
f 1
l
f 1
u 1 u
l h
u 1 u
l h
P

P
(h )3
W W
(h )2
南京理工大学紫金学院
像质评价技术
(3) P ，W 对物距的规化
u1 0
f 1
A
u1 h 1
u A’
根据公式 S I I 2 n u K S h z P J W ，并假定入瞳
与透镜重合 hz 0 ，有：
KS
JWWy 2nu 2
由公式 SC lim KS
y0 y
SC K S W 1.1 4 1 4 0 5.7 1 5 0
lF C h 2 C n u 2
(6)
y F C h zh C n u
(7)
南京理工大学紫金学院
像质评价技术
SI 2nu2L hP
(1)
S I I 2 n u K S h z P JW
(2)
S II I n u 2 x ts
W W (h)2 0 .2(8 84 )0 2 1 .1 1 4 4 0 4000

工程光学设计 第2章 第二讲

工程光学设计 第2章 第二讲

B
垂轴色差 yF C yZF yZC
垂轴色差
A
C
D
y Z C
F yZF yZD
B
垂轴色差
yF C yZF yZC
❖ 3 二级光谱
d(sini sin m ) m
第二章 像差理论
2.3 薄透镜的初级像差理 论
2.3 薄透镜的初级像差理论
一. 薄透镜的初级像差普遍公式
球差和数 S hni(i u)(i i)
四 畸变
无畸变
正畸变
负畸变
负畸变
（a） 光阑位于透镜之前产生负畸变
正畸变
（a） 光阑位于透镜之后产生正畸变
❖ 线畸
yz yz y
q yz 100 %
y
五 色差
1 轴向色差
O1 O2
1 23
兰（F） 绿（D） 红（C）
l
′
F
AF′
AC′
-△l
′
FC
l
′
C
2 垂轴色差
A
F
D
C yZ C yZD yZF
四 反射光学系统和平面光学系统的像 差理论
❖ 1 平面反射镜像差
- i′ -i
-u
u′
2 加工或装配误差产生像差
仪器的主光轴
五 球面反射镜的像差
像点
球心
u=0
-i
- i′ - u′
h
r
光阑在反射镜球心
l
lp
球心
阑
光阑在反射镜顶点
l 球心 ip
lp 阑
六 棱镜或平面平行板的像差
光阑
- i1
正透镜
A
A0′ A′
负透镜

PW法

PW法

以上是将P、W规化为hΦ =1时的像差特性参数。
二、对物体位置的规化
P P A u A 1 W 4 W A W h A u u A A 1 h lu A 2 1 u A 2 1 h 3 2
以上公式可用于由任意平面位置的像差特性参数求无限远平 面的像差特性参数。
i1
j 1
j 1
nu2 xts
k
SIII
i1
h N
2
zj
h j1 j
Pj
2J
N j 1
hzj hj
Wj
J2
N
j
j 1
k
N
2nu2 xp SN J 2 j
2nuYz
k
SV
i1
h N 3 zj h2 j1 j
i1
Pj 3J
j 1
N j 1
hz2j
h
2 j
Wj
J2
h
2 z
i1 h 2
P 3J
k i1
h
2 z
W
h2
J
2
k i1
hz h
3 h
u n
n n n nr
J
2
k i1
1 h2
1 n2
2、薄透镜系统初级像差的PW表示式
k
N
2nu2 L S2nuKs SII hzj Pj J Wj
Pniiiiu Wiiiu
k
k
S I hP
i1 k
i1 k
k
i1 k
S II
i1
S
III
hzP J W
i1
i1
k
h
2 z
P
2J
k

