布鲁纳认知发现学习理论教案 瞬时速度与导数

1.1.2 瞬时速度与导数学案（含答案）1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t 表示时间思考1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度答案st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式fx0limx0fx0xfx0x.2实质函数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三导函数对于函数fxx22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又stst0tst0t2t01t，limt0stlimt02t01t2t01，2t019，t04.即物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平均速度vst.求瞬时速度vlimt0st.跟踪训练1一质点M按运动方程stat21做直线运动位移单位m，时间单位s，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M在t2s时的瞬时速度即为函数在t2s处的瞬时变化率质点M在t2s附近的平均变化率为sts2ts2ta2t24at4aat，又limt0st4a8，a2.类型二求函数在某一点处的导数例21设函数yfx在xx0处可导，且limx0fx03xfx0xa，则fx0________.答案13a解析limx0fx03xfx0xlimx0fx03xfx03x33fx0a，fx013a.2利用导数的定义求函数yfxx在x1处的导数解yf1xf11x1，yx1x1x11x1，f1limx0yxlimx011x112.反思与感悟1求函数yfx在点x0处的导数的三个步骤简称一差，二比，三极限2瞬时变化率的变形形式limx0fx0xfx0xlimx0fx0xfx0xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0xfx0x2xf x0跟踪训练2已知fx3x2，fx06，求x0.解fx0limx0fx0xfx0xlimx03x0x23x20xlimx06x03x6x0，又fx06，6x06，即x01.1设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0xfx0axbx2a，b为常数，则AfxaBfxbCfx0aDfx0b答案C解析fx0limx0fx0xfx0xlimx0abxa.2物体运动方程为st3t2位移单位m，时间单位s，若vlimt0s3ts3t18m/s，则下列说法中正确的是A18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的速度C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3函数yfx2x24x在x3处的导数为________答案16解析f3limx0yxlimx023x243x23243x16.4一物体的运动方程为stt23t2，则其在t______时的瞬时速度为1.答案2解析设物体在tt0时的瞬时速度为1，因为stst0tst0tt0t23t0t2t203t02t2t03t，所以limx02t03t2t031，解得t02.5已知物体运动的速度与时间之间的关系是vtt22t2，则在时间间隔1,1t内的平均加速度是________，在t1时的瞬时加速度是________答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为vtv1tv1tt4，当t无限趋近于0时，vt无限趋近于4.利用导数定义求导数三步曲1作差求函数的增量yfx0xfx02作比求平均变化率yxfx0xfx0x.3取极限得导数fx0limx0yx.简记为一差，二比，三极限。

《3.1.2瞬时速度与导数》教学案教学目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作与学习中，体验学习的快乐.教学重、难点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学过程一、课前准备1、求函数平均变化率的步骤：2、过曲线3()f x x =上两点(1,1),(1,1)p Q x y +∆+∆做曲线的割线，求当x ∆=0.1时割线的斜率.二、新知探究探究(一)瞬时速度：1. 已知物体作变速直线运动，其运动方程为s ＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在t 0时刻的速度．问题1：如图设该物体在时刻t 0的位移是ｓ(t 0)＝OA 0，在时刻t 0 +Δt 的位移是s(t 0+Δt)=OA 1，则从t 0 到 t 0 +Δt 这段时间内，物体的位移是:_________________________.问题2：在时间段(t 0+△t)－t 0内，物体的平均速度为: _____________________________________.问题3：平均速度与瞬时速度分别反映了什么？1000()()s OA OA s t t s t ∆=-=+∆-t s t t t t s t t s v ∆∆=-∆+-∆+=0000__)()()(平均速度：反映了物体运动时的快慢程度，但要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，就需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是 s =s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到 t +Δt 这段时间内，当 Δt →0 时平均速度.v tt s t t s →∆-∆+)()(，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 2.瞬时速度的定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 . 探究(二)导数的概念：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数)(x f y =相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆(也叫函数的平均变化率)无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y =在0x x →处的瞬时变化率.记作 ____________________________________ .还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在x 0处瞬时变化率， 可记作 ，函数在x 0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在x=x 0处的导数，并记作：注意：○1“0x ∆→”的意义：x ∆与0的距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数，但始终0x ∆≠ .○2当0x ∆→时，存在一个常数与 00()()f x x f x x+∆-∆ 无限的接近. 2.导函数：称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .注：(1)如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导. (2)导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值.(3)求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0 ⑷今后，如不特别说明求某一点的导数，求导数指得就是求导函数.3.由导数的定义可知，利用导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般步骤是： 第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx y f x x ∆→∆'=∆. 三、典型例题例 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s ，试求小球何时速度为0？ 解：小球的运动方程为h (t )=100t －12gt 2， 在t 附近的平均变化率为 22211[100()()][100]221100()2t t g t t t gt t t gt t t g t t +∆-+∆--∆∆-⋅⋅∆-∆=∆ =100－gt －12g △t . 当△t →0时，上式趋近于100－gt .可见t 时刻的瞬时速度h ’(t)=100－gt.令h ’(t )=100－gt =0，解得10010010.2()9.8=≈≈t s g 所以小球弹射后约10.2s 向上的速度变为0.变式1.物体作自由落体运动，运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ，时间单位是s ，g =10m/s 2.求：(1) 物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.2.求y=x2+2在点x=1处的导数.四、课堂小结反思。

