414球坐标系和柱坐标系
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4.1.4 球坐标系和柱坐标系
学习目标：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式；
3.体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系；
4.会利用它们进行简单的数学应用。
学习过程：
活动一：复习引入
1.在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法；
2.极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
背景引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
活动二：球坐标系和柱坐标系的概念
1.球坐标系
在空间任取一点O 作为极点，从O 引两条互相垂直的射线Ox 和Oz 作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox 和Oz 轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系。
设P 是空间任意一点，用r 表示OP 的长度，θ表示以Oz 为始边，OP 为终边的角，ϕ表示半平面_________到半平面_________的角。
那么，有序数组____________就称为点P 的球坐标。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：
2.柱坐标系
在极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的轴，可得空间柱坐标系。
设P 是空间一点，P 在过O 且垂直于Oz 轴的平面上的射影为Q ，取z QP xOQ OQ ==∠=,,θρ，那么，点P 的柱坐标为有序数组_________________。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与柱坐标()z ,,θρ之间的变换关系为：
活动三：数学应用
例1：建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点。
变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点。
π化为直角坐标。
例2：将点M的球坐标()653,,8π
例3：将点M的直角坐标)2
-化为球坐标。
(-
,1
,1
例4：球坐标满足方程3
r的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程。
=
例5：标坐标满足方程2=ρ的点所构成的图形是什么?
活动四：课堂小结
1.柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.球坐标与直角坐标之间的变换公式。
活动五：自我检测
1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标)8,,4(3π
化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?
4.在球坐标系中，求两点()()43646,,3,,,3ππππ
Q P 的距离。
