湖北省襄阳五中高考数学5月模拟试卷 文(含解析)

湖北省襄阳市第五中学2021 届高三数学五月模拟考试试题〔一〕文考试时间： 2021 年 5 月 3 日一、选择题：此题共12 个小题，每题 5 分，共60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合U R ， A { x Z | x25} ， B { x | x2 (2 x)0} ，那么图中阴影局部表示的集合为A．{2}B．{1,2}C．{0, 2}D．{0,1, 2}2.复数 z 5 12i 〔i是虚数单位〕，那么以下说法正确的选项是A．复数z的实部为5B．复数z的模为13C．复数z的共轭复数为 5 12i D．复数z的虚部为12i3.以下茎叶图中的甲，乙的平均数，方差，极差及中位数，相同的是A．极差B．方差C．平均数D．中位数4.以下说法中正确的选项是A．“a b〞是“a2b2〞成立的充分不必要条件B．命题:, 2x0 ，那么x0 p x R p :x0 R, 20C．为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40 的样本，那么分组的组距为40D．回归直线的斜率的估计值为1.23 ，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线方程为^.5. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如下图的“勾股圆方图〞中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，假设直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖6落在小正方形内的概率是A. 13B.3C. 43 D.32244 6.刘徽?九章算术注?记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也〞. 意即把一长方体沿对角面一分为二， 这相同的两块叫做堑堵， 沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2 :1 ，这一结论今称刘徽原理 . 如图是一个阳马的三视图，那么其外接球的体积为A ． 4B ． 3C ． 3D ．3 27. 函数 f xAsin x( A 0,0,0) 的局部图像如下图，其中2点 P 是图像的最高点； 假设将函数 f x 的图像上点的纵坐标不变， 横坐标缩短到原来的1，再向右平移个单位，所得到的函数g x 的解析式为46A. g x2sin 1xB.g x2sin2x4C. g x2sin 1 xD.g x2sin 2x4668. 假设 a 1， 0 c b 1，那么以下不等式错误的选项是A ． log 2021 log 2021 ． ab B log b a logc aC. ( ac)a c (a c)a b D ． (c b)c a(c b)b a9. 函数 ysin 2x 的局部图象大致为1 cos xA ． B．C.D ．10. 执行如下图的程序框图，假设xa ，b ，y0 ，4 ，那么b a 的最小值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 511. 抛物线y24 x 的焦点为F， A( x1 , y1) ， B(x2 , y2 ) 是抛物线上两动点，假设AB 3( x1x22) ，那么 AFB 的最大值为2A．5B ．2C ．3D ．634312. 函数 f (x)(x2x 1)e x，设关于 x 的方程f2( x) mf (x)5(m R) 有n个不e 同的实数解，那么n 的所有可能的值为A． 3B． 1 或 3C． 4 或 6D． 3 或 4 或 6二、填空题：此题共 4 个题，每题 5 分，共20 分 .13. 已知向量a, b满足|a | 1， | a b |7 ， b ( 3, 1) ，那么 a, b 的夹角等于.14.假设点( ,0)是函数 f ( x) sin x 2cos x的一个对称中心，那么cos2sin cos.15.直线 l :3x y m0 与双曲线x2y21(a 0,b0) 右支交于M , N两C :22a buuuur uuur r点，点 M 在第一象限，假设点 Q 满足 OM OQ 0 〔其中O为坐标原点〕，且MNQ300，那么双曲线 C 的渐近线方程为__________．16.已知函数 f x2x33mx2 3 m n x 1 的两个极值点分别为 x1 , x2，且x10,1 , x21,，假设存在点P m, n在函数 y log a x 4 a 1 的图象上，那么实数 a 的取值范围是__________．三、解答题〔本大题共 6 小题，共70 分 . 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〕17.等差数列a n的前 n 项和为S n，数列 b n是等比数列，满足a1 3 ， b1 1 ，b2 S210 ， a52b2a3．〔 1〕求数列a n和b n的通项公式；2,n是奇数〔 2〕令c n s n, 设数列c n的前 n 项和 T n，求 T2n．b n，n是偶数18.如图，在长方形 ABCD 中，AB 4 ，BC 2 ，现将ACD 沿 AC 折起，使D折到P 的位置且 P 在面ABC的射影 E 恰好在线段AB 上.〔Ⅰ〕证明：AP PB ；〔Ⅱ〕求三棱锥P EBC 的外表积.19. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计503在全部50 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为5.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．(3)喜爱打篮球的 10 位女生中， A1，A2，A3还喜欢打羽毛球， B1，B2，B3还喜欢打乒乓球， C1， C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8 位女生中各选出 1 位进行其他方面的调查，求B1和 C1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)k2n(ad - bc)2( 参考公式： K ＝，其中 n＝a＋b＋c＋d)(a b)(c d)(a c)(b d)20.圆C：(x1)2y28 ，过D (1,0)且与圆 C 相切的动圆圆心为P .（1〕求点P的轨迹E的方程；（2〕设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且 l1l 2，垂足为 W 〔Q，R， S ，T为不同的四个点〕.x 22①设 W( x0 , y0 ) ，证明：0y0 1 ；2②求四边形 QRST 的面积的最小值.21. 函数 f ( x)a(x 2)e x b( x 2)2，〔Ⅰ〕假设函数 f ( x) 在 (0, f (0))处的切线方程为 5x y 20 ，求a，b的值；〔Ⅱ〕假设a 1 ，b R 求函数f (x) 的零点的个数.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程x2y 2x 轴的正半轴为在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为1，以原点为极点，168极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 2 cos 1 0 .〔Ⅰ〕求曲线C1、 C2的参数方程；〔Ⅱ〕假设点M 、N分别在曲线C1、C2上，求MN的最小值.23.选修 4-5 ：不等式选讲a,b,c 均为正数，函数 f ( x) x 1 x5〔Ⅰ〕求不等式 f (x)10 的解集；〔Ⅱ〕假设 f ( x) 的最小值为m，且a b c m ，求证：a2b2c2 12襄阳五中2021 届高三年级五月模拟考试〔一〕数学试题〔文科〕参考答案一、选择题：1— 5:CBCDA 6 — 10:DDCAA 11 — 12:BA二、填空题： 13.314.115.y x 16. 1a3三、解答题17. 〔 1〕设数列a n的公差为 d ，数列b n的公比为 q ，由b2S2 10， a5 2b2a3，得 {q6d10,解得 {d2,〔 4 分〕4d2q32d,q2,3∴ a n 3 2 n 1 2n1，b n2n 1．(6分)〔2〕由a1 3 ， a n2n 1，得 S n n n 2 ，〔7分〕那么 n 为奇数时，c n 211，〔 8 分〕S n n n2n 为偶数时，c n2n 1，〔9分〕∴ T2 n c1c3c2 n 1c2c4c2 n= 11111112 2322 n 1〔10分〕3352n12n1112(14n )2n12 (4n1) ．〔12分〕2n142n318. 〔Ⅰ〕由题知PE平面 ABC ，又 BC 平面 ABC ，∴ PE BC ；又 AB BC 且 AB I PE E ，∴ BC平面 PAB ；〔2分〕又 AP平面 PAB ，∴BC AP ；又 AP CP 且 BC I CP C ，∴AP平面 PBC ；〔4分〕又 PB平面 PBC ，所以AP PB .〔6分〕〔Ⅱ〕在 PAB 中，由〔Ⅰ〕得 AP PB ， AB 4 ， AP 2 ∴PB 2 3223, PE43∴BE 3〔7分〕∴ S PEB 1 33 3 3〔 8 分〕22在EBC 中， EB3， BC 2 ，∴S EBC132 3 ，〔9分〕2在PEC 中， EC EB2BC213 ∴S PEC131339，〔10 分〕22∴ S PBC 1BC PB23 2 2 3 ，〔11分〕22所以三棱锥 P EBC 的外表积为S SPEBSEBCSPECSPBC333392733962232〔 12 分〕19. (1) 列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050〔2 分〕(2)是，理由：∵250×〔 20×15－10×5〕2K ＝30×20×25×25≈8.333>7.879 ，∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．〔6 分〕(3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 位，其一切可能的结果组成的根本领件如下：(A1，B1， C1) ， (A1，B1， C2) ， (A 1，B2， C1) ， (A 1，B2， C2) ， (A 1， B3， C1) ， (A 1， B3，C2) ， (A 2，B1，C1) ， (A 2， B1， C2) ，(A 2， B2， C1) ， (A2，B2， C2) ， (A 2， B3， C1) ， (A 2， B3， C2) ，(A 3， B1，C1) ， (A3， B1， C2) ， (A3， B2， C1 ) ， (A3，B2，C2) ， (A 3， B3， C 1) ， (A 3， B3， C2) ，根本领件的总数为18，用M表示“B1， C1不全被选中〞这一事件，那么其对立事件－M表示“B1，C1全被选－中〞这一事件，由于M由 (A 1， B1， C1) ， (A 2，B1， C1) ，(A 3， B1， C1)3 个根本领件组成，所以－3 1 － 1 5P( M) ＝ 18＝ 6，由对立事件的概率公式得 P(M) ＝ 1－P( M) ＝1－ 6＝6. 〔 12 分〕20. 解：〔 1〕设动圆半径为 r ，那么PC2 2 r ， PD r ， PC PD2 2 CD 2 ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹 E 是椭圆，其方程为x 2 y2 1. 〔 4 分〕2〔2〕①证明：由条件可知，垂足 W 在以 CD 为直径的圆周上，那么有x 02y 0 2 1 ，又因 Q ， R ， S ， T 为不同的四个点，x 22y 01 . 〔6 分〕2②解：假设 l 1 或 l 2 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为 2 . 〔 7 分〕假设两条直线的斜率存在，设l 1 的斜率为 k ，那么 l 1 的方程为yk(x1) ，y k(x 1)解方程组，得 (2k224k 2 x2k22 0，〔 8 分〕x 2y 21)x12那么QS2 2 k 2 1，〔9 分〕2k 21同理得 RT22 k 21，〔 10 分〕k 22∴ SQSRT1QSRT(k 2 1)24 (k 22 16 ，〔 11 分〕41)(k22)1)2(2k 29(k 22941)当且仅当 2k 2 1 k 2 2 ，即 k1时等号成立 .综上所述，当 k1 时，四边形 QRST 的面积取得最小值为16. 〔 12 分〕921. 解析 : 〔Ⅰ〕f ( x)的导数为f ()(1)x2(2)，f(0) a 4b5，x a x e b xf (0)2a4b 2 ，解得a b 1 〔4分〕〔Ⅱ〕 f ( x)(x2)e x b(x2)，易得 f (x) 有一个零点为x 2 〔5分〕令()x(2)，g x e b x〔Ⅰ〕假设b0，那么(xg x e，无零点，所以函数f (x)只有一个零点；〔 6 分〕)〔Ⅱ〕假设b0，那么 g (x) e x e x b0 所以 g( x) 单调递增，而g (1)1①假设b0，那么 g( x) e b 1 2b0 ，bg(2)e20 ，所以 g( x) 有一个零点，所以 f (x) 有两个零点；〔7分〕②假设b0，由 g ( x)e x b0 ，知e x b ， x ln(b) ，所以 g (x) 在,ln( b)单调递减，在 (ln(b),) 单调递增；所以函数g( x) 的最小值为g( x) min g(ln(b)) b ln(b)3〔 8 分〕〔ⅰ〕当 ln(b)30 即 e3b0 时，g( x)min g(ln(b)) b ln(b) 30 ，所以g( x) 无零点，所以 f ( x) 函数只有一个零点〔9 分〕〔ⅱ〕当 ln(b)30 时，即 b e3，所以 g( x) 有一个零点，所以函数 f (x) 有两个零点〔 10 分〕〔ⅲ〕当 ln(b)30时，即b e3时，g( x)min0 ，所以g( x)有两个零点，所以函数f ( x) 有三个零点〔11 分〕综上，当 b0或e3b0 时，函数 f (x) 只有一个零点；当 b0 或b e3时，函数 f ( x) 有两个零点；当 b e3时，函数 f ( x) 有三个零点〔12 分〕〔利用函数图像的交点个数讨论酌情给分〕22. 解：〔Ⅰ〕依题意，曲线C 1 的参数方程为x 4cos是参数〕，〔 2 分〕y〔2 2 sin因为曲线 C 2 的极坐标方程为2+2 cos 1 0 ，化简可得直角坐标方程：x 2 y 22x 1 0 ，即 (x1)2y 2 2 ，〔 3 分〕所以曲线 C 2 的参数方程为x12 cos〔是参数〕〔 5 分〕y2sin〔Ⅱ〕设点 M (4cos , 2 2 sin ) ，易知 C 2 ( 1,0) ，∴| (4cos2( 22| MC 1) 2) 2222MC2(4cos )(2 2sin ) 16cos8cos1 8(1 cos )2 cos98(cos 1 2 77 〔 8 分〕8cos)2∴cos1时， MC 2 min7 〔 9 分〕2∴MN minMC2 minr 7 2 〔 10 分〕23. 解析 : 〔Ⅰ〕 f ( x)x 1x 5 10等价于x 1或1 x 5或x5，( x 1) (x 5)(x 1) (x 5) (x 1)( x5)101010解得 3 x1或 1 x 5 或 5x 7 〔 4 分〕所以不等式 f ( x) 10 的解集为 x3x7 . 〔 5 分〕〔Ⅱ〕因为 f ( x) x 1x 5 ( x 1) (x 5) 6 ，所以 m 6 ，即 ab c 6 .法 1：∵ a 2 b 22ab ， a 2 c 2 2ac ， c 2 b 22cb∴ 2(a 2 b 2 c 2 ) (abac bc)∴ 3(a 2 b 2 c 2 ) a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 ，∴ a 2b 2c 212 . 当且仅当 a b c2时等号成立〔 10 分〕湖北省襄阳市第五中学届高三数学五月模拟考试试题(一)文法 2：由柯西不等式得：(12+12+12)(a2b2c2) ( a b c)2，∴ 3(a2b2c2 )36∴ a2b2c212 ，当且仅当a b c 2 时等号成立〔10分〕。

