2013版高考数学二轮复习专题训练：选考内容 .doc

2013版高考数学二轮复习专题训练选考内容安徽财经大学附属中学2013年版高考数学两轮复习专题训练:试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)。

满分是150分。

测试时间是120分钟。

第一卷(多项选择题共60分)1、多项选择题(共12题，每题5分，共60分，每题四题中只有一题符合要求)？12倍？？t。

？？22的位置关系是()2？？4英寸(x？)和曲线？412？y。

？t。

？221.曲线a .穿过圆心[答案] db .穿过c切线d .相位分离2。

不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集是()a . x | x ≤- 1或x≥4(b . x | x≤1或x≥2(c . x | x≤1(d . x | x≥2)(答案)a cos？？？罪恶。

？3，圆c的极坐标方程是？？22英寸(？？与圆C 的位置关系是()a。

相交但不是圆的中心。

相交并穿过圆的中心[答案] A4。

一个圆的两个弦相交，一个弦分成12厘米和18厘米两部分，另一个弦分成3:8。

那么另一根弦的长度是()a.11厘米b.33厘米c.66厘米d.99厘米[答] b5。

在极坐标系统中，有三个结论:①点p在曲线c上，那么点p的极坐标满足曲线c的极坐标方程；②褐色？？1和？？？4？4)。

然后是直线液晶。

正切d .相位分离代表相同的曲线；③ρ=3和ρ=-3代表同一曲线在这三个结论中是正确的()a。

①③b。

①c。

②③d。

③[答案] d6。

如图所示，交点p是圆o的割线PBA和切线PE，E是切点，连接AE、BE和APE的平分线分别在c和d处与AE和BE相交。

如果∠AEB=300，那么∠PCE等于()a . 150b . 75c . 105d . 60[答案]c0000 17。

如果x满足不等式x？4？x？3？那么a的取值范围是？1[回答] b8。

直线？？x？？2？t。

y。

1？肺结核。

a>1C.a？1地区。

2013年高考数学填空、选择最密必考题释一、选择题1．复数 ,1i z -=则=+z z1A.i 2321+ B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 答案：D命题立题：考查复数的四则运算。

解题思路：z 1+z=i -11+（1－i ）=)1)(1(1i i i +-++1－i=21i ++1－i =23－21i ； 易错点拔：正确对复数加以四则运算，特别是复数的除法运算要认真，容易出错。

2．命题“有的三角形是等腰三角形”的否定为 A ．存在一个三角形不是等腰三角形 B ．所有的三角形不都是等腰三角形C ．任意的三角形都不是等腰三角形D ．有的三角形可能是等腰三角形 答案：C命题立题：考查命题的否定。

解题思路：命题“有的三角形是等腰三角形”的等价形式是“存在三角形是等腰三角形”，其否定为“任意的三角形都不是等腰三角形”；易错点拔：对于一个含有全称或特称量词的命题的否定中，有时相关的量词并不明显，在书定过程先写出其等价命题，再结合含有一个量词的命题的否定规律来书写。

3．已知R 为全集,}2)3(log |{21-≥-=x x A ,}125|{≥+=x x B ,则)(A C R B 是( ) A.{x x <-2≤－1或 }3=x B.{x x <-2<－1或 }3=x C.{x x <-1<3或 }2-=x D.{x x <-1≤3或 }2-=x答案：B命题立题：考查对数不等式、分式不等式的求解，集合的关系与运算等。

解题思路：由于A={x|log 21（3－x ）≥－2}={x|－1≤x<3}，B={x|25+x ≥1}={x|－2<x ≤3}，则C R A={x|x<－1或x ≥3}，那么（C R A ）∩B={x|－2<x<－1或x=3}；易错点拔：在集合的关系与运算中往往可以结合数轴法来处理，关键是正确分清集合运算中的交与并的差别，否则容易导致错误。

2013版高考数学二轮复习专题训练：选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚)1．曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩嘚位置关系是( ) A ． 相交过圆心B ．相交C ．相切D ．相离 【答案】D2．不等式|x-1|+|x-2|≥5嘚解集为( )A ．﹛x|x ≤-1或x ≥4﹜B ．﹛x|x ≤1或x ≥2﹜C ．﹛x |x ≤1﹜D ．﹛x|x ≥2﹜【答案】A 3．直线l 嘚极坐标方程为2cos sin 3ρθρθ=+，圆C 嘚极坐标方程为22sin()4πρθ=+．则直线l 和圆C 嘚位置关系为( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离 【答案】A 4．一个圆嘚两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦嘚长为( )A ．11cmB ．33cmC ．66cmD ．99cm【答案】B5．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 嘚极坐标满足曲线C 嘚极坐标方程；②41tan πθθ==与表示同一条曲线； ③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线。

