数学概念的划分和命题

第05讲 命题、定理、定义知识点一 命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p ，那么q ”或“若p ，则q ”的形式，其中__p __叫作命题的条件，__q __叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．知识点二 定理定义1．定理：在数学中，有些已经被证明为真 的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．考点一：命题的概念例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3 是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数． 【总结】判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．变式 下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).①这里真热闹啊！②求证2 是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x ＝2，则x 2－1＞0.考点二：判断命题的真假例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．变式下列命题是真命题的是()A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac3＞bc3，则a＞b考点三：命题的结构形式例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【总结】将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：由命题的真假求参数的范围例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．【总结】由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．变式 若A ＝{1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，则B ⊆A 成立是真命题，求实数a 的值．考点五：新定义题例4 对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同， 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16【总结】数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．变式 若X 是一个集合， 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于 ，∅属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合 ：① ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ② ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③ ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④ ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合 的所有序号是________.1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”是真命题2．下列四个命题中，其中真命题的个数为( )①与0非常接近的全体实数能构成集合； ②{－1，(－1)2}表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集； ④任何一个非空集合至少有两个子集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．命题p ：存在实数x ，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值范围是________．4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[2x ]. 则假命题是________(填上所有假命题的序号).5．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2； (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．6．下列语句为真命题的是( )A ．a >bB ．四条边都相等的四边形为矩形C ．1＋2＝3D ．今天是星期天7．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形8．下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则1a <1bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝b9．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．10．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．32．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．43．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题为真命题的是()A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形5．关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在两个数互为倒数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲B．乙C．丙D．丁6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是() A．4 B．2C．0 D．－37．(多选)(2021·山师大附中高一月考)给定下列命题，其中真命题为()A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0B．若a＞b，则a＋c＞b＋cC．矩形的对角线互相垂直D．∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).9．若x∈[2，5]和x∈{x|x＜1或x＞4}都是假命题，则x的取值范围是________．10．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．12．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，有下列四个命题：甲：x ＝1是该方程的根；乙：x ＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁13．(多选)下列四个命题中，假命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离14．能够说明“若a ，b ，c 是实数，a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．15．定义：若对非空数集P 中任意两个元素a ，b ，实施“加减乘除”运算(如a ＋b ，a －b ，a ×b ，a ÷b (b ≠0))，其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”．下列四个命题：①有理数集Q 是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域．上述命题错误的序号是________.16．A ，B ，C ，D ，E 五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A 说：“如果我得优，那么B 也得优”； B 说：“如果我得优，那么C 也得优”； C 说：“如果我得优，那么D 也得优”； D 说：“如果我得优，那么E 也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？17．判断下列各命题的真假，并简要说明理由．(1)方程ax ＋1＝x ＋2有唯一的解；(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根同号，则ca＞0；(3)如果A⊆B，那么A B或A＝B；(4)合数一定是偶数．18．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．。

高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

2、一般地，如果既有，又有，就记作。

此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( )A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

初中数学课件定义与命题1一、教学内容本课件基于初中数学教材第七章第一节“定义与命题”，详细内容包括：定义的概念及其重要性，命题的构成要素，真命题与假命题的辨识，以及通过实例来理解数学的定义和命题。

二、教学目标1. 理解定义在数学学习中的基础作用，能够正确运用定义来解释数学概念。

2. 学会分析命题的结构，区分真命题与假命题，增强逻辑思维能力。

3. 通过实例掌握如何运用定义和命题来解决问题。

三、教学难点与重点重点：定义的形成与应用，命题的判断与分析。

难点：如何让学生理解定义的抽象性，并灵活运用于具体的数学问题中。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如“一个正方形的四边相等”，引导学生理解定义的重要性。

展示实例，提问学生：“这些句子为什么能帮助我们理解和描述事物？”2. 新课讲解：a. 讲解定义的形成与作用。

b. 通过具体数学命题，讲解命题的构成要素。

c. 分析真命题与假命题，举例说明。

3. 例题讲解：展示例题，如“若一个三角形的两边相等，那么这两边所对的角也相等”。

分步骤讲解解题过程，强调定义和命题在解题中的应用。

4. 随堂练习：发放练习题，要求学生独立完成。

教师巡回指导，解答学生疑问。

强调定义与命题在数学学习中的重要性。

六、板书设计1. 定义的概念与作用。

2. 命题的构成要素。

3. 真命题与假命题的辨识。

七、作业设计1. 作业题目：a. 请列举生活中的三个定义，并说明其作用。

一个四边形有四个角。

一个四边形的四个角都相等。

2. 答案：a. 学生自行完成，教师批改时注意学生是否理解定义的作用。

b. 真命题：一个四边形有四个角。

假命题：一个四边形的四个角都相等。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对定义和命题的理解程度，以及解题过程中的困难。