襄阳五中2023-2024届高一下学期5月月考数学试卷一、单选题（每题5分）1．若i 为處数单位，复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点B 到x 轴的距离是（）A ．B ．4C ．D．5．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）A ．BC ．D6．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）(1)34z i i +=+52i5252i-52-a b a b 12ba ab - 30︒60︒90︒120︒3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2α=725725-925925-OAB △O A B '''△O A B '''△a b θa =1b = 4t =-a tb + sin θ=1413A ．小时B ．小时C ．小时D ．小时7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．若相邻两条对称轴的距离为，则B ．若，则时，的值域为C ．若在上单调递增，则D ．若在上恰有2个零点，则8．在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，记的面积为S ，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（每题6分）9．下列命题中，正确的是（ ）A ．B ．在中，是的充要条件C ．在中，若，则必是等腰直角三角形D ．在锐角中，不等式恒成立10．下列命题中正确的是（）A ．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为B ．圆柱形容器底面半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为C ．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2D ．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为11．如图，正方体的棱长为1，E 为的中点，下列判断正确的是（）12783423()2()sin 2sin 22cos 1066f x x x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2π2ω=1ω=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []1,1-()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦203ω<≤()f x []0,π11171212ω≤<ABC △ABC △22()sin 2b a B S -=b ca+(1,5)1,5)+2)+2)++1sin15sin 30sin 758︒=︒︒ABC △A B >sin sin A B >ABC △cos cos a A b B =ABC △ABC △sin cos A B >π16π5cm 5cm 5cm345π1111ABCD A B C D -1BAA ．平面B ．直线与直线是异面直线C ．在直线上存在点F ，使平面D ．直线与平面所成角是三、填空题（每题5分）12．四边形是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是，，，则点D 对应的复数为____________．13．已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为侧棱长为O 的表面积为____________．14．如图所示，在直三棱柱中，，，点P 是线段上的一动点，则线段的最小值为____________．四、解答题15．（13分）已知向量，，（1）若，求实数x 的值；（2）若，求向量与的夹角的余弦值．16．（15分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，．（1）求的值；（2）若M 是的中点，且，求的面积．11//B C 1A BC1EC AD 11AC EF ⊥1ACD 1BA 1ACD 3πABCD 13i +2i -3i -+S ABC -111ABC A B C -11AA =AB BC ==1cos 3ABC ∠=1A B 1AP PC +(4,8)a =-(,4)b x =- //()a a b +1()2a ab ⊥-a b ABC △cos sin cos 20A B a B a +-=tan A a =AB 1CM =ABC △17．（15分）已知函数，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有两个不等的实数根，求m 的取值范围．18．（17分）如图，在正方体中，，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）连接交于点G ，三棱锥的体积；（3）已知点F 为中点，点P 为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值．19．（17分）设A ，B 是单位圆上不同的两个定点，点O 为圆心，点C 是单位圆上的动点，点C 满足（为锐角），线段交于点D （不包括A ，B ），点P 在射线上运动且在圆外，过P 作圆的两条切线，．（1）求的范围；（2）求的最小值；（3）若，，求的最小值．参考答案：DBBACBDDABDBCDAC21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+()f x ,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭()f α=α()210f x m -+=0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1AB =1DD 1//BD AEC 1DB 1BD G AEC -1CC 11BB D D //FP EAC FP sin cos O B C O OA αα=+αOC AB OC PM PN OB BA CO CA BC BO ⋅+⋅+⋅PM PN ⋅OD OC λ= BD BA μ= 21λμ+12．13．1415．（1）（216．（1（2（2）∵，，所以，联立，∴中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：模糊②由式得：，故模糊，∴．∴．17．（1）函数的最小正周期为；（2）；（3）．【详解】（1）∵，所以，函数的最小正周期为，最大值为；（2）∵，则，∵，可得，∴，解得；45i -+25π2x =sin tan cos A A A ==(0,)A π∈0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1A A +=cos A =sin A =ABC △222222cos 22b c a b c A bc bc+-+-==AMC △=①②b =c =1b =1sin 2ABC S bc A ===△()f x 2π916πα=34⎡⎢⎣111()cos 2sin 2cos 4sin 4cos 442224f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()f x 242T ππ==max ()f x =,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭9174444πππα<+<()44f παα⎛⎫=+=⎪⎝⎭sin 414πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5442ππα+=916πα=（3）当时，，令，则．由可得，即，所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：时，即当时，直线与曲线在上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值范围是．18．（1）证明略（2）（3（2）由（1）知，平面，点G 为中点，则点G 到平面的距离等于点B 到平面的距离，所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积．正方体的棱长是1，E 是的中点，所以，则的面积，所以三棱锥的体积．（3）连接，，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形，所以．又面，面，故面．又由（1）知，面，而，、面，故面面．因此满足题意的P 点轨迹为线段．0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦54444x πππ≤+≤44u x π=+544u ππ≤≤()210f x m -+=21()m f x -=21m u -=1)sin m u -=1)y m =-sin y u =5,44u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1)1m ≤-<34m ≤<1)y m =-sin y u =5,44u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦34⎡⎢⎣1121//BD AEC 1BD AEC AEC G AEC -B AEC -1DD 12ED =ABC △111122S =⨯⨯=G AEC -11111332212G AEC B AECE ABC V V V S ED ---===⨯⨯=⨯⨯=1FD FB FC 1D E 1ECFD 1//DF EC 1D F ⊄AEC EC ⊂AEC 1//D F AEC 1//D B AEC 111D F D B D = 1D F 1D B ⊂1BFD 1//BFD AEC 1BD要求最小值，即求F 到最小值．在中，，为等腰三角形，求最小值即求底边上的高，求得．19．（1）（2）（3）【详解】（1）∵，∴，∵为锐角，∴，∴，∴．解法一：∵．∵取的中点为E ，，∵，∴．解法二：以O 为原点，以，为x ，y 轴，建立直角坐标系，∵，，，∴，．∴FP 1BD 1BFD △1BD =1FD FB ==1BFD △FP 1BD minFP ==)1,0⎡+⎣3-6-sin cos OC OB OA αα=+222sin cos 2sin cos 12sin cos 1OC OB OA OB OA αααααα=++⋅=+⋅= αsin cos 0αα≠0OB OA ⋅= OB OA ⊥OB BA CO CA BC BO OB BA BC OB CO CA⋅+⋅+⋅=⋅-⋅+⋅()OB BA BC CO CA OB CA CO CA CA CB =⋅-+⋅=⋅+⋅=⋅ AB 22212CA CB CE BE CE ⋅=-=- 1CE ⎡∈-⎢⎣)211,02CE ⎡-∈+⎣ OA OB (cos ,sin )C αα(1,0)A (0,1)B (1cos ,sin )CA αα=-- (cos ,1sin )CB αα=--cos (1cos )(sin )(1sin )CA CB αααα⋅=-⋅-+-⋅-1cos sin 14πααα⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∵，，∴，∴．故小问1答案为：．（2）解法一：由题意知：∵，∴，∴，∴当且仅当的最小值为．解法二：由题意知：以O 为原点，以，为x ，y 轴，建立直角坐标系设点，则．，．．∴当且仅当的最小值为．解法三：设，，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦)114CA CB πα⎛⎫⎡⋅=+∈- ⎪⎣⎝⎭ )1,0⎡+⎣1OM ON ==2221PM PN OP ==- cos PM PN PM PN MPN ⋅=⋅⋅∠2(12sin )PM PN NPO =⋅⋅-∠()2222222212113ON PM OP OP OP OP OP ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪⎪=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦33≥=-OP = PM PN ⋅ 3-OA OB (,)P x y OP =sin ONNPO OP∠==222211PN OP x y =-=+- 22cos (12sin )PM PN PM PN MPN PM NPO ⋅=⋅⋅∠=⋅-∠ 2222222222(1)13x y x y x y x y ⎛⎫=+--=++- ⎪++⎝⎭3≥-OP = PM PN ⋅ 3-MOP θ∠=2NPO πθ∠=-222MPN πθπθ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭∴，，∴∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．故小问2答案为：（3）解法一：由题意知：∵，，∴∴，∴∴，∴∴令，则原式当且仅当即，等号成立，的最小值为解法二：由题意知：以O 为原点，以，为x ，y 轴，建立直角坐标系∵，D ，A ，B 三点共线∴，∴，∵，∴，tan PM PN θ==cos cos(2)cos 2MPN πθθ∠=-=-222sin cos tan cos2cos2cos PM PN PN PM MPN θθθθθ⋅=∠=-=- 224222(1cos )(2cos 1)2cos 3cos 1cos cos θθθθθθ---+=-=2212cos 3cos θθ=+-3≥-2cos θ=PM PN ⋅ 3-3-OD OC λ= BD BA μ= ()OD OB OA OB μ-=- (1)OD OA OB μμ=+-11OC OD OA OBμμλλλ-==+ 22211OC μμλλ-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221λμμ=-+2222111λμμμμ-+=++1t μ+=22655266t t t t t-+==+-≥-t =1μ=-21λμ+6-OA OB (cos sin )OD OC OA OB λλαα==+cos sin 1λαλα+=1cos sin λαα=+(cos ,sin )C ααcos sin (cos ,sin ),cos sin cos sin D ααλαλααααα⎛⎫=⎪++⎝⎭∵，∴，∴模糊．解法三：由题意知：∵，，∴，∴，，∴，∴下同解法二．故小问3答案为：．cos cos (,),cos sin cos sin BD BA ααμμμαααα-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭cos cos sin αμαα=+222211cos sin cos 12cos 3cos sin sin 1cos sin λαααμαααααα⎛⎫ ⎪+⎝⎭==+++++2111cos 231cos 3cos sin 1sin 222ααααα==+++++≤261λμ≥-+OD OC λ= BD BA μ= ()OD OB OA OB μ-=-cos μλα=1sin μλα-=1cos sin λαα=+cos cos sin αμαα=+6-。