薄透镜系统的初级像差

薄透镜系统的初级像差
第四章 薄透镜系统的初级像差理论
4.1 概述 4.2 薄透镜系统的初级像差方程组 4.3 薄透镜组像差的普遍性质 4.4 像差特性参数的P，W，C的规化 4.5 单透镜的 P、W、C 和结构参数的关系 4.6 双胶合透镜组结构参数的求解 4.7 平行玻璃板的初级像差公式 4.8 光学系统消场曲的条件——petzval条件
下面由 P ，W 求P，W：
由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行归化，
因此
P ，P W ， W只 要对
得：P
P
(h ) 3
W
W
(h ) 2
归h,化，由公式
P P (h)3 2.21( 80 )3 1.77 105
4000
W W (h)2 0.284( 80 )2 1.14 104
r1 58.321mm r2 48.309mm r3 133.654mm
4.7 平行玻璃板的初级像差公式
n
uz
O1
y
u
O2
dHale Waihona Puke 平行玻璃板的初级像差公式（1）球差
SI
n2 1 du4 n3
（2）彗差 （3）像散
SII
S
I
uz u
S III
S
I
uz u
2
（4）场曲 S IV 0
(6)
SIIC nuyFC hzhC
(7)
像差方程组的用途： 1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。
4.3 薄透镜组像差的普遍性质
2.3.1 薄透镜组的单色像差性质 1．一个薄透镜组只能校正 两 种初级单色像差
SI hP hP
SII hz P J W hz P JW

PW初始结构设计和像差优化

PW初始结构设计和像差优化
(4)还要考虑色差参量
双胶合：定义 f ‘ =1时，色差参量
lch
1 1
II II
C
1＋II 1
此参数完全决定镜组的色差
24
2) 双胶合薄透镜归一化：
W P 归一化条件：
h 1,
f
'
1: 1
1 l
0,
1 2, 2
3 ,3
1 1, f'
n1 n3 1, n1 n2 nI , n2 n3 nII
对于无穷远物距， 归一化条件：
h 1, f ' 1, u 'k 1
对于有限远物距， 归一化条件：
h 1, f ' 1, u 'k u1 h 1
归一化条件下对应的像差参量：P,W , P, W
W WW 1
u12 3 2
实际条件下对应的像差参量P W 归一化条件下的像差参量 P, W
L 'ch,z 0.001 L 'm 0.012 f 0.0355
OSC 0.00049
如果球差需要矫正，采用对透镜组整体弯曲的方法，基本上保持 色差不变
中间的空气间隔，是带球差和正弦差矫正的因素
13
I 0.02013, II 0.01013
2 0.022455, 3 0.022457 或 2 0.014190， 3 0.053187
SI
h4Q2 1 nl
SII
h3hpQ2
1 nl
J
h2Q 1 nl
P AQ2 BQ C
W
A1Q 1I B
2
3
Q 是胶合面的阿贝不变量, 有称 形状因子
Q
1 r2
1
2
1

第2章_薄透镜系统的初级像差方程组讲解

第2章_薄透镜系统的初级像差方程组讲解
彗差与光阑位置有关。但球差为零时，彗差即与 光瞳位置无关。
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像质评价技术
(3) 像散
SIII nu2 xts
hz2 P 2J h
hz W J 2
h
像散与光阑位置有关，但球差、彗差都为零时，
像散与光瞳位置无关。
(4) 光阑和薄透镜组重合时 hz 0
hz2 W J 2 h2
hz (3 )
h
(5)
SIC nu2lFC h2C
(6)
SIIC nuyFC hzhC
(7)
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像质评价技术
像差方程组的用途：
1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。
南薄透镜组像差的普遍性质
2.3.1 薄透镜组的单色像差性质 1．一个薄透镜组只能校正 两 种初级单色像差
SI hP hP
SII hz P J W hz P JW
S III

hz2 h
P 2J
hz h
W

J 2
SIV J 2 J 2
SV

hz2 h
P 3J
hz2 W h2
J2
hz (3 )
h
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2．光阑位置对像差的影响
(1) 球差
SI 2nu2L hP
与 h无z 关，所以光阑位置对球差没有影响。
(2) 彗差
SII 2nuKS hz P J W
(7)
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其中的参数：
J nuy nuy

