黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三第三次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为（ ）A ．()M P SB ．()()U M PC S C ．()MP SD ．()()U MP C S2．已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤3．学校为了解900名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，3，…，900，从这些新生中用系统抽样方法抽取100名学生进行体质测验.若26号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 （ ） A ．18学生B ．269号学生C ．616号学生D ．815号学生4．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A ．35B ．916C ．716D ．255．若,a b ∈R ，直线l ：y ax b =+，圆C ：224x y +=.命题p ：直线l 与圆C 相交；命题q ：2a >，则命题p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数2ln x x y x=的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．已知m 为实数，i 为虚数单位，若2(1)0m m i +->，则1m ii+=- A ．-1B ．1C ．-iD ．i8．设ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c =++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =A ．()1234R S S S S +++B ．()123412R S S S S +++ C ．()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 9．从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．1B ．3 C．1+D11．设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，当0x >时，()()1ln x f x f x x'⋅<-，且(1)0f <，则使得()()290x f x -<成立的x 的取值范围 （ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()(),33,-∞-+∞C ．()()3,00,3-D ．()(),30,3-∞-12．若3AB =，2AC CB =，平面内一点P 满足PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，则sin PAB ∠的最大值是 （） A B ．12C．13D ．3二、填空题 13．cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为__________． 14．椭圆22169x y +=内，过点()12,M 且被该点平分的弦所在的直线方程为__________． 15．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩__________．16．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >， 22n n n S a a =+，n N +∈，11231(3)(3)n n n n n n b a a ++⨯+=++，则n T 的取值范围是__________．三、解答题17．已知ABC 的内角，,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，sin cos 2B b A b +=. （1）求角A 的大小；（2）若6b c +=，且ABC 的面积S =a .18．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥； （2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值. 19．已知抛物线E ：22x py =（0p >）的焦点为F ，点P 在抛物线E 上，点P 的横坐标为2，且2PF =，A ，B 是抛物线E 上异于O 的两点． （1）求抛物线E 的标准方程； （2）若直线OA ，OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 恒过定点． 20．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2020年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称使用时间)进行了统计，得到频率分布直方图如图①(0~4表示0<使用时间≤4年，下同)．（1）记“在2020年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]内”为事件A ，试估计事件A 发生的概率；（2）根据该汽车交易市场2020年的资料，得到的散点图如图②所示，其中x 表示二手车的使用时间(单位：年)，y 表示相应的二手车的平均交易价格单位：万元/辆)．由散点图看出，可采用a bxy e +=作为二手车平均交易价格y 关于其使用时间x 的回归方程，相关数据如下表(表中ln i i Y y =)．①据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以下(含8年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的10%的佣金．在图①对使用时间的分组中，以各组的区间的中点值代表该组的值，若以2020年的数据为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆二手车收取的平均佣金．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归方程v a u β=+中斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i ni i u v nuvunuβ==-=-∑∑，a v u β=-参数数据： 2.9519.1e ≈， 1.75 5.75e ≈，0.551.73e ≈，0.650.52e -≈，-1.850.16e ≈ 21．已知函数()3s n 1i 3f x x x =-. （1）证明：函数()f x 有三个零点；（2）若对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2cos x e a x ax +≥恒成立，求实数a 的取值. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()()sin sin ραθαπ-=-（02πα<<）（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）()1,0P -，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2BPO APO S S =△△，求cos α. 23．已知函数()12f x x x =-+． （1）解不等式()2f x ≥；（2）若()f x 的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m n A +=，求11m n m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．参考答案1．B 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合的元素一定不在集合S 中，因此在U C S ，且在集合M 与集合P 的交集中． 【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x ∉S ，∴x ∈U C S ，且x ∈M ∩P ，因此x ∈（U C S ）∩（M ∩P ）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合与韦恩图的对应关系，分析元素的特点是关键，属于基础题． 2．