2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版

4.3 三角恒等变形核心考点·精准研析考点一三角函数式的化简求值1.(2020·阜阳模拟)若sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,且α为第二象限角,则tan=( )A.7B.C.-7D.-2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos2α+1,则sin α=()A. B. C. D.3.化简:= .【解析】1.选B.因为sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=,即-cos(α-β+β)=-cos α=,所以cos α=-.又因为α为第二象限角,所以tan α=-,所以tan==.2.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.3.原式====1.:1答案2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式=====1.三角形法解T2,因为α∈,所以sin α>0,cosα>0,由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcosα=2cos2α,即2sin α=cosα,tan α=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.考点二条件求值问题命题精解读1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学霸好方法条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tanβ=tan(α±β)(1∓tan αtanβ).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ)其中sin φ=,cos φ=给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:-= .【解析】-====4.:4答案提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tan α=.【解析】1.由sin α+cosβ=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sin αcosβ+2cos αsinβ=1,所以sin(α+β)=-.答案:-2.因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β值是.【解析】因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,所以β=.答案:如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.1.(2020·滁州模拟)若锐角α,β满足tan α+tan β=-tan αtanβ,则α+β=. 【解析】由已知可得=,即tan(α+β)=.又因为α+β∈(0,π),所以α+β=.答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2+cos=,且sin B=,则A+B= ()A. B. C. D.【解析】选C.因为sin 2+cos =,所以+cos A-sin A=,即-sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=-=-=-.由sin B=,且B为钝角,得cos B=-=-=-.所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=.又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),所以sin α=-=-,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=-.1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°= ( )A. B.- C. D.-【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)=sin215°-cos215°=-cos 30°=-.2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β= .【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)==,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,所以β=.答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM ⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sin α,PN=2-cos α,则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-2sin,因为0≤α<,所以≤α+<,故当α+=,即α=时,周长C有最小值6-2.2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.(2)求函数y=+的值域.【解题导思】序号联想解题(1) 看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)看到“求函数y=+的值域”,想到先化简(2)y=+【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=或.(2)y=+=sin2+sin2=+=1-=1-cos.因此,函数的值域是.1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用(1)图像变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;②利用公式T=(ω>0)求周期;③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin α,SR=2cosα,故S矩形PQRS=SR·PS =2cos α·sin α=sin2α,故当α=时,矩形的面积有最大值1.2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知得f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为-≤x≤,所以-≤2x-≤,所以当2x-=-,即x=-时,f(x)有最小值-;当2x-=,即x=时,f(x)有最大值.所以f(x)在上的最大值为,最小值为-.。

高考数学专题讲座 第7讲 三角函数的综合应用一、考纲要求1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角；4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是（ ）．A ．21 B ．2- C ．34 D ．21或2- 5．给出四个命题：（1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形． 以上正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．8．下列命题正确的有 ． （1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限； （3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；（4）2sin θ=53，2cos θ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2．（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．四、 热身演练 1．已知，那么下列命题成立的是（ ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ ）．3．函数的反函数是（ ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ． ①函数ｙ＝-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点(π/12，0)对称；③函数y =sin(2x+π/3)+sin(2x -π/3)的最小正周期是π；④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．9．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．三角函数的综合应用一、考纲要求：1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 3． 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角．4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． 二、基础过关： 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ A ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ B ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ D ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是（ B ）．A ．21B ．