在这三个结论中正确嘚是( )A ．①③B ．①C ．②③D ． ③【答案】D6．如图，过点P 作圆O 嘚割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 嘚平分线分别与AE 、BE 相交于C 、D ，若∠A EB=030,则∠PCE 等于( )A. 0150B. 075C. 0105D. 060【答案】C7．若存在Ｘ满足不等式a X X <-+-34，则a 嘚取值范围是( ) A ．a ≥1B ． a ＞1C ．a ≤1D ．a<1【答案】B 8．直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得嘚弦长为( ) A ．98B ．1404C ．82D ．9343+ 【答案】C9．直线嘚位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．与有关，不确定【答案】B 10．不等式|1||2|x x a -++≤嘚解集非空, 则实数a 嘚取值范围是( )A ． 3a >B ． 3a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】B11．不等式3≤l5 - 2xl<9嘚解集是( )A ．（一∞，-2)U(7,+co)B ．[1,4]C ．[-2,1】U 【4,7】D ． (2,1][4,7)- 【答案】D12．不等式231x 嘚解集是( ) A ．|516x x B ．|618x x C ．|720x x D ．|822x x【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．如图，已知AB 是⊙O 嘚一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 嘚长是【答案】2214．在已知极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数 。

福州2013年高考数学二轮复习专题训练：函数概念与基本处等函数I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数1212)(+-=x x x f 的图像关于( ) A ．直线0x = 对称 B ．直线0y =对称C ．点(0,0)对称D ．点(1,1)对称【答案】C2．下列各式错误．．的是( ) A ．lg1.6lg1.4>B ．0.50.5log 0.4log 0.6>C ．0.80.733>D ．0.10.10.750.75-<【答案】D 3．已知函数111()2(),()()2,x f x f x f m f n ---=+=反函数为若则11m n+的最小值为( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2【答案】C4．已知函数2y x x =-的定义域为{0， 1，2}，那么该函数的值域为( )A ．{0，1，2}B ．{0，2}C ．1{|2}4y y -≤≤ D ．{|02}y y ≤≤ 【答案】B 5．方程2122032)1(x x ax x a ，的两根=--+满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是( )A ．()3,1B ． ()+∞+,31C ． )31,23(--D ． ),23(∞+- 【答案】D6．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数(2)()=ln f x g x x 的定义域是( ) A ．(0,1)B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．[0,1] 【答案】A 7．若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ． (1,2)B ． [2,)+∞C ． (0,1)D ． (0,1)(1,2)U 【答案】A 8．函数的反函数为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B9．如果函数对任意实数t 都有那么( )A ．B ．C ．D ．【答案】A10．下列四个数中最大的一个是( )A ． B. C. D.【答案】A11．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系：t y a =，有以下叙述：① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ；③ 浮萍从24m 蔓延到216m 需要经过2个月；④ 浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①②【答案】B12．已知函数21,(0)()1,(1),x x m f x x m x ⎧+<<=⎨+≤<⎩2()21,f m =且则m 的值为( )A ．12B ．22 C 42 D ．4222【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．．已知⎩⎨⎧≤++>=01)1(0log )(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值等于 ；【答案】414．已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为____________【答案】(－∞，－12－ln2) 15．如图，过原点O 的直线与函数2x y =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

