辽宁省灯塔市2016_2017学年八年级数学下册1.1等腰三角形第1课时导学案

八年级数学下册1.1 等腰三角形导学案1（新版）北师大版1、理解等边三角形的判别条件及其证明；2、理解含有30角的直角三角形性质及其证明；3、利用以上两个定理解决一些简单的问题。

重点：等腰三角形的性质定理难点：等腰三角形的性质定理的应用、导学过程导学过程导学后反思1、回忆一下：1、等腰三角形性质定理及判定方法；2、等边三角形性质定理。

2、自主学习：阅读教材P10-12。

并尝试解决课后问题。

1、如何确定一个三角形是等边三角形呢？如何确定一个等腰三角形是等边三角形呢？ABC定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；（结合题设与结论写出已知与求证）已知：在ΔABC 中，求证：证明：推理格式：∵ ∴ 定理：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；（结合题设与结论写出已知与求证）已知：在ΔABC中，求证：证明：推理格式：∵ ∴2、用含30角的两个相同的三角尺，能拼成一个三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的等于的一半、推理格式：∵ ∴3、简单运用巩固新知1、Rt△ABC中，∠C=90，如图下左图，若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________、2、等边△ABC，AD为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________、3、上右图所示，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________、4、如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30，则∠C=__________；若AB=6，则BC=__________、5、、如图所示，△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60、求证：BD=3AD、6、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形、、四：教学反思。

八年级数学下册第一章三角形的证明 1.1.1 等腰三角形导学案 (新版)北师大版1、1、1 等腰三角形导学案学习目标1、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法。

2、掌握证明的基本要求和方法。

学习重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法。

学习难点：掌握证明的基本要求和方法。

一、自学释疑探索证明等腰三角形性质定理的过程中，应该注意些什么？二、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

_________________________________________________________ _________________________________________________________ _______________________三、合作探究问题1：根据学过的基本事实和已知的定理，能证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”吗？与同伴交流，展示你的说理过程。

如：已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF、求证：△ABC≌△DEF、问题2：等腰三角形有什么性质？探究点一：等腰三角形的两个底角关系，与同伴交流。

活动1：回忆七年级下册通过什么活动获得的等腰三角形的性质？活动2：你能证明等腰三角形的这条性质吗？这条性质结论：、简述为：、探究点二:回顾前面的证明过程，AD有什么性质？为什么？由此得到什么结论？与同伴交流。

这一结论简述为：、变式训练：1、如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC ＝CD、(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)∠BAD的度数、四、随堂检测1、等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A、80B、80或20C、80或50D、202、已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A、8B、9C、10或12D、11或133、在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A、7B、11C、7或11D、7或104、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（）A、60B、120C、60或150D、60或1205、在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72，则∠ABD=（）A、36B、54C、18D、646、△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40，则∠A=________，∠ABD=_______、7、△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD、①求证：△ABD是等腰三角形② 求∠BAD的度数、我的收获1、、2、教会学生根据已知条件选择合适的证明方法解题、参考答案问题1：证明：∵∠A+∠B+∠C=180，∠D+∠E+∠F=180。

等腰三角形
一、问题引入：
1. 已知△ABC中,AB=AC=5cm,请增加一个条件使它变为等边三角形.
2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.
得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.
二、基础训练：
做一做：用两个含300角的三角板,你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作,思考：在直角三角形中,300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.
得出定理：在直角三角形中,300角所对直角边等于斜边的 .
三、例题展示：
1. 等腰三角形的底边为150,腰长为2a,求腰上的高.
2. 判断：（1）在直角三角形中,直角边是斜边的一半.（）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）
3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.
四、课堂检测
1. 等腰三角形的底边等于150,腰长为20,则这个三角形腰上的高
是 .
2. 在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠A =300,CD⊥AB,BD=1,则AB= .
3. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点, DE⊥AC,则AE:EC= .
4. 如图,在Rt△ABC中,∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC,使
点C恰好落在
AB的中点D处,则∠A= .
5. 在Rt△ABC中,∠C=300,AD⊥BC,你能看出BD与BC的大小关系吗？
中考真题：已知：如图,△ABC中,BD⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点,∠A=300,
DE=1.8,求AB的长.。