PW初始结构设计和像差优化


I II
= hP = h z P + JW hz 2 hz = P + 2J W + J 2ϕ总 h h = J 2ϕπ hz 3 hz 2 2 hz = 2 P + 3J 2 W + J ϕ 总 (3 + π ) h h h
III
IV
V
两种特殊情况： 两种特殊情况：2） 与光阑重合的接触薄透镜 ——第二近轴在镜组上的高度 hz =0 相同 ——第二近轴在镜组上的高度
∑S ∑S ∑S ∑S ∑S
I II III IV V
= hP = JW = J ϕ总
2
= J ϕπ = J
∑C
I
ϕ1 ϕ2 + =0 υ1 υ2 ϕ1 + ϕ2 = ϕ
υ1 ϕ1 = ϕ υ1 − υ2 υ2 ϕ2 = − ϕ υ1 − υ2
5
二、薄透镜的初级球差： 薄透镜的初级球差：
1 单薄透镜： ′ 1. 单薄透镜：δ L0 = − 2n′u ′2
1 ρ= r 1 σ= l
1 ∑ SI = − 2n′u′2
OSC = 0.00049
如果球差需要矫正，采用对透镜组整体弯曲的方法 采用对透镜组整体弯曲的方法，基本上保持 采用对透镜组整体弯曲的方法 色差不变
中间的空气间隔，是带球差和正弦差矫正的因素
12
ϕ I = 0.02013, ϕ II = −0.01013
ρ 2 = −0.022455, ρ3 = −0.022457 或 ρ 2 = 0.014190， ρ3 = 0.053187
一、薄透镜的初级位置色差： 薄透镜的初级位置色差： 单薄透镜： 1. 单薄透镜：
ϕ 1 2 ϕ ′ C I = h , δ lch = − C I = −l ′ 2 υ n′u′ υ

薄透镜系统的初级像差理论

1.6.3薄透镜系统的初级像差理论[2]1.6.3.1初级像差理论在像差理论中，把各项像差和物高y （或视场角ω）、光束孔径h （或孔径角u ）的关系用幂级数的形式表示出来。

把最低次幂对应的像差量称为初级像差，而把较高次幂对应的像差量称为高级像差。

初级像差理论忽略了y 及h 的高次项，在y 及h 均不大的情况下，初级像差理论能够很好的近似代表光学系统的像差性质，为研究和设计工作带来极大的方便。

1.6.3.2薄透镜系统的初级像差方程组如果一个透镜组的厚度和它的焦距比较可以忽略，这样的透镜组称为薄透镜组。

由若干个薄透镜组组成的系统，称为薄透镜系统（透镜组间的间隔是可以任意的）。

对这样的系统在初级像差的范围内，可以建立像差和系统结构参数之间的直接函数关系。

如图1-16为一个简单的薄透镜系统示意图。

我们取两条辅助光线：第一辅助光线是由轴上点发出的经过孔径边缘的光线，它在第i 个透镜上的投射高为i h ；第二辅助光线是轴外点发出的经过孔径中心的光线，它在第i 个透镜上的投射高为zi h 。

而且第i 个透镜的光焦度也是已知的为i ϕ。

每个透镜组的i h 、zi h 和i ϕ叫做透镜组的外部参数，都是已知的，和薄透镜组的具体结构无关；对应的，每个透镜组的i r 、i d 、i n 称为透镜组的内部结构参数。