华北电力大学附中2013届高考数学二轮复习专题精品训练：选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A ． 0a b c ++=B ． a b c 、、两两平行．C ． a b //．D ． a b c 、、方向都相同． 【答案】B 2．椭圆141622=+y x 上的点到直线12x t y =⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）的最大距离是( ) A ．3B ．11C ．22D ．10 【答案】D3．不等式|52|9x -<的解集是( )A ．（一∞，-2)U(7,+co)B ．[－2，7]C ． (2,7)-D ． [－7，2] 【答案】C4．设直线l 的参数方程为x a t y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数为t 1，则点P 1与点P(a,b)之间的距离是( ) A1| B ．2|t 1| C|t 1| D ．|t 1| 【答案】C 5．若x a h ，y a h ，则下面不等式中一定成立的是( ) A ．x y h B ．x y h C ．2x y h D ．2x y h【答案】D 6．已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2( ) A ．0B ．1C ．-2D ．8【答案】A 7．已知R x ∈，则“4|2||1|>-++x x ”是“2-<x ”的( )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B8．设实数a 使得不等式|2x −a|+|3x −2a|≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是( )A ． ]31,31[-B ． ]21,21[-C ． ]31,41[-D ． [−3，3]【答案】A9．使|x －4|+|x －5|＜a 有实数解的a 为( )A ．a ＞1B ．1＜a ＜9C ．a ＞1D ．a ≥1 【答案】A10．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°【答案】D11．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ,如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021. 已知πβα=+,2πβα=-,则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ( ) A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 12．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)-- 【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式21x x +-≤的解集为 ． 【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦14．已知对于任意非零实数m ，不等式)321(112+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数x 的取值范围____________【答案】][)(+∞-⋃-∞-,13,15．矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312，则=-1M 【答案】43551255⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦16．若行列式11212=-x x ，则=x ．【答案】1三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(I ）求证：//AD EC ；(II ）若AD 是⊙2O 的切线，且6,2PA PC ==， 9BD =，求AD 的长．【答案】（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC.(II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝AP PC ，∴9＋x y ＝62② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝4 (∵x>0，y>0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.18．设函数()1f x x x a =-+-(1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；(2）如果,()2,x R f x ∀∈≥求a 的取值范围.【答案】（1）33(,][,)22-∞-⋃+∞(2）(,1][3,)-∞-⋃+∞19．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【答案】因为直线l 的极坐标方程为=()3θρπ∈R ， 所以直线l的普通方程为y =，①又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为212y x =([2,2])x ∈-，② 联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0，0).20．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． (I ）求圆心C 的直角坐标；(II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴，02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为． (II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-21．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一. (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9[典例1](2012·如皋测试)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围． [解] (1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x .则f ′(x )＝1x2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0.∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0. 当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴m ＝f (m )，n ＝f (n )．故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2. 当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x 在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时，⎩⎨⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n＝n －m ，∴n －m mn ＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0. 综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．[演练1](2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a 2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94. [典例2](2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m . (1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．[演练2]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>02－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a <0或Δ＝0， 即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2. [典例3]已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x ，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)． (2)当x ∈[1,2]时， f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3. 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时， f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a －2a －1x 1x 2 ＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－(2a －1)x 1x 2.因为h (x )在区间[1,2]上是增函数， 所以h (x 2)－h (x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．[演练3](2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)＝________.解析：f (x )是周期函数，周期为6， f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0. 答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案：－8 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)， (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.答案：(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝________.解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：y ＝x n ＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1. ∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝ lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2. 答案：－28．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1， 得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2(2x 2)－1log 2(2x 2)＋1＝1， 即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)－1log 2(x 1x 2)＋1＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________．解析：作出函数y ＝e |x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x 3与第二个半椭圆(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153. 同样将y ＝x 3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7.综上知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7. 答案：⎝⎛⎭⎫153，7 11．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值． 解：(1)由已知f (－x )＝f (x )， 即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝(a －2)24>0知，f (x )的最小值为a －1. 12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.解：(1)证明：设x1<x2，∴x2－x1>0.∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)．∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．11。

