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⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定【例1】 ⑴如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么下列说法错误的是（ ）A ．△EBD 是等腰三角形，EB =EDB ．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）典题精练思路导航题型一：轴对称7期中复习E DCA图(4)图(3)图(2)图(1)向右对折（向上对折）D.C.B.A.【例2】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．河草地BASSS SAS ASA AAS HL⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：，，，， 思路导航题型二：全等三角形⎧⎨⎩性质、判定角平分线有关角平分线辅助线【例3】 如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD =AC ，在CF 的延长线上截取CG =AB ，连接AD 、AG ． 请你确定△ADG 的形状，并证明你的结论．BAC DEFG【例4】 △ABC 中，∠CAB =∠CBA =50°，O 为△ABC 内一点，∠OAB =10°，∠OBC =20°，求∠OCA 的度数．COBA【例5】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB于点E ．⑴如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形； ⑵点M 是线段CD 上的一点（不与点C 、D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；⑶如图3，点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作典题精练∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．GN图3图2图1AE BCDAE BCDDC BE A【例6】 已知四个实数a 、b 、c 、d ，且a ≠b ，c ≠d ．满足：a 2+ac =4，b 2+bc =4，c 2+ac =8，d 2+ad =8．⑴求a +c 的值；⑵分别求a 、b 、c 、d 的值． 典题精练题型三：因式分解【例7】 设a 1=32-12，a 2=52-32，…，a n =()()222121n n +--（n 为大于0的自然数）．⑴探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由）．训练1. 阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．图3ABCA 1B 1B 2CD BA图2图1C…B n+1A 3A 2A 1B nB 2B 1BA训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，BO ⊥AC ，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB =PD ，DE ⊥AC 于点E ， 思维拓展训练(选讲)求证：△BPO ≌△PDE ．备用图2431COBAD CE OP AB⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． ⑵特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP =CD ．训练3. 因式分解⑴()22223103x a b x a ab b ++-+- ⑵()()211a b ab +-+⑶()()2222483482x x x x x x ++++++ ⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++训练4. 按下面规则扩充新数：已有a 和b 两个数，可按规则c =ab +a +b 扩充一个新数，而a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．题型一 轴对称 巩固练习【练习1】 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 ．图2图1CB D'DA'CDB A题型二 全等三角形 巩固练习【练习2】 在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，P是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【练习3】 如图⑴，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ．⑴试说明：FG =12（AB +BC +AC ）； ⑵①如图⑵，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线；②如图⑶，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线． 则在图⑵、图⑶两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由． 复习巩固BP A O DC(3)GE FD A(2)AB CD E FG(1)GE DF A题型三 因式分解 巩固练习【练习4】 分解因式：()4442x y x y +++-．【练习5】 图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． ⑴图②中的阴影部分的面积为 ；33初二秋季·第7讲·尖子班·学生版⑵观察图②请你写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示． 如图③，它表示了 ．⑸试画出一个几何图形，使它的面积能表示()()22343m n m n m mn n ++=++．③②①nnm m m nm n mmmnmmnn初二秋季·第7讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。
1初一秋季·第1讲·尖子班·学生版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·学生版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向3210﹣1﹣2P Q M BA3初一秋季·第1讲·尖子班·学生版右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·尖子班·学生版0ba⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.A5初一秋季·第1讲·尖子班·学生版dc b a【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？初一秋季·第1讲·尖子班·学生版987654312367初一秋季·第1讲·尖子班·学生版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．8初一秋季·第1讲·尖子班·学生版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度 向动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .利用数轴性质建立方程求点对应的数9初一秋季·第1讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