2. 拓展延伸：引入更复杂的命题，如含有一个或多个条件的复合命题，提高学生的逻辑思维能力。

关于数学的知识点归纳总结一、基本概念1.数与运算：数是用来计数、度量和表达数量关系的概念，运算是对数进行加、减、乘、除等操作。

数的类型包括自然数、整数、有理数、无理数和实数，运算包括加法、减法、乘法、除法和幂等运算。

2.代数：代数是研究数字之间的关系和量的符号表示的学科，其基本概念包括变量、常数、系数、代数式、代数方程和代数不等式等。

3.几何：几何是研究空间形状、位置、大小关系的学科，其基本概念包括点、线、面、体、角、三角形、四边形、多边形、圆等。

4.解析几何：解析几何是将代数和几何相结合的学科，其基本概念包括坐标、距离、斜率、直线方程、圆的方程等。

5.概率与统计：概率与统计是研究随机试验、随机变量、概率分布、抽样调查、数据分析等的学科，涉及概率、期望、方差、频率、均值、中位数、相关系数等概念。

6.微积分：微积分是研究变化率和积分运算的学科，包括导数、微分、定积分、不定积分、微分方程等。

7.数理逻辑：数理逻辑是研究命题、推理和结论的学科，包括命题、命题符号、联结词、命题公式、命题的析取、合取、蕴含、等价、否定等。

二、基本原理1.数学归纳法：数学归纳法是一种数学证明方法，通过证明某个命题在自然数集合中成立的方法。

2.数学推理法：数学推理法包括直接证明法、间接证明法、逆反证法等，用于证明数学命题的正确性。

3.数学定理与定律：数学定理是有关数学的命题，经过证明可以被接受为真的命题；数学定律是经过实验、观察和推理证明，已被接受为真的规律。

4.数学公理与定义：数学公理是数学中的基本命题，是不能证明的，只能通过建立在公理上的推理形成的定理来推导；数学定义用来确定数学对象的概念和性质。

5.数学推导与演绎：数学推导是根据已知命题推出新的命题，演绎是根据先验条件推论出结论。

6.数学证明与论证：数学证明是通过逻辑推理来证实数学命题的正确性，论证是用来说明命题的正确性和合理性。

三、基本方法1.数学思维方法：数学思维方法包括归纳法、演绎法、递归法、构造法、反证法、假设法等，用于解决数学问题和推理论证。

初中数学命题和概念的区别
初中数学命题和概念是两个不同的概念，虽然它们都是数学中的基本元素。

命题是一个陈述，它可以被证明为真或假，而概念则是一种事物的定义或描述。

在数学中，命题通常以符号和语言表示，而概念则更多地涉及到图形和模型。

例如，一个命题可以是“一个正方形的所有边长相等”，而一个概念可以是“正方形”，它是一个四边形，其所有边长相等且所有角度均为直角。

一个命题可以是一个等式，如“2 + 2 = 4”，而一个概念可以是“平面几何图形”，它是由点、线段和角所组成的图形。

在数学教学中，理解命题和概念的区别非常重要。

命题可以帮助学生理解数学的基本原理和概念，而概念则可以帮助学生理解数学的实际应用和意义。

因此，在学习数学时，学生应该注意区分命题和概念，并尝试将它们联系起来，以更好地理解数学知识。

- 1 -。

数学中的公理、定理、定义和命题是数学领域中非常重要且基础的概念。

它们在数学推理、证明和理论构建中起着至关重要的作用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这些概念的区别和联系，并就其在数学中的重要性进行全面评估。

