柱坐标系和球坐标系

§3柱坐标系和球坐标系

课标解读 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．

2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．

3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.

1．柱坐标系

如图1－3－1，建立空间直角坐标系O－xyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.

图1－3－1

特别地，

r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；

z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面．

2．球坐标系

设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段OM→与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP→的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图1－3－2)．这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

图1－3－2

特别地，

r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；

φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；

θ＝常数，表示的是过z轴的半平面．

3．空间中点的坐标之间的变换公式

设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标 柱坐标系 球坐标系

(x，y，z)

 x＝rcos θy＝rsin θz＝z

 x＝rsin φcos θy＝rsin φsin θz＝rcos φ

1．空间中点的三种坐标各有何特点？

【提示】 设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．

2．在空间的柱坐标系中，方程r＝r0(r0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？

【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r＝r0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示． 常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．

3．在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)，θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，φ＝φ0(0≤φ0＜π)，各表示什么图形？

【提示】 在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)，表示球心在原点，半径为r0的球面；

方程θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面的夹角为θ0；

方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)，表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z轴，φ0＜π2时它在上半空间，φ0＞π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是xOy平面(如图所示).

把点的柱坐标化为直角坐标

根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：

(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)．

【思路探究】 柱坐标――→x＝rcos θy＝rsin θz＝z 直角坐标

【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)．

(1)∵(r，θ，z)＝(2，5π6，3)，

∴ x＝rcos θ＝2cos5π6＝－3，y＝rsin θ＝2sin5π6＝1，z＝3，

∴(－3，1,3)为所求．

(2)∵(r，θ，z)＝(2，π4，5)，

∴ x＝rcos θ＝2cosπ4＝1，y＝rsin θ＝2sinπ4＝1，z＝5，

∴(1,1,5)为所求．

点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z为任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式 x＝rcos θy＝rsin θz＝z转化为三角函数的求值与运算即得．

将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：

(1)(2，π6，1)；(2)(1，π，0)．

【解】 设点的直角坐标为(x，y，z)，

(1)∵(r，θ，z)＝(2，π6，1)，

∴ x＝rcos θ＝2cosπ6＝3，y＝rsin θ＝2sinπ6＝1，z＝1，

∴(3，1,1)为所求．

(2)∵(r，θ，z)＝(1，π，0)，

∴ x＝rcos θ＝cos π＝－1，y＝rsin θ＝sin π＝0，z＝0，

∴(－1,0,0)为所求．

把点的球坐标化为直角坐标

把下列各点的球坐标化为直角坐标．

(1)(2，34π，54π)；(2)(6，π3，π6)．

【思路探究】

球坐标――→x＝rsin φcos θy＝rsin φsin θz＝rcos φ 直角坐标

【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)，

(1)∵(r，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)， ∴ x＝rsin φcos θ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsin φsin θ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcos φ＝2cos3π4＝－2，

∴(－1，－1，－2)为所求．

(2)∵(r，φ，θ)＝(6，π3，π6)，

∴ x＝rsin φcos θ＝6sinπ3cosπ6＝364，y＝rsin φsin θ＝6sinπ3sinπ6＝324，z＝rcos φ＝6cosπ3＝62，

∴(364，324，62)为所求．

首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ转化为三角函数的求值与运算．

将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：

(1)(6，π3，23π)；(2)(3，π，π)．

【解】 设点的直角坐标为(x，y，z)

(1)∵(r，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，

∴ x＝rsin φcos θ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsin φsin θ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcos φ＝6cosπ3＝3，

∴(－332，92，3)为所求．

(2)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)，

∴ x＝rsin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y＝rsin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z＝rcos φ＝3cos π＝－3，

∴(0,0，－3)为所求．

化点的直角坐标为柱坐标或球

坐标

图1－3－3

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如图1－3－3，建立空间直角坐标系A－xyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．

【思路探究】 先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标．

【自主解答】 点C1的直角坐标为(1,1,1)．

设点C1的柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

由公式 x＝rcos θ，y＝rsin θ，z＝z及 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，

得 r＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0，及 r＝x2＋y2＋z2，cos φ＝zr， 得 r＝2，tan θ＝1，及 r＝3，cos φ＝33，

结合图形，得θ＝π4，

由cos φ＝33得tan φ＝2.

所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，

其中tan φ＝2，0≤φ≤π.

化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(r，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式 x＝rcos θy＝rsin θz＝z以及 x＝rsin φcos θy＝rsin φsin θz＝rcos φ进行逆向变换，

得到 r＝x2＋y2tan θ＝yxx≠0z＝z以及 r＝x2＋y2＋z2，cos φ＝zr.

提醒

在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．

若本例中条件不变，求点C、D的柱坐标与球坐标．

【解】 结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．

(教材第22页练习第1题)

如图1－3－4，把边长为1个单位长度的正方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置，试说出正方体各个顶点的柱坐标和球坐标．

图1－3－4

(2013·镇江模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图1－3－5是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图1－3－6，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．

图1－3－5

图1－3－6

【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．

【解】 下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，π2，