第5题湖北省襄阳市第五中学2016届高三5月模拟考试（二）数学（文）试题命题人： 审题人：考试时间：5月17日or 下午15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

全卷满分150分。

考试用时120分钟第I 卷一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{|||1,}A x x x R =≤∈，2{|,}B y y x x R ==∈，则A B = ( )A.{|11}x x -≤≤B.{|0}x x ≥C.{}|01x x ≤≤ D.φ2.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆面积大于4S 的概率为 ( ) A ．14B ．34C ．49D ．9163.设x ，y ，z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A.2211x x x x++≥C.1||2x y x y-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 4.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为( )A. 232+B.13+C.232-D.13-5.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λα＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．－8B ．－4C ．4D ．26.设∈x R ，则“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设当x ＝θ时，函数f(x)＝2cosx －3sinx 取得最小值，则tanθ等于( ) A ．23 B ．－23 C ．－32 D ．328.已知双曲线12222=-b y a x (0,0>>b a )的左、右焦点分别为21F F 、，其一条渐近线为02=+y x ，点M 在双曲线上，且x MF ⊥1轴，若2F 同时为拋物线x y 122=的焦点，则1F 到直线M F 2的距离为( )A.563 B.665C.65D .569.设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为( ) A.13B.23C.12D.1410.已知数列{}n a 满*312ln ln ln ln 32....()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅=∈-，则10a =( ) A ．26e B ．29e C ．32e D ．35e 11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是( ) A.2 B．D．12.已知函数2(),()ln(1),f x x ax g x b a x =-=+-存在实数(1),a a ≥使()y f x =的图像与()y g x =的图像无公共点，则实数b 的取值范围为() A.(],0-∞ B.3,ln 24⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C.3ln 2,4⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭D.31,ln 24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若11zi i i+=-(i 为虚数单位)，则复数z 的值为 . 14.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 . 15.将高三(1)班参加体检的36名学生编号为：1,2,3,,36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .16.已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于______.三.解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