像差既和外部结构参数有关也和内部结构参数有关。

薄透镜系统初级像差方程组的作用是把系统中各个薄透镜组已知的完部参数和未知的内部结构参数与像差的关系分离开来，便于研究。

下面是各像差和数公式：球差和数''2'2[]i i iS nu L h p δI =-=∑（1-17）弧矢彗差和数'''2[]S zi i i iiS n u K h p J W II =-=-∑∑（1-18）像散和数2''2'2[2]zi zi tsi i i i i ii ih hS n u x p J W Jh h ϕIII =-=-+∑∑∑（1-19）像弯和数 2''2'22[2(1)]z i z iV Pi ii i i i iii h h S n u x p J W J h h ϕμI =-=-++∑∑∑ （1-20）畸变和数 32'''2222[3(3)]ziziziV zi i i i i i i iiih h h S n u y p JW J h h h δϕμ=-=-++∑∑∑ （1-21）轴向色差和数''2'2[]C FC i i iS n u L h C I =-∆=∑（1-22）垂轴色差和数'''[]C FC zi i i iS n u y h hC II =-∆=∑ （1-23）其中，'n 、'u 为系统最后像空间的折射率和孔径角，'''J nu y =是系统的拉格朗日不变量，他们以及每个透镜组的外部参数i h 、zi h 和i ϕ可以当成已知常数，在方括号里的求和式∑中，每个透镜组对应一项。

第2章 薄透镜系统的初级像差方程组


S IIC = −n′u ′∆y ′ = ∑ hz hC FC
像质评价技术
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像差方程组的用途： 像差方程组的用途： 1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。 已知像差的数值，反求结构参数。
像质评价技术
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D = 160
F’
f’＝4000 ＝
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Q 值为： 由表3 用插值法得到n=1.5163 n=1.5163时的 由表3－1用插值法得到n=1.5163时的 P0 ， 0 值为：
P0 = 2 .05
Q 0 = − 1 . 26
由于透镜为平凸形，并且凸面向前， 由于透镜为平凸形，并且凸面向前，所以 c2 = 0 ， 代入公式 Q = c 2 − 1 ，得：
3
80 3 P = P (hϕ ) = 2.21( ) = 1.77 × 10 −5 4000
80 2 W = W (hϕ ) = −0.284( ) = −1.14 × 10 − 4 4000
2
像质评价技术
南京理工大学紫金学院 根据公式
2
对单透镜求和
∆u i u i W = ∑ ∆(1 / n ) ∆ n i i
对透镜组中每 个折射面求和
像质评价技术
南京理工大学紫金学院 薄透镜系统的初级像差方程组
δL′ = [∑ hP] − 2n′u′2
′ KS =
(1)
− 2n′u ′ = ′ KT 3
[∑ h P − J ∑W ]
P=
P ( hϕ ) 3
W =
W ( hϕ ) 2
像质评价技术

