排列组合(20份)

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。

注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。

但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

高考数学定排列组合方法 问题大全排队问题大全三男四女排队30问小结[ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法：1．全体排一排：504077=A 2、选5人排一排：==575557A A C 2520３．甲站在正中间：6!=720 ____________ ４．甲只能站在正中间或两头： ５．甲既不在排头也不在排尾：６．甲、乙必须在两头： ______________ ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ ８．甲不在排头、乙不在排尾：９．甲在乙的右边： ________________ １０．甲、乙必须相邻： _____________ １１．甲、乙不能相邻：１２．甲、乙、丙三人都相邻： １３．甲、乙、丙三人都不相邻：１４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻： １５．男女生各站在一起：１６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ ) １７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)： １８．男生不排在一起：１９．任何两男生彼此不相邻： ２０．甲、乙两人之间须相隔１人： ２１．甲、乙两人中间恰有3人：２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)： ２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)： ２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： ２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： ２６．排成前后两排，前3人后4人：２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排：２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： ２９．若两端都不能排女生：一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = C 14A 34C 13练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合题目精选(解析版)1. A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法种数有 A . 60种 B . 48种 C . 36种 D . 24种 解析：选D 。

A 、B 相邻且顺序一定，可把A 、B 捆绑看成一个整体与其他三人全排列，一共有24A 44=种方法。

2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A . 1440种B . 3600种C . 4820种D . 4800种解析：选B 。

7个人全排列，有77A 种方法，其中甲乙相邻时，甲乙交换位置，有22A 种方法，再与其他5人全排列，有6622A A 种方法。

则甲乙不相邻的排法种数为3600A A A 662277=-。

3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A . 6种B . 9种C . 11种D . 23种解析：选B 。

先填数字1，有3种方法。

填数字2，有两种情况。

①填入方格1，有1种方法，剩下的3和4只有1种方法；②不填入1，有1种方法，剩下两个数字可以全排列。

有22A 种方法。

故由计数原理，一共有9)A 1(322=+种填法。

4. 将四封信投入5个信箱，共有多少种方法？ 解析：分以下4种情况： （1）只投1个，有15C 种方法；（2）投2个，有25A 种投信方法。

分两种情况：①分为1+3式，有14C 种分法；②分为2+2式，有2224A C 种方法； （3）投3个，有221224A C C 种分法，35A 种投法； （4）投4个，有45A 种投法。

由计数原理，一共有625A A A C C )A C C (A C 45352212242224142515=++++种投信方法。

5. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 种。

解析：填34650。

排列组合专题练习第一、特殊优化法（对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以先从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置。

）1. 用1，2，3，4，5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A、24个B、30个C、40个D、60个2. 乒乓球队的10名队员中有三名主力队员，若派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种。

（用数字作答）3. 1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种。

4. 从 ，5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素 不能放在第二个格子里，共有 种不同的放法。

第二、合理分类准确分步（对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类和准确分步，以便有条不紊的进行解答，避免重复或遗漏现象发生。

）5. 0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个。

6. 用五种不同颜色给下图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域涂不同的颜色，共有 种涂法。

7. 有11名外语翻译人员，其中5名会英语，4名会日语，另外两名英、日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有 种不同的选派方式。

8. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）种A、90B、180C、270D、5409. 集合 的并集 ，当 时， 和 视为不同的对，则这样的对的个数有个。

10. 已知 是定义域 ，值域为 的函数。

（1）试问：这样的函数 共有几个？（2）若对于定义域中 的4个不同元素，对应的函数值都是1，那么这样的函数 共有多少个？第三、先选后排（对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