1初一秋季·第1讲·尖子班·教师版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 1420 2.552-<-<<< ⑵A .⑶B .【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．3210﹣1﹣2P Q M BA 52.50-2123初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【解析】 ⑴由数轴的基本定义可知为62-+，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999-和1999的两个点之间有 个整数（含1999-和1999）． ⑵在数轴上，表示1999.1-和1999.9的两个点之间有 个整数． 【解析】 ⑴3999；⑵ 3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （M 为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （1m M m <<+，m为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．【解析】 1、2013；2014. 2、M ，1M +.3、m ，1m +.【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【解析】⑴①33x =，51x =.②2013405x =，2014404x =，20132014x x <.⑵假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得： 01234569910019.94x -+-+-+--+=，030.06x =-．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小. 0ba4初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【解析】⑴根据a b ，在数轴上的位置可知，00a b <>，，且a 的绝对值比2b 的绝对值大，所以a b a a b b b a -<<+<-<<-.⑵ C ，根据题意，00a b <>，，且在数轴上a 的对应点与原点的距离较b 的对应点大.【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.dc b a【解析】⑴由数轴可知，3d a =+，代入24d a -=得324a a +-=，解得1a =-所以原点应在点B 处．⑵①C ．(3)(4)(7)2a a a a ++++++=-，4a =-，1b =-，0c =，3d =． ② A ．37a a ++=，4a a +=，∴0a >，2a =．⑶2-. 提示：2b a =+.【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、A5初一秋季·第1讲·尖子班·教师版B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ⑴ 2；⑵3-； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12a c ±.【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？98765431023【解析】201345031÷=，则与数字0重合． 针对例7的铺垫：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处 标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012-将与圆周上的数字 重合．3210-5-4-3-2-10【解析】20124503÷=，则与数字0重合． 针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）DCBA76543210-12、如图，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x =处时，三角形停止滚动. ①落在2013x =处的点是ABC △的哪个顶点？说明理由. ②在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？…20131C B A6初一秋季·第1讲·尖子班·教师版3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．O 北西南东A-10【解析】1、C ．2、①顶点C ；②894π.3、在直的数轴上，线段41AO =，414101=⨯+，指针指向北；2009(14)2023--=，因为636420162⨯=，202320167-=，故2009在点O 的西边，202345053÷=+，指针指 向西．7初一秋季·第1讲·尖子班·教师版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-【解析】 0. 因为a b +与a b -互为相反数，所以0a b a b ++-=，从而得到00a b ==，所以原式等于0.训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 . 【解析】 2000.训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .（人大附中期中）【解析】 B C A .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．（清华附中期中）【解析】 ⑴ 0ab =，2a b c d ++-=；⑵ 5m n +=，若1m =，4n =，有()14，，()14-，，()14-，，()14--，； 若2m =，3n =，有()23，，()23-，，()23-，，()23--，； 若3m =，2n =，有()32-，，()32，，()32-，，()32--，； 若4m =，1n =，有()41，，()41-，，()41--，，()41-，. 所以共有16组．8初一秋季·第1讲·尖子班·教师版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？ 【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东-6-5-4-3-2-154321⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了3 1.59.5519km +++=. 