第二讲光学设计软件zemax的应用——薄透镜系统的初级像差理论

ห้องสมุดไป่ตู้
SΙC , SΙΙC ，把已知的外部参数代入，列出 把已知的外部参数代入，
只剩下各个透镜组的像差特性参数P,W,C的初级像差方 的初级像差方 只剩下各个透镜组的像差特性参数
像差特性参数P,W,C的归一化 的归一化 像差特性参数
1、P,W对入射高和焦距的归化： 、 对入射高和焦距的归化： 对入射高和焦距的归化 表示， f ' = h = 1 时的像差特性参数和入射角用 P , W , u1 表示，则 有， u1 W P u1 = W= P= 2 3 hϕ ( hϕ ) ( hϕ )
设计方法 •用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 •从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 始系统
初级像差与y 初级像差与y，h的关系 初级球差 δ L ' = a1h 初级彗差
2
K 's = a2 h 2 y
( −n ' u ')
n ', u '
系统最后像空间的折射率和孔径角 拉格朗日不变量 每个透镜组的外部参数
J = n ' y 'u '
ϕ , h, hz
以上参数都是已知的
P, W , C , µ 每个透镜组出现四个未知数，称内部参数 每个透镜组出现四个未知数，
µ=
∑ ni
ϕi
ϕ
ϕ = ∑ ϕi
µ
一般取近似值0.7 一般取近似值
2、P,W对物距的归一化 、 对物距的归一化 对物距归化即对
f ' = h = 1, u1 = 0
归化， u1 归化，
符号代表， 的像差参数由 P∞ , W∞符号代表，直接给出两者之间的 关系： 关系：
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μ对薄透镜组来说近似为一与结构无关的常数，大约等于
0.7。由上式看到 数。
x 'p显然也应该是一个与结构无关的常
薄透镜组的色差特性
1.一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差
薄透镜组的两种色差，由唯一的色差参数C 确定，当轴 向色差等于零，则C =0, 垂轴色差也同时等于零。
SIC n'u'2L'FC h2C
一个薄透镜组只能校正两种初级单色像差
五个单色像差方程中，每个薄透镜组只出现两个像差特
性参数P，W。不同结构的薄透镜组对应不同的P，W 值，
它们是方程组中的两个独立的自变量。利用这两个自变量， 最多只能满足两个方程式，因此一个薄透镜组最多只能校 正两种初级像差。
光瞳位置对像差的影响
（1）球差与光瞳位置无关
hz3 p 3J h2
hz2 W J 2 h2
hz (3 )] (2n'u ' )
h
L'FC [ h2C] (n'u'2 )
yF' C [ hzhC] (n'u' )
以上公式中 n,u为系统最后像空间的折射率和孔
径角，J是系统的拉格朗日不变量J= nuy ,它们 都是已知常数，每个透镜组的外部参数 , h, hz 也
厚透镜可以看作是由两个平凸或平凹的薄透镜加 一块平行玻璃板构成，如图3-1所示。因此任何一 个光学系统都可以看作是由一个薄透镜系统加若 干平行玻璃板构成。
2 薄透镜系统的初级像差方程组
第一辅助光线：
由轴上物点A发出，经过孔径边缘的光线AQ
第二辅助光线：
由视场边缘轴外点B发出经过孔径光阑中心O的光线BP
我们无法把P、W表示为(
ri
,n
)的函数，而用第一辅助光线
i
通过每个折射面的角度来表示。它们的具体公式是：
P
ui (1 ni
)
2
ui ni
;
式中
W
ui (1 ni
)
ui ni
ui ui' ui ;
1 n
1 ni'
1 ni
;
ui ni
ui' ni'
ui ni
式中的和式∑是对该薄透镜组中每个折射面 求和的结果
无关，因此只需要对透镜组的焦距进行归化。如果把 透镜组的焦距f’归化为1，只要把每个单透镜的焦距， f’都除以f’，光焦度φ则乘以 f’，因此有：
C C f'
把任意焦距、入射高和物距的透镜组的像差特性参数P，
W，C 归化成f’=h=1,u1 =0时的像差特性参数P ,W , C 。
只要解决了由 P ,W ,C 求透镜结构参数的问题，也就
SI 2n'u'2L' hp
（2）彗差与光瞳位置有关，但球差为零时， 彗差即与光瞳位置无关。
SII
2n'
u'
K
' S
hz p J
W
如果球差为零，则对应P=0，这时
项，因此与光瞳位置无关。
hz P
0 中与有关的
光瞳位置对像差的影响
（3）像散与光瞳位置有关，但是如球差、彗差都等 于零，则像散与光阑位置无关。
n 1
nF nC
它是光学玻璃的一个特性常数，n为指定波长光线的折
射率，(nF nC ) 为计算色差时所用的两种波长光线的折射率 差————色散。
C只与透镜组中各单透镜的光焦度和玻璃的色散有关，