湖北省襄樊市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．3．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D 【解析】 【分析】用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 4．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】 由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-. 又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 8．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 9．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.10．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．32- 【答案】C 【解析】 【分析】先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==u u u v u u u v ，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+-u u u v u u u v u u u v ，而要求MA MB ⋅u u u r u u u r 的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MCθ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MCθθ===u u u v u u u v，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x=+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-， 因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即sin 2MC θ<2221||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥u u u v u u u v u u u v （当sin 2θ=时等号成立）. 故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.11．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．65,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．665,533⎛⎛-- ⎝⎭⎝U C ．65⎝D ．665,5⎛- ⎝⎭⎝U【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得62k >或62k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx x k x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++，∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 12．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）数 学 试 题（文科）【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.命题人：段仁保 时间：2014年5月3日 一、选择题（共10道小题,每题5分,共50分）1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-,2{|log (1)}N x y x ==-,则=⋂N M （ ）A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤【知识点】函数的定义域、值域求法;集合运算. 【答案解析】 D 解析 ：解：{}|22M y y =-≤≤,{}|1N x x =>,所以{}|12M N x x =<≤I【思路点拨】根据函数的定义域求函数的值域,由函数有意义求函数的定义域.然后进行集合的交集运算. 2．已知复数21i z =-+,则（ ）A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i【知识点】复数的除法运算.【答案解析】 C 解析 ：解：由()()()()21212111111i i Z i i i i ----====---+-+--+得结论.【思路点拨】利用复数的除法运算把已知复数转化为a+bi 形式,然后判断结论.3．下列命题中的真命题是 （ ）A ．对于实数a 、b 、c,若a b >,则22ac bc >B ． x2＞1是x ＞1的充分而不必要条件C ．,R αβ∃∈ ,使得sin()sin sin αβαβ+=+成立D ．,R αβ∀∈,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立【知识点】不等式的性质;充分、必要条件;三角等式成立的条件.【答案解析】 C 解析：解：对于A：c=0时不成立；对于B：21x>是x>1的必要而不充分条件; 对于C:显然αβ==时成立;对于D:当2παβ+=时不成立. 【思路点拨】根据不等式的性质,充分、必要条件的意义,三角函数的定义判定各命题结论是否正确.4．某几何体的三视图如图1所示,且该几何体的体积是32,则正视图中的x的值是（）A． 2 B.92C.32 D. 3【知识点】几何体三视图得意义【答案解析】 C 解析：解：由三视图可知此几何体是四棱锥,其底面为上底长1下底长2高为2的直角梯形,高为x,由V=()113122322x⨯+⋅=得x=32所以选C.【思路点拨】根据几何体的三视图想象原空间图形是四棱锥,由棱锥体积公式获得关于x的方程,解得x值.5. 某程序框图如图2所示,现将输出(,)x y值依次记为：...),,(...,),(),,(2211nnyxyxyx若程序运行中输出的一个数组是(,10),x-则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．16【知识点】程序框图描述的意义.【答案解析】 A 解析：解：输出（x,y）值依次为：（1,0）、（2,-2）、（4,-4）、（8,-6）、（16,-8）、（32,-10）所以选C.【思路点拨】根据程序框图描述的循环结构,依次写出输出结果,从而得到要求的x值.6．下列四个图中,函数10ln11xyx+=+的图象可能是（）A B C D 【知识点】奇、偶函数的性质,函数的单调性,函数值的符号,平移变换等.【答案解析】 C 解析 ：解：设()10ln ||x f x x =则()f x 是奇函数,当x.>0时()()/2101ln 0x f x x -==得x=e,可判断 在（0,e ）上增,在（e,+ ∞）上减,而且在（0,+ ∞）上 函数值大于零恒成立.又函数10ln 11x y x +=+ 是函数()10ln ||x f x x =向左平移一个单位,所以选C.【思路点拨】先分析函数()10ln ||x f x x =的奇偶性、单调性、函数值的符号,再由平移变换确定选项. 7．设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若2131A A A A λ= (λ∈R),2141A A A A μ= (μ∈R),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知点C(c,0),D(d,0) (c,d ∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是（ ）A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C,D 可能同时在线段AB 上D ．C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上【知识点】共线向量,新概念的应用.【答案解析】 D 解析 ：解：根据调和分割的定义得,AC AB AD AB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r,所以（c,0）= λ（1,0）,（d,0）= μ（1,0）,得c=λ ,d=μ,所以112c d +=.若C 是线段AB中点,则12c =从而1d =,显然无解,所以A 不正确,同理B 不正确；若C 、D 都在线段AB 上,则112c d +>,所以C 不正确,所以选D .【思路点拨】根据调和分割的定义得关于c 、d 的等式112c d +=,然后由各选项中c 、d 的范围,从而判断各选项的正误.8．为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到2n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++参照附表,得到的正确结论是 （ ） A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【知识点】统计案例—独立性检验.【答案解析】 C 解析 ：解：利用题中所给公式22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++计算得k=3.0303,参考表格中数据得选项C 正确.【思路点拨】利用题中所给公式22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++计算得k 即可.9．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩,若a 、b 、c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ） A ．（1,2014） B ．（1,2015） C ．（2,2015） D ．[2,2015]【知识点】函数的图像,函数的对称性.【答案解析】 C 解析 ：解：画出函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩的草图,直线y=t, t ∈(0,1) 时与函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩有三个不同交点,当t 在(0,1)上变化时,可得a+b+c 的取值范围.【思路点拨】利用数行结合法可得a+b+c 的取值范围.10．设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正实数k ,对于任意x D ∈,都有x k D +∈,且()()f x k f x +>恒成立,则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”,已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()||2f x x a a =--,若()f x 为R 上的“2014型增函数”,则实数a 的取值范围是（ ）A. 1007a <-B. 1007a <C.10073a <D. 10073a <-【知识点】新概念问题,奇函数性质,分类讨论,数形结合.【答案解析】 C 解析 ：解：()()()()||2000||20x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++<⎩当0a ≤时,由图可知函数()f x 为R 上的“k 型增函数”, 当0a >时,需要3(3)2014a a --<,解得100703a <<综上得：10073a <.【思路点拨】先求出函数()f x 的解析式()()()()||2000||20x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++<⎩在根据“k 型增函数”的定义,通过分类讨论求出a 的取值范围.二、填空题（共7道小题,每题5分,共35分）11．设32()32f x ax x =++,若 f (x)在x=1处的切线与直线330x y ++=垂直,则实数a 的值为 ．【知识点】导数的几何意义【答案解析】 -1 解析 ：解：因为2()36f x ax x '=+,所以(1)f '= 3a+6,而直线x+3y+3=0的斜率为13-,由（3a+6）13⎛⎫- ⎪⎝⎭= -1得a= -1.【思路点拨】根据导数的几何意义求得a 值.12．设关于x,y 的不等式组210,0,0.x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪+>⎩表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0－2y0=2,则m 的取值范围是 . 【知识点】线性规划问题,分类讨论.【答案解析】 （2,3+∞） 解析 ：解：当0m ≤时可行域中点都在直线x-2y=2的上方,当m>0时,需点(m,-m)在直线x-2y=2的下方,即m-(-2m)>2,解得m>23.【思路点拨】通过对m 取值的分类讨论画出可行域,从而确定对m 的限制条件.13．在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,已知222a c b -=,且sin cos 3cos sin A C A C =,则b= .【知识点】正弦定理、余弦定理的应用.【答案解析】 4 解析 ：解：把正弦定理、余弦定理代入sin cos 3cos sin A C A C =整理的2222()a c b -=,与222a c b -=,联立求得b=4.【思路点拨】把正弦定理、余弦定理代入sin cos 3cos sin A C A C =得关于a 、b 、c 的方程,与另一方程联立,求得结果.14．已知ABC ∆ 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______________【知识点】等差数列的性质,余弦定理,三角形的面积公式.【答案解析】解析 ：解： 设三角形三边依次为m-4、m 、m+4,则由余弦定理得222(4)(4)cos1202(4)m m m m m -+-+=-o,解得m=10,所以面积11(4)sin120106222S m m =-=⋅⋅⋅=o 【思路点拨】根据等差数列的性质及余弦定理,求得三角形的三边长,再利用三角形的面积公式,求三角形的面积.15. 已知函数21()ln (0)2f x x a x a =->,若存在12,(1,)x x e ∈,且12x x <,使得12()()0f x f x ==,则实数a 的取值范围是. 【知识点】导数的应用,单调性、极值性.【答案解析】21,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析 ：解：函数21()ln (0)2f x x a x a =->的定义域为：（0,+∞）,且()2x a f x x -'=,因为0a >,所以由()2x af x x -'==0得,可得函数21()ln (0)2f x x a x a =->在（,）上单调减,∞）上单调增.所以21()ln (0)2f x x a x a =->有最小值2a f a =-根据题意得()()100f f f e >⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即2102ln 0202aa e a ⎧>⎪⎪⎪-<⎨⎪⎪->⎪⎩,解得22e e a <<. 【思路点拨】利用导数确定函数21()ln (0)2f x x a x a =->的单调性及最小值,再根据题意得关于a 的不等式组,解此不等式组得a 范围.16. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F ，,若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P∆为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .【知识点】椭圆的定义及性质,等腰三角形的条件.【答案解析】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 解析 ：解：根据题意得：a-c 〈2c 〈a 或a 〈2c 〈2a 解得椭圆C 的离心率的取值范围111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【思路点拨】要使椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P∆为等腰三角形,只需以12,F F 为圆心、2c 为半径的圆与椭圆有不同于长、短轴端点的交点.17. 如果对定义在R 上的函数()f x ,对任意两个不相等的实数12,x x,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①2y x =;②1x y e =+;③2sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 . 【知识点】函数性质的判断与应用. 【答案解析】()()2,3 解析 ：解：由11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+得()()()()112212210x f x x f x x f x x f x +-->,即()()()()1211220x x f x x x f x --->所以()()()()12120x x f x f x -->,所以定义在R 上的函数()f x 是增函数.易得（1）、（4）不是 “H 函数”,（2）是 “H 函数”,对于（3）可以用导数法判断它是R 上的增函数,所以它是 “H 函数”.【思路点拨】根据“H 函数”.定义可知,R 上的增函数就是“H 函数”,由此可以判断结论. 三、解答题（本大题共6小题,满分65分）18．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象；若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点,求b 的最小值．【知识点】三角变换,三角函数的周期,三角函数的单调区间,平移变换,函数的零点.【答案解析】 (1)单调增区间5[,],1212k k k Z ππππ-+∈;(2) 5912π解析 ：解：（Ⅰ）由题意得：()f x=22sin cos x x x ωωω+sin 22sin(2)3x x x πωωω==-, …………………………………………2分由周期为π,得1ω=,得()2sin(2)3f x x π=-, ……………………………4分 函数的单调增区间为：222232k x k πππππ-≤-≤+, 整理得5,1212k x k k Zππππ-≤≤+∈,所以函数()f x 的单调增区间是5[,],Z1212k k k ππππ-+∈.………………………6分（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位,再向上平移单位,得到2sin 21y x =+的图象,所以()2sin 21g x x =+,…8分令()0g x =,得712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈,………………………………10分所以在[]0,π上恰好有两个零点,若()y g x =在[0,]b 上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可,即b 的最小值为115941212πππ+=. ……………………………………12分【思路点拨】利用三角公式将函数化为()f x =2sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭,由周期求得ω=1,从而求函数()f x 的单调增区间.由平移变换的函数()2sin 21g x x =+后,再由周期性及图象确定b 的取值.19.（本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形,AD ∥BC,CE ∥BG,且2BCD BCE π∠=∠=,平面ABCD ⊥平面BCEG, BC=CD=CE=2AD=2BG=2. 求证: （1）EC ⊥CD ；（2）求证：AG ∥平面BDE ；（3）求：几何体EG-ABCD 的体积.【知识点】平面与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定,分割法求几何体的体积.【答案解析】(1)略,(2)略,(3) 73解析 ：解：(Ⅰ）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG, 平面ABCD ∩平面BCEG=BC, ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG,∴EC ⊥平面ABCD,…………3分又CD ⊂平面BCDA, 故 EC ⊥CD…………4分（Ⅱ）证明：在平面BCDG 中,过G 作GN ⊥CE 交BE 于M,连DM,则由已知知；MG=MN,MN ∥BC ∥DA,且12MN AD BC ==∴MG ∥AD,MG=AD, 故四边形ADMG 为平行四边形,∴AG ∥DM……………6分∵DM ⊆平面BDE,AG ⊄平面BDE, ∴AG ∥平面BDE…………………………8分（III ）解：1133EG ABCD D BCEG G ABD BCEG ABD V V V S DC S BG---∆=+=⋅+⋅ …………………… 10分 1211172212132323+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=…………………………………………12 【思路点拨】（1）利用平面与平面垂直的性质,得直线与平面垂直,再由直线与平面垂直得直线与直线垂直.（2）根据直线与平面平行的判定定理,再平面BDE 上确定一条直线与直线AG 平行即可.（3）将此不规则几何体,分割成一个四棱锥和一个三棱锥求体积. 20．（本小题满分13分） 数列{}n a 的前n 项和为nS ,且na 是nS 和1的等差中项,等差数列{}n b 满足11b a =,43b S =.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.【知识点】（1）等差中项的意义,已知递推公式求通项,nS 与na 关系,等差数列的定义、通项公式等.（2）裂项求和法,数列的单调等.【答案解析】（1）12n n a -= 21n b n =- .（2）1132n T ≤<. 解析：解：（1）因为na 是n S 和1的等差中项,所以21n n S a =-,当1n =时,11121a S a ==-,所以11a =. （1分）当2n ≥时,111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-,所以12n n a a -=,即12nn a a -=,故数列{}n a 是以11a =为首项,2为公比的等比数列,所以12n n a -=,21n n S =-. （4分）设{}n b 的公差为d ,111b a ==,4137b d =+=,故2d =,所以1(1)221n b n n =+-⨯=-. （6分）（2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+, （7分）所以11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++,因为*n N ∈,所以111(1)2212n T n =-<+, （10分）11102121(21)(21)n n n n T T n n n n ---=-=>+-+-,所以数列{}n T 是一个递增数列,所以113n T T ≥=,综上所述,1132n T ≤<.【思路点拨】（1）利用等差中项的意义得21n n S a =-,再用n S 与n a 关系转化为关于n a 的 递推公式,得到数列{}n a 是以11a =为首项,2为公比的等比数列,从而求得12n n a -=.根据等差数列的通项公式、前n 项和意义,求得21n b n =-.（2）由裂项求和法求得21n n T n =+,又可判断21n n T n =+是递增数列,从而求得1132n T ≤<.21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中,抛物线C 的顶点在原点,经过点A （2,2）,其焦点F 在x 轴上.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F,且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点,ME=2DM,记D 和E 两点间的距离为()f m ,求()f m 关于m 的表达式.【知识点】一元二次不等式的解法;指数函数的值域;集合的交集.【答案解析】 (1) y2=2x (2) x+y-12=0 (3) f （m ）0)m >解析 ：解：（1）由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px,因为点A （2,2）,在抛物线上,所以p=1,抛物线的标准方程为y2=2x（2）由（1）可得焦点F 坐标是（12,0）,又直线AO 的斜率为22=1,故与直线OA 垂直的直线的斜率为-1,因此所求直线的方程为x+y-12=0（3）设点D 和E 的坐标分别是（x1,y1）和（x2,y2）,直线DE 的方程是y=k （x-m ）．k ≠0,将x=yk +m 代入抛物线方程有ky2-2y-2km=0,解得y1,2=由ME=2DM 知1),=化简得24,k m =∴DE2=()()221212x x y y -+-=29(4)4m m +,所以()0).f x m =>【思路点拨】（1）先设出抛物线的方程,把点A 代入即可求得p,则抛物线的方程可得．（2）根据（1）中抛物线的方程求得焦点的坐标,利用A 点求得OA 的斜率,进而求得其垂线的斜率,利用点斜式求得其方程．（3）设出D,E 的坐标和直线DE 的方程,代入抛物线方程求得交点纵坐标,利用ME=2DM 进而等式求得k 和m 的关系式,进而利用两点间的距离公式表示出DE 的长,把m 和k 的关系式代入即可．22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1) 设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+,其中b 为实数.①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；②求函数)(x f 的单调区间.(2) 已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞< 设m 为实数,21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围.【知识点】函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.【答案解析】（1）略（2）（0,1）解析 ：解：（1）①'()f x 222121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=-=-+++ ∵1x >时,21()0(1)h x x x =>+恒成立,∴函数)(x f 具有性质)(b P ； ②当2b ≤时,对于1x >,222()121(1)0x x bx x x x ϕ=-+≥-+=->所以)('x f 0>,故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；当2b >时,()x ϕ图像开口向上,对称轴12b x =>,方程()0x ϕ=的两根为：(0,1)>=当x ∈时,()x ϕ0<,)('x f 0<,故此时)(x f在区间 上递减；同理得：)(x f在区间)+∞上递增.综上所述,当2b ≤时,)(x f 在区间),1(+∞上递增；当2b >时,)(x f在上递减；)(x f在)+∞上递增.（2）由题设知：g （x ）的导函数g ′（x ）=h （x ）（x2-2x+1）,其中函数h （x ）＞0对于任意的x ∈（1,+∞）都成立,所以,当x ＞1时,g ′（x ）=h （x ）（x-1）2＞0,从而g （x ）在区间（1,+∞）上单调递增．①当m ∈（0,1）时,有α=mx1+（1-m ）x2＞mx1+（1-m ）x1=x1,α＜mx2+（1-m ）x2=x2,得 α∈（x1,x2）,同理可得β∈（x1,x2）,所以由g （x ）的单调性质g （α）,g （β）∈（g （x1）,g （x2））,从而有|g （α）-g （β）|＜|g （x1）-g （x2）|,符合题设；②当m ≤0时,α=mx1+（1-m ）x2≥mx2+（1-m ）x2=x2,β=mx2+（1-m ）x1≤mx1+（1-m ）x1=x1, 于是由α＞1,β＞1及g （x ）的单调性知g （β）≤g （x1）＜g （x2）≤g （α）,所以|g （α）-g （β）|≥|g （x1）-g （x2）|,与题设不符．③当m ≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,进而得|g （α）-g （β）|≥|g （x1）-g （x2）|,与题设不符因此,综合①、②、③得所求的m 的取值范围为（0,1）．【思路点拨】（1）①先求出函数f （x ）的导函数f ′（x ）,然后将其配凑成f ′（x ）=h （x ）（x2-bx+1）这种形式,再说明h （x ）对任意的x ∈（1,+∞）都有h （x ）＞0,即可证明函数f （x ）具有性质P （b ）；②根据第一问令φ（x ）=x2-bx+1,讨论对称轴与2的大小,当b ≤2时,对于x ＞1,φ（x ）＞0,所以f ′（x ）＞0,可得f （x ）在区间（1,+∞）上单调性,当b ＞2时,φ（x ）图象开口向上,对称轴x ＝2b＞1,可求出方程φ（x ）=0的两根,判定两根的范围,从而确定φ（x ）的符号,得到f ′（x ）的符号,最终求出单调区间．（2）先对函数g （x ）求导,再m 分m ≤0,m ≥1,0＜m ＜1进行,同时运用函数的单调性即可得到．。