数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009【解析】⑴点A 对应的数是694，点B 对应的数是714-，线段AB 的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .【解析】a c b d +<+.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A【解析】C ．2(4)9b b --=，1b =-．9初一秋季·第1讲·尖子班·教师版数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴ 3-；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是6-或14-.周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1【解析】1.数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
含参数的一元一次方程★★★★★☆level 5第七章含参数的一元一次方程本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对一元一次方程中的参数问题，达到高级运用级别；2．对含参数方程的分类讨论问题，达到高级运用级别。
VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION早在3600年前，古埃及数学家，莱因特纸草书的作书阿默士已用一串符号表示一次方程，例如：以后丢番图、卡拉萨第、卡当、韦达等人各用不同的符号表示方程，直到1637年，在《几何学》一书中，笛卡儿用x3 -- 9xx + 26x -- 24 0表示x3- 9x2 + 26x - 24 = 0。
他把未知数和常数通过有理运算和开方所组成的方程称为「代数方程」，而「超越方程」则为非代数方程。
我国早期对「方程」一词有自己的含义。
如著名数学家刘徽﹝3世纪﹞所说：「程，课程也。
群物众杂，各列有数，总言其实。
令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程」。
其中「令每行为率」的意思是按条件列等式。
然后再将等式的系数用算筹布列出一个方阵，称为方程。
可见我国古代的「方程」相当于现在的方程组，在解题方法上更十分相似于现今的矩阵运算。
含参数的一元一次方程★★★★★☆level 5第一关求一元一次方程中的参数★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★★★☆能对【关卡1-1】的练习题全部解答正确，表明你对利用一元一次方程的定义求参数达到【高级运用】级别；★★★★★☆能对【关卡1-2】的练习题全部解答正确，表明你对利用解的定义求参数达到【高级运用】级别；★★★★★☆能对【关卡1-3】的练习全部解答正确，表明你对整数解的一元一次方程求参数问题达到【高级运用】级别；★★★★★☆能对【关卡1-4】的练习题全部解答正确，表明你对同解方程求参数的问题达到【高级运用】级别。
教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间2018/1/1学科数学课题名称期末复习之知识点归纳整理期末复习之知识点归纳整理【习题1】 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、253(5)3x x x x -+=-+；B 、2(2)(5)310x x x x -+=+-；C 、22(23)4129x x x +=++；D 、243(1)(3)x x x x -+=--． 【答案】D【习题2】化简ab b a b a b a --++----1111的结果是（ ） A 、0 B 、224b a a - C 、224b a b - D 、222b a a - 【答案】B【习题3】下列说法中正确的是（ ）① 中心对称图形肯定是旋转对称图形② 关于某一直线对称的两个图形叫做轴对称图形③ 圆有无数条对称轴，它的每一条直径都是它的对称轴④ 平行四边形是中心对称图形，它只有一个对称中心，就是两条对角线的交点 ⑤ 等边三角形既是中心对称，又是轴对称A 、①②④B 、③④C 、①③⑤D 、①④【答案】D【习题4】 在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失.已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ C ）A 、顺时针旋转90°，向下平移；B 、逆时针旋转90°，向下平移；C 、顺时针旋转90°，向右平移；D 、逆时针旋转90°，向右平移． 【答案】【答案】解：原式()()()()3322-+-+-=a a a a【习题10】因式分解xy y x 844122+--【答案】 解：原式()()y x y x 221221+--+=【习题11】 如图是某设计师设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）画出四边形OACB 关于直线l 的轴对称图形OA 1C 1B 1；（2）将四边形OACB 绕点O 顺时针．．．旋转ο120，画出旋转后的图形OA 2C 2B 2.【习题12】 如图，已知R t △ABC 中，△C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到'''C B A ∆的位置，若平移距离为3.（1）求△ABC 与'''C B A ∆的重叠部分的面积；（2）若平移距离为x （0≤x ≤4），求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积y ，则y 与x 有怎样关系式.【答案】解：（1）211121=⨯⨯=S（2）()842142122+-=-=x x x y【习题13】 如图，已知等腰直角∆ACB 的边AC=BC=a ，等腰直角∆BED 的边BE=DE=b ，且b a <，点C 、B 、E 在一条直线上，联结AD ．（1）求ABD ∆的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到APD ∆，求APD ∆的面积． (以上结果先用含a 、b 代数式表示，后化简）【答案】解：（1）ab b a b a S ABD =--+=∆2222121)(21 （2）221221)(212b a b b a a b a S APD +⋅-+⋅-+=∆ =22111424a ab b ++【习题14】 如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC =10cm ，现将长方形ABCD 向右平移x cm ,再向下平移)1(+x cm 后到长方形A'B'C'D' 的位置，（1）用x 的代数式表示长方形ABCD 与长方形A'B'C'D' 的重叠部分的面积，这时x 应满足怎样的条件？（2）用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D（阴影部分）的面积．【答案】解：（1）()7-=x-xx（S）x=x+1770)18(≤102≤--重（2）90+++=xxSxxx-)1()118+8=)((+10阴。