而和各单透镜的弯曲形状无关。
单色像差参数：P、W
它们和透镜组中各个折射面的半径和介质的折射率有关。
数 S I SV SIC , SIIC ，把已知的外部参数 , h, hz ,代J 入，
列出只剩下各个透镜组的像差特性参数P、W、C的初级像
差方程组。
（2）求解初级像差方程组得到对每个薄透镜组要求的P、 W、C 值。
（3）由P、W、C 求各个透镜组的结构参数
3 薄透镜组像差的普遍性质
薄透镜组的单色像差特性
能解决由P,W,C求透镜组结构数的问题。这样无疑使问
题大为简化。
5 单透镜的 P , W , C 和结构参数的关系
薄透镜系统的求解过程： 设计一个薄透镜系统，在完成外形尺寸计算后，根据对 系统的像差要求，即可列出初级像差方程组，求解方程组
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
如果系统消除了像散，xt's 0 ：
[ hz2 p 2J hz W J 2 ] 0
h
h
将上式代入下式
xs' [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
把
x
' p
作为薄透镜系统的初级像差方程式。
在式（3-8）～（3-14）和（3-20）右边的分母
上都有一个与透镜组内部结构无关的常数 n,u 组
成的常数项。为了简化，我们把它们都移到等式 左边，等式右边只留下与透镜组内部结构有关的 部分，并用一组新的符号代表，得到下列方程组：
SI 2n'u'2L' hp
n 玻璃的折射率 i 变化不大，一般在1.5～1.7左右，因
此近似为一个和薄透镜组结构无关的常数。 通常取的
平均值为0.7。
这样，每个薄透镜组的内部参数实际上只剩下P，W，
C三个。其中C只和两种色差有关称为“色差参数”。它
的公式为 C i
i
以上∑和式中 i 为该透镜组中每个单透镜的光焦度，
为该单透镜玻璃的阿贝数 i
根据P，W的公式,它们的值显然不会改变
再把入射高 h 放大到1，则光线的所有角度将增加
1 h 倍
P，W 将分别增加 1 (h)3 和 1 (h)2 倍
f’=h=1时的像差特性参数和入射角用 P ,W ,u1 表示
P P ;
(h )3
W W ;
(h )2
u1
u1
h
如果我们能由 P , W 求出了透镜组的结构参数，只
L' [ hp] (2n'u'2 )
K
' S
[
hz p J
W]
(2n'u ' )
K
' T
3
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
x
' s
[
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
y
' z
[
SII
2n'u'
K
' S
hz p J
W
SIII n'u '2 xt's
hz2 p 2J h
hz W J 2
h
SIV 2n'u'2 x'p J 2
SV
2n'u'y
' z
hz3 h2
p 3J
hz2 h2
W
J
2
hz (3 )
h
SIC n'u'2L'FC h2C
在像差理论的研究中，有实际价值的是初级像差理论
1.初级球差 2.初级彗差
初级像差
L' a1h2
K
' S
a2h2 y
3.初级子午场曲 4.初级弧矢场曲
xt' a3 y 2 xs' a4 y 2
初级像差
5.初级畸变
y
' z
a5 y3
6.初级轴向色差
l
Байду номын сангаас
' FC
C1
7.初级垂轴色差
y
' FC
3.薄透镜组的消色差条件与物体位置无关
消色差条件
i 0
i
中不出现与物体位置有关
的参数，因此一个薄透镜组对某一物平面消了色
差，对任意物平面都没有色差。
4 像差特性参数P，W，C 的归化
归化就是把对任意物距、焦距、入射高时的 像差特性参数，在保持透镜组几何形状相似的 条件下，转变成焦距等于1，入射高等于1，物 平面位在无限远时的像差特性参数。
SIIC n'u'yF' C hz hC
S I SV 称为第一至第五像差和数 S IC , S IIC 称为第一和第二色差和数
今后我们在讨论像差和结构参数的关系时，直接 应用这些像差和数的公式，它们和像差之间只相 差一个常数因子。
由初级像差直接求解薄透系统的结构参数，大体 步骤是：
（1）根据对整个系统的像差要求，求出相应的像差和
得
xs' J 2 (2n'u'2 )
由于
xt's 0
,因此子午和弧矢场曲相等
xt'
x
' s
时的场曲称为Petzval场曲，用符号
x
' p
表示：
x
' p
J2
(2n'u'2 )
，这
如果
x
' ts
不等于零，则可以得到
xs'
x
' p
1 2
xt's ;
xt'
x
' p
3 2
xt's
其因他此两个x也t' ,就xs'是, x确'p定, x的t's 了四。者由中于只具要有确某定了些其特中殊任性意质两，个我，们