2021届湖北省襄阳市第五中学高三下学期5月第二次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合(1,3]A =-，{2,3,4}B =，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．16【答案】A【分析】利用集合的交运算求AB ，再根据所得集合的元素个数判断子集的个数.【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，则{}2,3A B =，∴AB 的子集个数为224=个，故选：A ．2．在复平面内，复数(),z a bi a R b R =+∈∈对应向量OZ (O 为坐标原点)，设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[](cos sin )(cos sin )nnnz r i r n i n θθθθ=+=+，则()101-+=（ ）A ．1024-B ．1024-+C ．512-D ．512-+【答案】D【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】解：根据复数乘方公式：[](cos sin )(cos sin )nn n z r i r n i n θθθθ=+=+，得101022(1)2cos 10sin 1033i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦202011024cos sin1024512332i ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.3．在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩z 服从正态分布(),0.04N a ，若()1000.5P z ≥=，且()1200.2P z ≥=，则()80P z ≤=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.35D ．0.4【答案】A【分析】根据正态分布的对称性求解．【详解】依题意有100a =，依据正态分布性质有，∴()()12080=0.2P z P z ≥=≤， 故选：A ．4．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元，如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元.则y x -的值为（ ）(参考数据：121.015 1.2≈) A ．0 B ．1200C ．1030D ．900【答案】C【分析】按复利计算，设小闯同学每个月还款a 元，则根据题意得：到第十二次还款后，全部还清，即：()()()()121110100001 1.5%1 1.5%1 1.5%1 1.5%0a a a a +-+-+--+-=，进而解得900a =，即1290010800x =⨯=；按照单利计算利息，12月后，所结利息共100000.01525121830⨯⨯=元，故10000183011830y =+=，进而得答案.【详解】由题知，按复利计算，设小闯同学每个月还款a 元，则小闯第一次还款a 元后，还欠本金及利息为()100001 1.5%a +-元， 第二次还款a 元后，还欠本金及利息为()()2100001 1.5%1 1.5%a a +-+-元， 第三次还款a 元后，还欠本金及利息为()()()32100001 1.5%1 1.5%1 1.5%a a a +-+-+-元，依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即：()()()()121110100001 1.5%1 1.5%1 1.5%1 1.5%0a a a a +-+-+--+-=，即：12121 1.01510000 1.0151 1.015a -⨯=-，解得900a =.故1290010800x =⨯=元.按照单利计算利息，12月后，所结利息共100000.01525121830⨯⨯=元， 故10000183011830y =+=元， 故11830108001030y x -=-=. 故选：C.【点睛】本题考查复利的计算，考查运算求解能力，数学建模思想，是中档题.本题解题的关键在于复利的计算，设小闯同学每个月还款a 元，则第十二次还款后，全部还清，即：()()()()121110100001 1.5%1 1.5%1 1.5%1 1.5%0a a a a +-+-+--+-=，进而得每月还款的金额，进而求解.5．已知ABC 的三边长为3，4，5，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．25- B ．52-C ．0D ．25【答案】A【分析】利用外心的特点，取AB 的中点D ，得出0OD AB ⋅=，利用向量运算计算212OA AB AB ⋅=-，同理得出2211,22OB BC BC OC CA CA ⋅=-⋅=-，进而可得答案. 【详解】设AB 的中点为D ，则⊥OD AB ，即0OD AB ⋅=； 所以()212OA AB OD DA AB OD AB DA AB AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=-， 同理可得2211,22OB BC BC OC CA CA ⋅=-⋅=-, 所以()2221252OA AB OB BC OC CA AB BC CA ⋅+⋅+⋅=-++=-; 故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是运用向量垂直数量积为零进行合理转化是求解，从而可以顺利使用已知条件.6．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π【答案】B【分析】推导出SA 、SB 、SC 两两垂直，然后将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，计算出正方体SADB CEFG -的体对角线长，即为三棱锥S ABC-的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果. 【详解】取AC 中点N ，连接BN 、SN ，N 为AC 中点，SA SC =，AC SN ∴⊥，同理AC BN ⊥， SNBN N =，AC ∴⊥平面SBN ，SB ⊂平面SBN ，AC SB ∴⊥，SB AM ⊥且AC AM A ⋂=，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SA SB ∴⊥，SB SC ⊥，三棱锥S ABC -是正三棱锥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直. 将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，如下图所示：因为2SA =，所以正方体SADB CEFG -的体对角线长为SF ==所以，正三棱锥S ABC -的外接球的直径2R =所以，正三棱锥S ABC -的外接球的表面积是()224212S R R πππ==⨯=， 故选：B.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．已知P 为双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为11a ，则双曲线的离心率为（ ）A．BCD ．92【答案】B【分析】设1PF n =则()22221244PF a n a n a PF nn +==++，记()244a n a nf n =++，求导分析单调性，从而求得最小值，因为最小为11a 故可求得,a c 关系，即可求得离心率． 【详解】设2PF m =，1PF n =，则由双曲线的定义得：2m n a -=，∴()22221244PF a n a n a PF nn+==++，[),n c a ∈-+∞．记()244a n a n f n =++，[),n c a ∈-+∞，()2241a f n n '=-，令()22410f n a n='-=，得2n a =．（1）当2c a a -≤时，[),2n c a a ∈-，()22410a f n n'=-<，()y f n =单调递减；()2,n a ∈+∞，()22410a f n n'=->，()y f n =单调递增，∴()()min 28f n f a a ==，不合题意，舍去；（2）当2c a a ->时，()22410a f n n'=->恒成立，∴()()n2mi 43a c y n f c c a a a=++=--，∴24311a c a a c a ++=-，∴229120c ac a -+=，解得c a =⎝⎭或92c a ⎛= ⎝⎭．∵92c a ⎛-= ⎝⎭不满足2c a a ->，应舍去.∴92c a ⎛+= ⎝⎭，离心率92e +=故选：B ．【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．8．在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．4,53⎡⎢⎣⎭C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】延长CG 交AB 于D ，由重心性质和直角三角形特点可求得32CD c =，由cos cos BDC ADC ∠=-∠，利用余弦定理可构造等量关系得到2225a b c +=，由此确定C 为锐角，则可假设A 为钝角，得到222b c a +<，222a c b +>，a b >，由此可构造不等式组求得ba的取值范围，在ABC 利用余弦定理可得2cos5a bCb a⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用ba 的范围，结合C为锐角可求得cos C的取值范围.【详解】延长CG交AB于D，如下图所示：G为ABC的重心，D∴为AB中点且3CD DG=，AG BG⊥，12DG AB∴=，3322CD AB c∴==；在ADC 中，2222222225522cos3232c bAD CD AC c bADCAD CD cc-+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos3232c aBD CD BC c aBDCBD CD cc-+--∠===⋅；BDC ADCπ∠+∠=，cos cosBDC ADC∴∠=-∠，即222222525233c a c bc c--=-，整理可得：22225a b c c+=>，C∴为锐角；设A为钝角，则222b c a+<，222a c b+>，a b>，2222222255a ba ba bb a⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b ba ab ba a⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223ba⎛⎫<⎪⎝⎭，a b>>，63ba∴<<，由余弦定理得：2222222266cos25556a b c a b a bCab ab b a⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯=⎪⎝⎭⎝，又C为锐角，6cos1C<<，即cos C的取值范围为6⎫⎪⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到2225a b c +=，确定C 为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得ba的范围.二、多选题9．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法 C ．若A 在B 左边有60种排法 D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法 【答案】BCD【分析】对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确，故选：BCD【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.10．已知椭圆(222:105x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，点Q 是圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线E 上任意一点，若2PQ PF -的最小值为5-，则下列说法正确的是（ ）．A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点2F 的切线斜率为3±C ．若A 、B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线PA 与PB 斜率之积为15-D ．2PQ PF +的最小值为2 【答案】BC【分析】根据椭圆与曲线E 的位置关系，找到2PQ PF -取最小值时的P 点位置，从而求得椭圆方程，验证选项中的结论正确与否即可.【详解】圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线为以(4,0)C 为圆心，1为半径的圆，即曲线E 的方程为()2241x y -+=，由椭圆定义有12225PF PF a +== 2111(25)25'25PQ PF PQ PF PQ PF Q F -=-=+-≥-由图知'(3,0)Q ，1'253255252Q F c c -=+-=-=，1b =，椭圆方程为2215x y +=故焦距2124F F c ==，A 错误；22'31PQ PF Q F c +≥=-=，D 错误；设曲线E 过点2F 的切线斜率为k ，则切线方程为20kx k y --=，13k =⇒=±，B 正确； 设00(,)P x y ，11(,)A x y ，11(,)B x y -- 则2210101022101010PA PBy y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅=----， 又,,P A B 都在椭圆上，即222222010101221011555x y y x y y x x -+=+=⇒=--，C 正确； 故选：BC.【点睛】关键点点睛：找到2PQ PF -取最小值时对应的点P ，从而求得椭圆方程，然后结合圆及椭圆的性质进行求解.11．记x 表示与实数x 最接近的整数，数列{}n a通项公式为)n a n *=∈N ，其前n 项和为n S，设k =，则下列结论正确的是（ ）．A12k =- B12k <+C ．21n k k ≥-+D ．202188S =【答案】BC【分析】由1n =时，可判定A12<，可判定B正确；由1122k -<<，可得221144k k n k k -+<<++，根据21k k -+是214k k -+右侧的最接近的整数，可判定C 正确；根据题意归纳得到数列{}n a 中，有2个1，4个12，6个13，8个14，，结合等差数列求和公式，可判定D 不正确.【详解】由题意，记x 表示与实数x最接近的整数，且k =，当1n =1==，所以A 不正确；12<12k <，可得1122k -<<，12k <+成立，所以B 正确；由1122k -<<，可得1122k k -<<+，平方可得221144k k n k k -+<<++，因为n N ∈*，且214k k -+不是整数， 其中21k k -+是214k k -+右侧的最接近的整数，所以21n k k ≥-+成立，所以C 正确； 当1,2n =时，1n =，此时121a a ==；当3,4,5,6n =时，2n =，此时345612a a a a ====； 当7,8,9,10,11,12n =时，3n =，此时781213a a a ====； 当13,14,,20n =时，4n =，此时13142014a a a ====；归纳可得数列{}n a 中，有2个1，4个12，6个13，8个14，又由2,4,6,8,构成首项为2，公差为2的等差数列，可得(22)(1)2n n n S n n +==+，令(1)2021,n n n N *+≤∈，解得44n =， 所以2021111141124644418823222323S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=+，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.12．如图所示，几何体是由两个全等的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，四棱柱的底面是边长为2的正方形，该几何体外接球的体积为86π，设两个直四棱柱交叉部分为几何体r ，则（ ）A ．几何体r 为四棱锥B ．几何体r 的各侧面为全等的正三角形C ．直四棱柱的高为4D ．几何体r 内切球的体积为4π3【答案】CD【分析】分析该几何体的结构特征，几何体r 由两个全等的四棱锥组成，A 错误；根据已知条件求出几何体r 的侧面三角形边长结合对称性可判断B 选项；利用直四棱柱的外接球半径公式可求出直四棱柱的高判断C 选项；几何体r 可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，等体积法求出其内切球的半径即可代入球的体积公式判断D 选项.【详解】该几何体的直观图如图所示，几何体r 为两个全等的四棱锥S ABCD -和P ABCD -组成，故A 错误； 由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心， 设外接球的半径为R ，直四棱柱的高为h ，则6R ==2221222h ++所以4h =，故C 正确；在等腰三角形ABS 中，22SB =SB 边上的高为2，则6SA =由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 6的菱形．侧面均6，底边为22B 错误；设AC 的中点为H ，连接BH ，SH ，易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高， 在Rt ABH △中，22622BH AB AH =-=-=．又22AC SB ==，所以12222422ABCD S =⨯⨯=又BH SH =，所以1182242333S ABCD ABCD V SH S -=⋅=⨯⨯=． 设内切球的半径为r ，因为八个侧面的面积均为22182228233r ⋅=⨯，得1r =，故几何体r 内切球的体积为4π3，故D 正确． 故选：CD【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思路是：1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；3、求半径、下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程并求解.三、填空题13．已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =_____． 【答案】33x x -+【分析】由已知可得()()23xf xg x --+-=⋅，结合两函数的奇偶性可得()()23x f x g x --=⋅，利用方程组的思想即可求出()f x .【详解】解：因为()()23xf xg x +=⋅，所以()()23xf xg x --+-=⋅， 又(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-；所以()()()()23xf xg x f x g x --+-=-=⋅，则()()()()2323xx f x g x f x g x -⎧+=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩，两式相加得，()22323x x f x -=⋅+⋅，所以()33x x f x -=+.故答案为:33x x -+. 【点睛】关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到()()23xf xg x --=⋅，从而可求出函数的解析式.14．已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______． 【答案】(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+， 1y x x =-在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤， ()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.【点睛】思路点睛：已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，求解()f x 定义域的基本思路为：()g x 的值域即为()f x 的定义域.15．已知正数x ，y 满足111x y +=，试写出一个2()9x y x y x y+++++取不到的正整数值是______．【答案】7（设满足条件的正整数为m ，则满足294m < 且m Z ∈） 【分析】将目标化为91x y x y++++，先由均值不等式x y +的范围，再由函数()91h t t t=++的单调性求出91x y x y ++++的最值，从而可得答案. 【详解】()2991x y x y x y x y x y++++=+++++由()11224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++≥+=⎝⎭=+⎪+当且仅当2x y ==时，等号成立．设t x y =+，则4t ≥，易知()91h t t t=++在[)4,+∞上单调递增， 所以()()min 2944h t h ==， 故()2992914x y x y x y x y x y ++++=+++≥++． 所以2()9x y x y x y +++++取不到的正整数m 满足294m <且m Z ∈ 故答案为：7（设满足条件的正整数为m ，则满足294m <且m Z ∈） 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点B (4，2)，M 为圆O 上的动点，则2|MA |+|MB |的最小值为___________【答案】【分析】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，根据圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=， 求得点C 坐标，再连接BC ，由直线段最短求解.整理得： 【详解】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，则||1||2MA MC =， 由题知圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点C(m，n)，则222212||1||2()()x yMAMC x m y n⎛⎫++⎪⎝⎭==-+-，整理得：22222421333m n m nx y x y++-+++=，比较两方程可得：243m+=，23n=，22113m n+-=，即m=-2，n=0，所以点C(-2，0)，如图所示：当点M位于图中M1､M2的位置时，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小为10. 故答案为：10四、解答题17．已知等差数列{}n a满足1235n na a n++=+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S.若*n∀∈N，24nSλλ<-+(λ为偶数)，求λ的值.【答案】（1）1na n=+；（2）2λ=.【分析】（1）在已知式中令1n=和2n=，可解得1a和公差d，得通项公式na；（2）由裂项相消法求得和n S，得出n S的范围后，可由不等式恒成立得出λ的不等关系，求得其范围，从而得结论．【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，因为1235n na a n++=+，所以122328,211,a aa a+=⎧⎨+=⎩即11328,3511,a da d+=⎧⎨+=⎩解得12,1a d ==，所以2(1)1n a n n =+-=+. 经检验，1n a n =+符合题设， 所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.（2）由（1）得，11111(1)(2)12n n a a n n nn +==-++++， 所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S n n n . *n N ∈，∴12n S <， 因为*n ∀∈N ，24n S λλ<-+，所以2142λλ-+，即27(2)2λ-. 因为λ为偶数，所以2λ=.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和，及数列不等式恒成立问题．其中数列求和的常用方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．18．如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，21cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）4b =；（23． 【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据21cos BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a cb ca a b bc ac +-⋅=-+，化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b = （2）因为D 为中点， 所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得178cos ||2AD +=，又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅， 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-= 解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin 2θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.19．随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．公司内部测试的活动方案设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的名额为1i，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少1个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有6人，甲、乙均在其中．（1）求甲在第一次中奖且乙在第二次中奖的概率是多少； （2）求甲乙参加抽奖活动次数之和的分布列和期望．【答案】（1）425；（2）分布列见解析；期望为5815． 【分析】（1）利用独立重复事件的概率求解即可；（2）设甲乙参加抽奖活动的次数之和为X ，则2,3,4,5,6X =，然后根据题意求出各自在对应的概率，从而可得到分布列和期望【详解】解：（1）甲在第一次中奖且乙在第二次中奖概率12442365425C C P C C =⋅=；2（）设甲乙参加抽奖活动的次数之和为X ，则2,3,4,5,6X = ()2611215P X C ===； 124423658(3)225C C C X C P ==⋅⋅=；12123444232365651(4)23C C C C P X C C C C ==⋅+⋅⋅=；223423656(5)225C C C X C P ==⋅⋅=；313423651(6)25C C C C P X ==⋅=，随机变量X 的分布列为()2345615253252515E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20．已知抛物线21:C y x =，圆()222:41C x y -+=．（1）求圆心2C 到抛物线1C 准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 两点，若直线2PC 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，125·24k k =-，求点P 的坐标． 【答案】（1）174；（2）P 点坐标为()16,4或()16,4-． 【分析】（1）求出2C 圆心及抛物线1C 的准线，即可求得答案；（2）设出切线P A ，与抛物线方程联立，可得110y m y =-， 同理可得220y m y =-，根据圆心到切线的距离等于半径，可以化简得到32001202028(1)1y y m m y y -+=≠-，由此表示出12,k k ，并结合125·24k k =-得解. 【详解】（1）由已知：2(4,0)C ；1C 的准线为14x =-．圆心2C 到1C 准线距离为117444⎛⎫--=⎪⎝⎭（2）设()200,P y y ，()211,A y y ，()222,B y y 切线()2010:PA x y m y y -=-由210102x m y y m y y x⎧=+-⎨=⎩得：2210100y m y y m y --+= 由011y y m +=得：110y m y =- 切线()2020:PB x y m y y -=-同理可得：220y m y =-依题意：2(4,0)C 到21010:0PA x m y y m y --+=距离201021411y my m -+=+整理得：()()2234201001001828150y m y y m y y -+-+-+= 同理：()()2234202002001828150y m y y m y y -+-+-+=()3200120202811y y m m yy -∴+=≠-01204y k y =-，20122221212120011126y y y k y y y y m m y y --====-++-- 20012200154624y y k k y y -∴=⋅=---解得：04y =±故所求P 点坐标为()16,4或()16,4-【点睛】关键点点睛：利用圆心2(4,0)C 到切线的距离可得201021411y m y m -+=+，整理后可得()()2234201001001828150y m y y m y y -+-+-+=，同理可得()()2234202002001828150ym y y m y y -+-+-+=，由此抽象出12,m m 为方程()()22342000001828150yx y y x y y -+-+-+=的两根，是解题的关键.21．如图所示，四棱锥A BCDE '-是由直角ABC 沿其中位线DE 翻折而成，且2B π∠=，2PC PA '=．（1）证明：//A E '平面PBD ；（2）若4AB BC ==，二面角C A D E '--的大小为56π，求四棱锥A BCDE '-的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）86． 【分析】（1）连接CE 交BD 与点F ，连接PF ，证明//A E PF '，即可根据线面平行的判定定理，证明结论成立；（2）以B 为原点，EB 为x 轴的正方向，BC 为y 轴的正方向，竖直方向为z 轴建立空间直角坐标系，记A '在底面的投影为A ''，且设A E x ''=，分别求出平面A DE 和ACD'的法向量，根据向量夹角公式由题中条件，求出x ，再由棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）连接CE 交BD 于点F ，连接PF ． 由平面几何知识，有BCF DEF ~△△，故2CF BCEF DE==，结合2PC PA '=知//A E PF '．又PF ⊂平面PBD ，故//A E '平面PBD ，得证．（2）以B 为原点，AB 为x 轴正方向，BC 为y 轴正方向，竖直向上为z 轴正方向建立空间直角坐标系．如图，假设二面角A DE B '--是锐二面角，记A '在底面内的射影为A ''，且A E x ''=． 则(24A x x-'-，()0,4,0C ，(2,2,0)D -，(2,0,0)E -．于是(24(0,2,0)EA x x ED ⎧=-⎪='⎨⎪⎩，(22,4,4(2,2,0)A C x x DC ⎧=---⎪⎨⎪=⎩' 记平面A DE 和ACD '平面的法向量分别为1111(,,)m x y z =，1222(,,)n x y z =，则1100EA m ED m ⎧⋅=⎪⎨⋅='⎪⎩，1100A C n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅'=⎪⎩．即211140 20xx z xy⎧⎪+-=⎨=⎪⎩，222222(2)440220x x y z xx y⎧⎪-+--=⎨+=⎪⎩分别令1z x=-，22z x=+可得，()214,0,m x x→=--，()2214,4,2n x x x=---+，则11112113cos,.2412m nm nm n x x⋅===±-++化简得274200x x+-=，即(2)(710)0x x+-=，即107x=，故221108662377A BCDEV'-⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭．假设二面角A DE B'--是钝二面角，记A'在底面内的射影为A''，且A E x''=. 则(24A x x-'-，()0,4,0C，(2,2,0)D-，(2,0,0)E-.于是(24(0,2,0)EA x xED⎧=--⎪⎨⎪='⎩，(22,4,4(2,2,0)A C x xDC⎧=+-⎪⎨⎪=⎩'记平面A DE和平面ACD'的法向量分别为2m，2n，则22EA mED m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，22A C nDC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'.不妨取()214,0,m x x=--，()2214,4,2n x x x=----，则22222223cos,412m n xm nm n x x⋅-+===-++化简得2200287xx--=，该方程在()0,2内无实数根，故舍去.综上所述，四凌锥A BCDE '-. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出半平面的法向量，利用法向量的夹角公式求解A E x ''=,是解决问题的关键，属于中档题. 22．已知函数()21ln 22x aa f x ex +=-+ （1）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围； （2）若函数()y f x =在定义域内没有零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1ln2a ≤--；（2）1ln2a >--．【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得()0f x '≤在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，两边取以e 为底的对数，即214a x n x ≤--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，令()2ln4g x x x =--，根据函数的单调性求出参数的取值范围； （2）依题意可得2ln 2ln 22x ax x a xee +++=+在()0,∞+无实根，即：ln 2a x x =-在()0,∞+无实根，构造函数()ln 2h x x x =-，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解；【详解】解：（1）()2122x af x ex+='-因为函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()21202x af x ex +'=-≤在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立， 两边取以e 为底的对数，即214a x n x ≤--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立， 设()2ln4g x x x =--，()120g x x'=--< 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以min 1()1ln22g x g ⎛⎫==--⎪⎝⎭，所以1ln2a ≤--；（2）()21ln 22x aaf x ex +=-+在()0,∞+无零点， 等价于方程21ln 022x aa ex +-+=在()0,∞+无实根， 亦即2ln 2ln 22x a x x a x e e +++=+在()0,∞+无实根，因为2xx e +在()0,∞+为单调增函数，原方程无零点等价于2ln x a x +=在()0,∞+无实根， 即：ln 2a x x =-在()0,∞+无实根， 构造函数()ln 2h x x x =-，112()2x h x x x -'=-=，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0h x '< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 且max 1()1ln22h x h ⎛⎫==--⎪⎝⎭，0x →，()h x →-∞ 所以1ln2a >--．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）数 学 试 题（文科）命题人：段仁保 时间：2014年5月3日一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x yx ==-，则=⋂N M （ ） A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤ 2．已知复数21iz =-+，则 （ ）A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i3．下列命题中的真命题是 （ ）A ．对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc > B ． x 2＞1是x ＞1的充分而不必要条件C ．,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立D ．,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立4．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是 （ ）A ． 2 B. 92 C. 32D. 35. 某程序框图如图2所示，现将输出(,)x y 值依次记为：...),,(...,),(),,(2211n n y x y x y x 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x = （ ）A ．32B ．24C ．18D ．166．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是 （ ）7．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若2131A A A A λ= (λ∈R)，2141A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，0),D(d ，0) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（ ） A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上8．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++参照附表，得到的正确结论是 （ ） A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别无关” C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别有关” D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别无关”9．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是 （ ） A ．（1，2014） B ．（1，2015） C ．（2，2015） D ．[2，2015]10．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，对于任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是（ ）A. 1007a <-B. 1007a <C. 10073a <D. 10073a <-二、填空题（共7道小题，每题5分，共35分）11．设32()32f x ax x =++，若f (x )在x =1处的切线与直线330x y ++=垂直，则实数a 的值为 ．12．设关于x ，y 的不等式组210,0,0.x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪+>⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，则m的取值范围是 .13．在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且sin cos 3cos sin A C A C =，则b = .14．已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________ 15. 已知函数21()ln (0)2f x x a x a =->，若存在12,(1,)x x e ∈，且12x x <，使得 1()()0f x f x ==，则实数a 的取值范围是 .16. 已知椭圆C ：的左右焦点分别为12F F ，，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .17. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①2y x =;②1xy e =+;③2sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .三、解答题（本大题共6小题，满分65分） 18．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象；若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．19.（本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ,CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2. 求证: （1）EC ⊥CD ； （2）求证：AG ∥平面BDE ；（3）求：几何体EG-ABCD 的体积. 20．（本小题满分13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