B 【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即00x ∃>，使得()001e 1xx +≤，故选：B 3．B 【分析】根据抽样间隔可知若26号学生被抽到，则269k +()k ∈Z 被抽到，对四个选项逐个判断可得答案. 【详解】依题意抽样间隔为9，若26号学生被抽到，则269k +()k ∈Z 被抽到， 由269k +18=可知k 不是整数，故A 不正确； 由269k +269=得27k =符合题意，故B 正确； 由269k +616=可知k 不是整数，故C 不正确； 由269k +815=可知k 不是整数，故D 不正确； 故选：B4．B 【分析】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果. 【详解】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为3193444161-⨯⨯= 所以落在黑色区域的概率为916. 故选：B 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．B 【分析】将命题p 化为2244a b >-，再根据必要不充分条件的定义可得结果. 【详解】命题p ：由直线l 与圆C2<，即2244a b >-，因为2a >可以推出2244a b >-，所以命题p 是q 的必要条件；当240b -<或20a <时，2244a b >-推不出2a >，所以命题p 不是q 的充分条件，综上所述：命题p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 6．D 【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题. 7．D 【详解】由题设复数()21m m i +-是实数，即210m -=且0m >时，所以1m =，则21(1)112m i i i i i i +++===--，应选答案D ． 8．C 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：1234123411111()33333A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++故选：C.【点睛】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）． 9．B 【分析】先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，是组合问题,可得其排法数，进而分折可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，由分步计数原理，计算可得结果. 【详解】解：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球， 即从9个球中取出3个，有39C 种，而这3个球的排法有2×1×1=2种， 则共有392168C =种， 故选:B. 【点睛】 方法点睛:有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 10．D【分析】将对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，可确定当1,,A P D 三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值. 【详解】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ，又1AA AB ⊥，11AA =，AB =13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=， 在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=，1A D ∴=1AP D P +.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的距离之和的最值的求解，解题关键是能够通过翻转平面，将问题转化为平面中的两点间的最短距离的求解问题. 11．A 【分析】构造函数()()ln g x f x x =⋅，求导并结合已知得到()g x 在(0,)+∞上为递减函数，进一步推出0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x >，据此可求出使得()()290x f x -<成立的x的取值范围. 【详解】令()()ln g x f x x =⋅，则1()()ln ()g x f x x f x x''=⋅+0<， 所以()g x 在(0,)+∞上为递减函数，所以当01x <<时，()(1)(1)ln10g x g f >=⋅=，又ln 0x <，所以()0f x <， 当1x >时，()(1)(1)ln10g x g f <=⋅=，又ln 0x >，所以()0f x <， 所以当(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0f x <，又(1)0f <所以0x >时，()0f x >，因为()f x 为奇函数，所以0x <时，()0f x >，所以()()290x f x -<290()0x f x ⎧->⇔⎨<⎩或290()0x f x ⎧-<⎨>⎩，330x x x ⎧-⇔⎨>⎩或或330x x -<<⎧⎨<⎩，3x ⇔>或30x -<<.故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数()()ln g x f x x =⋅，利用导数判断其单调性，根据单调性推出当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x >是解题关键. 12．B 【分析】由2AC CB =知C 为线段AB 的靠近B 的一个三等分点，且||2||AC CB =，由PA PC PB PC PAPB⋅⋅=推出PC 为APB ∠的平分线，根据角平分线定理得到||2||1PA PB =，设||PB m =，则||2PA m =，根据余弦定理以及基本不等式求出cos PAB ∠的最小值，从而可得sin PAB ∠的最大值. 【详解】由2AC CB =知C 为线段AB 的靠近B 的一个三等分点，且||2||AC CB =， 因为PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，所以|||cos ||||cos ||||PA PC APC PB PC BPCPA PB ∠∠=，所以cos cos APC BPC ∠=∠，所以APC BPC ∠=∠，所以PC 为APB ∠的平分线， 根据角平分线定理可得||||2||||1PA AC PB CB ==，设||PB m =，则||2PA m =， 所以222||||||cos 2||||PA AB PB PAB PA AB +-∠=224912m m m +-=344m m =+≥=当且仅当m =时，等号成立，所以1sin 2PAB ∠=≤=， 即sin PAB ∠的最大值是12. 故选：B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13．34-【分析】根据二倍角的余弦公式求出3cos(2)24πα-=-，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】因为cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22cos 22cos 121444ππαα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭34=-，即3cos(2)24πα-=-，所以3cos(2)24πα-=-，所以3sin 24α=-.故答案为：34-14．370x y +-= 【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率，再根据点斜式可求出结果. 【详解】设弦的两个端点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则22112222169169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2222121269x x y y --=-， 所以1212121232y y x xx x y y -+=-⋅-+，所以34322AB k =-⨯=-，由点斜式可得直线AB 的方程为13(2)y x -=--，即370x y +-=. 故答案为：370x y +-= 15【分析】. 【详解】作出不等式组220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)P ，表示原点与可行域中点(,)x y 之间的距离，由图可知该距离的最大值为||OP =.16．71[,)444中*,n T n N ∈对应的那些值 【分析】根据递推关系式求出n a ，代入得n b ，再根据裂项求和法求出n T ，再根据数列{}n T 的单调性可求出结果. 【详解】当1n =时，21112a a a =+得211a a =，因为0n a >，所以11a =，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，所以111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=，所以1231(3)(31)n n n n b n n +⨯+=+++111331n n n n +=-+++，所以121223111111131323233331n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++++++ 111431n n +=-++， 因为数列{}n T 为递增数列，所以111749244n T T ≥=-=+，又14n T <， 所以n T 的取值范围是71[,)444. 故答案为：71[,)444中 *,n T n N ∈对应的那些值. 【点睛】关键点点睛：利用裂项求和法求出n T 是解题关键.17．（1）3π；（2）【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A 的大小； （2）利用面积公式以及余弦定理，解出a 的值． 【详解】（1sin cos 2B b A b +=，由正弦定理得；sin sin cos 2sin sin 0A B B A B B +=>（）cos 2A A += 得sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因0A π<< 故3A π=（2）1si n 2S bc A ===得8bc =2222cos a b c bc A =+-2()3b c bc =+-362412=-=所以a =18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，证明BD ⊥平面AOC 即可；（2）首先证明AO ⊥平面BDC ，然后以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，然后算出BP 和平面ACD 的法向量即可得到答案. 【详解】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，因为AB AD =，BC DC =， 所以BD AO ⊥，BD OC ⊥，又因为AO OC O =，所以BD ⊥平面AOC ，即BD AC ⊥.（2）由（1）得，BD ⊥平面AOC ，又因为BD ⊂平面BCD ， 所以平面AOC ⊥平面BDC ，易得AO =1OC =，所以222AO OC AC +=，即AO OC ⊥， 又因为平面AOC平面BDC OC =，所以AO ⊥平面BDC ，如图所示，以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，(A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1,0,0D -，30,4P ⎛ ⎝⎭，31,,44BP ⎛=- ⎝⎭，DA =，(1,1,0)DC =， 设(,,)n x y z =为平面ADC一个法向量，则有0000n DA x n DC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取(3,3,n =-，设θ为直线BP 与平面ACD所成角，则933sin 721n BP n BPθ++⋅===⋅. 即直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值为7. 19．（1）24x y =；（2）证明见解析．【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线E 的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可． 【详解】（1）由题意得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()02,P y ，022py =- 由点P 是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p = 所以抛物线E 的标准方程为24x y =（2）设2111,4A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题可知12121..44162OA OB x x x x k k ===- 得128x x =-可知直线AB 斜率存在 设直线AB 的方程为y kx m =+24y kx mx y=+⎧⎨=⎩2440x k m ⇒--= 可得1248x x m =-=-，∴2m = 所以直线AB 过定点()0,2. 【点睛】关键点点睛：设直线AB 的方程为y kx m =+，设2111,4A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线与抛物线联立，利用根与系数的关系求出m 是解题的关键. 20．（1）0.4；（2）① 3.550.3x y e -=；②0.29（万元）． 【分析】（1）根据频率分布直方图算出使用时间在(8，12]、(]12, 16内的频率即可；（2）①由a bx y e +=得ln y a bx =+，即Y 关于x 的线性回归方程为Y a bx =+，然后根据所给数据和公式求出b 、a 即可；②根据①中的回归方程 3.550.3x y e -=和频率分布直方图中的数据算出答案即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2019年成交的二手车的使用时间在(8，12]年内的频率为0.0740.28⨯=，使用时间在(]12, 16年内的频率为0.0340.12⨯=， 所以)0.280.20.4(1A P =+=．（2）①由a bxy e +=得ln y a bx =+，即Y 关于x 的线性回归方程为Y a bx =+因为1221279.75010 5.51.910 5..33855ni i i ni i x Y nx yb x nx==--===---⨯⨯⨯∑∑，()1.90.3 5.5 3.55a Y bx --⨯==-=，Y 关于x 的线性回归方程为 3.550.3Y x =-，即y 关于x 的线性回归方程为 3.550.3x y e -=②根据①中的回归方程 3.550.3x y e -=和频率分布直方图，对成交的二手车可进行如下预测． 使用时间在(0,4]年内的平均成交价格为 3.550.32 2.9519.1e e -⨯=≈，对应的频率为0.2； 使用时间在(4,8]年内的平均成交价格为 3.550.36 1.75 5.75e e -⨯=≈，对应的频率为0.36； 使用时间在(8,12]年内的平均成交价格为 3.550.3100.551.73e e -⨯=≈，对应的频率为0.28； 使用时间在(12,16]年内的平均成交价格为 3.550.3140.650.52e e -⨯-=≈，对应的频率为0.12； 使用时间在(16,20]年内的平均成交价格为 3.550.318 1.890.16e e -⨯-=≈，对应的频率为0.04． 所以该汽车交易市场对成交的每辆车可获得的平均佣金为()()0.219.10. 36 5.754%0.28 1.730.120. 520.040.1610%⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.29≈（万元）． 21．（1）证明见解析；（2）2241,e a ππ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎦∈⎥⎣. 【分析】（1）由()f x 为奇函数，得0是一个零点，转化为证明()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点，求出()f x '，再对()f x '两次求导，确定()f x '的单调区间，再结合零点存在性定理，即可证明结论；（2）不等式2cos x e a x ax +≥化为2(cos )x e a x x ≥-，再由（1）中的结论讨论2cos x x -零、正、负，分离参数a ，构造新函数，转化为a 与新函数的最值关系，通过求导求出新函数的最值，即可求出结论. 【详解】 解：（1）证明：因为()f x 为奇函数，且()00f =，只需证()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点即可.当[)0,x ∈+∞，记()()2cos g x f x x x '==-，记1()g x =()2sin g x x x '=+，()12cos 0g x x '=+>，()g x '∴在()0,∞+上递增，又()()00g x g ''>=，()g x ∴在()0,∞+上递增，又()010g =-<，2024g ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =， 当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0>g x ，所以函数()f x 在()0,o x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()00f =，()00f x ∴<，又()0f π>，所以函数()f x 在()0,x π上有且只有一个零点，所以函数()f x 有三个零点.（2）由2cos x e a x ax +≥，可得2(cos )x e a x x ≥-，由（1）知：①当0x x =时，00x e >，()2000cos 0g x x x =-=，此时，对于任意a R ∈，()2cos x e a x x ≥-恒成立.②当0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0>g x ， 由()2cos x e a x x ≥-，得2cos xe a x x ≤-， 令()2cos xe h x x x=-，下面研究()h x 的最小值， ()()()222cos 2sin cos x e x x x x h x xx ---'=-， 令()2cos 2sin t x x x x x =---，()2sin 2cos t x x x x '=+--，令1()()t x t x ='，12cos sin 0()t x x x =+'+>对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立， ∴函数()t x '在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数， 而()00002sin 2cos t x x x x '=+--()2000002sin 21sin 001x x x x x =-++-<-+<<<， 又102t ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， ∴存在唯一实数0,2m x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0t m '=， 当()0,x x m ∈时，()0t m '<；当,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t m '>. ∴函数()t x 在()0,x m 上递减，在,2m π⎛⎤ ⎥⎝⎦递增， ()20000000cos 2sin 2sin 0t x x x x x x x ∴=---=--<，21024t πππ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，∴函数()h x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减， ()22min 42e h x h πππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，224e a ππ∴≤. ③当[)00,x x ∈时，()2cos 0g x x x =-<， 由()2cos x e a x x ≥-，得2cos xe a x x ≥-， 由②可知()()()222cos 2sin 0cos x e x x x x h x x x ---'=<-，所以函数()2cos xe h x x x=-在[)0,o x 上为减函数， 当[)0 0,x x ∈时，()()max 01h x h ==-，1a ∴≥-，综上，2241,e a ππ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎦∈⎥⎣. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及不等式恒成立问题，分离参数是解题的关键，构造函数多次求导是解这种类型题的重要手段，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．（1）224x y +=，()tan 1y x α=⋅+，02πα<<；（2）cos α=. 【分析】（1）消去参数可得曲线C 的普通方程为224x y +=；利用两角差的正弦公式化简，再根据直角坐标与极坐标的互化公式可得线l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数）代入224x y +=，利用参数的几何意义可求出结果.【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去参数得曲线C 的普通方程为224x y += 由直线l 的极坐标方程为：()()sin sin ραθαπ-=-，得()sin cos cos sin sin ραθαθα-=-，整理得sin cos cos sin sin 0ραθραθα-+=，所以sin cos sin 0x y ααα⋅-⋅+=，所以直线l 的直角坐标方程为()tan 1y x α=⋅+，02πα<<, （2）由（1）得，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数）代入224x y +=， 整理得22cos 30t t α--=，24cos 120α∆=+>，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则122cos t t α+=，① 123t t =-，②因为2BPO APO S S =△△，则2BP AP =，且10t <，20t >，即212t t =-，③① ③联立，得12cos t α=-，24cos t α=.代入②式整理得23cos 8α=，所以cos α=. 【点睛】 关键点点睛：掌握参数方程化普通方程、直角坐标与极坐标的互化公式以及直线参数方程中参数的几何意义是解题关键.23．（1）[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）254【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）求出1A =，即1m n +=，再将式子展开可得22mn mn +-，再利用基本不等式可得10,4mn ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，代入式子即可求解. 【详解】解：（1）由()13,01,0131,1x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，当0x ≤，由()121323f x x x ≥⇒-≥⇒≤- 当01x <<，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥（舍）当1≥x ，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥ 综上：13x ≤-或1≥x ，即不等式的解集为[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦（2）由（1）当0x ≤时，()131f x x =-≥， 当01x <<时，()()11,2f x x =+∈，当1≥x 时，()312f x x =-≥，所以()1f x ≥， 即1A =，则1m n +=， 由()()()2222212111mn m n mn m n mn m n m n mn mn +++++-+⎛⎫⎛⎫++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22222mn mn mn mn mn-+==+-由110,44m n mn mn ⎛⎤+≥⇒≤⇒∈ ⎥⎝⎦, 当且仅当12m n ==时取等号， 当14mn =时，原式取最小值为254.。

哈尔滨市第九中学2021届高三上学期第一次月考（数学理科）答案1-6AABBCA7-12CABCCA 13.214.1-<a 或2332<<a 15.2116.①③④17.(1)（5分）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x.又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)（5分）要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．18．(1)（6分）由已知得f (x )＝3cos2x －sin2x ＝－x 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π。

令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得512π＋k π≤x ≤1112π＋k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为512π＋k π，1112π＋k π(k ∈Z )。

(2)（6分）当x ∈0，π2时，2x －π3∈－π3，23π，所以x －32，1。

故函数f (x )在0，π2上的最大值为3。

由2x －π3＝－π3，得x ＝0，故函数f (x )取最大值时对应的x ＝0。

19．(1)（5分）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞-,324,(2)（7分）因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x -3|≥|(2x －a )－(2x -3)|＝|a -3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a -3|≥2，解得a ≥5或a ≤1，所以实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[5，＋∞)。

20.(1)（3分）0≤a 时单调递增区间为()+∞-,1，0>a 时单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-11,0a ，单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,11a ；(2)（4分）10<<a ；(3)（5分）2ln 12-+=x y 21.(1)（5分）在椭圆x 23＋y 2＝1中，F 1(－2，0)，故x 0＝－2，在直线l 的参数方程中，令x ＝0，解得t C ＝2cos θ。

2021年黑龙江省哈尔滨市第九中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，则满足f（a）≥2的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据不等式的解法，利用分类讨论即可得到结论．解答：解：函数f（x）=则满足f（a）≥2，若a≤﹣1，则由f（a）≥2，得f（a）=2﹣2a≥2，解得a≤，可得a≤﹣1．若a＞1，则由f（a）≥2，得f（a）=2a+2≥2，解得a≥0，综上a∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），故选：D．点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，利用分类讨论是解决本题的关键，比较基础．2. 若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可判断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查学生掌握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于容易题．3. 设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（）A．m?P B．m?P C．m∈P D．m?P参考答案：B【考点】1C：集合关系中的参数取值问题；12：元素与集合关系的判断．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m?P，故选B．4. 哥德巴赫在1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1” ．1966年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，获得了该研究的世界最优成果．若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】大于10且不超过30的所有质数有：，共6个，从中任取2个，所有可能情况为，，，，共种.其中两数之和超过30的有：，，共11种.所以所求的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.5. 设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题6. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是A．(1,+∞) B．(1,2) C．D．(2,+∞)参考答案：D如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.7. 已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A． B． C. D．参考答案：B8. ，，则=（）A．（0，2] B．（1，2] C．? D．（﹣4，0）参考答案：B9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是( ).A． B．C． D．参考答案：D10. 如图所示的程序框图的算法思路是一种古老而有效的算法——辗转相除法，执行该程序框图，若输入的的值分别为42,30，则输出的A．0 B．2 C．3 D．6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱锥A-BCD中，,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是__________．参考答案：由已知可得所以平面设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为，则，连接O，OC，在直角梯形中，有，，OC=OB=R，可得：，故所求球的表面积为.故答案为：点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 已知在正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值是▲.参考答案：13. 数列的前项和为，，则数列前50项和为______________ 参考答案：49 14. 设随机变量，且，则实数的值为______.参考答案：9.815. 若α是锐角，且的值是 .参考答案：∵是锐角，,,所以，.16. 在二项式（ax2+）5的展开式中，若常数项为﹣10，则a=．参考答案：﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（ax2+）5的展开式中，通项公式T r+1==a5﹣r，令10﹣=0，解得r=4．∴常数项=a=﹣10，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. 已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。

高三上学期期末考试数学（理）试题全解全析本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），共22题，满分150分，考试时间 120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

Ⅰ卷（选择题，本卷共12小题，共60分）一、选择题：（每小题仅有一个选项符合题意，共5×12=60分） 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5M =，{}1,3,6N =，则集合{}2,7等于（ ） A ．MNB ．()()U UC M C NC ．()()U U C M C ND ．MN【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合的运算规律进行，2,7即不在结合M 中，也不在集合N 中，所以2,7在集合U C M 且在U C N 中，根据并集的意义即可。

【解析】根据分析，{}2,7()()U U C M C N =。

【考点】集合【点评】本题也可以直接进行检验，但在【分析】中说明的方法是最根本的，是从元素与集合的关系以及交集和交集的含义上进行的解答。

2．奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x 的函数解析式是 （ ） A ．()(1)f x x x =-- B ．()(1)f x x x =+ C ．()(1)f x x x =-+ D ．()(1)f x x x =- 【答案】B【分析】把(,0)x ∈-∞的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化到使用函数()f x 在(0,)+∞上的解析式。

【解析】当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，由于函数()f x 是奇函数，故()()(1)f x f x x x =--=+。

【考点】基本初等函数Ⅰ。

【点评】已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。

哈九中2021届上学期高三数学理科期末考试卷试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷 选择题一. 选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1. 将函数y x =+323sin()π的图象按向量a =--()π61，平移后，所得的函数解析式为 〔 〕A. y x =+-32231sin()π B. y x =++32231sin()π C. y x =+321sinD. y x =+-32121sin()π2. 假设O 〔0，0〕，A 〔4，－1〕两点到直线ax a y ++=260的间隔 相等，那么实数a 可能取值的个数一共有〔 〕个 A. 无数B. 2C. 3D. 43. ()3323+⋅=-i z i ，那么复数z 对应的点位于复平面内的第〔 〕象限A. 一B. 二C. 三D. 四4. 下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是〔 〕A. sin cos A A +=15B. AB BC →⋅→<0C. b c B ===33330，，D. tan tan tan A B C ++>05. 定义域为{|}x x ≠0的函数f x ()为偶函数，且f x ()在区间()-∞，0上是增函数，假设f ()-=30，那么f x x()<0的解集为〔 〕 A. ()()-⋃3003，，B. ()()-∞-⋃，，303C. ()()-∞-⋃+∞，，33D. ()()-⋃+∞303，，6. 方程||x y -=-112表示的曲线是〔 〕 A. 一个圆B. 两个半圆C. 一条直线D. 两条射线7. 设A 〔－2，3〕，B 〔3，2〕，假设直线y ax =-2与线段AB 有交点，那么a 的取值范围是〔 〕A. (][)-∞-⋃+∞，，5243B. []-4352， C. []-5243，D. (][)-∞-⋃+∞，，43528. 假设曲线x y ==+⎧⎨⎩cos sin θθ1在平面区域{(,)|}x y x y a +-≥0内，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. [)12-+∞，B. (]-∞-，12C. (]-∞+，12D. [)12++∞，9. 能成为a>1的必要非充分条件的是〔 〕 〔1〕函数f x x a ()log ()=-1在()-∞，0上是减函数〔2〕()()a a -->2102〔3〕a a ()-≥10 〔4〕a a -+<111 A. 〔1〕〔2〕 B. 〔3〕〔4〕 C. 〔2〕〔3〕D. 〔2〕〔4〕10. 直线y kx =+1与圆x y kx my 2240+++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x y +=0对称，那么不等式组kx y kx my y -+≥-≤≥⎧⎨⎪⎩⎪1000所表示的平面区域的面积是〔 〕A.14B.12C. 1D. 211. 一束光线从A 〔－1，0〕出发，射到直线l y x ：=-+2上的B 点，经此直线反射后到x 轴上一点C ，假设B 〔x 1，y 1〕，C 〔x 2，0〕，且-<<112x ，那么y 1的变化范围是〔 〕 A. ()1254，B. ()231，C. ()3432，D. 以上都不对12. 抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，假设S a a a n N n n =+++∈12 ()*那么事件“S 82=〞的概率，事件“S S 2802≠=，〞的概率分别是〔 〕A.125613128，B.73213128，C. 7321256，D. 12561256，第II 卷 非选择题二. 填空题：此题一共4小题，每一小题4分，一共16分。

黑龙江省2021版高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁UN）为（）A . {x|﹣1≤x＜1}B . {x|﹣1≤x≤1}C . {x|1≤x≤3}D . {x|1＜x≤3}2. （2分）已知=1，=,,点在内，且，，则等于（）A .B . 3C .D .3. （2分）已知函数，则“ ”是“函数有零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 下列说法中正确的个数是（）①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）已知函数．的最大值为（）A . 1+B . 2C . 1D .6. （2分）(2017·渝中模拟) 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应输入x=（）A . 1B . 2C . 3D . 67. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 设函数，则满足的x的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·揭阳模拟) 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则（）A .B .C .D .9. （2分）已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·安徽期中) 设四边形ABCD为平行四边形，， .若点M，N满足，则（）A . 20B . 15C . 9D . 611. （2分） (2017高二上·四川期中) 设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·武汉期末) 方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·石家庄期中) 曲线y= 与直线y=x，x=2所围成图形面积为________．14. （1分） (2016高一下·衡阳期中) 关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+ ）在闭区间[﹣， ]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：________．15. （1分） (2019高二上·北京期中) 函数的最小值是________.16. （1分）(2020·苏州模拟) 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则________.三、解答题 (共8题；共60分)17. （10分）(2019·安徽模拟) 在数列中，，，设 .（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和 .18. （10分） (2020高三上·宁城月考) 某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 .参考数据：（1）假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为 .若采用方案一.需检验的总次数为 ,若采用方案二.需检验的总次数为 .(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式 ;(ii)若 ,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.19. （10分）(2019·江苏) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E ．20. （5分）已知直线y=kx+2和椭圆+=1，当k取何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？21. （5分） (2018高二下·陆川月考) 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？22. （5分）如图在△ABC中，∠C=90°，BE是∠CBD的平分线，DE⊥BE交AB于点D，圆O是△BDE外接圆．（Ⅰ）求证：AC是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=6，AE=6，求BC的长．23. （10分） (2017高三下·赣州期中) 已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=18，曲线C2的极坐标方程为θ= ，曲线C1 ， C2相交于A，B两点．（1）求A，B两点的极坐标；（2）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．24. （5分） (2017高三上·西安开学考) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

黑龙江省2021年高三上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2017高二下·姚安期中) 设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁UB）=（）A . （0，2]B . （﹣1，2]C . [﹣1，2]D . [2，+∞）2. （2分）已知点P在抛物线上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·集宁期中) “ ”是“A=30°”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也必要条件4. （2分）(2020·长春模拟) 已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A，，则抛物线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则k=（）A . 3或6B . 3 或9C . 3D . 66. （2分） (2018高一上·沈阳月考) 若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（）A .B .C .D .7. （2分）把函数y= cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m 的最小值是（）A . ﹣B .C .D .8. （2分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·长春期末) 已知函数，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）若复数（ i 为虚数单位）,则复数 z 的模|z|= ________.11. （1分）在的展开式中，x15的系数为________．12. （1分） (2019高二上·开福月考) 已知，则的最小值为________．13. （1分） (2016高二上·湖北期中) 已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2 ，则此四面体外接球的表面积为________．14. （1分） (2020高一下·重庆期末) 已知数列满足递推公式 .设为数列的前项和，则 ________，的最小值是________.15. （1分）如图，等腰三角形ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°．E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足 =m，=n ，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|MN|的最小值为________．三、解答题 (共5题；共65分)16. （10分）(2016·温岭模拟) △ABC，满足bcosC+ bsinC﹣a﹣c=0（1）求角B的值；（2）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．17. （15分） (2019高二下·牡丹江月考) 某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本85元；小箱每箱30瓶，批发成本65元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为（45，55]时看作销量为50瓶）．（1）设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列；（2）从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？（必须作出一种合理的选择）18. （15分） (2017高一下·鸡西期末) 如图，直三棱柱中，，.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.19. （10分）(2018·门头沟模拟) 已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为。

黑龙江省2021版高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·黑龙江月考) 设全集为，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数的虚部是（）A . 0B . 5iC . 1D . i3. （2分） (2019高一上·大名月考) 定义在区间上的奇函数为增函数；偶函数在上的图象与的图象重合．设，给出下列不等式：① ；②；③ ；④ 其中成立的是（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③4. （2分）(2019·临沂模拟) 函数上不单调的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·新课标卷理) 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种6. （2分）某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的体积是（）A .B .C . 2D . 37. （2分）已知在▱ABCD中，AC与BD相交于O，设 = ， = ，=λ1 +λ2 ，则λ1+λ2等于（）A .B .C . 1D . 28. （2分） (2018高二下·临泽期末) 已知非空集合，全集，集合 , 集合则（）A .B .C .D .二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分）双曲线的离心率为________10. （1分） (2016高三上·呼和浩特期中) 《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为________里．11. （1分）(2017·江苏) 如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是________．12. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，若则角A的值为________．13. （1分）(2017·仁寿模拟) 若不等式组满足，则z=2x+y的最大值为________．14. （1分）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．三、解答题： (共6题；共60分)15. （10分） (2018高一下·濮阳期末) 已知函数的最大值为 .（1）求的值及的最小正周期；（2）在坐标系上作出在上的图像，要求标出关键点的坐标.16. （10分） (2017高二下·鸡泽期末) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为x，求x的分布列和数学期望.17. （10分）(2012·湖南理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．18. （10分） (2015高三上·东莞期末) 在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆P：（a＞b＞0）的右焦点，已知A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，且直线AF的斜率为，（1）求椭圆P的方程；（2）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆P于M、N两点，交直线x=﹣4于点E， = ， = ，证明：λ+μ为定值．19. （10分） (2016高二上·吉林期中) 已知函数f（x）= x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．20. （10分） (2016高二上·沭阳期中) 某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a+d和b+c的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？分组频数频率[60，70）100.1[70，80）220.22[80，90）a0.38[90，100]30c合计100d参考答案一、选择题： (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题： (共6题；共6分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题： (共6题；共60分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。