谈椭圆参数方程在解题中的应用

例谈如何运用参数方程解决椭圆问题作者：顾海荣来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第01期1.椭圆参数方程的构建引入问题:如图1,以坐标原点O为圆心,分别以a、b为半径作两个圆.点A是大圆上任意一点,点B是大圆半径与小圆的交点,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,再过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的轨迹的参数方程.(因为点A是主动点,点M是从动点,所以选择∠xOA为参数.)解:如图1,设∠xOA=θ,点M的坐标为(x,y),则即为参数).这就是点M轨迹的参数方程.图1通过以上的分析我们可知,直接消去参数θ,化参数方程为普通方程那么点M的轨迹是椭圆;而且利用“几何画板”对点M进行“跟踪”,也同时可以发现点M的轨迹确实是椭圆,所以椭圆的参数方程就是为参数).2.椭圆参数方程的应用以下我们通过几道例题综合来看椭圆的参数方程的具体应用情况.例1 已知P(x,y)在椭圆上,求u=2x一y的最大值.解析:设其中显然φ-∈Z.时例2 设椭圆和x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,求四边形OAPB面积最大值.解析:设椭圆在第一象限内任一点坐标为∈则四边形△△。

当且仅当时,四边形OAPB面积的最大值为22ab.3.综合分析例1、例2应用了椭圆参数方程的设法,以及化一个角的一个三角函数的方法求出最值.这样的方法在其他一些题目中也经常会涉及,我们在学习过程中应当注意总结类比,熟练掌握.特别在椭圆中求最值,椭圆的参数方程具有一定的优越性,这一点值得我们注意.通过以上几例,我们看到,在解决有关椭圆的题目时,椭圆的参数方程为我们的解题开辟了另外一种途径,所以在平时的学习中,我们不但要熟悉椭圆的标准方程、几何性质,在解决部分题目的时候也不要忘了我们还可以运用椭圆的参数方程.关于椭圆的一些题目,不仅考查学生的数学基础知识,也是对综合数学素质的检测.所以我们在学习和研究时,不单单只是掌握椭圆的参数方程,还要运用椭圆的参数方程灵活快速解决一些问题。

椭圆参数方程的应用【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)． (2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数) 当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．3．圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。

参数方程及其应用参数方程是一种表示曲线的方法，它通过将曲线上的点的坐标表示为参数的函数来描述曲线。

参数方程可以用来表示一些特殊的曲线，如椭圆、抛物线和双曲线等。

在物理、工程和计算机图形学等领域中，参数方程有着广泛的应用。

一维参数方程的形式通常为：x=f(t)y=g(t)其中x和y表示曲线上的点的坐标，t是参数。

根据不同的问题确定参数t的取值范围，可以得到曲线上的一部分或者整条曲线。

椭圆是一个常见的用参数方程来表示的曲线。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

通过改变参数t的取值范围，可以得到椭圆的不同部分。

抛物线也可以用参数方程来表示：x=ty=t^2抛物线是一种曲线形状，它的开口方向可以由参数方程中的系数来确定。

参数方程中的t^2表示y值随着x值的增加而增加，因此抛物线开口向上。

双曲线也是可以用参数方程来表示的一种曲线。

双曲线的参数方程可以表示为：x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中sec(t)表示secant函数，tan(t)表示tangent函数。

双曲线是一种特殊的曲线形状，它的两支分别向无穷远延伸。

参数方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，当一个物体在空中自由落体运动时，其位置可以通过以下参数方程来表示：x = v0 * cos(θ) * ty = -1/2 * g * t^2 + v0 * sin(θ) * t + h0其中v0表示初速度，θ表示初速度与水平面的夹角，g表示重力加速度，h0表示初始高度。