布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数什么是瞬时速度在物理学中，速度指的是物体在单位时间内，沿着某一方向所移动的距离。

有时候，我们需要了解物体在某一特定时刻的速度，这就需要用到瞬时速度的概念。

瞬时速度是指物体在某一瞬间的具体速度，也可以称为瞬时变化率。

在数学上，瞬时速度可以用导数来表示。

什么是导数在数学中，导数是描述函数的变化率的概念。

它描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是斜率。

导数可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的变化率。

如果一个函数f(x)在某一点x0的导数存在，那么这个函数在这个点就是可导的。

具体地说，如果一个函数f(x)在x0处的导数存在，那么它的导数可以通过以下式子表示：$f'(x_{0})=\\lim _{h\\to 0}{\\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$换句话说，导数是函数在某一点的瞬时变化率。

如何计算瞬时速度的导数接下来我们来看一个实例，了解如何计算瞬时速度的导数。

假设有一个物体，它离地面上方25米的地方开始下落。

在任意时刻，这个物体到地面的距离y可以由以下公式表示：y=25−4.9t2其中t表示时间。

现在我们要求这个物体在t=2秒时的瞬时速度。

根据定义，我们可以得出物体在t=2秒时的瞬时速度公式：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {y(2+\\Delta t)-y(2)}{\\Delta t}}$将公式代入我们得到：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(25-4.9\\cdot(2+\\Delta t)^{2})-(25-4.9\\cdot2^{2})}{\\Delta t}}$简化后可得：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(-19.6\\cdot \\Delta t-4.9\\cdot\\Delta t^{2})}{\\Delta t}}$$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{-19.6-4.9\\cdot \\Delta t}$因为$\\Delta t$非常小，我们可以把$\\Delta t$忽略不计，最终得到：v(t=2)=−19.6可以看到，在t=2秒时，这个物体的瞬时速度为-19.6米/秒（向下）。

布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数1. 引言在数学领域中，瞬时速度和导数是非常重要的概念。