学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。
而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。
因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。
初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。
到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。
下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。
课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。
未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。
从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。
第7讲 规律探究⎧⎨⎩数字类规律探究图形类知识点1：规律探究之数字变化数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O 为起点结六条线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF 后，再从线OA 上某点开始按逆时针方向依次在OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OA ，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第2016个结点在（ ）A. 线OA 上B. 线OB 上C. 线OC 上D. 线OF 上【解析】解：根据数的排布发现：1在OA 上，2在OB 上，3在OC 上，4在OD 上，5在OE 上，6在OF 上，7在OA 上，…， 射线上的数字以6为周期循环， ∵2016÷6=336，∴2016与6在同一条射线上，即2016在射线OF 上．故选：D 【方法总结】遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2.一组数23，45，67，89…按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____【解析】解：设该数列中第n 个数为a n （n 为正整数），观察，发现规律：a 1=23，a 2=45，a 3=67，a 4=89，…，∴a n =2n2n+1．当n=10时，a 10=2×102×10+1=2021． 【方法总结】等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______ 【解析】解：第1个数1=1， 第2个数2=21， 第3个数4=22， 第4个数8=23， 第5个数16=24， …，第2008个数是：22007． 【方法总结】等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。
定 义示例剖析等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．123+=，15x +=，s ab =，a b c mxy n ++=+等式的类型恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．33x x ==，方程56x +=需要1x =才成立．如32=，125+=，11x x +=-． 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子．．），所得结果仍是等式． 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是．．．．．0．），结果仍是等式． 若a b =，则a c b c ±=±．若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a bc c=．在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =.【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．43x -、15713++=、1722y -=、231x x =+、64y -、5x y +=、π 3.14≈，20a b +>，22x x =，7171x x +=-.【解析】 等式有：15713++=，1722y -=，231x x =+，5x y +=，22x x =，7171x x +=-；夯实基础模块一 等式的概念及性质7一元一次方程的解法及应用恒等式：15713++=，22x x =；条件等式：1722y -=，231x x =+，5x y +=；矛盾等式：7171x x +=-.【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：① 4a b =-，则a b +=______； ② 359x +=，则39x =- ；③ 683x y =+，则x =________； ④ 122x y =+，则x = ．⑵ 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+（北京二中期中）⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）A ．由1233x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x =C ．由233x x -=，得3x =D ．由357x -=，得375x =-（海淀区期末）【解析】 ⑴ ①4，在等式两端同时加上b ； ② 5，在等式两端同时加上5-；③ 836y +，在等式的两端同时乘以16； ④ 24y +，在等式的两端同时乘以2．⑵ C ；⑶ B定 义示例剖析方程：含有未知数的等式．．．即： ①方程中必须含有未知数；②方程是等式，但等式不一定是方程．例如123+=是等式不是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程：求方程的解的过程．．．例如3x =是方程36x +=的解方程中的已知数：一般是具体的数值．方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．例如50x +=中, 5和0是已知数，例如关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 一元一次方程：只含有一个．．未知数，并且未知能力提升模块二 方程的相关概念数的最高次数．．．．是1，系数不等于．．．0．的整式．．方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．235x +=，10y -=，3x =最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式．例如35x =，27x =等． 标准形式：方程0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．