2-C ．34D ．21或2- 5．给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是（ B ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ C ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．28．下列命题正确的有 ．(2)（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）； （2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；βφαDCBA1.2 m2 m 1 m （4）2sinθ=53，2cosθ=54-，则θ在第三、四象限． 三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-xm x x m m sin 443sin sin 212恒成立对R x ∈，又 21)21(sin 43sin 2sin 2---=-+-x x x ，∴3sin 4≥+x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m m m ， ∴21-=m ，或323≤<m例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）解：如图，8.02.12=-=CD ，设x AD =，则x x AD BD 8.18.01tan =+==α， xAD CD 8.1tan ==β， βαβαβαφtan tan 1tan tan )tan(tan +-=-= ，∴4.2144.12144.118.08.118.08.1tan =⋅≤+=⋅+-=xx x x x x x x φ当xx 44.1=，即2.1=x 时， φtan 达到最大值4.21，φ是锐角，φtan 最大时，φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为2.1=AD 米．例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2，（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．解：（1）设b →=（x,y ），则2x+2y=－2，且a →·b →=|b →||c →|cos 43π=22y x +×22×(－22)=－2，解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==1y x , ∴b →=(－1,0) 或b →=(0,－1)．（2）∵三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴b=3π，∵b →⊥t →，∴b →=(0,－1)，∴b →+c →=( cosA,22cos 2C －1)=(cosA,cosC)，∴|b →+c →|2=C A 22cos cos +=1+21(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A －C)=1－21cos(A －C)，∴－32π<A －C<32π ,∴－21<cos(A －C)≤1,22≤|b →+c →|<25．例4 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2CA -， f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+)． （1）试求函数f (x )的解析式及其定义域； （2）判断其单调性，并加以证明； （3）求这个函数的值域． 解：（1）∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(C A C A CA C A C A C A x f -++-+=⋅+⋅= 342122122-=-+-=x xx x ， ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]．又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1)． （2）设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0． 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0．即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数．（3）由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2．故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)． 四、热身演练： 1．已知，那么下列命题成立的是（ B ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ D ）．AB C D3．函数的反函数是（ A ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ C ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ D ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ A ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ．①②③④ ①函数ｙ＝-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点 (π/12，0)对称；③函数y=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)的最小正周期是π； ④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．4389．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值． 解：（1）∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π),∴方程化为sin(x+3π)=-2a ．∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，∴sin(x+3π)≠sin 3π=23． 又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解)，∴|-2a |<1，且-2a≠23， 即|a|<2，且a ≠-3.，∴a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2)．（2） ∵α、 β是方程的相异解,∴sin α+3cos α+a=0 ① sin β+3cos β+a=0 ②①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0， ∴ 2sin 2βα-cos2βα+-23sin 2βα+，sin2βα-=0，又sin2βα+≠0，∴tan2βα+=33， ∴tan(α+β)=2tan 22tan22βαβα+-+=3．11．求20sin 6420cos 120sin 3222+-的值．解：原式=20cos 20sin 20sin 20cos 32222-+64sin 220°=40sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(2+-+64sin 220°=40sin 41)2030cos()2030cos(42-++64sin 220°=40sin 80sin 40sin 162+64sin 220°=32cos40°+64(240cos 1-)=32．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．解：要证α、β、γ成等差数列，∵α、β、γ是锐角，只要证：tan β=tan 2γα+．∵tan 2γα+=2tan2tan12tan2tanγαγα-+=2tan2tan12tan 2tan 33γγγγ-+=)2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan222γγγγ+-+=212tan 12tan22γγ-=21tan γ= tan β．∴α、β、γ成等差数列．。