瞬时速度描述了物体在某一时刻的瞬间速度，而导数则描述了函数在某一点的变化率。

本教案将介绍布鲁纳认知发现学习理论教学法来教授瞬时速度和导数的概念。

2. 布鲁纳认知发现学习理论概述布鲁纳认知发现学习理论是由美国教育心理学家杰罗姆·布鲁纳于1966年提出的。

该理论强调学生通过自主探究和发现来构建知识，而不是被动地接受教师的知识传授。

根据布鲁纳认知发现学习理论，教师的角色是引导学生进行探究，并激发他们的思考和发现能力。

这种教学方法有助于学生主动地参与学习过程，培养他们的批判性思维和问题解决能力。

3. 瞬时速度的概念在物理学中，瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬间速度。

它可以通过计算物体在极短时间间隔内所移动的距离和时间来确定。

瞬时速度的计算可以使用微分的概念，即将时间间隔无限缩小，使得时间间隔趋近于零。

通过布鲁纳认知发现学习理论的方法，可以引导学生通过观察物体在不同时间点的位置并计算距离的变化量来理解瞬时速度的概念。

通过实际的测量和计算过程，学生可以逐渐掌握瞬时速度的定义和计算方法。

4. 导数的概念导数是描述函数变化率的概念。

对于一个函数而言，导数描述了函数在某一点的变化速率和曲线的切线斜率。

导数的计算可以通过极限的概念来进行，即将点与其周围的点之间的间隔无限缩小，使得间隔趋近于零。

通过布鲁纳认知发现学习理论的方法，可以引导学生通过观察函数在不同点的斜率来理解导数的概念。

通过计算斜率的变化量并逐渐缩小间隔，学生可以逐步掌握导数的定义和计算方法。

5. 布鲁纳认知发现学习理论教学方法基于布鲁纳认知发现学习理论，以下是一种教学方法，用于教授瞬时速度与导数的概念。

步骤1：引入问题和观察材料首先，引入一个实际的问题，例如描述一个人在不同时间点的位置。

然后，提供观察材料，如位置-时间图表或者位置函数的图像。

步骤2：学生观察和探究让学生观察图表或图像，并提出问题，例如在某个时间点的瞬时速度是多少？或者在某一点的导数是多少？步骤3：引导学生讨论和发现引导学生进行讨论，并激发他们的思考。

t tt t ∆--=∆∆-∆-=9.41.139.41.132（2）求出当0001.0,001.0,01.0,1.0=∆t ，… 时质点的平均速度； 求出当0001.0,001.0,01.0,1.0----=∆t ，… 时质点的平均速度；时间区间 ([]t ∆+2,2) 时间间隔（0>∆t ）平均速度（v ） []1.2,2[]01.2,2[]001.2,29[]0001.2,2 1 49 []00001.2,201 049 ………………时间区间 ([]2,2t ∆+) 时间间隔（0<∆t ）平均速度（v ）[]2,9.1 []2,99.1[]2,999.1 1 []2,9999.1 51 []2,99999.1951 ………………观察平均速度v 随t ∆的变化趋势问题2 当t ∆的绝对值无限趋近于零时，平均速度会无限趋近于一个确定的值，我们能用解析式表示这种变化趋势吗 引入极限符号 观察数列1，21，31，……，n1，……当n 无限变大时，n1会无限趋近于0。

我们用极限符号01lim =∞→n n 表示。

练习1.=+∞→)31(lim nn 设函数12)(+=x x f 当x 无限趋近于1时，)(x f 的变化趋势是什么 用极限符号表示3)12(lim 1=+→x x练习2.=∆--→∆)9.41.13(lim 0t t问题3 由平均速度的变化趋势，我们能求出运动员在t=2时的瞬时速度吗 平均速度可以作为时刻t=2时的瞬时速度的近似值 近似值的精确度与什么有关 当t ∆无限接近于0时平均速度v 的变化趋势是什么④现在可以求出运动员在t=2时的瞬时速度构建导数概念问题1 从函数的变化率的角度看问题，平均速都是函数的平均变化率，那瞬时速度应该是什么呢问题2 你能给出函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率的定义吗 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000问题3 除瞬时速度外，很多科学问题和其他问题也可以用函数的瞬时变化率来表示。