1. 公理公理是数学体系中最基本的、不需证明的假设或命题。

它们通常是在数学体系中的起点，其他的结论和定理都是基于这些公理推导出来的。

公理是数学体系的基石，没有公理就无法建立一个完整的数学理论体系。

公理是数学体系的基本前提，它们为数学的发展提供了必要的逻辑基础。

在几何学中，欧几里德的五个公设就是著名的公理，它们被视为几何学理论的基础。

欧几里德的第一个公设是“通过两点可以作一条直线”，这一公设被视为几何学中不需要证明的基本假设。

2. 定理定理是在给定公理或已经证明的命题的基础上，通过严密的推理和证明所得到的命题。

定理通常是数学中的重要结论，它们是基于公理和已知事实推导出来的新命题。

定理在数学推理和理论构建中扮演着重要的角色，它们扩展了数学知识的边界，推动了数学领域的进步。

费马大定理是数论领域中的一个重要定理，它是由皮耶尔·德费尔玛在17世纪提出的。

这个定理在300多年来一直是数学家们苦苦追寻的目标，直到1994年由安德鲁·怀尔斯成功证明。

费马大定理的证明不仅深刻影响了数论领域，也对整个数学领域的发展产生了重要的影响。

3. 定义定义是数学中非常重要的概念，它规定了数学对象的基本性质和特征。

定义在数学中的作用是非常突出的，它们为数学领域中的各种概念和对象确立了明确的含义和范围。

没有清晰准确的定义，就无法进行深入的数学研究和推理。

在微积分中，对于导数和积分的定义是非常重要的。

导数的定义是函数在某一点的变化率，积分的定义是曲线下方的面积，这些清晰的定义为微积分的理论和应用提供了坚实的基础。

4. 命题命题是陈述形式的有关某种性质的说法，它可以是真的，也可以是假的。

命题通常是对某个问题的断言或主张，它们可以通过推理和证明来确定其真假。

命题逻辑数学
命题逻辑是数学中的一种逻辑体系，它研究的对象是命题和逻辑推理。

命题是一个陈述句，它要么是真（True），要么是假（False），而不可能既真又假。

命题逻辑可以用逻辑符号来
表示命题之间的关系和逻辑推理。

命题逻辑使用逻辑符号来表示命题之间的关系，常见的逻辑符号有：
- 逻辑与（∧）：表示“且”的关系，只有当两个命题都为真时，逻辑与才为真。

- 逻辑或（∨）：表示“或”的关系，只要两个命题中有一个为真，逻辑或就为真。

- 非（¬）：表示取反的意思，对于一个命题，非真即假，非
假即真。

- 蕴含（→）：表示“如果...那么...”的关系，如果一个命题为真，那么另一个命题也为真。

- 等价（↔）：表示“当且仅当”的关系，当两个命题都为真或
都为假时，等价为真。

命题逻辑在数学中有广泛的应用，它可以用来描述和分析数学中的命题和逻辑推理的过程。

通过使用逻辑符号和逻辑规则，可以进行逻辑推理和证明。

命题逻辑为数学提供了一个严谨的逻辑基础，使得数学推理能够更加清晰和准确。

数学命题的定义
数学命题是数学研究中必不可少的一部分，是一种理论性质的抽象说明，概括性地提出了某一特定的定理，其可在抽象数学研究概念、性质及定理方面有着重要的作用。

首先，什么是数学命题？简单的说就是一个具体的问题，它描述了一类数学关系，可以用数学语言描述出来。

这些问题往往涉及到一些数学定理，比如数学分析的积分公式，几何的直角三角形定理，代数的贝尔定理等等。

数学命题也是一个有待证明的问题，不只是一个问题，而是要证明它所涉及的数学定理是对的，或者说证明问题的结论是对的。

其次，数学命题的定义和结构有着很大的关系，大部分数学命题都按一定结构定义，即：定义一个术语，陈述一个数学定理，然后提出一个问题，最后得出一个结论。

有了结构后，证明数学命题的路径也就定下来了，也就是证明问题的本质，从而得出结论。

最后，数学命题也有一定的证明方式。

最基本的数学命题的证明，就是通过充分利用数学知识，结合定义的结构，以及逻辑、归纳、引理等方法来证明数学命题的正确性。

另外，还可以利用数学算法证明数学命题，比如枚举法、猜想证明法、反证法等。

总之，只要能正确地证明数学命题，就可以得出正确的结论，从而解决问题。

综上所述，数学命题是数学研究中的第一步，即证明某一定理的正确性，是一个有待证明的问题。

只有掌握了数学命题的定义和结构以及证明方法，才能正确地解决问题，从而实现数学研究的目标。

数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。

命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。

首先，让我们来了解一下命题逻辑。

命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。

命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。

命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。

在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。

例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。

同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。

此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。

这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。

接下来，我们来了解一下谓词逻辑。

谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。

谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。

谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。

在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。

例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。

“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。

与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。

这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。

同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。

它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。

在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。

利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。

总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。

命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。

这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。

11．常用逻辑用语（1）命题及其关系①理解命题的概念。

命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。

判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题。

②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

原命题：qp则若,逆命题：p若,q则否命题：q若,⌝则p⌝逆否命题：p若,⌝则q⌝（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

pqqqp⇒pq，并且说的必要条件。

“若p是的充分条件，，则”为真命题，则是qqp,⇒p⇒,⇔,p与互为充要条件。

p就记作又有q既有q（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

且：用连接词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作q p ∧是假命题。

中有一个是假命题，和当是真命题；都是真命题时，和当q p q p q p q p ∧∧或：用连接词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作q p ∨是假命题。

都是假命题时，和当是真命题；中有一个是真命题时，和当q p q p q p q p ∨∨非：对一个命题p 全盘否定，就得一个新命题，记作p ⌝必是真命题。

是假命题，则必是假命题；若是真命题，则若p p p p ⌝⌝（3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义。