第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础知识整合1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT＝012πωf＝1T＝02ω2π03ωx＋φ04φ2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．x 050－φω06π2－φω07π－φω083π2－φω092π－φωωx＋φ10011π212π133π2142πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤1．对函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)，其图象的基本变换有：(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由k 引起的，k >0时上移，k <0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换．2．当相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论．3．由y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，φ≠0，k ≠0)的图象得到y ＝sin x 的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到．1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上的所有点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴只需将函数y ＝sin2x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 A解析 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由x ＝－π3时，y ＝0，x ＝π6时，y ＝0，排除C.故选A.3．(2019·西安九校联考)将f (x )＝cos x 图象上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 C解析 由题意得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6＝sin π6＝12.4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图可知，34T ＝5π12＋π3＝3π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2在图象上，所以2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故选A.5．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．2答案 C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin2x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 解析 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .核心考向突破考向一 三角函数的图象变换 例1 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.故选C.关于y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象由y ＝sin x 的图象的变换，先将y ＝sin x 的图象向左(向右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A <1)到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．[即时训练] 1.将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2答案 D解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――――――――→向左平移π6 个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D. 考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例 2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8－3π4答案 D解析 由图象可知，A ＝23，T ＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝－23，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．因为|φ|<π，所以φ＝－3π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 8－3π4.确定y ＝A sin ωx ＋φ＋b A >0，ω>0的解析式的步骤(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ的常用方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[即时训练] 2.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24答案 A 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，f (x )的最小正周期大于2π，∴T 4＝11π8－5π8＝3π4，∴T ＝3π，ω＝2πT ＝23，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋φ＝1，∴5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π12，k ∈Z . ∵|φ|<π，∴φ＝π12，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质 角度1 函数图象与性质的综合应用例3 (2019·山西临汾模拟)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z .故选D.角度2 图象变换与性质的综合应用例4 (2019·河北五校联盟摸底)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，所得函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12答案 C解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6.故选C.角度3 三角函数模型的简单应用例5 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，因为0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又因为0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.所以若要求实验室温度不高于11 ℃，则在10时至18时实验室需要降温．(1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．[即时训练] 3.(2019·安徽安庆模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 答案 B解析 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )． 解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12， 所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．故选B. 4．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y (cm)和时间t (s)之间关系的一个三角函数关系式为________．答案 y ＝－4cos 5π2t解析 设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，T ＝0.8， 所以ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，所以y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋φ， 又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t －π2＝－4cos 5π2t .5．(2019·昆明模拟)把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中正确判断的序号是________． 答案 ②④解析 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，①不正确；y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，解得a ＝23，④正确．故填②④.(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 首先利用诱导公式化异名为同名．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12]，由y ＝cos x 的图象得到y ＝cos2x 的图象，需将曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变；由y ＝cos2x 的图象得到y ＝cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12]的图象，需将y ＝cos2x 的图象上的各点向左平移π12个单位长度．故选D.答题启示解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2和cos x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程．对点训练(2019·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12]，则它的图象是由y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度得到的．故选C.1、在最软入的时候，你会想起谁。

