固体能带理论II

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固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)

（设为非简并）
T r r + a r ＝1, 2, 3
其中是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征值，引入周期性边界条件。设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和
N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为
N＝N1N2N3 。
周期性边界条件： r r Na
体系的薛定谔方程：
Hˆ
(r, R)
(r, R)
但这是一个 1023cm量3级的多体问题。
首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子
运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为
离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系
统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电
1反映的是沿a1方向，相邻两个原胞中周期对应的两点之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量 k 表示原胞间
的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。但是，
如果两个波矢量 k 和 k’ 相差一个倒格矢Gn，可以证明，这
两个波矢所对应的平移算符本征值相同。
对于k： eika
对于k’＝ k+Gn：
1 N1
b1
1 N2
b2
1 N3
b3
b N
在k空间中，波矢k的分布密度为
k
N b
N
va
8
3
V
8 3
在简约区中，波矢k的取值总数为
V Nva 晶体体积
k b N 晶体的原胞数
小结：波矢 k 的意义及取值：
Bloch函数中的实矢量 k 起着标志电子状态量子数的作用，称作波矢，波函数和能量本征值都和 k 值有关，不同的 k 值表

固体物理学：能带理论(三)

k
y
k
x
dZ=2(k)(k空间中能量在E → E+dE两等能面间的体积)
V
2 8 3 Econst dSdk
和自由电子情形不同，这里的等能面已经不是球面，需要根据等能面形状具体积分才行。
因为：
dE kE dk
所以：
N ( E )
1 V
dZ dE
1
4 3
dS Econst k E(k )
电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，在布里渊区边界产生能隙。等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突出的凸包等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决于电子与晶格相互作用的细节；周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。
证明：在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交，
近代的能带计算也采用建立在密度泛函理论基础上的局域密度近似（Local density approximation）方法，理论基础是非均匀相互作用电子系统的基态能量唯一的由基态电子密度确定，是基态电子密度 n(r) 的泛函。
其计算流程见下表，上面提到的几种模型都可以用来进行密度泛函计算。
小结：
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没有接近EA时，N(E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超过自由电子，在 EA处达到极大值，之后，等能面开始残破，面积开始下降，态密度下降，直到 EC时为零。所以近自由电子近似下的N(E)如图所示。
k
1 2
Gn
沿布里渊区边界面的法线方向上，
En k
1 2
Gn
En k

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以及电子波函数反对称性而带来的交换作用。能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似：原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

《能带理论学习资料》课件

深入研究复杂材料的能带结构
针对新型功能材料和二维材料等，深入研究其能带结构、电子态和光学性质，为实际应用提供理论指导。
发展多尺度计算方法
结合微观尺度和宏观尺度，发展多尺度计算方法，以更全面地描述材料的物理性质和化学反应。
结合实验研究
加强与实验研究的合作与交流，提高能带理论的预测精度和实用性，推动材料科学的发展。
能带理论面临的挑
05
战与发展前景
能带理论面临的挑战
实验验证困难
能带理论预测的某些能带结构难以通过实验手段进行验证，因为需要高精度和高分辨率的测量技术。
对强关联体系的适用性有限
能带理论在处理强电子关联体系时遇到困难，因为关联作用导致能带结构发生畸变和分裂。
对非平衡态体系的描述不足
能带理论主要适用于平衡态体系，对于非平衡态体系（如半导体中的载流子输运、热传导等现象）的描述不够准确。
热学性质
能带结构影响热传导和热容等热学性质。
能带理论在材料科
03
பைடு நூலகம்
学中的应用
半导体材料能带结构
总结词
半导体材料的能带结构是研究其电子行为和导电性质的基础，具有宽禁带和窄禁带的区别。
详细描述
半导体材料的能带结构由价带和导带组成，禁带宽度较小，使得电子容易跃迁。不同半导体材料的能带结构有所不同，宽禁带半导体材料具有高热导率和良好的耐高温性能，窄禁带半导体材料则具有较高的电子浓度和迁移率。
准粒子模型
准粒子模型是一种将复杂的固体能带结构简化为具有一定有效质量的粒子运动模型的近似方法。
在准粒子模型中，电子被视为具有一定有效质量和有效势的粒子，通过求解其运动方程，可以得到能带结构中的能量状态和波函数等信息。