1.1.2 瞬时速度与导数学习目标：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数在一点处导数的定义．学习过程：探究学习：1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0lim x y x ∆→∆∆. 物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1. 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='， 即f ′(x 0)＝0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆. 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①0lim x y x∆→∆∆存在(惟一确定的值)，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导， ②若0lim x y x∆→∆∆不存在，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处不可导． (2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即v ＝0lim x ∆→Δs Δt ＝0lim x ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . (3)f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x )－f (x 0)x －x 0与定义中的f ′(x 0)意义本质相同. 例题探究：例1：一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．例2：已知某物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4(t 的单位：s ，s 的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s 附近的平均速度．例3：求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．课堂检测：1.设函数f (x )可导，则limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．3．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．4．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．课堂小结：规律方法 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx .参考答案例题探究：例1：解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a Δt 2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0lim x ∆→Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 例2：解：v ＝Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝(25＋3Δt )m/s ，即该物体在4 s 附近的平均速度为(25＋3Δt )m/s.例3：解：因为Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b ) ＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2，故Δy Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2Δx＝(2x ＋a )＋Δx ， lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ， 所以y ′＝2x ＋a .课堂检测：1.【解析】根据导数的定义： lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13f ′(1)． 【答案】C2．【解析】v 初＝s ′|t ＝0＝ 0limt ∆→s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. 【答案】33．【解析】v 0＝0limt ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝0lim t ∆→v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝0lim t ∆→v ·Δt Δt＝v .【答案】相等4．解：运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴0lim t ∆→ Δs Δt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.5．解：由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0Δf Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0Δg Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

3.1.2 瞬时速度与导数教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．教学重难点：重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用难点：导数概念的理解.教学过程：情境导入：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度.合作探究：探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.精讲精练：例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第x h 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.例2：已知质点M 按规律s =3t 2+2做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）．（1）当t =2，△t =0.01时，求．（2）求质点M 在t =2时的瞬时速度．【解析】根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．解：（1）当t =2，△t =0.01时，==12.03； （2）∵s =3t 2+2，∴s ′（t ）=6t ，则质点在t =2秒时的瞬时速度为s ′（2）=6×2=12．有效训练：一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s =gt 2（g =10m/s 2，位移单位：m ．时间单位：s ），求物体在t =2s 时的瞬时速度．解：函数的导数为S ′=gt ，则t =2秒时的瞬时速度为S ′|t =2=2g =10×2=20 m/s ．。

《1.1.2 瞬时速度与导数》教学案4【教学目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想【重点难点】导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力。

一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、新课讲解设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x x +∆，()f x x +∆)则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 1、曲线上一点处的切线斜率当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点P (x ，f (x ))处的切线的斜率。

()()f x x f x k x+∆-=∆，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x ，f (x ))处切线的斜率。

2．瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体的位移S ( t )的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t =t 0时的瞬时速度，也就是位移对时间的瞬时变化率求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t =t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率3．导数：函数在某点的瞬时变化率)0()()(00→∆→∆-∆+=∆∆x A xx f x x f x y 记作)(0x f ' 三、数学应用例1、已知f (x )=x 2，求曲线在x =2处的切线的斜率。

布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数简介布鲁纳认知发现学习理论是以Jean Piaget的认知心理学为基础而发展起来的理论。