【学习目标】课标要求：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．目标达成：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．学习流程：【课前展示】观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。

活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．【创境激趣】通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB，B 1C⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少?B 1C 1呢?解：在Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm ， ∴BC＝12 AB ＝12 ×10＝5 cm ．∵CB 1⊥AB，∴∠B+∠BCB 1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB 1 ＝∠A＝30°在Rt△ACB 1中，BB 1＝12 BC ＝12 ×5＝52 cm ＝2．5 cm ．∴AB1＝AB ＝BB 1＝10—2.5＝7.5(cm)． ∴在Rt△C 1AB 1中，∠A＝30° ∴B 1C 1 ＝12 AB 1＝12 ×7.5＝3.75(cm)．【自学导航】阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．（1）．勾股定理及其逆定理的证明．已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 求证：a 2+b 2＝c 2．证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD＝∠A，并取BE ＝c ，连接ED 、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE＝90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE 是直角梯形．∴S 梯形ACDE ＝12 (a+b)(a+b) ＝12(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD )＝180°－90°＝90°， AB ＝BE ． ∴S△ABE＝12c 2∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ， ∴12 (a+b) 2＝12 c 2 +12 ab+12ab, 1C 1B CABCABcb EDCAB a即12 a 2+ab+ 12 b 2＝12 c 2+ab, ∴a 2+b 2＝c 2教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2求证：△ABC 是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB ，A′C′、AC(如图)， 则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)． ∵AB 2＋AC 2＝BC 2，A′B′＝AB ，A′C′ ∴BC 2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS ）∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC 是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【合作探究】教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。