例如21040x x +=+=，易错点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．【例3】 ⑴ 下列式子：①3251x x +=-；②213124⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⑵ ① 44x x +=+；② 12x=；③ 44x x -=-；④ 23x =；⑤ 2(2)3x x x x +=++．其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是2x =的一共有（ ）480x -=① 480x +=② 840x -=③ 240x -=④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北大附中期中）【解析】 ⑴ B ； ⑵ ③ ⑤； ⑶ B.【例4】 ⑴ 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k = .⑵ 若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 .⑶ 若(1)5aa x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是 .⑷ 已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = .（北京师范大学附属实验中学期中）⑸ 方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=（ ）．A ．14B ．54C ．34D ．54-（人大附中期中）【解析】 ⑴ 1；能力提升夯实基础⑵由一元一次方程的定义，可知231m-=，且20m-≠，解得2m=-；⑶由一元一次方程的定义，可知1a=，且10a-≠，解得1a=-；⑷32；⑸ B.解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项.易错点3：移项忘记变符号．【例5】⑴方程(32)2(21)0x x+--=去括号正确的是（）A．32210x x+-+=B．32410x x+-+=C．32420x x+--=D．32420x x+-+=⑵方程31252x xx-+-=-去分母正确的是（）A．2(3)25(1)x x x--=-+B．23201051x x x--=-+ C．2(3)20105(1)x x x--=-+D．(3)2010(1)x x x--=-+⑶当x的值为时，代数式45x-和316x-的值互为相反数．⑷若方程15122b x x-=-的解是12x=，则b=．【解析】⑴ D; ⑵ C; ⑶ 3; ⑷1b=-.【例6】⑴解方程1111122x⎛⎫--=⎪⎝⎭（人大附中期中）⑵解方程12223y yy-+-=-（北京五中期中）⑶解方程3221211245x x x+-+-=-（北京师范大学附属实验中学期中）夯实基础模块三一元一次方程的解法及应用⑷解方程7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-【解析】⑴10x=；⑵1y=；⑶928x=-.⑷原方程可化为7110.251864x x x--+=-，解得5259x=【例7】解下列方程：⑴1113331 2242y⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭⑵1112{[(4)6]8}1 9753x++++=【解析】⑴解法一：从内向外去括号去小括号，得1113331 2242y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 2842y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去大括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法二：从外向内去括号去大括号，得1113331 4222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 8242y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去小括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法三：多次去分母两边同乘以2，得1113332 222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边同乘以2，得113364 22y⎛⎫---=⎪⎝⎭，两边同乘以2，得1361282y---=，能力提升移项合并同类项，得1292y =， 系数化为1，得58y =．点评：解题时要善于观察题目特点选择合理得理解途径． ⑵ 解得1x =【巩固】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解析】解得117x =-【例8】 解下列方程：⑴ 1123(23)(32)11191313x x x -+-+=⑵ 11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】⑴ 原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即：111()(23)0111319x +--=，又1110111319+-≠， 所以230x -=，即32x =．⑵ 这一方程在变换过程中，宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6，得3323(7)32(7)55x x --=--，333(7)2(7)3255x x --+-=-， 333(7)2(7)155x x ----=， 35(7)15x --=， 343x =．【例9】 解下列方程：⑴ 2009122320092010x x x +++=⨯⨯⨯L探索创新⑵...200613352003200520052007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 【解析】⑴ 111()2009122320092010x +++=⨯⨯⨯L ，1(1)20092010x -=，即：200920092010x =，故2010x =．⑵ 原方程变形为：1111(...)200613352003200520052007x ++++=⨯⨯⨯⨯，即：2006200620072x ⋅=，4014x =．【例10】解下列方程：⑴ 20181614125357911x x x x x -----++++=⑵ 20101309720092007x x x ---++=【解析】 ⑴ 如果发现203185167149121123+=+=+=+=+=，那么离成功就不远了．201816141250357911x x x x x -----++++-=，2018161412(1)(1)(1)(1)(1)0357911x x x x x ------+-+-+-+-=，23232323230357911x x x x x -----++++=，11111()(23)0357911x ++++-=，因为111110357911++++≠，所以23x =．⑵ 原方程可化为201013(1)(1)0972*******x x x---+-++=，2010201020100972*******x x x ---+-=，111(2010)()0972*******x -+-=，显然1110972*******+-≠，故20100x -=，2010x =．【巩固】226200620072008x x x -+++=的解为 。
