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排列组合插板法求解排列应用题的主要方法：直接法：把符合条件的排列数直接列式计算;优先法：优先精心安排特定元素或特定边线捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法：对不能相连问题，先考量不受限制的元素的排序，再将不相连的元素挂在前面元素排序的空档中定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。
间接法：正容易则反华，等价转变的方法。
例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1) 全体排列成一行，其中甲就可以在中间或者两边边线;(2) 全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;(3) 全体排列成一行，其中男生必须排在在一起;(4) 全体排成一行，男生不能排在一起;(5) 全体排列成一行，男、女各不相连;(6) 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;(7) 全体排列成一行，甲、乙两人中间必须存有3人;(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法。
某班存有54十一位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学出席某科课外小组，在以下各种情况中，各存有多少种相同的选法?(1)无任何限制条件;(2)正、副班长必须入围;(3)正、副班长只有一人入选;(4)正、副班长都不入围;(5)正、副班长至少有一人入选;(5)正、副班长至多存有一人入围;6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)让给甲、乙、丙三人，每人2本;(2)分为三份，每份2本;(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本;(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;(5)让给甲、乙、丙三人，每人至少1本例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共计多少种相同的分配方法?(2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名额数不少于班级序号数，共计多少种相同的分配方法?.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共存有多少种相同的放法?(2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法存有多少种?解决排列组合应用题的基础是：正确应用两个计数原理，分清排列和组合的区别。
排列组合1.捆绑法：主要处理相邻元素问题.例1：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法有种.2.插空法：相离问题.例2：要排一张有6个歌唱节目和四个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不能相邻，一共有种排列方法.3.缩倍法：定序问题.例3：①今有2个红球、3个黄球、4个白球，同种颜色不加区分，将这九个球排成一列，有种不同的排法.②若把good的字母顺序写错了，有种不同的错误写法.③四张卡片上分别标有“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数是4.优限法：定位问题.例4.计划展出10幅画，其中1幅水彩画、4张油画、5张国画，排成一列成列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的成列方式有种.5.间接法：至多至少问题.例5：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，至少要甲型与乙型电视机各一台，则一共有种不同的选法.6.先选后排:选排问题.例6：①四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰好有一个空盒子的方法有种②(2009重庆理)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答)．7.分类讨论法：例7：(2009重庆理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的不同方法有种.8.插板法：名额分配问题.例8：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班级的学生组成，每班至少一个，名额分配的方法有种.9.平均分配问题：例9：将12个学生平均分成四组，一共有种不同的方法.10.圆排：例10：将从10个不同的学生中选出8个，将他们分配到一个圆座上，则不同的方法有种.11.错排：例11：四个同学做了四张不同的贺卡，每个人的贺卡必须送给别人，一共有种不同送法.- 1 -。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可3个条件的问题，这样将）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个3“档板?【例1】共有10完全相同的球分到7解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10隙中，就“把10个球隔成有序的73个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10????【基本题型的变形（一）】每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
??【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35B．28C．21D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。
这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。
【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：编号1：至少1个，符合要求。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家 周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
解排列组合问题的四大原则湖北张良强排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性．高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”．一、特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．例１甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（）Ａ．90种Ｂ．89种Ｃ．60种Ｄ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C种;②从剩下的4天中选2天安排乙有24C种;③仅剩2天安排丙有22C种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C··种，即选Ｃ．评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑．二、先取后排原则该原则充分体现了m m m nm nC AA =·的精神实质,先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．例2 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）．Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法,再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则． 三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．例3 在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ） Ａ．12694C C Ｂ．12699C C Ｃ．3310094CC - Ｄ．3310094AC -解析：从100件次品中取3件产品,至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094CC -，故选Ｃ．如果从正面考虑,则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是Ｂ：12699C C，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品,再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立,第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF,正品为甲乙丙丁戊…则12699C C可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则,如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律,如当问题中含有“至少",“最多”等词语时，易用此原则．四、策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．１．相邻问题捆绑法（整体法)，相隔问题插空法例４某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被安排到一起(演讲序号相连），而２班的２位同学没有被排在一起的概率为（)Ａ．110Ｂ．120Ｃ．140Ｄ．1120解析：10人的全排列数是1010A,即所有的演讲顺序有1010A种．符合要求的演讲顺序有两个限制：一班的3位同学相邻，而2班的2位同学不相邻,因此分步完成：①把一班的3位同学看成一个整体，他们自身全排列有33A种安排；②把这个整体当成1个元素与其他班5个元素一起排列有66A种安排；③把这6个元素排定后有7个空位（包含两端），从这7个空位中任取2个空位安排2班的2位同学有27A 种排法(这样确保2位同学不相邻）．满足条件的排列共有362367A A A ··种,即所求概率是3623671010120A A A A =··，故选Ｂ．评注：处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法（确保相邻)和插空法（确保相隔)，只是要注意是先整体后插空（相邻与不邻的综合问题）或先排后插（单纯的相隔问题)，再就是要注意整体元素的排列顺序问题．2．合理分类直接分步法 例5在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有（ ）个． ( ） Ａ．56 Ｂ．57 Ｃ．58 Ｄ．60 解析：所有大于23145且小于43521的数由以下几类构成:由分类加法计数原理可得，一共有234322343212222158AA A A A ++++++=个,故选Ｃ．评注：合理分类与直接分步是两个基本原理-—-分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法．诸多排列组合问题总是从合理分类，直接分步得到解决的．3．顺序一定消序法（用除法）例6 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为( ）．Ａ．42 Ｂ．30 Ｃ．20 Ｄ．12解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列是77A ，而顺序不变的5个节目的全排列是55A ，不变的顺序是总体的551A ，则一共有775542A A =种不同的插入种数,故选A ．评注:某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有n 个元素，其中m 个元素顺序不变，则其不同的排列数为．当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中任选2个位置安排新增节目有27A 种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，因此共有2742A=种不同的插入方法．４．对象相同隔板法例7 （1）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有______种不同的安排方法．(2)（2003年荆州市质检卷Ⅱ）10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，一共有______种不同的放法．解析：两例的实质一样,属于同一模型———对象相同，这类问题处理方式较多，但隔板法简单易操作：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空)．从9个空档中选2个空档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的分法）,每部分一一对应着一个不同的小盒．因此一共有29C种不同的放法，即2936C=种．而把10个竞赛名额分配给3个班，每班至少1个名额的方法与此一模一样．评注：研究的对象是不加区别的元素时，一般考虑隔板法．这是一个基本的数学模型，由此变形的问题是：10x y z++=有多少组正整数解？而解法不变．。
高中排列与组合方法总结（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.（二）排列组合的常见模型1、分类讨论：（1）元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.（2）“至少”“至多”问题----间接排除法或分类讨论.2、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.3、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序.注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）4、分组问题：平均分组、局部平均分组---除序法5、分配问题：（1）有序分配问题----逐分法；（2）全员分配问题---分组法；（3）名额分配问题---隔板法；（4）限制条件的分配问题---分类法.6、涂色问题：解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类．以上三种方法常会结合起来使用。
7、圆排列问题：把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时针）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.类型一：分类讨论例1 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法一、基础理论：捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。
题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。
插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。
二、真题精析例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：A.1440种B.960种C.720种D.480种【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5)种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。
分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。
所以答案为B.小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。
例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?A.20B.12C.6D.4【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。
【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。
所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。
第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。
我们图强教育总结出公考行测考试中排列组合常见考点的解题思路以及几个特殊题型的计算公式，主要我们牢记这些知识点，那么我们在考场上遇到任何排列组合问题就都可以得心应手了。
从今天开始，这里就会逐渐介绍排列组合问题的常见考点和几个特殊题型。
排列组合问题总体上常见考点可以分为两类：一是，元素排列问题。
一类是元素分组问题。
对于元素排列问题，主要有优选法、捆绑法、插孔法以及元素定序排列，这四个常见考点。
一.优选法对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例题 1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。
解析一：利用位置优先方法。
偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。
:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33 种选法。
根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A33 =36。
解析二：利用元素优先方法。
第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33 种选法。
根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A44 =36。
思路：看特殊，分步类，限制完，自由排，注意“0”。
难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0”，题目中往往对于“0”有暗含的限制条件。
二.捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素。
例题2.5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