《等腰三角形》第1课时教学目标知识与技能：1、了解等腰三角形的概念；2、探索并掌握等腰三角形的性质； 过程与方法：1、经历动手制作出等腰三角形的过程，从对称轴的角度去体会等腰三角形的特点；2、通过实践、观察、证明等腰三角形性质的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；3、通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 情感态度与价值观：1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形的性质的过程中培养学生认真思考的习惯.2、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲； 教学重难点教学重点：1、等腰三角形的概念及性质．2、等腰三角形性质的应用． 教学难点：1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．2、等腰三角形性质的证明. 教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容如图(1)，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？D CBA图(1)二、学生活动设计：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．教师活动设计：让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图(2)：B图(2)△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B 和∠C是底角．学生观察、归纳并展示结论，教师适时引导(如指出：重合即相等)，结合学生的猜想给出性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(板书在黑板上)教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善、归纳出等腰三角形的性质1和性质2.三、等腰三角形性质的证明已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B＝∠C证明：取BC边的中点D，连接ADD是BC的中点∴BD=CD在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧===AD AD CD BD AC AB ∴△ABD ≌△ACD (SSS )∴∠B ＝∠C (全等三角形对应角相等)受性质1的证明的启发，由△ABD ≌△ACD ，还可以得出CDA,BDA CAD;BAD ∠=∠∠=∠从而BC AD ⊥.这也就证明了等腰三角形ABC 底边上的中线AD 平分顶角BAC ∠，并垂直于底边BC .教师在上面证明的基础上添加下面证明步骤：ADC ADB CAD,BAD :∠=∠∠=∠同理 ︒=∠+∠180ADC ADB 又边上的高是的角平分线，是BC AD BAC AD ∠∴师：用类似方法，我们还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，地边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了性质2.四、随堂练习，变式训练 求等腰三角形个角度数：(1)在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. (2)在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数，求其它两角时， (a )若已知角为钝角或直角，则它一定是顶角； (b )若已知角为锐角，它可能是顶角，也可能是底角. 五、小结请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容.等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.第2课时教学目标1、理解并掌握等腰及等边三角形的定义，探索等腰、等边三角形的性质和判定方法定2、体会等腰、等边三角形与现实生活的联系．3、能够用等腰、等边三角形的知识解决相应的数学问题． 教学重难点教学重点：等腰、等边三角形的性质． 教学难点：等腰、等边三角形性质应用．教学过程一、知识回顾：1、回顾一般三角形定义及判定定理2、当两边相等边的三角形是什么三角形？它有什么特点？假如它三边相等呢？它又是什么三角形？二、教学内容等腰三角形：等腰三角形基本概念；有两边相等的三角形叫作等腰三角形；相等的两边叫作腰，另一边叫作底边；两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．1、等腰三角形的基本性质性质1：等腰三角形的两个底角相等．(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(简称成“三线合一”)2、等腰三角形的判定定理判定定理：有两边相等的三角形是等腰三角形 典型例题(1)、一个等腰三角形的周长是13，其中一条边是3，那么腰长是_________ (2)、已知等腰三角形的一个内角是40°，那么这个等腰三角形的顶角为_________ 例1：如下图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，求△ABC 各个内角的度数．CB例2：已知：如下图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ． 求证：DE =DF等边三角形1、等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形．讨论：等边三角形的性质？(学生分组讨论，教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑) 2、等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边相等； (2)等边三角形的内角相等，且为60°；(3)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)； (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴． 3、等边三角形的判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形 (2)三角相等的三角形是等边三角形(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 4、例题分析例3：已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE =BD ，求BE 与CD •的夹角是多少度？ 例4：如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，•求证：•BC =3AD .D CAB课后总结1．等腰、等边三角形的性质 2．等腰、等边三角形的判定3．等腰、等边三角形的轴对称性及轴对称图形第3课时教学目标知识与技能1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形； 2．会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法． 能力目标：经历“猜想—验证—总结归纳—应用”的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式，亲历“做数学”的过程，培养探究 数学问题、解决问题的能力．情感目标：1．体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲．.2．在学习中获得成功的体验，感受到数学学习的乐趣，建立自信心． 3．体会数学源于生活而又反作用于生活，培养用数学的意识． 教学重难点教学重点：等腰三角形的性质判定．教学难点：等腰三角形的性质判定的证明及应用． 教学过程学生活动设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A ＝∠B 下，线段AO 和BO 是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．COBA图1学生活动设计：教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO =BO ”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O 作OC ⊥AB 于点C ，利用AAS 可以证明△OAC 和△OBC 全等，进而得到AO =BO ．最后归纳出等腰三角形的判定方法．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)第4课时教学目标知识与技能：1．掌握证明的基本步骤和书写格式．2．能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理． 能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理．情感目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算． 教学重难点教学重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.教学难点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理． 教学过程(一)．复习旧知，导入新知[师]上一节课中，我们学习了等边三角形的性质和判定，请大家回忆一下： 1．等边三角形有哪些性质？ 2．你有哪些判定等边三角形的方法？这一节课，我们将应用等边三角形的性质和判定解决一些相关的问题． (二)自主探究，学习新知[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)[生1]用含30°角的直角三角尺摆出了如下等边三角形：(1)DCAB理由：因为△ABD ≌△ACD ，所以AB =AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD =30，所以∠ABD =60°，所以△ABC 是等边三角形.(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．[生2]图(1)中，∠B =∠C =60°，∠BAC =∠BAD +∠CAD =30°+30°=60°，所以∠B =∠C =∠BAC =60°，即△ABC 是等边三角形．(三个角都相等的三角形是等边三角形).[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB =BC =AC ．•而∠ADB =90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD =DC =12BC ．所以BD =12AB ，即在R t △ABD 中，∠BAD =30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°． 求证：BC =12AB ． ABDC AB图2分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，则∠B =60°． 延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD (如上图) ∵∠ACB =60°， ∴∠ACD =90°． ∵AC =AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS )．∴AB =AD (全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC =12BD =12AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，它是证明线段倍分关系的又一定理.你能写出这个定理的符号语言吗？_A_B图3如图3，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°．∴ BC=12 AB．下面我们就来看一下这个定理在实际中的应用．(三)合作探究，应用新知[师]再看下面的例题．例：等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．DCA图4已知：如图4，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，•则∠D AC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=12AC=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．[师]下面我们来做练习．(四)．课堂小结说一说你在等边三角形这一节中印象最深的是什么？都有哪些收获？这节课，我们应用等边三角形的性质和判定推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．(五)．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．方法分析：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．AB 图5已知：如图(5)，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12 AB．求证：∠BAC=30°．证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=12 BD．又∵BC=12 AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．。