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .word 资料下载可编辑专业技术资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，直线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。
1初一秋季·第7讲·尖子班·教师版一 有理数基本概念1. 正数、负数及有理数概念2. 用正、负数表示相反意义的量3. 有理数: 整数与分数统称有理数.4. 有理数的分类：⑴ 按整数和分数分类； ⑵ 按正数、负数和零分类.注：①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数； ③正整数和零统称为非负整数； ④负整数和零统称为非正整数.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反之亦然．3. 绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =-； 7期中复习2初一秋季·第7讲·尖子班·教师版⑹ a b - 数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离，且a b b a -=-.教师备案：1. 解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对值符号）2. 让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．3. 让学生灵活运用绝对值的基本性质．4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．5. 负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；a 、b 互为负倒数，则有1ab =-，反之亦然．三 有理数的加减法1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：()a b a b -=+-四 有理数乘除法1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.5. 有理数乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 7. 科学记数法科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a <≤，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．【例1】 ⑴在有理数1-，0，35-，(4)--，()1.2+-，4--，56%，()3---中，整数有________有理数综合复习3初一秋季·第7讲·尖子班·教师版个，负数有_________个．⑵下列代数式：2m 、22x +、x 、1a +、1||2a +、21x -、2()|1|ab ---的值，一定为正数的有 个.⑶下列说法正确的有（ ）个①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非 负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数 不一定能化为分数。
A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个⑷一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点， 则这个数是（ ）A ．2-B ．2C ．52 D ．52- ⑸ 有理数m 、n 在数轴上的位置如图，则下列关系中正确的个数是（ ）.① 0m n +<；② 11m n>-；③ 0n m -->；④ ||m n <-A. 1B. 2C. 3D. 4⑹a 和b 是满足ab ≠0的有理数，以下说法中： ①224a b -+的相反数是224a b -+； ②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑺据统计，截至2011年10月22日22点，为期178天的西安世界园艺博览会圆满闭幕，累计入园人数达到1544万余人次，创下历届世园会客流之最，1544万这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．615.4410⨯人B ．71.54410⨯人C ．61.54410⨯人D ．80.154410⨯人【解析】 ⑴54，；⑵2；⑶B ；⑷D ；⑸D ；⑹C ；⑺B【例2】 ⑴数轴是数与形和谐结合的桥梁，数轴在数学研究中有着非常重要的作用．华罗庚先生指出“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．已知在纸面上有一数轴，数轴上有三个点，点A 在点B 的左边，点C 表示的数是1．①如果点A 到原点的距离是3，点B 到原点的距离是5．则点A 和点B 两点的距离是多 少？②如果点A 到原点的距离是3，点B 到点A 的距离是5．则点B 表示的数是多少？ ③如果点A 与点B 到原点的距离相等，点A 和点B 之间的距离是2012．则点A 、点B 表示的数各是多少？④如果点A 与点B 到点C 的距离相等，点A 和点B 之间的距离是2012．则点A 、点B 表示的数各是多少？⑵动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动， n 0 m4初一秋季·第7讲·尖子班·教师版3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A ，B 的速度比是1:4，（速度单位：单位长度/秒）x 036912-3-6-9-12① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动3秒时的位 置．② 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？③ 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C 也同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 追上A 时，点C 立即停止运动．若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？【解析】 ⑴①2或8②2或8③:1006:1006A B -， ④:1005:1007A B -，⑵①设A 的速度为x 单位长度/秒，B 的速度为4x 单位长度/秒依题意，3(4)15x x += 1x =即：A 的速度为1单位长度/秒，B 的速度为4单位长度/秒． 