《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论

2021/6/20
第四章固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
2021/6/20
钠的能带
第四章固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到周期性势场的作用。
孤立原子中电子的势阱
2021/6/20
势垒
电子能级
+
第四章固体的能带
解定态薛定谔方程，可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第四章固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
2021/6/20
第四章固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点说明了导体、半导体及绝缘体的区别晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第四章固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
2021/6/20
第四章固体的能带
p2 E
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
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2021/6/20
第四章固体的能带理论

固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板

Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性

能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面

等能面等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li

第五章固体能带理论II5.3

5.3 晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。

每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。

N 为原胞数。

考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。

简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。

不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。

复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E (5.3.1)因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。

在同一能带中k 和k 态具有相反的速度：()()k k --=υυ(5.3.2)在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。

在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

因此满带电子不导电。

导体和非导体模型部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。

在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。

第五章_固体能带理论

ϕk (x) = ϕk +K (x + a)
n
证明： ˆ 证明： Tϕk (x) = ϕk (x + a) = eikaϕk (x)
ˆ Tϕk +Kn (x) = ϕk +Kn (x + a)
=e
i (k +Kn )a
ϕk +K (x)
n
=e
i 2πn ika
v e ϕk +Kn (x) = e ϕk +K (x) n ika
c) 周期边界条件： ϕ( x + Na) = ϕ(x) 周期边界条件：
ˆϕ(x) = eikNaϕ(x) ϕ(x + Na) = T 2π ikNa k= nx ∆k = 2π = 2π e =1 Na Na L
d) 波矢相差倒格矢整数倍的波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效因此把波矢限波等效.因此把波矢限波等效制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞制在第一布区内且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞可容纳的电子数为2N. 数N可容纳的电子数为可容纳的电子数为
ikx ikx
= −ihe + hkxe − hkxe
= −ihe
ikx
ikx
ˆ ˆ 不对易. ∴ P, x 不对易.可以证明 Py , x 是对易的 ˆ 的本征值. ∴ϕ(x) 又是 T 的本征值.
ˆ 的本征函数. ∴ϕ(x) 又是 T 的本征函数
ˆ Tϕ(x) = λϕ(x) λ 为本征值 ˆ(Tϕ(x)) = λTϕ(x) = λ2ϕ(x) ˆ T
∞
求波矢k。求波矢
m=−∞
(−i)m f (x − ma) ∑
解：（1）方法）方法a

固体物理学中的电子结构和能带理论

固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。

而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。

电子结构指的是物质中电子的分布状态。

在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。

但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。

因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。

能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。

能带即不同电子能量的总体能量段。

在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。

由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。

电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。

由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。

除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。

倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。

由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。

总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。

对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。

同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。

能带理论

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似：无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

材料物理与性能-2-第2章-固体能带理论

—— 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近
一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系
2.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
1、模型和微扰计算
—— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场
势场的平均值周期性势场起伏量
电子波函数的计算
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
C原子的能级与金刚石能带的对比图
2.6 晶体能带的对称性
1、能带关于k的周期性
2 E (k ) E (k n ) a
电子波矢的布洛赫函数
—— 在k的状态中观察到的物理量与在k’的状态中是相同的
—— 三维情况中表示
2、能带的时间反演对称性可以证明
3、能带的3种表示图式
1) 扩展能区图式第一能带
2.1 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程
2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
—— 方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数

第7章_固体能带理论-总结

对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播
是相同的。
π 但当 k n 时，如k a

， a
此时平面波
e
ikx
满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2π，从相邻的
原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反
方向传播的波 Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。
ik r
晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因
此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构。
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有
能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带
结构。电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。
G
2k 2 k 2m
因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了
能隙的起因
能隙的起因对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 e
ikx
π 若k远离Bz边界时（即 k a n 时），电子波不受
Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，
bi bi ki ， ( i 1， 2， 3) 2 2
k ( r ) k K ( r )
h
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
由Bloch定理可得两个重要结论：〈1〉Bloch定理表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数