《1 等腰三角形》第1课时教学目标1、知识目标：了解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断、计算作用．2、能力目标：从设置问题⇒模型演示⇒自己动手探究发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力．3、情感目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美．教学重难点重点：等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一．难点：等腰三角形三线合一的推理应用．教学过程（一）直观演示，大胆猜想1、观察含有等腰三角形图片，让学生从感性上认识等腰三角形，激发学生的兴趣．2、由学生自己动手折纸游戏，演示等腰三角形变换，大胆猜测等腰三角形的性质．（二）证明猜想，形成定理．例、△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠CB1、思考：如何证明你的猜想？〔讲述一种证明方法：作顶角的平分线〕〔解答〕证明：做顶角的平分线AD，AD平分∠A，AD⊥BC．D C B在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧===CD BD AD AD AC AB所以△ABD ≌△ACD （SSS ），所以∠B=∠C ，∠BAD =∠CAD ，∠ADB =∠ADC ＝90°． 思考：有其它的方法吗？试试看，用不同的方法证明这个结论．2、想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”．推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．3、小结：根据等腰三角形的性质填空（1）如果AB =AC ，AD 是角的平分线那么-----------------------------------．（2）如果AB =AC ，AD ⊥BC 那么-------------------------------------．（3）如果AB =AC ，BD =CD 那么------------------------------------．总结，积累知识点，从理性上认识等腰三角形的性质，形成知识体系．第2课时教学目标1．知识与能力：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．2．过程与方法：在探索等腰三角形中的线段长度关系的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3．情感、态度与价值观：培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．教学重难点教学重点：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．教学难点：探索等腰三角形中的线段长度关系的探索和应用．教学过程等腰三角形性质的探究1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段．2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔．3．分别演示：在△ABC 中，∠ABD =k 1∠ABC ，∠ACE =k 1∠ACB ，k =31，41时，BD 是否与CE 相等．引导学生探究、猜测当k 为其他整数时，BD 与CE 的关系． 4．引导学生探究，对于上述例题，当AD =k 1AC ，AE =k 1AB ，k =21，31时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程．5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k 取一般的自然数后，原结论是否仍然成立？要求学生说明理由或给出证明．6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明．7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立．适时地引导学生思考可以用哪些方法证明？培养学生的推理能力．8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力．9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立？如果成立，能否证明．这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力．10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解．第3课时教学目的1、使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；2、掌握等腰三角形判定定理的运用；3、通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；4、熟识等边三角形的性质及判定．教学重难点教学重点：等腰三角形的性质及其应用；等腰三角形的判定定理．教学难点：性质与判定的区别．教学过程一、新课背景知识复习1、请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论．2、等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：二、新课1、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称“等角对等边”）．由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证；AB=AC教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC 边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．注意：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系．2、在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形具有什么性质呢？（1）请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想．（2）你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°．（3）上面的条件和结论如何叙述？等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？等边三角形也称为正三角形．例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD 是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求．问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？问题2：求∠1是否还有其它方法？三、小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°．“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件．第4课时教学目标1．知识与技能：（1）理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．（2）会用等边三角形的知识解决相应的数学问题．（3）使学生理解含30°角的直角三角形的性质．2．过程与方法：（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践．（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程．3．情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质．（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度．教学难重点教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明；理解含30°角的直角三角形的性质及应用．教学难点：等边三角形性质和判定的应用；含30°角的直角三角形性质的探究．教学过程教学过程一．复习回顾等腰三角形概念及性质：（1）叫等腰三角形．（2）等腰三角形的相等．（3）等腰三角形、、互相重合．二．新课讲解活动一：等边三角形的证明1．等边三角形的判定推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．要让学生自己推证这两条推论．2．应用举例例1．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．分析：让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补；②它等于与它不相邻的两个内角的和．要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．数学表达：已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：（略）由学生板演即可．活动二：探究直角三角形的性质１．拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法．（如图1）图（1）学生活动：学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．教师活动：教师巡视观察、倾听各组学生是否发现并理解直角三角形的性质，根据情况进行点拨、引导．2．说一说：你能利用数学语言说一说你的发现吗？学生活动：学生根据图形指出，在Rt△ABC中，因为∠A=30°，所以∠A所对的直角边等于斜边AB的一半．教师活动：教师根据学生叙述进行板书，根据学生叙述情况进行追问、强调．发挥教师的主导作用．3．证一证：师生活动：教师通过追问“这条性质一定是真命题吗？你能验证吗？”引发学生思考，根据图形，自主尝试证明这条性质的正确性．教师巡视指导，观察学生的证明方法，根据学生是否有不同证明方法找学生展示讲解，师生质疑．活动三：变式练习，深化性质1．已知如图（3），在Rt△ABC中，因为∠A=30°，则下列结论正确的为：A、B、C、图（3）图（4）2．已知如图（4），△ABC，∠C=90°，∠A=30°，DE⊥AC于点E，FG⊥AB于点G，请你根据直角三角形的性质写出不同线段间的数量关系．学生活动：学生独立自主完成练习，小组展示，师生质疑矫正．教师活动：教师重点关注学生能否找准30°角所对的直角边，能否根据性质写出线段间的关系．活动四：应用提高、拓展创新1．如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7．4m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？图（5）图（6）2．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．师生活动：学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．。