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用∀表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用∃表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

)(,:)(,:00x p M x p x p M x p ⌝∈∃⌝∈∀它的否定全称命题 全称命题的否定是特称命题。

)(,:)(,:00x p M x p x p M x p ⌝∈∀⌝∈∃它的否定特称命题 特称命题的否定是全称命题。

离散数学命题的定义离散数学是一门研究离散结构的数学学科，它涉及离散对象、逻辑推理、集合论、图论等内容。

在离散数学中，命题是一个重要的概念，它是可以判断为真或者为假的陈述句。

本篇文章将详细介绍离散数学中命题的定义及其相关概念。

一、命题的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，它要么是真（True），要么是假（False），而不能既真又假。

命题可以用文字、符号或语言描述，并且必须具有确定的意义。

例如，以下是一些例子：1."2+2=4"是一个命题，它是真命题。

2."今天下雨"是一个命题，具体取决于当天的天气情况。

3."x>5"是一个命题，但需要给出变量x的具体值才能确定它是真还是假。

二、命题的特点在离散数学中，命题具有以下特点：1.确定性：命题必须具有确定的意义，不会有歧义或模棱两可的解释。

2.真值性：命题要么为真，要么为假，不存在其他情况。

在逻辑符号中，通常用T表示真命题，用F表示假命题。

3.可否定性：每个命题都可以被否定。

如果一个命题是真的，它的否定是假的；反之亦然。

命题的否定通常用逻辑符号"¬"表示。

4.可联结性：多个命题可以通过逻辑运算符（如与、或、非等）进行联结，构成复合命题。

三、命题的表示和符号为了方便研究和表达，离散数学中使用一些特定的符号来表示命题及其关系。

以下是一些常见的符号：1.命题变量：用字母P、Q、R等表示命题变量。

这些变量代表一个命题，可以根据需要替换为具体的陈述句。

2.逻辑运算符：-否定（Negation）：用¬P表示P的否定。

-合取（Conjunction）：用P∧Q表示P和Q的合取（与运算）。

-析取（Disjunction）：用P∨Q表示P和Q的析取（或运算）。

-条件（Implication）：用P→Q表示若P则Q（蕴含关系）。

-双条件（Biconditional）：用P↔Q表示P当且仅当Q（等价关系）。

数学逻辑是数学的基础和重要工具之一。

在数学逻辑的研究中，谓词逻辑和命题逻辑是两个重要的分支。

它们分别从不同的角度研究和描述数学上的逻辑关系，为数学推理提供了强大的工具。

本文将从谓词逻辑和命题逻辑的角度，探讨它们在数学推理中的应用。

首先，命题逻辑是研究命题之间的关系的逻辑体系。

命题是一个可以判断为真或假的陈述句。

在数学中，命题逻辑被广泛应用于证明命题的真假和推理推导。

例如，在代数领域，我们常常使用命题逻辑来证明一些等式与不等式的成立性。

利用命题逻辑可以对等式进行推理，从而得到结论的正确性。

命题逻辑的研究还引申出了一些重要的定理，如蕴含关系、等价关系等，这些定理在代数学、数论等领域有着广泛的应用。

与命题逻辑不同，谓词逻辑是研究谓词的逻辑体系。

谓词是对一个或多个变量的函数，它可以判断一个论域中的元素是否满足某个条件。

在数学中，谓词逻辑被广泛应用于数学公理的建立和谓词的定义。

例如，在集合论中，我们使用谓词逻辑来定义集合的概念和运算，从而确定集合论的公理体系。

谓词逻辑的研究还引入了一些重要的概念和原理，如全称量化、存在量化等，这些概念在数学中用于表示集合的性质和关系。

谓词逻辑和命题逻辑的应用不仅局限于数学领域，还广泛应用于计算机科学、人工智能等领域。

在计算机科学中，谓词逻辑和命题逻辑被用于描述和验证计算机系统的正确性。

例如，在软件工程中，我们使用谓词逻辑来描述程序的前置条件和后置条件，通过形式化推理来验证程序的正确性。

在人工智能领域，谓词逻辑和命题逻辑被用于表示和推理知识，从而实现智能系统的推理和决策能力。

总之，谓词逻辑和命题逻辑是数学逻辑的重要分支，它们在数学推理和证明中起到了重要的作用。

命题逻辑用于推理命题的真假和推导结论，而谓词逻辑用于描述谓词的逻辑关系和性质。

它们不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学和人工智能等领域发挥着重要的作用。

对于学习和研究数学逻辑的同学来说，深入理解和掌握谓词逻辑和命题逻辑的应用是非常重要的，它们将为你的数学推理和证明能力提供强大的支持。