3秒时，A 的位置在3-，B 的位置在12． ② 设x 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 12431.8x xx -=+=③ 设y 秒后B 追上A ，依题意， 4155y y y -==205100⨯=点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．【例3】 一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算： ⑴ 一粒大米重约多少克？⑵ 按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）⑶ 假若我们把一年节约的大米卖成钱，按每千克2元计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）⑷ 对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？【解析】 （1）10÷500≈0.02（克）．答：一粒大米重约0.02克．5初一秋季·第7讲·尖子班·教师版（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）． 答：一年大约能节约大米2.847×107千克． （3）2×2.847×107=5.694×107（元）． 答：可卖得人民币5.694×107元． （4）5.694×107÷500=1.1388×105；整式概念1.单项式：单项式的次数、单项式的系数.2.多项式：多项式的项、多项式的次数.3.整式：单项式和多项式统称为整式.4.同类项：几个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数相同.5.合并同类项：合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变． 整式加减的实质就是去括号，合并同类项．6.整体思想【例4】 ⑴下列说法：①x 的系数是1；②式子1x是单项式；③单项式227x y z -的次数是4；④53a -π的系数是3-π；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个⑵若单项式n m y x 23与8522y x n --的和仍是一个单项式，则m ，n 的值分别是（ ） A ．1，5 B ．5，1 C ．3，4 D ．4，3⑶32324155a x a x x -+是 次三项式，各项的次数分别是 ， ， ．按x 降幂排列是 ；按a 升幂排列是 ．⑷已知多项式432434325132021213ax ax x x x bx bx x +--+++--是关于x 二次多项式， 则22a b += _________．【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶五，4，5，2．23231455a x x a x -++；22331455x a x a x -+；⑷13．【例5】 已知关于x 、y 的多项式()()22262351x ax y bx x y +-+--+-（友情提示：关于x 、y的多项式即式子中只含有字母x 、y ，其他字母为常数） ⑴当a =_____，b =_____时，此代数式的值与字母x 的取值无关；⑵将多项式()()2222324a ab b a ab b -----化简，并在⑴的条件下求其值．整式加减综合复习6初一秋季·第7讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴3a =-，1b =⑵222a b ab -+-，2-【例6】 如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）⑴当小明输入5342019--，，，这四个数时，这四次输出的结果分别是？ ⑵你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ ⑶你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？⑷有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？【答案】⑴1151249201，，，；⑵0； ⑶负数；⑷122-，．等式的概念及性质、方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．注意：方程ax b =的解要分类讨论．①当0a ≠时，方程的解是bx a=；②当0a =且0b =时，方程的解是任意数； ③当0a =且0b ≠时，方程无解．一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为1．易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：不要漏乘不含分母的项 易错点3——移项：注意移项变符号．绝对值方程⑴ 形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论：① 0c <，则方程无解；② 0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ③ 0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±．7初一秋季·第7讲·尖子班·教师版⑵ 形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥； 分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可．⑶ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．【例7】 ⑴ 若关于x 的方程140n nx n -+-=是一元一次方程，则这个方程的解为（ ）A. 1x =-B. 1x =C. 4x =-D. 4x =⑵ 已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足方程102x -=，则m = ．⑶ 若12x m =是方程21423x m x m ---=的解，求代数式()211428142m m m ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的 值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ B ； ⑵ 2；⑶ 把12x m =代入方程21423x m x m---=得：3m =， 化简代数式()222111142812114222m m m m m m m ⎛⎫-+---=-+--+=-- ⎪⎝⎭，当3m =时，原式2110m =--=-.【例8】 ⑴ 根据输入的数字，按图中程序计算，并把输出的结果填入表内；⑵ 若x 经过两次程序输出数值是0.3-，求出x 的值．（北京三帆中学期中）【解析】 ⑴ 12，14，0； ⑵ 由题意：(43)4320.32x +-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=- ∴ 4.2x =-.【例9】 ⑴ 对任意有理数a 、b 、c 、d ，规定一种新运算：a b ad bc c d=-，已知2434x x -=--， 则x = ．