八年级数学下册 1.1 等腰三角形导学案（1）（新版）北师大版1、1 等腰三角形（1）环节学生学习内容及要求学情预设学习目标学法指导：结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶，完成学习任务。

定向自学一、温故：（一）八年级上册“平行线的证明”中给出的8条基本事实：1、两点确定条直线；2、两点之间最短；3、同一平面内，过一点一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等，两直线；5、过直线外一点一条直线与这条直线平行；6、两边及其夹角分别的两个三角形全等；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形；8、三边分别相等的两个三角形。

（二）全等三角形1、全等三角形的定义：能够完全的个三角形称为全等三角形；2、全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

二、知新：（一）你能用有关的基本事实和学习过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这一结论吗？注意：根据基本事实证明上述结论，首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程。

1、作图：2、已知：3、求证：4、证明：（二）等腰三角形1、等腰三角形的定义：有相等的三角形叫等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两底角。

简述为：等边对。

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的及底边上的互相重合，简称：。

检查讨论在小组中讨论完成的问题：在小组中仍然不能解决的问题：展示反馈教材P3随堂练习1、2；教材P5知识技能1、2。

中考链接BAED1FC1、如右图所示，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）A、5B、4C、3D、22、已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为（）A、13B、17C、22D、17或223、（能力提升）在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若补充下列任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是（）①AC=DF；②BC=EF；③∠B=∠E；④∠C=∠F。

等腰三角形一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高）,你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2、等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们,并与同伴交流.二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2）,由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等,反过来此命题成立吗？并与同伴交流,由此得到什么结论？得出定理：；简称： .3. 请同学们阅读课本“想一想”,这一结论成立吗？你能证明吗？若不会证明,请看课本小明是怎样证明的,这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称为什么方法？三、例题展示：如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE相交于点O,给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中,哪两个条件可判定是等腰三角形,请你写出一种情形,并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图,在△ABC 中,则图中等腰直角三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC 上两点,且AD=BD,AE=CE,猜想△ADE 是 三角形.3. 如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交与点O,若AB=12,AC=18,BC=24,则△ABC 的周长为（ ） A.30 B.36 C.39 D.424. 在△ABC 中,AB=AC, ∠A=360,BD.CE 是三角形的平分线且交于点O,则图中共有 个等腰三角形.第1题 第2题第3题 第4题5. 如图：下午14：00时,一条船从处出发,以28海里/小时的速度,向正北航行,16：00时,轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？如果是,请给出证明；如果不是,请给出反例.。