湖北省襄阳市第五中学2017届高三第二次适应性考试（5月）数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 集合1,2n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,1,2N y y m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,则两集合的关系为( ) A.B. C. D.2． 如果复数，则（ ）A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i3． 已知命题：“”是“幂函数m x m m x f )1()(2--=在区间上为增函数”的充要条件”；命题：“已知函数的零点，且，则.”则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4． 执行如图程序语句，输入42017tan 2,32017cos2ππ==b a ，则输出 的的值是（ ）A.3B.4C.6D.-15． 老王和小王父子两玩类似于古代印度的一种游戏：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱子上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上，（如图）把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移到过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最小次数为，则（ ）6． 已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 7． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 8． 定义数列的“项的倒数的倍和数”为()*1212n nnT n N a a a =+++∈，已知，则数列是（ ）A. 单调递减的B. 单调递增的C. 先增后减的D. 先减后增的9． 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（ ） A. B.C. ()()22181117x y -++=D. ()()22121115x y -++= 10． 将函数()2cos()cos()44g x x x ππ=-+的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，设，则的图象大致为( )()ENDy PRINT IF END b a y ELSE b a a y THEN b a IF b a INPUT -=+*=<∧2,11．已知直线与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 交于两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12．定义在上的函数对任意，（）都有，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上). 13．将五进制数转化为七进制数：14．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆 于点A 、B 、C 、D 四点，则的最小值为____．15．已知是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对都有)()()()(2121x f x f x g x g +≥+成立，等差数列的前项和为，同时满足下列两件条件：，，则的值为16．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数()()22ln 1f x x x =++可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． 17．(本小题满分12分)在中，角A,B ，C 的对边分别为、、.已知cos ,4,5cos a Ba cb A=== (1)求边的长；(2)若，点E ，F 分别在线段、上，当时，求周长的最小值．18． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，5位学生中选取2位进行面对面的交流，求这2位学生至少有一位女生的概率.19．(本小题满分12分)如图所示，正方形所在的平面与等腰所在的平面互相垂直，其中顶，，为线段的中点． （1）若是线段上的中点，求证： 平面；（2）若是线段上的一个动点，设直线与平面所成角的大小为，求最大时三棱锥的体积.20．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点， ，是椭圆上位于直线两侧的动点.当， 运动时，满足,试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.21．(本小题满分12分) 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数()()cos x F x f x e x =+，20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）. （1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围； （2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离.23．选修4-5：不等式选讲已知函数错误！未找到引用源。