4.4 解三角形探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦、余弦定理的应用①理解正弦定理与余弦定理的推导过程②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019北京文,15运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换★★★2016北京,15运用余弦定理解三角形三角恒等变换、三角函数的性质2016北京文,13换元法,解二次方程2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2015北京,12运用正弦定理、余弦定理解三角形二倍角公式★★☆2015北京文,11运用正弦定理解三角形三角形中“大边对大角”2018北京文,14运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换2017北京,15分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点练考向【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.(2020届北京二中开学考试,5)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则“a>b ”是 “cos 2A<cos 2B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C2.(2020届北京东直门中学期中,16)在△ABC 中,c=7,sin C=2√65.(1)若cos B=57,求b 的值;(2)若a+b=11,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,cos B=57,∴sin B=√1-cos 2B =2√67,∵c=7,sin C=2√65,∴由正弦定理可得b=csinB sinC=7×2√672√65=5.(2)在△ABC 中,a 2+b 2≥(a+b)22=1122>72=c 2, ∴cos C=a 2+b 2-c 22ab>0,∵sin C=2√65,∴cos C=15,又c 2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C,a+b=11,c=7, ∴72=112-2ab-25ab,∴ab=30,∴S △ABC =12absin C=12×30×2√65=6√6.考点二 解三角形及其综合应用3.(2020届北京八一学校开学考试,11)在△ABC 中,a=1,b=√7,且△ABC 的面积为√32,则c= . 答案 2或2√34.(2018北京东城期末,12)在△ABC 中,a=5,c=7,cos C=15,则b= ,△ABC 的面积为 . 答案 6;6√65.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一垂直于路面的山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.答案 100√66.(2020届山东夏季高考模拟,18)在△ABC 中,∠A=90°,点D 在BC 边上.在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF=AC.(1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos ∠CFB. 解析 (1)因为CD=BD,所以CD=12BC. 由题设知DF=AC,12CD ·DF=12AB ·AC,因此CD=AB.所以AB=12BC,因此∠ABC=60°. (2)不妨设AB=1,由题设知BC=√2. 由BD=3CD 得BD=3√24,CD=√24.由勾股定理得CF=3√24,BF=√344.由余弦定理得cos ∠CFB=98+178-22×3√24×√344=5√1751.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角形形状的判断1.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定 答案 A2.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A 的大小;(2)若sin B+sin C=√3,试判断△ABC 的形状.解析 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得2a 2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b 2+c 2-a 2, 所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°. 由sin B+sin C=√3,得sin B+sin(120°-B)=√3, 所以sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3. 所以32sin B+√32cos B=√3,即sin(B+30°)=1.因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°. 所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC 为等边三角形.方法2 解三角形的常见题型及求解方法3.(2018北京朝阳二模,4)在△ABC 中,a=1,∠A=π6,∠B=π4,则c=( ) A.√6+√22B.√6-√22C.√62D.√22答案 A4.(2020届北京陈经纶中学开学考试,10)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为 . 答案 6√35.(2018北京石景山一模,12)在△ABC 中,∠A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案 2√36.(2019北京丰台二模文,14)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sin B=sin 2A.①bcosA 的值为 ;②若a>c,则b 的取值范围是 . 答案 ①6 ②(3,3√2)7.(2020届北京人大附中开学考试,11)在△ABC 中,a=3,b=√13,B=60°,则c= ;△ABC 的面积为 .答案 4;3√38.(2019北京西城一模,15)在△ABC 中,已知a 2+c 2-b 2=mac,其中m ∈R. (1)判断m 能否等于3,并说明理由; (2)若m=-1,b=2√7,c=4,求sin A. 解析 (1)m 不能等于3.理由如下: 当m=3时,由题可知a 2+c 2-b 2=3ac,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B, 得cos B=a 2+c 2-b 22ac=32,这与cos B ∈[-1,1]矛盾, 所以m 不可能等于3.(2)由(1)得cos B=m2=-12,所以B=2π3.因为b=2√7,c=4,a 2+c 2-b 2=-ac,所以a 2+16-28=-4a, 解得a=-6(舍)或a=2.在△ABC 中,由正弦定理,得sin A=asinB b=2√7×√32=√2114.【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组1.(2015北京,12,5分)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案 12.(2018北京文,14,5分)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;ca 的取值范围是 . 答案 π3;(2,+∞)3.(2016北京文,13,5分)在△ABC 中,∠A=2π3,a=√3c,则bc= .答案 14.(2015北京文,11,5分)在△ABC 中,a=3,b=√6,∠A=2π3,则∠B= . 答案 π45.(2019北京文,15,13分)在△ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(2)求sin(B-C)的值.解析 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形的边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B, 得b 2=32+c 2-2×3×c×(-12). 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c 2-2×3×c×(-12). 解得c=5. 所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=√32.由正弦定理得sin A=a b sin B=3√314. 在△ABC 中,B+C=π-A. 所以sin(B+C)=sin A=3√314.6.(2018北京,15,13分)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求∠A;(2)求AC 边上的高.解析 (1)在△ABC 中,因为cos B=-17,所以sin B=√1-cos 2B =4√37.由正弦定理得sin A=asinB b=√32.由题设知π2<∠B<π,所以0<∠A<π2. 所以∠A=π3.(2)在△ABC 中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3√314, 所以AC 边上的高为asin C=7×3√314=3√32.方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2017北京,15,13分)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a.(2)若a=7,求△ABC 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积. 8.(2016北京,15,13分)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求∠B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 解析 (1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2-b 22ac=√2ac 2ac =√22.