该理论强调了学生通过积极参与学习，探索知识和建立概念的方法来构建知识。

该理论在教育学中得到了广泛应用。

瞬时速度在物理学和数学中，瞬时速度是质点在某一时刻的瞬间速度，它是瞬间位移关于时间的导数。

具有瞬时速度的质点的运动是连续的，因此可以将其视为无限小的微分运动之和。

在学习瞬时速度时，学生需要掌握导数的概念。

导数在微积分中，导数描述了函数值在任何一个给定点上的瞬间变化率。

导数是函数的斜率，在该点处的切线即该点处的导数。

因此，导数是表示函数的变化率的基本工具。

在学习导数时，学生需要掌握函数的图像和变化率的概念。

学习活动为了帮助学生理解瞬时速度和导数的概念，我们可以进行以下学习活动：活动1：走路模拟让学生以走路的方式模拟一个运动物体。

计算他们的瞬时速度会如何随时间变化。

将学生分成小组，让他们根据时间记录每个人在每个时刻的位置。

然后，让他们使用肉眼估计每个人在不同时间的平均速度，然后计算出某个时刻的瞬时速度。

学生可以通过此活动了解瞬时速度的概念。

活动2：图像模拟让学生观察一条随时间变化的曲线。

他们可以使用计算器或绘图软件绘制该曲线。

然后，让他们观察该曲线在每个时间点的切线斜率。

随着时间的推移，斜率会如何变化？让学生计算该曲线的导数，并了解导数的概念。

活动3：词汇学习在教学中，概念词汇对学生掌握概念至关重要。

因此，教师可以创建一个词汇表，包含瞬时速度和导数的所有关键词。

然后，教师可以使用以下技巧帮助学生掌握这些词汇：•对每个概念进行定义，并使用可视化工具或实例解释该概念。

•引入与概念相关的术语和符号，并训练学生使用它们。

•让学生使用他们掌握的术语和符号来解决问题或回答问题。

结论通过上述学习活动，学生可以更好地掌握瞬时速度和导数的概念。

教师应该在课堂上讨论这些概念，并使用实例展示如何应用这些概念。

1.1.2 瞬时速度与导数教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．课型：新授课.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.预习达标.1.函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为x y ∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率2.函数f （x ）在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为()()2121f x f x x x --. 3.导数的定义： )(x f y =在0x 点附近有定义，对自变量任一改变量x ∆，函数改变量为()()00f x x f x x+∆-∆， 若极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，称)(x f y =在0x 点处的导数. 教学过程例1：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．（1）x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；（2）.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→解：（1）原式＝)()()(lim 000x x f x x f x ∆---∆-→∆ )()()(lim 0000x f x x f x x f x '-=∆--∆--=→∆ （2）原式＝hh x f x f x f h x f h 2)()()()(lim 00000--+-+→ []).()()(21)()(lim )()(lim 21000000000x f x f x f h x f h x f h x f h x f h h '='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→ 例2：若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．21 【解析】[]2)()(lim )(0000=---+='→kx f k x f x f k （含k x -=∆）， ∴kx f k x f k 2)()(lim 000--→ [])(21)()((lim 210000x f k x f k x f k '-=---+-=→ .1221-=⨯-=故选A ． 【答案】A课内练习：1. 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21 D ．以上都不是 2．已知函数y =f (x )在区间(a ,b )内可导，且x 0∈（a ，b ）则h h x f h x f h )()(000lim --+→ 的值为（ ）A.)(0x f 'B.)(20x f 'C.)(20x f '-D.03．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－21 D ．21 4.已知曲线y =x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（-4，33）C ．（-1，3）D ．不确定5．x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000= .6．000()()lim 2h f x h f x h h →+--= .【答案】1.A2.B3.C4.C5. )(0x f '-6. )(0x f '课堂小结：通过本节课的学习，你收获了哪些知识？教学反思。

瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。

首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。

1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。

瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。

2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。

在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。

速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。

加速度表示单位时间内速度的变化量。

接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。

3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。

在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。

通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。

如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。

当加速度为零时，速度保持不变。

反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。

这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。

综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。

瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。

通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.2瞬时速度与导数》导学案【学习目标】1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.【重点难点】瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.【学习内容】一、创设情景探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、学习新知1.瞬时速度、瞬时变化率我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考:当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？小结: 当t ∆趋近于0时， 平均变化率趋近一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数， 记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率； (2)0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.三、典例分析 例 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m /s ，试求小球何时速度为0？ 解：小球的运动方程为h (t )=100t －12gt 2， 在t 附近的平均变化率为 22211[100()()][100]221100()2t t g t t t gt t t gt t t g t t+∆-+∆--∆∆-⋅⋅∆-∆=∆ =100－gt －12g △t . 当△t →0时，上式趋近于100－gt .可见t 时刻的瞬时速度h ’(t )=100－gt .令h ’(t )=100－gt =0，解得10010010.2()9.8=≈≈t s g 所以小球弹射后约10.2s 向上的速度变为0.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s，求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五．【课堂小结与反思】。

3.1.2 瞬时速度与导数【教材分析】 （一）三维目标 （1）知识与技能1）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3）会求函数在某点的导数 （2）过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； （3）情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

（二）教学重点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （三）教学难点 导数的概念。

（四）教学建议在本节课的教学过程中，教材中的例题，教师要注意学生分析题意，对于例题，学生一般直接用物理知识来解答，为应用新知识，可引导学生再用导数求解。

【教学过程】一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？ 二、新课讲解我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。

先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1表格2问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t∆趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均m/。

速度都趋近于一个确定的值-13.1s3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。