湖北省襄阳市第五中学2016届高三数学5月模拟考试试题（二）文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{|||1,}A x x x R =≤∈，2{|,}B y y x x R ==∈，则A B =I （ ）A.{|11}x x -≤≤B.{|0}x x ≥C. {}|01x x ≤≤D.φ 【答案】C 【解析】试题分析：由题得:{}{}{}|11,|0,|01A x x B y y A B x x =-≤≤=≥∴=≤≤I ，故选C. 考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆面积大于4S的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．49D ．916【答案】D考点：几何概型概率公式.【方法点睛】本题題主要考查“面积”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积 ；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 3.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A.2211x x x x++≥ B.312x x x x +-++-≤ C.1||2x y x y-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 【答案】C考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式. 4.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC∆的面积为（ ）A. 232+B.13+C.232-D.13- 【答案】B 【解析】试题分析：2,,,64b B C ππ===∴Q 由正弦定理sin sin b cB C=得22sin 7222,,1sin 122b Cc A Bπ⨯==== 26sin sin cos cos 21212344A πππππ+⎛⎫⎛⎫=+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11sin 22222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯264+ 31=+,故选B.考点：1、正弦定理；2、三角形面积公式.5.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λα＋μb （λ，μ∈R），则λμ＝（ ） A ．－8 B ．－4C． 4D ．2【答案】C考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算.6.设∈x R,则“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第5题【答案】B 【解析】试题分析：因为1a b ==时，()()11f x x x =++，()()f x f x =-不恒成立，“b x a x x f ++=)()(为奇函数”，则必有()()f x f x =-，可得0a b ==，所以“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的必要而不充分条件，故选B. 考点：1、函数的奇偶性；2、充分条件与必要条件.7.设当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cosx －3sinx 取得最小值，则tanθ等于（ ） A ．23 B ．－23 C ．－32D ．32【答案】C 【解析】试题分析：因为当x θ=时，函数 ()2cos 3sin f x x x =-取得最小值，所以2cos 3sin θθ=-=()23cos 2sin 0θθ+= ，3tan 2θ=-，故选C.考点：1、三角函数的有界性；2、同角三角函数之间的关系.8.已知双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21F F 、,其一条渐近线为02=+y x ,点M 在双曲线上,且x MF ⊥1轴,若2F 同时为拋物线x y 122=的焦点,则1F 到直线M F 2的距离为（ ）A. 563B.665C.65D.56【答案】D考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的定义.9.设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为（ ） A.13 B.23 C.12D.14【答案】A考点：1、二次函数的性质；2、线性规划及几何概型概率公式. 10.已知数列{}n a 满*312ln ln ln ln 32....()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅=∈-,则10a =（ ） A ．26e B ．29e C ．32e D ．35e 【答案】C 【解析】试题分析：数列{}n a 满足()312ln ln ln ln 3n 2 (258312)n a a a a n N n *+=∈-g g g g ,可知3112ln ln ln ln (25834)n a a a a n --g g g g3n 12-=，两式作商可得:ln 23n 23131312n a n n n +==---, 可得3210ln 32,n a n a e =+=,故选C. 考点：数列通项公式的应用.11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）A.2 B ．22 C.3D ．23【答案】D考点：1、几何体的三视图；2、三角形的面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体，来增加直观图的立体感.12.已知函数2(),()ln(1),f x x ax g x b a x =-=+-存在实数(1),a a ≥使()y f x =的图像与()y g x =的图像无公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(],0-∞B.3,ln 24⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ C.3ln 2,4⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭D.31,ln 24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】B考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得b 的取值范围的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若11z ii i+=-（i 为虚数单位），则复数z 的值为 . 【答案】2i - 【解析】 试题分析：因为11z ii i +=-，所以()()211222i i i z i i i i-+====-，故答案为2i -. 考点：复数的运算.14.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 .【答案】6-考点：1、程序框图；2、循环结构.15.将高三（1）班参加体检的36名学生编号为：1,2,3,,36L ，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 . 【答案】15 【解析】试题分析：因为33249,24618-=-=，所以样本中剩余一名学生的编号在6,24之间，设其编号为x ，则 246,15x x x -=-=，故答案为15. 考点：系统抽样的应用.【方法点晴】本题主要考查等差数列的应用以及系统抽样方法的应用，属于中档题.系统抽样是总体较大时抽取样本的主要方法，基本步骤是：（1）先将总体编号；（2）确定分段间隔k ；（3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l ；（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k ，得到第二个个体编号l k +…,依次进行下去，直到获取整个样本. 16.已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于______. 【答案】50考点：1、基本不等式的应用；2、长方体及球的表面积.【方法点晴】本题主要考查多面体的外接球的性质 、长方体的表面积、球的表面积公式及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.本题求长方体的表面积取得最大值，正是利用不等式等号成立的条件得到其为正方体时最大的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）已知函数)4tan()(πω+=x x f （0>ω）的最小正周期为2π. （1）求ω的值及函数)(x f 的定义域；（2）若3)2(=αf ，求α2tan 的值.【答案】（1）2ω=,,28k x k Z ππ≠+∈；（2）34. 【解析】 试题分析：（1）由2ππω=可得2ω=，由242x k πππ+≠+，得定义域为,28k x k Z ππ≠+∈；（2）由()32f α=得1tan 2α=，再由正切函数的二倍角公式可得α2tan 的值. 试题解析：因为函数)(x f 的最小正周期为2π，所以2πωπ==T ，解得2=ω.令πππk x +≠+242，Z k ∈，所以28ππk x +≠，Z k ∈，所以)(x f 的定义域为R x ∈{|28ππk x+≠，}Z k ∈； （2）解：因为3)2(=αf ，即3)4tan(=+πα，3tan 11tan =-+αα，解得21tan =α，α2tan 34=.考点：1、正切函数的性质；2、正切函数的二倍角公式.18.(本题满分12分) 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下数据：（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概 率；（2）请根据3月2日至3月4日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月1日与3月5日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：$()()()121bi ni i i i nii x x y yx x ====-⋅-=-∑∑或2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii --=∑∑==，x b y a-=ˆ） 【答案】（1）310；（2）$532y x =-；（3）可靠 . 试题解析：（1）n m ,的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个 设“n m ,均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26） 所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103 （2）由数据得27,12x ==y ，9723=y x ，97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i i x ，43232=x由公式，得25432434972977ˆ=--=b，3122527ˆ-=⨯-=a所以y 关于x 的线性回归方程为325ˆ-=x y （3）当10=x 时，22ˆ=y ，|22-23|2<，当8=x 时，,17ˆ=y |17-16|2<， 所以得到的线性回归方程是可靠的。