又因为0<∠B<π,所以∠B=π4.(2)由(1)知∠A+∠C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π4-A) =√2cos A-√22cos A+√22sin A =√22cos A+√22sin A=cos (A -π4). 因为0<∠A<3π4,所以当∠A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理以及三角恒等变换将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,即可得出答案.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 正弦、余弦定理的应用1.(2019课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc =( )A.6B.5C.4D.3 答案 A2.(2018课标全国Ⅱ,6,5分)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5 答案 A3.(2019浙江,14,6分)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= . 答案12√25;7√2104.(2019课标全国Ⅱ文,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 答案 34π5.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;36.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 答案21137.(2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C 2=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C 2=sin Bsin A.因为sin A ≠0,所以sinA+C 2=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a.由正弦定理得a=csinA sinC=sin(120°-C)sinC=√32tanC +12.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).思路分析 (1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.(2)先用正弦定理表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C 的范围,进而求出△ABC 面积的取值范围.8.(2019天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B 的值; (2)求sin (2B +π6)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视.(1)在△ABC 中,由正弦定理bsinB =csinC ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+49a 2-169a22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.思路分析 (1)由已知边角关系3csin B=4asin C,利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cos B.(2)由(1)利用同角三角函数基本关系,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B 、cos 2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin (2B +π6)的值.易错警示 角B 为三角形内角,故sin B>0,由cos B 求sin B 仅有一正解.9.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理知BDsin ∠A =ABsin ∠ADB . 故5sin45°=2sin ∠ADB ,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235.(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD ·DC ·cos ∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25.所以BC=5.方法总结 正、余弦定理的应用原则:(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.考点二 解三角形及其综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C2.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( )A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010答案 C3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 答案√152;√1044.(2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C. (1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22. 由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=√6+√24.思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A 的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C 的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.5.(2019江苏,15,14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB 2b,求sin (B +π2)的值.解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由余弦定理cos B=a 2+c 2-b 22ac,得23=(3c)2+c 2-(√2)22×3c×c,即c 2=13.所以c=√33. (2)因为sinA a=cosB 2b ,由正弦定理asinA =bsinB ,得cosB 2b=sinB b,所以cos B=2sin B.从而cos 2B=(2sin B)2,即cos 2B=4(1-cos 2B), 故cos 2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√55.因此sin (B +π2)=cos B=2√55.6.(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6).(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos (B -π6),得asin B=acos (B -π6), 即sin B=cos (B -π6),可得tan B=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3, 有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (B -π6),可得sin A=√3√7.又a<c,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.7.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA . (1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力. (1)由题设得12acsin B=a 23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3. 由题设得12bcsin A=a 23sinA,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=a 23sinA ,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C 的值;(2)首先利用sin Bsin C 的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a 的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c 的值,进而得出△ABC 的周长.方法总结 解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csin B=a3sinA 变形为12sin Csin B=sinA3sinA . (2)三角形面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC 中,sin(B+C)=sin A.8.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+ bcos A)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.