）11. 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的方法有 种。

2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A．24种B．36种C．48种D．60种例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．48种B．96种C．240种D．480种例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（）A．216种B．240种C．288种D．384种跟踪练习1、A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C 去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（）A．108B．120C．144D．1562、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．7243、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．134、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．125、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（）A．288种B．144种C．96种D．48种9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（）A．48个B．60个C．72个D．84个10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A．42种B．96种C．120种D．144种11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）考点二组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A和B两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）A．4 B．8 C．10 D．122、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A．20 B．55 C．30 D．255、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（）A．39种B．168种C．1268种D．1680种6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．84 B．168 C．240 D．2527、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．420种B．780种C．540种D．480种2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．3453、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为（）A．16B．12C．13D．345、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）A．60 B．80 C．100 D．1206、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（）A．36 B．30 C．24 D．187、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A．54431384322C C C AAB．54421384233C C C AAC．544138422C C CAD．5441384C C C8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36 B．48 C．72 D．1209、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）A．4704种B．2800种C．2688种D．3868种10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48011、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48013、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种B．78种C．84种D．144种14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．。

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。

注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。

但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

数学运算之排列组合返回我的战役成绩单回顾试卷1. 数学运算之排列组合(20)一、数学运算之排列组合（共20小题）请根据题目要求，在四个选项中选出一个最恰当的答案。

请开始答题：第1题:某小组有四位男生和两位女性，六人围成一个圈跳集体舞，不同的排列方法有（）A . 720B . 60C . 490D . 120我的答案：A正确答案：D解析：本题属于排列组合问题。

所有排列组合为6×5×4×3×2×1，还得除以6（因为123456跟234561...是一样的）得到120。

故答案为D。

试题报错试题收藏做笔记其他笔记第2题:将小麦、玉米、大豆三种作物同时种植在5块田地里(如图)，每块田地里种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，一共有多少种种植方法?（）A . 25B . 38C . 42D . 50我的答案：A正确答案：C解析：本题属于排列组合问题。

用分步计数法易求得总的种植方法，但容易忽略只种2种作物的情况，需细心求解。

第一块田有3种选择方法，第二、三、四、五块田均有2种选择方法，因此共有3×2×2×2×2=48种种植方法，而这48种方法中，包含了只种两种作物的可能，因此要将其除去，只种两种作物时，不同的种法有2×3=6种，因此本题的种植方法共有48-6=42种。

故答案为C。

试题报错试题收藏做笔记其他笔记第3题:有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？（）A . 3B . 4C . 5D . 6我的答案：A正确答案：C解析：本题属于抽屉问题。

总共有四种颜色，取红黄蓝白珠子各1粒,现在有4粒，再任取一粒必定与前面颜色重复，故至少5粒，那么5个珠子中至少有两个是相同颜色。

故答案为C。

试题报错试题收藏做笔记其他笔记第4题:一公司销售部有4名区域销售经理，每人负责的区域数相同，每个区域都正好有两名销售经理负责，而任意两名销售经理负责的区域只有1个相同。

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。

1。

排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式：4。

组合数公式:5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。

例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。

即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。

解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。

结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。

即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。

1 1.排列的定义: 从n个不同元素中任取m个元素按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合的定义: 从n个不同元素中任取m个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ①分类记数原理加法原理完成一件事有n类办法在第1类办法中有m1种不同的方法在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N m1 m2 ….. mn种不同的方法. ②分步记数原理乘法原理完成一件事需要n个步骤做第1步有m1种不同的方法做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法. ③两个原理的区别前者各种方法相互独立用其中的任何一种方法都可以完成这件事后者每个步骤相互依存只有每个步骤都完成了这件事才算完成对前者的应用如何分类是关键如排数时有0没有0排位时的特殊位置等后者一般体现在先选后排从n 个不同元素中取出m个元素的排列数例17种不同的花种在排成一列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆中问有多少不同的种法解一分两步完成第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置解二第一步由葵花去占位第二步由其余元素占位小结当排列或组合问题中若某些元素或某些位置有特殊要求的时候那么一般先按排这些特殊元素或位置然后再按排其它元素或位置这种方法叫特殊元素位置分析法。

例2要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单如果舞蹈节目不排头并且任何2个舞蹈节目不连排则不同的排法有几种解5个独唱节目的排法是P55舞蹈不排在头一个节目又需任何两个舞蹈不连排只要把舞蹈节目插入独唱节目的5个空隙中即可即舞蹈节目的排法是P53所以排法的种数为小结当某几个元素要求不相邻时可以先排没有条件限制的元素再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中这种方法叫插入法。