一元一次方程综合复习输入输出 2 1.5 11 02-3-输入输出否是+(-2)2>-0.45- (+3)÷(+2)8初一秋季·第7讲·尖子班·教师版（人大附中期中） ⑵ 已知右图是一个三阶幻方，它的每行，每列及两条对角线上的三个数字之和都相 等．填入数字11，1-，9如图，并且填入a 格的数是填入b 格的数的二倍．求填入a 格，b 格的数并将其填入格中，同时填出其它空格中的数．【解析】 ⑴ 2；⑵提示：由2a b =，每行每列及两条对角线上的三个数字之和都相等得：11(1)129b b +-+=-++所以24b a ==，所以依次推出其他各数.训练1. 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b cx a b c =++，111111y a b c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-． 又111111a a b b c cy a b c b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3b c a c a b a b c a b c a b c+++---=++=++=-，则231692x y xy ++=--+=．训练2. 已知关于x 的二次多项式3223(3)(2)5a x x x b x x x -++++-，当2x =时的值为17-，求当2x =-时，该多项式的值．【解析】 因为()()()322332(3)(2)5=1235a x x x b x x x a x b a x a b x -++++-++-++-是关于x 的二次多项式，所以3x 的系数为0，因此10a +=，于是1a =-．原多项式化简为 322322(3)(2)5(2)35x x x b x x x b x x x x --++++-=++--， 由2x =时多项式的值为17-，可得10717b -=-，解得1b =-． 因此当2x =-时，多项式的值为651b +=-．11 1- a9 b115-6 1-4 9 213-39初一秋季·第7讲·尖子班·教师版训练3. 已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． （北京四中期中）【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++ 又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 训练4. 我们规定，若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程是定解方程，例如：932x =的解为93322-=，则该方程932x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题： ①若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ．②若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值． ③若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，求代数式2212(11){43[()]}[()2]2m n mn m m mn n n -+---+--+-的值．（人大附中期中）【解析】 ① 由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2mx =∴22mm -=，∴4m =② 由题意可知2x ab a =+-，有一元一次方程可知2ab ax +=又因为方程的解为a ，2a ∴=，1b =③ {}2212(11)43()()22m n mn m m mn n n ⎡⎤⎡⎤-+---+--+-⎣⎦⎣⎦ =2215()223()()2m n mn m mn n ---++-+且由题可知：4mn m +=，43mn n +=-，所以163m n -=所以2215()223()()2m n mn m mn n ---++-+=149-10 初一秋季·第7讲·尖子班·教师版有理数综合【练习1】 ⑴下列不正确．．．的是（ ） A ．1是绝对值最小的数B ．0既不是正数，也不是负数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．0的绝对值是0⑵如果0a b +=，那么a ，b 两个实数一定是（ ）A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 ⑶已知点A 和点B 都在同一条数轴上，点A 表示3，又知点B 和点A 相距5个单位长度，则点B 表示的数是_______.⑷ 给出下列结论：①若a a =，则0a >； ②a -一定是个负数；③若a a -=，则0a ≥； ④∵0a <，∴a a --=-．其中正确的个数是（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个⑸山西体育中心是建国以来山西省开工建设的最大体育场馆，占地1238亩，总投资为16亿元，用科学记数法表示16亿元为（ ）A ．91610⨯元B ．91.610⨯元C ．90.1610⨯元D ．81.610⨯元【解析】 ⑴A ；⑵ C ；⑶ 2-或8；⑷ B ；⑸B【练习2】 ⑴若m n n m -=-，且4m =，3n =，则2()m n += .⑵ 若x <0，0xy <，则 15y x x y -+---的值是（ ） A ．4- B ．4 C ．226x y -++ D ．不能确定⑶ 若a 、b 为负数，且||||a b >，化简||||||a a b b a -+--= .【解析】 ⑴ 1或49； ⑵ A ； ⑶a .整式加减综合复习【练习3】 已知()21304x y -++=，求代数式()()227527xy x y xy x -+--的值．【解析】 3x =，14y =-；2210x y -；1202【练习4】 ⑴多项式23232421a x ax x x x +-+++是关于x 的二次三项式，求221a a a++的值．⑵ 一位同学做一道题，已知两个多项式A ，B ，计算A B +，他误将A B +看作A B -，求得2927x x -+，若232B x x =+-，你能否帮助他求得A B +的正确答案？11初一秋季·第7讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴由题意得2a =，得原式为254； ⑵ 21143x x ++. 一元一次方程综合复习【练习5】 a b c d ，，，为有理数，现规定一种运算：a cb d =ad bc -，那么当2(1)x - 45=18 时x 的值是 ．（北京四中期中）【解析】 当2(1)x - 45=18时，()254118x ⨯--=，3x =. 【练习6】 如果5(2)23x a +=+与(31)(53)35a x a x +-=是关于x 的同解方程，求a 的值． 【解析】 由5(2)23x a +=+得527x a =-， 由(31)(53)35a x a x +-=得59x a =-，因此279a a -=-，得711a =．12 初一秋季·第7讲·尖子班·教师版 不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。