固体物理总结能带理论、固体物理知识点总结

一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。

原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。

每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。

晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。

WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。

4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。

六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt

i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r

T T T T

2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf

固体物理6-1 能带理论

h2 d 2 H0 = − + U0 2 2m dx
⎛ 2π nx ⎞ H ′ = ∑U n exp ⎜ i ⎟ a ⎠ ⎝ n ≠0
—— 零级近似 —— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数ψ(k)展开
E ( k ) = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) + ⋅⋅⋅
ψ k = ψ k(0) + ψ k(1) + ψ k(2) + ⋅⋅⋅
将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
一级微扰方程： H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0) 令：
ψ k(1) = ∑ al(1)ψ l(0)
l
l
(1) al El(0)ψ l(0) + H ′ψ k(0) = Ek(0) ∑ al(1)ψ l(0) + Ek(1)ψ k(0) ∑
周期性势场： U ( x ) = U ( x + a )
a：晶格常数
⎛ 2π nx ⎞ Fourier展开： U ( x ) = U 0 + ∑U n exp ⎜ i ⎟ ⎝ a ⎠ n ≠0
1 L U 0 = ∫ U ( x ) dx —— 势能平均值 L 0 1 L ⎛ 2π nx ⎞ U n = ∫ U ( x ) exp ⎜ −i ⎟dx L 0 a ⎠ ⎝

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晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。

每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。

N 为原胞数。

考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。

简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。

不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。

复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。

在同一能带中k 和 ??k 态具有相反的速度：???????????????????????????????????????????????????????????????()()k k --=υυ 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。

在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

因此满带电子不导电。

导体和非导体模型部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。

在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。

由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。

在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。

本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。

本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。

在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。

在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。

V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。

它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。

但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm ??。

是普通金属的10??。

Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。

近满带和空穴假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为()k υq - 而且 ()()[]0=-+k k I υq 或 ()()k k I υq = 表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。

存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。

在任何时刻有：()()()[]{}()[]{}B k E B k E F k k I ⨯+=⨯+-===***υυυq q mq m q m q dt d q dt d 2 大括号内恰好是一个正电荷q 在电磁场中受的力。

价带顶电子的有效质量*m 为负值，所以在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q 、具有正有效质量*m 和速度()k υ粒子的电流。

这个假想的粒子称为空穴。

空穴的概念对于处理近满带导电问题非常方便。

2 费米面构造法哈里森费米面构造法膺势法在某种程度上使近自由电子模型得到推广。

费米能级是电子占有态和未占有态的边界面。

哈里森（）提出如下自由电子模型构造费米面的方法：这个方法分成两步：第一步先画出自由电子的费米面(1) 利用()k n E 是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的广延图形。

(2) 用自由电子模型画出费米球。

(3) 落在各相同布里渊区的费米球碎片平移一倒格矢到简约布里渊区中的等价位置。

第二步由自由电子费米面过渡到近自由电子费米面必须注意下面事实：(1) 布洛赫电子与晶格周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，(2) 可以证明费米面几乎总是与布里渊区边界面垂直交截，(3) 晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化，(4) 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而不依赖晶格相互作用的细节。

(a) (b) (c) (d)图二维自由电子费米面。

(a) 在广延布里渊区中分布在四个布里渊区中。

(b)第一布里渊区的量子态全部被电子填满；(c)第二布里渊区中碎块平移到简约区中。

(d) 第三布里渊区中碎块平移到简约区中。

图第二布里渊区和第三布里渊区中的费米面。

晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化布里渊区边界处能带的斜率为零由于能带()k E 在k 空间具有反演对称性，因此：()()k k -=E E ； kk -∂∂-=∂∂k E k E又因为()k E 是k 的周期函数。

周期为K h ，所以：()()h E E K k k +=； hk E k EK k k +∂∂-=∂∂ 在布里渊区边界上2/h K k =，根据上面两组公式有：22h h k E k E K K -∂∂-=∂∂； 22hhk E k E K K -∂∂=∂∂ 两式相加可得：02=∂∂hk EK 如果能带在布里渊区边界上简并，这个论证可能失效。

电子轨道、空穴轨道和开放轨道在静磁场中，电子在垂直于磁场的平面上沿等能曲线运动。

费米面上的电子沿费米面上的一条曲线运动。

环绕被充满电子能态的轨道是电子轨道；环绕空态的轨道是空穴轨道，从一个布里渊区到另一个布里渊区运动而不封闭的轨道称为开放轨道。

处于近乎被充满的能带顶端的空轨道给出类空穴轨道，开放轨道对磁致电阻有重要影响。

图空穴轨道、电子轨道和开放轨道。

3 德· 哈斯－范· 阿尔芬效应德· 哈斯－范· 阿尔芬效应 1930年德· 哈斯（De Hass ）和范· 阿尔芬（Van Alphen ）在低温下强磁场中研究了铋单晶的磁化率，发现磁化率随强磁场变化而呈现出振荡。

后来在很多金属中都观察到了类似的振荡现象。

分析表明，磁化率随磁场的倒数呈现周期性的变化。

这种现象称为德· 哈斯－范· 阿尔芬效应。

这种现象必须在低温下才能观测到，因为不希望电子的布居振荡被相邻能态的热布居平均化。

实验用的样品必须非常纯净，否则电子轨道的量子化由于碰撞而模糊。

德· 哈斯－范· 阿尔芬效应和金属费米面附近电子在强磁场中的运动相关，因而同金属费米面结构密切相关，已经成为研究金属费米面的有效方法。

二维自由电子模型在绝对零度温度下，二维自由电子的能量为：()mk E 222η=k 的取值在k x -k y 平面内。

应用周期性边界条件可得k 的取值为：222111b b k N n N n += 波矢在k 空间的密度为S42π，S 为二维晶体的面积。

波矢0到k 范围内的粒子态总数为：22242ηπππmSE Sk =⨯ 由此可得二维自由电子气的能态密度为2ηπmS，与能量E 无关。

在垂直平面的强磁场中，能量本征值为一系列分立的的朗道能级：E n n =+⎛⎝⎫⎭⎪120ηω 二维自由电子气具有准连续的能谱，在垂直强磁场中，聚集为间隔为ηω0的分立能级，这种改变是量子态的重新组合，量子态的总数应该不变。

图磁场中二维自由电子气的准连续能级和朗道能级因此每一个朗道能级是高度简并的，包含的量子态的数目等于原来准连续能谱中能量间隔为ηω0内的量子态数，因此朗道能级的简并度D 为：D mS qS B =⨯=πωπηηη20 由此可见，每一个朗道能级的简并度D 与外磁场B 成正比。

如果在某一磁场值B 0，恰好使?朗道能级上填满电子，而?????朗道能级上没有电子，即满足：λD N = 其中N 为总电子数。

此时费米能级为：()E F001=+λωη 磁感应强度的倒数为：10B qS N =λπη 全填满能级中的二维自由电子气系统的能量为：()D n D n ηηωωλλ000212121+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=∑ 图朗道能级上电子的布居数随磁场的变化如果磁场变小到B 1，朗道能级的间隔减小，每一个朗道能级的简并度也减小，电子将填充到λ+1朗道能级上，因为每一个朗道能级能接纳的电子数就是它的简并度，λ+1朗道能级上电子的填充几率从0开始增加，二维自由电子气系统的能量不断增加，原来准连续能谱中能量小于λω++⎛⎝ ⎫⎭⎪1121η朗道能级的电子的能量被提升到朗道能级，系统的能量在λ+1能级上填充D 2个电子时达到极大值，λ+1能级上填充电子数超过D 2时，由于准连续能谱中高于朗道能级能量的电子要降低能量到朗道能级，因此系统的能量下降。

当磁场降低到恰好使λ+1能级上全部填满电子后，系统能量才停止下降。

当磁场继续减小时，电子开始填充λ+2朗道能级，系统能量开始新一个周期的增加和减小。

因此二维自由电子气系统的能量随外加强磁场周期性变化。

当B 1减小到使λ+1朗道能级完全填满时：()111B qS N=+λπη 因此从填满λ朗道能级到λ+1朗道能级磁场倒数变化为：∆111210B B B qS N q S F⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==ππηη 其中 S k N SF F ==πππ22 在绝对零度温度下，系统的磁矩为：B E M ∂∂-= 由于系统总能量随1B 周期性振荡，变化周期为2πq S F η，因此磁化率也随1B 周期性振荡，变化周期也为2πq S F η，这就是德· 哈斯－范· 阿尔芬效应的物理原因。

三维情况在三维情况下，在外加强磁场沿z 方向时，自由电子能量本征值为：E n k mn z =+⎛⎝ ⎫⎭⎪+122022ηηω 在与磁场垂直的平面内轨道是量子化的。