襄阳五中高三年级第二次适应性考试数学试题（文科）参考答案命题：谢春丽 审题：董汉明 时间：2012-5-17一选择题：DAABA ACDCC二填空题：11．{}1 12．3log 2=x 或0=x 13．）或375.0(83 14．y x 342= 15．2 16． 100 17． [2,)+∞三解答题18. 解：(1)m ·n ＝3＋12＝3cos x 4sin x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12， 即sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝32， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12； ……5分 (2) 因为f (x )＝m ·n －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 故f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6 因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C即2sin A cos B ＝sin A ，所以B ＝π4……9分∴ A ∈ ⎝⎛⎭⎫0，34π，A 2＋π6∈ ⎝⎛⎭⎫π6，13π24 所以f (A )∈. ⎝⎛⎦⎤12，1 ……12分19. 解：（1）过A 作AQ ∥C 1N 交A 1C 1于Q ，连结Q B 1，∴∠B 1AQ 为异面直线AB 1与C 1N 所成的角（或其补角）．……2分根据四边形C C AA 11，N 是中点，为矩形，可证Q 为中点计算17,22,511===AQ Q B AB ……3分 由已知条件和余弦定理可得517cos 1=∠AQ B ……5分 ∴异面直线AB 1与C 1N所成的角的余弦为5……6分 （2）方法一：过M 作11C A MH ⊥于H ，面⊥111C B A 面C C AA 11于11C A∴⊥MH 面C C AA 11MP ⊥ 平面ABC ， ……8分由条件易得：2=MH ……10分1NCC M V - MH C C NC ⨯⨯⨯=12131223222131=⨯⨯⨯⨯= ……12分方法二：取BC 的中点P ，连结MP 、NP ，则MP ∥1BB ，∴MP ⊥ 平面ABC ， ……8分又NP ABC ⊂平面，∴MP NP ⊥．122PN AB ==,3MP =， ……10分CM C N NCC M V V 11--=NP C C MC ⨯⨯⨯=11213122322131=⨯⨯⨯⨯= ……12分20． 解： (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, ……………………………3分 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . ………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =, 所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅……8分 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅, ……………10分 n T 随着n 的增大而增大，且n T <41，∴41≥m （少写等号扣一分）……………13分21．解:（Ⅰ）21AF F ∆是边长为2的正三角形，则2,1==a c ， ……………2分故椭圆C 的方程为13422=+y x . …………4分 （Ⅱ）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为)4(+=x k y ,并设),(),,(2211y xN y x M .联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+)4(13422x k y y x ，消去y 得0126432)43(2222=-+++k x k x k ，则222122212431264,4332,0)41(144k k x x k k x x k +-=⋅+-=+>-=∆ ……………7分 由QN MQ ⋅=λ得)4(421+=--x x λ，故4421++-=x x λ. ……………9分 设点R 的坐标为),(00y x ，则由⋅-=λ得)(0210x x x x --=-λ，解得8)()(42441441212121212211210++++=+++⋅+++=--=x x x x x x x x x x x x x x x λλ. ……………11分又2222221214324433244312642)(42k k k k k x x x x +-=+-⨯++-⨯=++， 222214324843328)(k k k x x +=++-=++，从而18)()(422121210-=++++=x x x x x x x ， 故点R 在定直线1-=x 上. …………………14分22.解：(1)因为()g x 在[,]22ππ-上单调递增，所以'()cos 0g x x λ=+≥，即cos x λ≥-在[,]22ππ-恒成立 …………………2分 所以0λ≥，所以D=[0,)+∞ ………………4分 (2)由题意min ()(1)sin1g x g λ=-=-- ………………5分 所以只需sin1λ-->21t t λ++ ………………6分 所以2(1)sin11t t λ++++<0（0λ≥）恒成立， 令=)(λh 2(1)sin11t t λ++++，则需10(0)0t h +<⎧⎨<⎩………………7分而(0)h 2sin11t =++恒正，故上式无解所以不存在实数，使得()g x 21t t λ>++对∀[1,1]x ∈-且D λ∈恒成立.………8分(3)方程2ln sin ()(2)x x g x x e x k x λ+=+-++即2ln (2)xx ex k x --= 令()f x =2ln (2)x x ex x --，因为'()f x 21ln 2()xe x x-=+- 当(0,)x e ∈时，'()f x 0>；当(,)x e ∈+∞时，'()f x 0< 所以()f x 在(0,)e 递增，(,)e +∞上递减 所以max ()f x ()f e =21e e=+ …………… ………………11分 所以当k >21e e+时方程无解； 当k =21e e +时方程有一个根； 当k <21e e+时方程有两个根 …………………………………………14分。

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）理科数学参考答案一.CABCAACDAB二.11.12.13.14.15.16.16三、17.解：由,得,即,则,即6分由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为12分18.解:(1)当时，数列是以为首项,公比为的等比数列 (3)分……6分(2) (9)分=……12分19.解：(Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,由地面ABCD 是正方形可得AC⊥BD.SD⊥平面ABCD,BD 是BE 在平面ABCD 上的射影,AC⊥BE 4分(Ⅱ)解法1:如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=,SD⊥平面A BCD,CD 平面ABCD,SD⊥CD.又底面ABCD 是正方形,CD⊥AD,而SD AD=D,CD⊥平面SAD.连接AE、CE,过点D 在平面SAD 内作DE⊥AE 于F,连接CF,则CF⊥AE,故∠CDF 是二面角C-AE-D 的平面角,即∠CDF=.在Rt△BDE 中,BD=2a,DE=在Rt△ADE中,从而在中,.由,得.由,解得,即为所求.12分证法2:以D 为原点,的方向分别作为x,y,z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),E(0,0),,即.(I)解法2:由(I)得.设平面ACE 的法向量为n=(x,y,z),则由得.易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为..0<,,.由于,解得,即为所求.20.(1)甲小组做了三次实验,至少两次试验成功的概率为3分(2)乙小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数,因此所求的概率=6分(3)由题意的取值为0,1,2,3,4+10分故的分布列为1234P12分21.解:(Ⅰ)∵,∴,又则直线的方程为①又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上3分(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设不妨取∴,不合题意②当直线的斜率存在时,设联立方程得则又即将代入上式得解得或(舍)∴直线过定点8分∴,点到直线的距离为∴由及知:,令即∴当且仅当时,13分。

襄阳五中高二下学期文科数学月考试题答案一、选择题： 1.DCDDCB BABCAA二、填空题： 13． 8 。

14． 2013/2014 。

15． x<-1或x>1 。

16． 3 2 -1 。

17．解析：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. …………………5分(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆心为(1，0)，半径r ＝1，则圆心到直线l 的距离d ＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．…………………………10分 18. 解：甲命题为真时，Δ＝(a －1) 2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 乙命题为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a ＜－12或a ＞13}．(6分) (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－12， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．(12分)19.解：(1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|＞10，其解集为{x |x ＜－3或x ＞7}．(4分)(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a ，当且仅当a ＜1时，对任何x ∈R 都成立．(12分) 20.解：（1）2()()()0222x x x f x f f =+=≥又若f(x 0)=0, 则f(x)=f(x- x 0+ x 0)=f(x-x 0)f(x 0)=0与已知矛盾，故 f(x)> 0 …………………………4分（2）设12x x <则120x x -< 又 ∵)(x f 为非零函数 =-∴)(21x x f )()(x )()()(x 22212221x f x x f x f x f x f +-=∙- =)()(1)()(2121x f x f x f x f >⇒>, )(x f 为减函数 …………………………8分（3）由211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（） 原不等式转化为)2()53(2f x x f ≤-+-，结合（2）得：10222≤≤⇒≥-+x x x故不等式的解集为{}10|≤≤x x ； …………………12分21解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1 . …………（4分） (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0， 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.…………（8分）又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22. ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，…………（10分） 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0， 得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 .…………（12分）22.解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分） （II ）x a x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22a x =，列表 x)22,0(a 22a ),22(+∞a )(x g '- 0 + )(x g单调递减 极小值 单调递增 当22a x =时，函数)(x g y =取极小值)2ln 1(2)22(a a a g -=，无极大值． ………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a >，∴22a e a > 01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a ，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时 若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点； 综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点． ……（12分）。

湖北省襄阳市第五中学高三数学5月模拟考试试题（一）理理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2xA x y xB y y ==-==,则=B AC U )(( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2)2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( ) A ．224π+ B ．220π+ C ．24π+D ．20π+4．下列四个结论：①命题“若p ，则q”的逆命题是“若q ，则p” ．②设,a b 是两个非零向量，则“//a b ”是“a b a b ⋅=⋅”成立的充分不必要条件．③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样． ④设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ． 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知向量()1,2a =，()2,3b =-．若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）.A ．77(,)93B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--6．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π37．若数列{}n a 满足110n n p a a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已知正项数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b=，则892b b+的最小值是( )A．2 B．4 C．6 D．88．若实数yx、满足不等式组5230.10yx yx y≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则yxz2||+=的最大值是( )A．10B．11C．13D．149．已知双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线1x ya b+=截得的弦长为6a，则双曲线的离心率为( )A．3 B．2 C．3D．210．已知()y f x=为R上的连续函数，其导数为'()f x，当0x≠时，'()()f xf xx->，则关于x的函数1()()g x f xx=+的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为.12．设210sinn xdxπ=⎰，则31nxx-展开式中的常数项为.（用数字作答）13．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈.（用分数表示）14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：开始s输出结束是否?49<s1=i=siss1+=1+=ii10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）2014b是数列{}n a 中的第 项；（Ⅱ） 21n b -= ．（用n 表示）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修41-：几何证明选讲）如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，,,C D P 共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 .16．（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin()13πρθ+=，则两曲线交点间的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，222cos()sin cos b a c A C ac A A --+=． （I ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求bc 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12224n n n n a b a a ++=，且数列{}n b 的前n 项之和为n T ，求证：45<n T ．19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

湖北省襄阳市第五中学2016届高三5月模拟考试（三）数学（文）试题本试题卷共4页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．在复平面内，复数322(1z i i i=--为虚数单位)表示的点位于( ) .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2．若2cos(θ﹣3π)=3cosθ，则tanθ=( )A ．32 B ．23 C ．33-D ．3323．若集合{}0,1,2,3,4M =，集合{}23N x x =-<，则下列判断正确的是( )A.x M ∉，是x N ∉的充分必要条件；B.x M ∉，是x N ∉的既不充分也不必要条件；C.x M ∉，是x N ∉的充分不必要条件；D.x M ∉，是x N ∉的必要不充分条件4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为( )A ．62，62.5B ．65，62.5C ．65，62D ．62.5，62.5 5．设函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A ．[11)2, B ．0,1（）C ．10]2(, D ．1,（）+∞ 6．若下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k =B ．6k ≤C ．6k <D ．6k >7．已知()()cos 2,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图像向右平移ϕ个单位长度，所得的图像关于原点对称，则ϕ的一个值是( )A.316πB.516πC.34πD.38π8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．73B ．172C ．13 D9．设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C的切线MP ，MQ (,P Q 为切点)满足︒=∠90PMQ ，则a 的取值范围是( ) A ．[18,6]- B．[6-+ C ．[16,4]- D．[66---+ 10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P Q R ，，分别是棱11111A A AB A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为()11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ Q N =，则双曲线C 的离心率为( )AB ．2 CD12．已知函数32e )(2-++=ax ax x f x 在(0,+)x ∈∞上有最小值，则实数a 的取值范围为( )A.1(,)2-∞- B.1(,)22e -- C.(1,0)- D.1(,)2+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(共6小题，每题5分) 13． 已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值范围是 ．14．如图，为了测量A 、C 两点间的距离，选取同一平面上B 、D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km )：5=AB ，8=BC ，3=CD ，5=DA ，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为 km .15．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(1,1)Q 的直线与曲线1x y x =-交于,M N 两点，则OQ OM OQ NO ⋅-⋅=________.16．设数列}{n a 的首项231=a ，前n 项和为S n ， 且满足321=++n n S a ( n ∈N *) ．则满足7817182<<n n S S 的所有n 的和为 ． 三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上 17．(本小题满分12分)已知向量1(sin ,),(cos ,cos(2))26a xb x x π=-=+，函数b a x f ⋅=)(.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在y 轴右侧的极大值点从小到大构成数列{}n a ，试求数列21{}n n a a π+的前n 项和nT18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积．19．(本小题满分12分)某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，销售情况如表所示：(Ⅰ)A (Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调不是B 型且不是第一周售出空调的概率？(Ⅲ)根据C 型空调连续3周销售情况，预估C 型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当C 型空调周销售量的方差最小时， 求4C ，5C 的值；(注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，nx 的平均数)ABCMPD20．(本小题满分12分)已知椭圆22:216C x y +=(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，点A 在椭圆C 上，点B 在直线4x =上，且0OA OB ⋅=，求直线AB 截圆2217x y +=所得弦长.21．(本小题满分12分)已知函数()(21)x f x x e =-，()()g x ax a a R =-∈.(1)若()y g x =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；(2)已知a < 1，若关于x 的不等式()()f x g x <的整数解只有一个x 0，求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．做答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，BF ∥CD 且交ED 于点F(I)证明：△BCE ∽△FDB ；(II)若BE 为圆O 的直径，∠EBF=∠CBD ，BF=2，求AD·ED.23．(本小题满分10分)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，(ϕ为参数)，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t 23321y t x ，(t 为参数). 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(π.(Ⅰ)求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲。