用待定系数法求二次函数的解析式

数学篇解法荟萃求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.一、设一般式求函数的解析式若题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，可以设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正确的函数解析式.例1已知二次函数图像经过了D（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c（a≠0），将D 、E 、F 的坐标代入可得ìíîïï-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîïïa =1,b -5,c =-6,由此可得，此二次函数的解析式为：y =x 2+5x -6.评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.例2已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2-2；∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．巧用待定系数法求二次函数的解析式甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳32数学篇例3已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），设抛物线解析式为y =a (x -3)2-2，将点（1，0）代入得a =12，∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52．评注：设顶点式求解二次函数解析式，需要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.三、设交点式求函数的解析式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为A (x 1,0)、B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.例3二次函数的图象过点A（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；2∴可设其解析式为：y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）和B （x 2,0），那必然存在ax 21+bx 2+c =0，即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32；6.5；7.3或65或545；8.16；9.证明过程略．10.解：由题意得：∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：PO =9.2，解法荟萃。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。

它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。

本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。

首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。

它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。

求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。

这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。

这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。

此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。

这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。

在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。

通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。

由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。

待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移 巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。

11、 已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。

确定二次函数的表达式一、用待定系数法求二次函数的解析式步骤：（1）设二次函数的解析式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

二、二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：.已知抛物线上三点或三对、的值，通常选择一般式.2．顶点式：.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3．交点式：。

已知抛物线与轴交点的横坐标、，通常选用交点式。

三、例题选讲例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；例2：（一题多解）二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式四、变式训练例1：已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).例2：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.[变式练习1] 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.[变式练习2] 将与x 轴两交点的距离改为已知一交点坐标.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A(3,0),B 两点,与y 轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.五、题组训练，拓展迁移：1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．接近中考1、[2008年无锡市]已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于72时点P 的坐标．2、[2008佛山]. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？O x y M 3 第2题图 AB C D P。

二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练：求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点（-1，-22），（1，-8），（2，8）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-14)。

解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点（0，0），（-1，-1），（1，9）的二次函数为抛物线，解析式为y = 4x^2 - 4x。

3.经过三点（-1，-6），（1，-2），（2，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,-1)。

解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点（1，a），（2，b），（3，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点（-1，10），（2，7）且3a+2b=16的二次函数为抛物线，解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点（a，b）和（12，b）且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线，解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点（-3，c）和（0，3）的二次函数为抛物线，其顶点为M(－3，c+1)，对称轴为x=－3，解析式为y = -x^2 + 6x + c。

8.经过三点A（-1，0），B（0，-1），C（1，2）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点（-1，-2），（0，-1），（1，0）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3，解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A（-1，4），（1，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点（1，0），（-1，0），（0，-3）的二次函数为抛物线，其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3，解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点（-1，3），（3，-1），（4，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向下，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,2)。

22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。

我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。

即假设a、b、c的值为未知数。

2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。

在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。

3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。

4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。

下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。

例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。

解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。

首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。

现在我们得到了a=3-2c和b=c。

将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。

用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径，用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示，其中$a,b,c$均为常数。

一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程，通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定，来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。

1.2 待定系数法的步骤（1）将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定，将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数，形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$（2）据此，将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值，其中$b_1$为给定数∵（3）如果$Δ ≠ 0$，有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$（4）将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式，可求出$a,b,c$的值（5）最终，得出答案。

二、例题例题1：已知$2x^2+bx+2=0$，求b的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$，解得$b=4$∴$b=4$例题2：已知$2x^2-3x+c=0$，求c的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$，解得$c=3$∴$c=3$三、探究（1）待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况，不能用来求解多次多项式方程。

（2）待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中，会出现二次式解析方程的问题，它可以用来快速求解解析式，可以极大的节省计算的时间。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）责编:常春芳【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ， 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,. 2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ， 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+- ， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。

首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。

一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。

其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。

一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。

对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。

再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。

比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。

根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。

总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。

一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。

通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。

情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。

二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。

将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。

待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。

3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1） 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2） 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3） 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。

2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。

得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。

(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。

求此抛物线的解析式。

解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。

专题用待定系数法求二次函数的解析式Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】专题1-用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式常见的三种表达形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c （a≠0）顶点式：y=a(x－h)2+k （a≠0，（h，k）是抛物线的顶点坐标）交点式：y= a(x－x1) (x－x2) （a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例1.如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式.变式一：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，当x＝－2时，函数的最大值为 4，求二次函数解析式.变式二：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，对称轴是直线x＝－2，最高点的纵坐标为4，求二次函数解析式.例2．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－3，0）、（1，0）、（0，－3），求二次函数解析式.变式一：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是－3、1，与y轴交点的纵坐标是－3，求二次函数解析式.变式二：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－3，0）、（0，－3），且对称轴是x=－1，求二次函数解析式.变式三：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－4，5）、（0，－3），且对称轴是x=－1，求二次函数解析式.变式四：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－4，5）、（2，5）、（1，0），求二次函数解析式.二次函数专题练习1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数y= ax 2+bx+c ，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。