通过这个参数方程，可以计算物体在任意时间点的位置。

在工程学中，参数方程也有一些应用。

例如，在设计滚动轮廓、喷嘴或转子叶片等工程产品时，参数方程可以用来表示这些曲线形状，以便于进行设计和加工。

在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于曲线和曲面的绘制。

通过调整参数范围和步长，可以绘制出各种复杂的图形和动画效果。

参数方程在解析几何中的妙用1. 引言1.1 参数方程的定义参数方程是指以一个或多个参数表示的几何图形的方程。

在解析几何中，通常用参数方程来描述曲线或曲面的形状和特征。

参数方程与传统的代数方程相比，更具有灵活性和直观性，能够更加直观地展现几何图形的特性。

具体来说，如果一个曲线可以用参数t 表示，那么曲线上的每一个点都可以由一对函数关系x=f(t)，y=g(t) 描述，其中x 和y 分别表示该点的横纵坐标。

通过调整参数t 的取值范围，我们可以很方便地控制曲线上的点的位置和走向，从而实现对曲线形状的灵活描述。

参数方程在解析几何中有着广泛的应用。

通过参数方程，我们可以轻松地绘制出各种复杂的曲线，如椭圆、双曲线等。

参数方程也为曲线长度、曲率、面积等性质的计算提供了便利的工具。

参数方程的引入使得解析几何的研究更加灵活多样，为我们深入理解几何图形的特性提供了有力支持。

1.2 参数方程在解析几何中的作用参数方程在解析几何中的作用是十分重要的。

通过参数方程，我们可以更加直观地描述曲线的运动和形状，将几何问题转化为代数问题，并且更加方便地进行计算和分析。

具体来说，参数方程可以帮助我们解决一些传统的几何问题无法轻松解决的问题，比如曲线的长度、曲率和面积计算。

参数方程与代数方程之间有密切的关系。

通过参数方程，我们可以将曲线表示为关于参数的函数，从而将几何问题转化为代数问题。

这种转化可以简化问题的求解过程，让我们更加容易理解和掌握曲线的性质。

参数方程在曲线的绘制中起到了关键的作用。

我们可以通过改变参数的取值来绘制出不同形状的曲线，从而更好地理解曲线的运动和变化。

这对于学习曲线的性质和特点非常有帮助。

参数方程还可以帮助我们计算曲线的长度、曲率和面积。

通过参数方程，我们可以建立起曲线与坐标轴之间的准确对应关系，从而利用微积分的方法计算曲线的相关属性。

这为我们研究曲线提供了更多的手段和途径。

参数方程在解析几何中扮演着不可或缺的角色，它为我们探索几何世界提供了新的视角和方法。

试论椭圆参数方程中参数的几何意义及性质椭圆是数学中最为重要的曲线之一，它可以用来概括和研究物理世界中各种形态的运动，并且椭圆本身也具有很多特殊的性质。

本文将着重探讨椭圆方程中参数的几何意义及性质。

首先，让我们介绍椭圆的参数方程：当以 (x0, y0) 为椭圆的中心，以 a 为长轴长度，以 b 为短轴长度时，椭圆的参数方程为：$$frac{(x-x_{0})^2}{a^2}+frac{(y-y_{0})^2}{b^2}=1$$ 其中，参数a、b和(x0, y0)分别称为长轴、短轴和中心点参数，由于这些参数的几何意义，椭圆就可以是各种形状和大小的一般椭圆，也可以是圆形。

首先，椭圆的中心点(x0, y0)指的是椭圆的中心坐标，这两个参数是椭圆方程中最基本的参数，它们可以用来决定椭圆的位置。

当椭圆的中心点参数被确定后，椭圆的形状和大小将受到长短轴参数的影响。

椭圆的长轴参数a表示椭圆的长轴长度，椭圆的大小与它的长轴参数a有关，当a增大时，椭圆将变大，当a减小时，椭圆将变小。

此外，长轴参数a还表示椭圆的狭窄程度，当a增大时，椭圆的形状会变得更加扁平，当a减小时，椭圆会变得更加细长。

椭圆的短轴参数b表示椭圆的短轴长度，它也决定了椭圆的大小，当b变大时，椭圆会变大；当b变小时，椭圆会变小。

此外，短轴参数b还表示椭圆的圆滑程度，当b变大时，椭圆会变得更加圆滑，当b减小时，椭圆会变得更加扁平。

此外，椭圆方程中参数的性质也很重要，椭圆的中心点参数(x0, y0)和长短轴参数a、b都是实数，另外，长轴参数a必须大于或等于短轴参数b，也就是说，椭圆的长轴必须大于或等于短轴，否则椭圆的参数方程就无效了。

综上所述，椭圆方程中的参数的几何意义及性质十分重要，它们决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的中心点参数(x0, y0)决定了椭圆的位置，而长短轴参数a、b决定了椭圆的大小和圆滑程度。

然而，椭圆方程中参数的性质也很重要，长轴参数a必须大于或等于短轴参数b，否则椭圆的参数方程将无效。

从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用
作者：邱尚程
来源：《新课程·中旬》2016年第05期
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一。

根据考纲的要求，理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容，对双曲线是了解的内容；文科只对椭圆是掌握的内容，对双曲线、抛物线是了解的内容。

纵观福建近几年来的高考也可以看出这一点，椭圆是高考必考的内容，其次是抛物线，考得最少的是双曲线。

而数学的核心问题又是最值问题，数学中的最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，它在高考中的地位十分突出。

最值问题可以通过各种知识作为背景进行考查，涉及高中数学的主干知识与方法，要求考生有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力。

从而可以理解椭圆问题的最值问题在高考中的重要地位。

而椭圆的参数方程因为其特点，可以把圆锥曲线中最值问题的复杂的计算转变成三角函数最值计算，从而可以大大减少计算过程和强度，是解决椭圆最值问题一个很重要的而且是很巧妙的手段。

下面我从2009年福建高考数学（文史类）的22（压轴）题，浅谈椭圆参数方程在椭圆最值中的巧妙应用。

2009年福建高考数学（文史类）22.（本小题满分14分）
从第二步的最值问题用普通方程和用参数方程来比较，显然参数方程的计算量远远小于普通方程的计算量，从而提高答题的正确率。

由此可见，椭圆的参数方程在解决椭圆的最值问题中有很明显地减少计算的作用，因此在解决相关的椭圆的最值问题的时候可以优先考虑椭圆的参数方程。

编辑谢尾合。

椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。

本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。

一、参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。

在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。

通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。

当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。

参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。

例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。

当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。

二、极坐标方程椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。

在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。

椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。

通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。

当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。

极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。

例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。

当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。

三、应用椭圆具有许多重要的应用。

在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。

例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。

在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。

例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。

椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。

椭圆还广泛应用于工程学和计算机图形学。

在工程学中，椭圆常被用作设计轮胎、齿轮等机械零件的基础。

「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」1.行星轨道椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳的轨道。

根据开普勒第一定律，行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

通过给定行星的离心率、半长轴和焦点的位置，可以得到行星在任意时间的位置。

这种方法对于研究行星运动和预测行星位置等方面有重要的应用。

2.船只的航海问题在船只的航海问题中，船只从A点出发经过几个固定的轨迹点到达B 点。

如果船只的航行速度和方向是已知的，可以用椭圆的参数方程来描述轨迹。

这样可以帮助船只确定航线，避免与障碍物相撞。

3.天文测量在天文学中，使用椭圆参数方程可以描述行星、彗星和其他天体的轨道。

通过观测这些天体的位置和运动，并将其拟合到椭圆参数方程中，可以得到更精确的轨道参数，进而研究行星和天体的物理特性。

4.反射镜和抛物面反射椭圆是反射镜和抛物面反射的基础。

抛物面可以被看作是椭圆沿着一个焦点方向拉伸而形成的。

椭圆的参数方程可以用来描述反射镜的形状，使得光线可以聚焦到一个点上。

这种技术在望远镜、摄影镜头等光学仪器中有着广泛的应用。

5.电子轨道在量子物理中，电子围绕原子核的轨道也可以用椭圆参数方程来描述。

这种描述方法可以帮助研究和理解电子在原子中的分布和运动。

通过椭圆参数方程，可以计算电子的能级、轨道半径等物理参数，对于研究原子结构和化学键等方面有重要的应用。

以上是椭圆参数方程的几个应用。

椭圆作为一个重要的数学概念，在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。

椭圆参数方程作为椭圆的数学描述方法，可以帮助我们更准确地描述和计算各种现象，深化对椭圆曲线的理解，提高数学应用能力。

高中数学中的圆锥曲线参数方程的推导与应用圆锥曲线是数学中的重要概念，在高中数学中也是一个重要的学习内容。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在本文中，我们将探讨圆锥曲线的参数方程的推导与应用。

一、椭圆的参数方程椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有两个焦点和两个顶点。

椭圆的参数方程可以通过参数方程的定义来推导。

我们假设椭圆的焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c。

椭圆的顶点为A 和B，两个顶点之间的距离为2a。

我们可以定义一个参数t，表示椭圆上的任意一点P的位置。

根据参数方程的定义，我们可以得到椭圆上的任意一点P的坐标(x, y)：x = a*cos(t) + cy = b*sin(t)其中，b表示椭圆的短轴的长度。

通过这个参数方程，我们可以根据参数t的取值来得到椭圆上的各个点的坐标。

椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的用途。

例如，在计算机图形学中，可以使用椭圆的参数方程来绘制椭圆的曲线。

此外，在物理学和工程学中，椭圆的参数方程也可以用于描述一些物理现象和工程问题。

二、双曲线的参数方程双曲线是圆锥曲线中的另一种类型，它具有两个焦点和两个顶点。

与椭圆不同的是，双曲线的焦点和顶点之间的距离是相等的。

双曲线的参数方程可以通过参数方程的定义来推导。

我们仍然假设双曲线的焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c。

双曲线的顶点为A和B，两个顶点之间的距离为2a。

同样地，我们可以定义一个参数t，表示双曲线上的任意一点P的位置。

根据参数方程的定义，我们可以得到双曲线上的任意一点P的坐标(x, y)：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，cosh(t)表示双曲函数的余弦超b函数，sinh(t)表示双曲函数的正弦超b函数。

通过这个参数方程，我们可以根据参数t的取值来得到双曲线上的各个点的坐标。

双曲线的参数方程在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在电磁学中，双曲线的参数方程可以用于描述电磁波的传播。

此外，在天文学中，双曲线的参数方程也可以用于描述天体的运动轨迹。