1.1.1 等腰三角形导学案
I. 知识目标
•理解等腰三角形定义
•学会判定等腰三角形
•掌握等腰三角形的性质
II. 教材内容
•北师大版八年级数学下册第一章第一节
III. 导学步骤
1. 导入引入
•通过画图的方式，呈现一个三角形，引出等腰三角形的概念。

2. 等腰三角形的定义
•将定义板书在黑板上：
–定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的顶角所在的边叫作等腰线，顶角所对的两条边叫做腰。

3. 等腰三角形的判定
•将判定结论板书在黑板上：
–若一个三角形的两边相等，则这个三角形是等腰三角形。

–若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。

4. 等腰三角形的性质
•将等腰三角形的性质板书在黑板上：
–等腰三角形的两底角（顶角所对的角）相等。

–等腰三角形的底边（不是等腰线所在的那条边）上的高线相等。

–等腰三角形的高线同时也是它的中线，且中线所在的那条边是等腰线的中线。

5. 课堂练习
•教师出示不同图形，让学生判定是否是等腰三角形。

•学生手绘不同类型的等腰三角形，通过比较它们的性质和特点，让学生综合理解等腰三角形的定义和性质。

IV. 思考题
•完成书本上页30的练习题1、2。

V. 本节课后作业
•完成书本上页30的练习题3、4。

•复习本节课所学的内容，并且对等腰三角形的定义和性质，以及判定方法进行理解和掌握。

VI. 总结归纳
•等腰三角形作为初中数学中一个非常基础和重要的概念，掌握它的定义和性质对于后续数学学习将具有至关重要的作用，需要学生在课下多花些时间练习。

等腰三角形一、问题引入：1.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤2. 列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角 . （3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等. （5）公理：的两个三角形全等. （6）公理：全等三角形的对应边，对应角 . 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CD F,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为 .3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为 . （2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 .4. △ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=A E,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。

1.1等腰三角形【学习目标】课标要求：1、理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；2.在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；3.熟悉证明的基本步骤和书写格式。

目标达成：1、理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；2.在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；3.熟悉证明的基本步骤和书写格式。

学习流程：【课前展示】提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（AS A）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AA S），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

【创境激趣】经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。

【自学导航】1、 由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。

具体证明如下：已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）。

1.1.2 等腰三角形导学案学习目标1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明.2、掌握特殊的等腰三角形---等边三角形的性质定理并会证明.学习重点：等腰三角形中重要线段相等推导过程,等边三角形的性质定理的证明.学习难点：运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.一、自学释疑运用“等角对等边”解决实际应用问题中，应该注意些什么？二、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________三、合作探究探究点一：等腰三角形的角平分线特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的角平分线，你能发现其中有相等的线段吗？你能说明理由吗？已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BD=CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等问题2：已知：△ABC 中，AB=AC ，（1）如果∠ABD=13∠ABC ，∠ACE=13∠ACB ．BD=CE 吗？（2）如果∠ABD=14∠ABC ，∠ACE=14∠ACB ．BD=CE 吗？（3）如果∠ABD=1n ∠ABC ，∠ACE=1n∠ACB ．BD=CE 吗？请你说明理由，与同伴交流.探究点二：等腰三角形两腰上的中线的特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的三条中线，你能发现其中有相等的线段吗？你能证明吗？已知：等腰△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，求证：BD=CE.问题2：已知：△ABC中，AB=AC，与同伴交流，如果我们把它推广到下列情况。

（1）AD=13AC，AE=13AB．BD=CE吗？（2）AD=14AC，AE=14AB．BD=CE吗？（3）AD=1nAC，AE=1nAB．BD=CE吗？请你证明你的结论。