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题五概率与统计1-5-2第二讲统计、统计案例理一、选择题1．某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要从该中学抽取一个容量为10的样本，将学生按一、二、三年级依次编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254.以上四组号码中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的是( )A．①②B．②③C．①③ D．①④解析：通过分析四种情况可知，①、④是分层抽样，②、③是系统抽样，故选D.答案：D2．(2012年高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：根据频率的定义求解．由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10，40)的频率为920＝0.45.答案：B3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为( )A．120 B．80C．15 D．150解析：根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.答案：D4．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑10i ＝1x i ＝17，∑10i ＝1y i ＝4，则b 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：依题意知，x -＝1710＝1.7，y -＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋bx 一定经过点(x -，y -)，所以－3＋b ×1.7＝0.4，解得b ＝2.答案：A5．(2012年高考安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解． 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8； 乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，所以x -甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x -乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6. 所以x -甲＝x -乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4， 乙的成绩的极差为：9－5＝4， 故D 不正确．故选C. 答案：C 二、填空题6．(2012年大同模拟)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________．解析：依题意得，前三组的频率总和为2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝920，因此有27n ＝920，即n ＝60.答案：607．(2012年唐山质检)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660.将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．(2012年海淀模拟)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是________．解析：根据茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙 三、解答题9．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析：(1)由题意知，x -＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y -＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑10i ＝1（x i －109）（y i －23.2）∑ni ＝1（x i －109）2＝3081 570≈0.196 2，a ＝y -－bx -＝23.2－0.196 2×109＝1．814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．10．(2012年长春模拟)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M 、p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率．解析：(1)由题可知10M ＝0.25，25M ＝n ，m M ＝p ，2M＝0.05.又10＋25＋m ＋2＝M ，解得M ＝40，n ＝0.625，m ＝3，p ＝0.075. 则[15，20)组的频率与组距之比a 为0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数为360×0.625＝225.(3)在样本中，处于[20，25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，处于[25，30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名学生中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种；至多1人在[20，25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )共7种，所以至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率为710.11．2012年元旦、春节前夕，各个物流公司都出现了爆仓现象，直接原因就是网上疯狂的购物．事实上，现在网上购物已经成为人们购物的一种新方式，正所谓“不上街并不是不逛街”，利用网络，人们可以足不出户地选购自己所需的商品，方便快捷，但也有一些隐患，比如网络欺骗、所得商品与网上宣传的有差距等．某商家针对人们在网上购物的态度在某城市进行了一次调查，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人对网上购物持赞成态度，另外27人持反对态度；男性中有21人赞成网上购物，另外33人持反对态度．(1)估计该地区对网上购物持赞成态度的比例；(2)有多大的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关；(3)根据以上结论，能否有更好的调查方式来估计该地区对网上购物持赞成态度的比例，并说明理由．附： 表1K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋c ）（b ＋d ）（a ＋b ）（c ＋d ）解析：(1)接受调查的124人中，有64人对网上购物持赞成态度，所以该地区对网上购物持赞成态度的估计值为64124＝1632.(2)2×2列联表： 表2K 2＝124×（43×33－27×21）270×54×64×60≈6.201，因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关．(3)该项调查是在某城市进行的，具有一定的局限性，所以应该先确定该地区城市人口、农村人口的比例，在此基础上进一步确定城市人口、农村人口中的性别比例；然后利用分层抽样的方法抽取样本，最后进行统计，这样得到的结果会更加可靠．。

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题5 函数的综合应用高考中，函数作为压轴题的考查层出不穷，是历年来高考的热点问题之一，很多时候都以函数为载体考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的数学素养以及运用数学思想处理问题的能力，填空题中往往也在13、14题的位置作为把关题，结合函数的性质以及图象来考查学生的等价转化能力和数据处理能力.抓住函数的本质，掌握求函数性质的一般方法，特别是求函数值域的方法对我们解决中高档题目有着重要的意义.预测在2013年的高考题中：(1)仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分. (2)结合导数一起考查，利用导数探究函数的性质.1．(2012·启东测试)若实数x 满足对任意正数a >0，均有a >x 2－1，则x 的取值范围是________． 解析：由题意得x 2－1≤0，即－1≤x ≤1. 答案：[－1,1]2．函数f (x )＝x 2－ax在[1，＋∞)上的最小值是－4，则正实数a ＝________.解析：f ′(x )＝2x ＋ax 2＞0，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1－a ＝－4，a ＝5.答案：53．关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．解析： 两边同除以x ，则k ≤x ＋9x ＋|x －3|，x ＋9x ≥6，|x －3|≥0，当且仅当x ＝3，两等式同时取得等号，所以x ＝3时，右边取最小值6.所以k ≤6.答案：(－∞，6]4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________.解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (99)＝f (3)＝13f (1)＝132.答案：1325．已知a >0且a ≠1，当x ∈(－1,1)时，不等式x 2－a x <12恒成立，则a 的取值范围________．解析：不等式x 2－a x <12可化为a x >x 2－12，画出y 1＝a x ，y 2＝ x 2－12的图象．由图可看出12≤a <1或1<a ≤2.答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2][典例1]函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]．通过以上解法，我们认识到对于这一类问题，方法较多、思维较强，考察了等价转换的数学思想，对于这类问题我们只有归纳总结，多去研究、探讨才能掌握解题规律，灵活选择解题方法．[演练1](2012·南通、泰州、扬州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R . (1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x <1，g (x )，x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．解：(1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x . 由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得， 所以ln x <x ，x －ln x >0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min . 设t (x )＝x 2－2xx －ln x ，x ∈[1，e]．求导，得t ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0， 从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数． 所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a ≤－1.(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP ·OQ<0. ①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP ·OQ＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2)． 由于OP ·OQ<0恒成立，a (1－t )ln(－t )<1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )<1恒成立． 当t <－1时，a <1(1－t )ln (－t )恒成立．由于1(1－t )ln (－t )>0，所以a ≤0.②若－1<t <1，t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)，则OP ·OQ＝－t 2＋(－t 3＋t 2)(t 3＋t 2)<0， t 4－t 2＋1>0对－1<t <1，t ≠0恒成立． ③当t ≥1时，同①可得a ≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]． [典例2](2012·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然数的底数，a ∈R . (1)当a <0时，解不等式f (x )>0；(2)若f (x )在[－1,1]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解． [解] (1)因为e x >0，所以不等式f (x )>0， 即ax 2＋x >0.又因为a <0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0. 所以不等式f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫0，－1a . (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x )e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ，①当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；②当a ≠0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1， 因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g (x )＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， 不妨设x 1>x 2，因此f (x )有极大值又有极小值．若a >0，因为g (－1)·g (0)＝－a <0，所以f (x )在(－1,1)内有极值点，故f (x )在[－1,1]上不单调． 若a <0，可知x 1>0>x 2.因为g (0)＝1>0，且g (x )的图象开口向下，要使f (x )在[－1,1]上单调，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a ≥0.所以－23≤a <0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－23，0. (3)当a ＝0时， 方程为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解． 所以原方程等价于e x －2x －1＝0，令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上． 所以整数k 的所有值为－3,1.第一问看似复杂，利用函数有界性不等式就转化成ax 2＋x >0，解二次含参不等式即可；第二问等价转化成f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x )e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ≥0恒成立问题处理，即转化成ax 2＋(2a ＋1)·x ＋1≥0恒成立解决；第三问方程即转化成x e x ＝x ＋2的形式，结合函数零点的判断方法解决．[演练2]⎣⎡⎦⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是增函数． (1)求函数f (x )，g (x )的表达式；(2)若不等式f (x )≥mg (x )对x ∈⎣⎡⎦⎤14，1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )－12x 的最小值，并证明当n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )>3.解：(1)f ′(x )＝2x －a x ≤0对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤14，1恒成立，所以a ≥2x 2.所以a ≥2.同理可得b ≥1. ∵ab ＝2，∴a ＝2，b ＝1.∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －x ＋2.(2)∵f (1)＝1>0，g ⎝⎛⎭⎫14＝74>0，且函数f (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上是增函数．所以x ∈⎣⎡⎦⎤14，1时，f (x )>0，g (x )>0，∴m ≤f (x )g (x ). 由条件得⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )min ＝f (1)g (1)＝12－2ln 11－1＋2＝12，∴m ≤12. (3)h ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x ＋12⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋1)(x ＋1)x ＋12x ， 当x >0时，2(x ＋1)(x ＋1)x ＋12x>0，则当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0. 故h (x )在x ∈(0,1)递减，在x ∈(1，＋∞)递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝52，即h (x )的最小值为52.当n ≥2时，h (n )≥h (2)＝7－2ln 2－2＝3＋(2－ln 4)＋(2－2)>3，即h (n )>3. 所以n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )＝h (n )＋n 2>3＋n2>3成立．[典例3](2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)． (1)如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )有相同的极值点，求a 的值；(2)设a >0，问是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得f (x 0)>g (x 0)，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，则f ′(x )＝3x －4ax ＋a ＝(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝a3，而g (x )在x ＝a －12处有极大值，所以a －12＝a ⇒a ＝－1，或a －12＝a3⇒a ＝3.综上a ＝3或a ＝－1.(2)假设存在x ∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得 f (x )－g (x )＝x (x －a )2－[－x 2＋(a －1)x ＋a ] ＝x (x －a )2＋(x －a )(x ＋1) ＝(x －a )[x 2＋(1－a )x ＋1]>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，a 3时，又a >0，故x －a <0，则存在x ∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0， 1°当a －12>a 3，即a >3时，⎝⎛⎭⎫a 32＋(1－a )⎝⎛⎭⎫a 3＋1<0，得a >3或a <－32，故a >3； 2°当－1≤a －12≤a 3，即0<a ≤3时，4－(a －1)24<0，得a <－1或a >3，故a 无解；综上a 的取值范围为(3，＋∞)．(3)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等． ①g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝⎛⎫a －12>1⇒a >1或a <－3；②f (x )－1＝0有3个不同的实根，1°当a3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍去；2°当a 3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍去；3°当a 3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a 3处取得极大值，f ⎝⎛⎫a 3>1⇒a >3322，所以a >3322. 因为①②要同时满足，故a >3322.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：a >334也对 下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立． 假设存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1， 由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ， 得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0.当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合题意，舍去； 所以x 0≠a ，即x 20－ax 0＋x 0＋1＝0.① 又g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1.②联立①②式，可得a ＝0，而当a ＝0时，不满足a ＞3322，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．本题考查函数与导数的综合应用，利用导数研究函数的极值和最值，第一问是解方程；第二问将不等式有解问题，转化成最值问题处理，但需要讨论，并不简单；第三问思维要求比较高，除了分解方程的根之外，最终关键点是证明这5个根是不同的．[演练3](2012·盐城模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)． (1)当x <0时，求f (x )的解析式；(2)当m ∈R 时，试比较f (m －1)与f (3－m )的大小；(3)求最小的整数m (m ≥－2)，使得存在实数t ，对任意的x ∈[m,10]，都有f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|. 解：(1)当x <0时，f (x )＝f (－x )＝ln(－x ＋2)．(2)当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)单调递增，而f (x )是偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减． 所以f (m －1)＞f (3－m )⇔|m －1|>|3－m | ⇔(m －1)2>(3－m )2⇔m >2.所以当m >2时，f (m －1)>f (3－m ) ； 当m ＝2时，f (m －1)＝f (3－m )； 当m <2时，f (m －1)<f (3－m )．(3)当x ∈R 时，f (x )＝ln(|x |＋2)，则由f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|，得ln(|x ＋t |＋2)≤ln(x ＋3)2， 即|x ＋t |＋2≤(x ＋3)2对x ∈[m,10]恒成立从而有⎩⎪⎨⎪⎧t ≤x 2＋5x ＋7，t ≥－x 2－7x －7，对x ∈[m,10]恒成立， 因为m ≥－2,所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≤(x 2＋5x ＋7)min ＝m 2＋5m ＋7，t ≥(－x 2－7x －7)max ＝－m 2－7m －7. 因为存在这样的t ，所以－m 2－7m －7≤m 2＋5m ＋7， 即m 2＋6m ＋7≥0.又m ≥－2，所以适合题意的最小整数m ＝－1. [专题技法归纳] (1)恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．(2)有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．(3)证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．(4)方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．1．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫na n n ＋1的前n项和的公式是________________________．解析：y ＝x n －x n ＋1，k ＝y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(2n ＋2)·2n －1＝－(n ＋2)2n －1，切点为(2，－2n )，切线方程点斜式为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n －1(x －2)，令x ＝0得a n ＝(n ＋1)·2n ，令b n ＝na nn ＋1，则b n ＝n ·2n ，令S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，由错位相减法可得S n ＝2－(1－n )2n ＋1.答案：S n ＝2－(1－n )2n ＋12．不等式ax ≤x 在x ∈[0,3]内恒成立，则实数a 的取值范围________．解析：画出两个函数y ＝ax 和y ＝x 在x ∈[0,3]上的图象，由图知，当x ＝3时，3a ≤3，即当a ≤33，x ∈[0,3]时，总有ax ≤x ，所以a ≤33. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，33 3．若f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由于所给函数可分解为y ＝log a u ，u ＝2－ax ，其中u ＝2－ax 在a ＞0时为减函数，所以必须a ＞1；因为[0,1]必须是y ＝log a (2－ax )定义域的子集，所以x ＝1时，a <2.所以1<a <2.答案：(1,2)4．已知a 是实数，函数f (x )＝2x 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间(－1,1)上有零点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )图象的对称轴为x ＝－12，所以①函数在区间(－1,1)上只有一个零点， 此时f (－1)f (1)<0或Δ＝0， 即(－3－a )(1－a )<0或7＋2a ＝0， 解得－3<a <1或a ＝－72.②函数在区间(－1,1)上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋2a >0，－3－a >0，1－a >0.解得－72<a <－3.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－72，－3∪(－3,1)． 答案：⎣⎡⎭⎫－72，－3∪(－3,1) 5．将函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．解析：由y ＝－x 2＋2x ＋3 －3，得(y ＋3)2＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， 即(x －1)2＋(y ＋3)2＝4.注意到－x 2＋2x ＋3≥0，从而y ≥－ 3.又x ∈[0,2]，所以函数的图象是x ∈[0,2]的圆弧，如图1.由图可知，当切线从起始位置l 0逆时针转至y 轴时，如图2，都能保证曲线C 是一个函数的图象，所以θ的最大值是l 0的倾斜角的余角，其值是π6.图1 图2 答案：π66．已知函数f (x )的定义域为R ，f (2)＝3，且f (x )在R 上的导函数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x －1，则由条件知g ′(x )＝f ′(x )－1<0，g (2)＝0，函数g (x )＝f (x )－x －1在定义域R 上单调递减，不等式f (x 2)<x 2＋1化为g (x 2)<g (2)，所以x 2>2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是________．解析：令x ＋1＝0，得x ＝－1；令log 2x ＝0，得x ＝1. 令F (x )＝f [f (x )]＋1，则F (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图象如图所示，由图象可知函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． 答案：48．设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是________解析：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，又f (x )是对称函数，所以在区间[a ，b ]([a ，b ]⊆(－∞，2])上有⎩⎨⎧2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b ，因此关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同的实根，通过换元并结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94. 答案：⎣⎡⎭⎫2，94 9．已知函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，当x ∈(0,1)时，恒有f (x )<0成立，则函数g (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ax 的单调递减区间是________．解析：当x ∈(0,1)时，|x ＋1|>1，但log a |x ＋1|<0，故由对数函数的图象知，0<a <1.由－32x 2＋ax >0，解得0<x <23a ，即函数g (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ax 的定义域为⎝⎛⎭⎫0，23a .因为二次函数t ＝－32x 2＋ax 的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 3，结合函数g (x )的定义域知，函数g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，a3. 答案：⎝⎛⎦⎤0，a 3 10．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)有3个不同的实数根，则a 的取值范围为________．解析：依题意可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [(x ＋2)－2]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，如图所示，先作出当x ∈[－2,0]时的图象，然后根据函数f (x )是定义在R 上的偶函数，作出其关于y 轴的对称图形，得到x ∈[0,2]时函数的图象．再根据函数的周期性，即可得到x ∈[2,6]时函数的图象，在此坐标系内，作出函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象．由题意知，函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象与函数f (x )在(－2,6]上的图象有3个交点，根据两个函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ log a 4<3，log a 8>3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3>4，a 3<8，解得34<a <2.故a 的取值范围为(34，2)． 答案：(34，2)11．(2012·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )<f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值． 解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )．又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋12(1－x )在x ∈[－2，－1]时恒成立． 因为x 2－2x ＋12(1－x )＝1－x 2≤32， 所以a ≥32. (2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ；②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )，f (x )，f (x )<f ′(x ). ①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )， 所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )， 所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5； 当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2；当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a )，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]， 当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0， 所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12.12．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；(3)设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为x 1，x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5, ∴c ＝－5.∵函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴x ＝1时取得极大值．又当x ＝0，x ＝2时函数f (x )取得极小值，∴x ＝0，x ＝1, x ＝2为函数f (x )的三个极值点，即f ′(x )＝0的三个根为0,1,2.∴f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋2bx ＝4x (x －1)(x －2)＝4x 3－12x 2＋8x .∴a ＝－4，b ＝4.∴函数f (x )的解析式 f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2－5.(2)若函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴，设对称轴方程为x ＝t ，则f (t ＋x )＝f (t －x )对x ∈R 恒成立， 即 (t ＋x )4－4(t ＋x )3＋4(t ＋x )2－5＝(t －x )4－4(t －x )3＋4(t －x )2－5.化简得(t －1)x 3＋( t 2－3 t ＋2)x ＝0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1. 即函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴x ＝1.(3)x 4－4x 3＋4x 2－5＝λ2x 2－5恰好有三个不同的根，即x 4－4x 3＋4x 2－λ2x 2＝0恰好有三个不同的根，即x 2(x 2－4x ＋4－λ2)＝0.∵x ＝0是一个根，∴方程x 2－4x ＋4－λ2＝0应有两个非零的不相等的实数根．∴Δ＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x 1x 2＝4－λ2≠0.∴λ≠0，－2,2.假设存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立． ∵|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2－4x 1x 2＝2|λ|＞0，要使m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立，只要m 2＋tm ＋2≤0对任意t ∈[－3,3] 恒成立，令g (t )＝tm ＋m 2＋2 , 则g (t )是关于t 的线性函数．∴只要⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)≤0，g (3)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，－2≤m ≤－1. ∴不存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立．。

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习 （研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升） 第一部分 专题一 客观题专题攻略 1-1-3第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理 理一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 答案：C2．(2012年高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z max ＝3×3＋2＝11.答案：B3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2，我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．答案：B4．(2012年高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． 答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1， 解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．答案：B6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D.答案：D7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C8．(2012年高考福建卷)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案：B 二、填空题9．如果(3x 2－2x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：由T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r·(－2x3)r＝C rn ·3n －r·(－2)r ·x2n －5r，∴2n －5r ＝0，∴n ＝5r2(r ＝0，1，2，…n )，故当r ＝2时，n min ＝5. 答案：510．某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买每袋2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5x ∈Z，y ∈Z，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：4411．(2012年唐山模拟)在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C14C13C12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：48。

2013版高考数学二轮复习专题训练：集合与逻辑本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{|0},{||2,},A x x B y y y Z =≥=≤∈则下列结论正确的是( )A ．AB φ=I B ．()(,0)RC A B =-∞UC ．[0,)A B =-∞UD ．(){2,1}R C A B =--I 【答案】D2．若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】A3．集合{1，2，3}的真子集共有( ) A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】C4．设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真 【答案】C5．若10≠>a a 且，则“0log <b a ”是“0)1)(1(<--b a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A6．下列命题中，为真命题的是( )A ．若sin α=sin β,则α=βB ．命题“若x ≠1,则x 2+x-2≠0”的逆否命题C ．命题“x>1,则x 2>1”的否命题D ．命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题【答案】D7．条件甲：“1>a ”是条件乙：“a a >”的( ) A ．既不充分也不必要条件B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 【答案】D8．设集合{}{}222),(,1),(x y y x N y x y x M===+=则集合N M ⋂的子集个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D9．下列选项叙述错误的是( ) A ．命题“若x ≠l ，则x 2－3x 十2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x 十2＝0，则x ＝1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1#0，则⌝p ：x ∃∈R ，x 2＋x 十1＝0D ．“x ＞2”是“x 2一3x ＋2＞0’，的充分不必要条件【答案】B10．设命题p 和q ，在下列结论中，正确的是( ) ①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 【答案】B11．命题“,x x e x ∃∈>R ”的否定是( )A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<R C ．,x x e x ∀∈≤R D ．,x x e x ∃∈≤R 【答案】C12．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列命题：①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件；②“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分必要条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件； ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.判断错误．．的有____________. 【答案】②⑤14．已知集合A 满足：若M aa A a ∈-+∈11,则，当2=a 时，集合=A __________。

2013年高考数学新大纲必考题及答案二第I 卷(选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.已知集合}01|{2≤-=x x M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则M ∩N =（ ） A.}1,0,1{- B.}0,1{- C.)1,1[- D.]0,1[-2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3.在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．52D ．1044.已知0a >且1a ≠，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可 能是( )A ．B ．C ．D ．5.已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则342z x y =+-的最大值为( ) A.8 B.6 C.5 D.16.正四面体ABCD 的顶点A,B,C 分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则下列命题中，错误的是（ ） A.O-ABC 是正三棱锥 B.直线O B ∥平面ACD C.直线AD 与OB 所成的夹角为045 D.二面角D-OB-A 为045 7.下列说法正确的是（ ） A.存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a B.x y tan =在其定义域内为增函数 C.)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数D.|62|sin π+=x y 最小正周期为πOO O O x xxx yyyy1 11 111118．设()f x 为可导函数，且满足12)21()1(lim-=--→xx f f x ，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－29.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( ) A.900 B.1500 C.1800 D.1440A.5≤aB.4<aC.5<aD.4>a→→=FB FA 2,2)(→→→=⋅OB OA OB ,则双曲线的离心率为( )[]b a ,（Z b a b a ∈<,,）内，圆a b y x -=+22的面积的最小值是( )A.πB. π2C. π3D. π4第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为 .14.若直线01=+-y kx 与圆01222=+-++my x y x 交于M ,N 两点，且M ,N 关于直线x y -=对称，则||MN = .15. 已知P 为ΔABC 所在平面内一点，且满足→→→+=AB AC AP 5251，则ΔAPB 的面积与的ΔAPC 面积之比为 .16.若函数y=f(x)对定义域的每一个值x 1，都存在唯一的2x ，使1)()(21==x f x f y 成立,则 称此函数为③x y 2=是“滨湖函数”；④ x y ln =是“滨湖函数”；⑤ )(x f y =，)(x g y =都是“滨湖函数”，且定义域相同，则)()(x g x f y =是“滨湖函数” 。