解析 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=12,所以C=π3. (2)由已知,得12absin C=3√32.又C=π3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C=7.故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5. 所以△ABC 的周长为5+√7.9.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠Bsin ∠C ;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.解析 (1)S △ABD =12AB ·ADsin ∠BAD, S △ADC =12AC ·ADsin ∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C =AC AB =12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ∠ADB, AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DCcos ∠ADC.故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.C 组 教师专用题组考点一 正弦、余弦定理的应用1.(2013北京文, 5,5分)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B= ( ) A.15B.59C.√53D.1答案 B2.(2017山东,9,5分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A3.(2016天津,3,5分)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A4.(2015天津,13,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 答案 85.(2015广东,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=12,C=π6,则b= . 答案 16.(2014北京,12,5分)在△ABC 中,a=1,b=2,cos C=14,则c= ;sin A= . 答案 2;√1587.(2012北京文,11,5分)在△ABC 中,若a=3,b=√3,∠A=π3,则∠C 的大小为 .答案 π28.(2012北京,11,5分)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b= .答案 49.(2011北京,9,5分)在△ABC 中,若b=5,∠B=π4,tan A=2,则sin A= ;a= .答案2√55;2√1010.(2015安徽,16,12分)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.解析 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理得sin B=bsin ∠BACa==√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB ·sinBsin(π-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=√10.考点二 解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.若c 2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC 的面积是( ) A.3 B.9√32C.3√32D.3√3答案 C2.(2018江苏,13,5分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 . 答案 93.(2014山东,12,5分)在△ABC 中,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A,当A=π6时,△ABC 的面积为 . 答案 164.(2014四川,13,5分)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC 约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,√3≈1.73)答案 605.(2016浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若△ABC 的面积S=a 24,求角A 的大小.解析 (1)证明:由题意及正弦定理得sin B+sin C=2sin A ·cos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B).又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)由S=a 24得12absin C=a 24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B.又sin B ≠0,所以sin C=cos B. 因为B,C ∈(0,π),所以C=π2±B.当B+C=π2时,A=π2;当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π2或π4.6.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值; (2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理得cos ∠CAD=AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD=2√7=2√77.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos ∠CAD=2√77,cos ∠BAD=-√714,所以sin ∠CAD=√1-cos 2∠CAD =√1-(2√77)2=√217,sin ∠BAD=√1-cos 2∠BAD =√1-(-√714)2=3√2114.于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin ∠BAD ·cos ∠CAD-cos ∠BAD ·sin ∠CAD =3√2114×2√77-(-√714)×√217=√32.在△ABC 中,由正弦定理,得BCsinα=ACsin ∠CBA,故BC=AC ·sinαsin ∠CBA=√7×√32√216=3.7.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.解析 (1)在△ADC 中,因为cos ∠ADC=17,所以sin ∠ADC=4√37.所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADC ·cos B-cos ∠ADC ·sin B =4√37×12-17×√32=3√314.(2)易知sin ∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin ∠ADC=4√37,在△ABD 中,由正弦定理得BD=AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.思路分析 (1)先得到sin ∠ADC 的值和∠BAD=∠ADC-∠B,再用两角差的正弦公式求值.(2)在△ABD 中利用正弦定理求BD,然后在△ABC 中利用余弦定理求AC.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019北京西城一模文,5)在△ABC 中,已知a=2,sin(A+B)=13,sin A=14,则c=( )A.4B.3C.83D.43答案 C2.(2019北京朝阳一模文,4,5分)已知在△ABC 中,∠A=120°,a=√21,△ABC 的面积为√3.若b<c,则c-b=( )A.√17B.3C.-3D.-√17 答案 B二、填空题(每小题5分,共30分)3.(2019北京房山一模,11,5分)在△ABC 中,已知BC=6,AC=4,sin A=34,则∠B= . 答案 π64.(2019北京东城一模,10 )在△ABC 中,若bcos C+csin B=0,则∠C= . 答案3π45.(2019北京海淀一模,10)在△ABC 中,a=4,b=5,cos C=18,则c= ,S △ABC = . 答案 6;15√746.(2018北京海淀二模,12)在△ABC 中,a∶b∶c=4∶5∶6,则tan A= . 答案√737.(2019北京丰台期末,10)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a>b,且√2a=2bsin A,则B= .答案 π48.(2020届北师大附中期中,11)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则∠C= . 答案2π3三、解答题(共140分)9.(2019北京石景山一模,16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,b=2√3,c=3,cos B=-13.(1)求sin C 的值; (2)求△ABC 的面积.解析 (1)在△ABC 中,cos B=-13, ∴sin B=√1-cos 2B =√1-(-13)2=2√23.由b=2√3,c=3,及bsinB =csinC得√32√23=3sinC,∴sin C=√63.(2)由b 2=a 2+c 2-2accos B 得12=a 2+9-2×3a×(-13),∴a 2+2a-3=0,解得a=1或a=-3(舍), ∴S △ABC =12acsin B=12×1×3×2√23=√2.10.(2019北京通州期末,15)如图,在△ABC 中,∠A=π4,AB=4,BC=√17,点D 在AC 边上,且cos ∠ADB=-13. (1)求BD 的长;(2)求△BCD 的面积.解析 (1)在△ABD 中,因为cos ∠ADB=-13, 所以sin ∠ADB=2√23.由正弦定理得BDsin ∠BAD =ABsin ∠ADB , 所以BD=ABsin ∠BAD sin ∠ADB =4×√222√23=3.(2)因为∠ADB+∠CDB=π,所以cos ∠CDB=cos(π-∠ADB)=-cos ∠ADB=13,所以sin ∠CDB=2√23.在△BCD 中,由BC 2=BD 2+CD 2-2BD ·CD ·cos ∠CDB, 得17=9+CD 2-2×3×CD×13,解得CD=4或CD=-2(舍).所以△BCD 的面积S=12BD ·CD ·sin ∠CDB =12×3×4×2√23=4√2.11.(2019北京西城期末,15)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A. (1)求cos A 的值;(2)试比较B 与C 的大小.解析 (1)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,由asinA =bsinB,得3sinA =2√6sin2A,即3sinA =2√62sinAcosA,解得cos A=√63.(2)由A ∈(0,π),得sin A=√1-cos 2A =√33. 因为B=2A,所以cos B=cos 2A=2cos 2A-1=13.所以sin B=√1-cos 2B =2√23.又因为A+B+C=π,所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=√69. 所以cos B>cos C.又因为函数y=cos x 在(0,π)上单调递减,且B,C ∈(0,π), 所以B<C.12.(2020届北京朝阳期中,17)在△ABC 中,AB=2√7,点P 在BC 边上,且∠APC=60°,BP=2. (1)求AP 的值;(2)若PC=1,求sin ∠ACP 的值.解析 (1)∵∠APC=60°,∴∠APB=120°,在△ABP 中,AB=2√7,BP=2,∠APB=120°,由余弦定理得AB 2=AP 2+BP 2-2AP ·BP ·cos ∠APB,即28=AP 2+4-2AP×2×(-12),∴AP 2+2AP-24=0,解得AP=4或AP=-6(舍).(2)在△APC 中,AP=4,PC=1,∠APC=60°,∴AC 2=AP 2+PC 2-2AP ·PC ·cos ∠APC=16+1-2×4×1×12=13,∴AC=√13,又AP sin ∠ACP =ACsin ∠APC , ∴sin ∠ACP=AP ·sin ∠APC AC =4×√32√13=2√3913.13.(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试,17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=3,cos C=-115,5sin(B+C)=3sin(A+C). (1)求c;(2)求sin (B -π3)的值. 解析 (1)由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sin A=3sin B, ∴由正弦定理得5a=3b. ∵a=3,∴b=5.∴c 2=a 2+b 2-2abcos C=32+52-2×3×5×(-115)=36, ∴c=6.(2)在△ABC 中,由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac=59,∴sin B=2√149,∴sin (B -π3)=sin Bcos π3-cos Bsin π3=2√14-5√318.14.(2020届北师大附中期中,16)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且a 2=b 2+c 2+bc. (1)求A 的大小;(2)若sin B+sin C=1,b=2,试求△ABC 的面积. 解析 (1)∵a 2=b 2+c 2+bc,∴由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 可知,cos A=-12,又A ∈(0,π),∴A=2π3.(2)∵sin B+sin C=1,∴sin B+sin (π3-B)=1, ∴sin B+sin π3·cos B-cos π3·sin B=1, ∴√32cos B+12sin B=1, ∴sin (B +π3)=1,∵B 是△ABC 的内角,∴B=π6,∴C=π-A-B=π6,∴c=b=2,∴S △ABC =12bcsin A=12×2×2×√32=√3.15.(2019北京东城期末,15)在△ABC 中,√2csin Acos B=asin C. (1)求∠B 的大小;(2)若△ABC 的面积为a 2,求cos A 的值.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得csin A=asin C,所以cos B=√2csinA=√22.又0<∠B<π,所以∠B=π4.(2)因为△ABC 的面积S=12acsin π4=a 2,所以c=2√2a.由余弦定理得b 2=a 2+8a 2-2·a ·2√2a ·√22,所以b=√5a. 所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=2222·√5a ·2√2a=3√1010.16.(2020届北京四中期中,20)在△ABC 中,已知2c -b a=cosB cosA.(1)求角A 的大小;(2)若a=2√5,求△ABC 面积的最大值. 解析 (1)∵2c -b a=cosB cosA ,∴(2c -b)cos A=acos B,∴由正弦定理得(2sin C-sin B)·cos A=sin AcosB,∴2sin Ccos A=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C,∵sin C ≠0,∴cos A=12,又∵A ∈(0,π),∴A=π3. (2)由cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,a=2√5,可知bc=b 2+c 2-20≥2bc-20,∴bc ≤20,当且仅当b=c 时取等号, ∴S △ABC =12bcsin A ≤5√3,即△ABC 面积的最大值为5√3.17.(2018北京朝阳一模,16)在△ABC 中,已知sin A=√55,b=2acos A. (1)若ac=5,求△ABC 的面积; (2)若B 为锐角,求sin C 的值. 解析 (1)由正弦定理得a b =sinAsinB , 因为b=2acos A,所以sin B=2sin Acos A,cos A=b2a >0,因为sin A=√55,所以cos A=2√55,所以sin B=2×√55×2√55=45,所以S △ABC =12acsin B=12×5×45=2. (2)由(1)知cos A=2√55,sin B=45,因为B 为锐角,所以cos B=35. 所以sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B=√55×35+2√55×45=11√525.18.(2019北京朝阳期末,15)在△ABC 中,已知A=3π4,cos C=1213,BC=13. (1)求AB 的长;(2)求BC 边上的中线AD 的长.解析 (1)在△ABC 中,由于cos C=1213,所以0<C<π2,所以sin C=513.由AB sinC=BC sinA得AB=BC ·sinCsinA =13×513√22=5√2. (2)在△ABC 中,cos B=cos (π-3π4-C)=√22cos C+√22sin C=17√226.在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=(5√2)2+(132)2-2×5√2×132×17√226=294,所以AD=√292.19.(2019北京昌平二模文,16)在△ABC 中,AC=4,BC=4√3,∠BAC=2π3. (1)求∠ABC 的大小;(2)若D 为BC 边上一点,AD=√7,求DC 的长度. 解析 (1)在△ABC 中,由BC sin ∠BAC =ACsin ∠ABC , 得sin ∠ABC=4sin2π34√3=12.因为∠BAC=2π3,所以∠ABC ∈(0,π3),所以∠ABC=π6.(2)在△ABC 中,∠C=π-2π3-π6=π6.在△ADC 中,由余弦定理得AD 2=AC 2+DC 2-2AC ·DCcos ∠C,得7=16+DC 2-8DCcos π6,即DC 2-4√3DC+9=0,解得DC=3√3或DC=√3.经检验,都符合题意.20.(2019北京西城二模文,15)在△ABC 中,已知a=√2b,b=√2c.(1)求cos A 的值;(2)若b=2,求△ABC 的面积.解析 (1)由a=√2b,b=√2c,得a=√2b=2c. 根据余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A, 得cos A=b 2+c 2-a 22bc=√2c)2222·(√2c)·c=-√24.(2)因为cos A=-√24,A ∈(0,π), 所以sin A=2A =√144.由b=2,得c=√2,所以△ABC 的面积S=12bcsin A=√72.思路分析 (1)用余弦定理即可求解;(2)由同角三角函数基本关系式中的平方关系求得sin A,又由已知求得c,然后用公式S △ABC =12bcsin A 求解.21.(2020届北师大附中摸底,15)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若a(sin A+sin B)=csin C-bsin B. (1)求角C 的大小;(2)若c=2√3,求△ABC 的周长的取值范围. 解析 (1)由正弦定理及已知条件得a(a+b)=c 2-b 2,即a 2+b 2-c 2=-ab, 由余弦定理得cos C=a 2+b 2-c 22ab =-12,因为0<C<2π,所以C=2π3. (2)由正弦定理知asinA =bsinB =csinC =√3√32=4,则a=4sin A,b=4sin B, C △ABC =a+b+c=4sin A+4sin B+2√3=4sin A+4sin(A+C)+2√3=4sin A+4sin (A +2π3)+2√3=2sin A+2√3cos A+2√3=4sin (A +π3)+2√3,而A ∈(0,π3),则A+π3∈(π3,2π3), 故sin (A +π3)∈(√32,1], 因此C △ABC ∈(4√3,4+2√3].22.(2020届北京清华附中摸底,16)在△ABC 中,点P 在BC 边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.(1)求∠ACP; (2)若△ABP 的面积为3√32,求sin ∠BAP.解析 (1)在△APC 中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4, 所以由PC 2=AP 2+AC 2-2·AP ·AC ·cos ∠PAC,得22=AP 2+(4-AP)2-2·AP ·(4-AP)·cos 60°,整理得AP 2-4AP+4=0,解得AP=2, 所以AC=2,所以△APC 是等边三角形,所以∠ACP=60°.(2)解法一:由于∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB=120°, 因为△APB 的面积是3√32,所以12·AP ·PB ·sin ∠APB=3√32,所以PB=3,在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2·AP ·PB ·cos ∠APB=22+32-2×2×3×cos 120°=19, 所以AB=√19, 在△APB 中,由ABsin ∠APB =PBsin ∠BAP,得sin ∠BAP==3√5738.解法二:作AD ⊥BC,垂足为D,因为△APC 是边长为2的等边三角形, 所以PD=1,AD=√3,∠PAD=30°, 因为△APB 的面积是3√32,所以12·AD ·PB=3√32,所以PB=3,所以BD=4.在Rt △ADB 中,AB=√BD 2+AD 2=√19, 所以sin ∠BAD=BDAB =√19,cos ∠BAD=ADAB =√3√19,所以sin ∠BAP=sin(∠BAD-30°)=sin ∠BADcos 30°-cos ∠BADsin 30° =×√32-√3×12=3√5738.。

第7讲 解三角形的应用举例基础知识整合1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线01上方的角叫仰角，在水平线02下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B 点方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．(1)北偏东α，即由03指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由04指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似． 4.坡角与坡度(1)坡角：05坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：06坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 由题可知∠ABC ＝50°，A ，B ，C 位置如图．故选B.2．(2019·厦门模拟)如图，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m答案 D解析 在直角三角形中，根据三角函数的定义得AB tan30°－ABtan45°＝10，解得AB ＝5(3＋1)(m)．故选D.3．(2019·武汉模拟)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mileB ．1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意可知，∠CAB ＝60°，∠CBA ＝75°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，得10sin45°＝BCsin60°，所以BC ＝5 6 n mile.4．(2020·安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏东50°方向上，门店B 位于门店C 的北偏西70°方向上，则门店A ，B 间的距离为( )A ．a kmB ．2a km C.3a kmD ．2a km答案 C解析 如图所示，依题意知CA ＝CB ＝a km ， ∠ACB ＝50°＋70°＝120°，∠A ＝∠B ＝30°， 由正弦定理，得AB sin120°＝asin30°，则AB ＝a sin120°sin30°＝3a (km)，即门店A ，B 间的距离为3a km.故选C.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案 50解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h m ，AB ＝100 m ，BC ＝3h m ，根据余弦定理得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°，即h 2＋50h －5000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50(m)，故水柱的高度是50 m.核心考向突破考向一 测量距离问题 例1 (2019·江西赣州模拟)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )A ．20 6 海里B ．40 6 海里C ．20(1＋3) 海里D ．40 海里答案 A解析 由题意可知，∠BDC ＝90°－45°＝45°， 又∠BCD ＝90°，∴BC ＝CD ＝40(海里)．在△ADC 中，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DAC ＝45°，由正弦定理可得AC ＝40sin105°sin45°＝20(3＋1)(海里)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos60°＝206(海里)．故选A.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．[即时训练] 1.(2019·福建宁德第二次(5月)质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．答案 80 5解析 ∵在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC ＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2)(米)，在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠CBD ＝30°，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BCsin ∠BDC，∴BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝80×sin15°12＝160sin15°＝40(6－2)(米)，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB＝1600(8＋43)＋1600()8－43＋2×1600(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB ＝805(米)，则A ，B 两点间的距离为805米．考向二 测量高度问题例2 为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝( )A ．(202＋1) mB ．(203＋1) mC ．20 2 mD ．(402＋1) m答案 A解析 如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1 m ，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin60°sin45°＝206(m)．所以EF ＝20 6 m ，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF ＝206×33＝202(m)，所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．故选A.处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时训练] 2.(2019·湖北宜昌模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析 依题意有AB ＝600 m ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CBsin ∠CAB ，得600sin45°＝CBsin30°，解得CB ＝3002(m)，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan30°＝1006(m)． 则此山的高度CD ＝100 6 m.考向三 测量角度问题例3 (2019·沈阳模拟)如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800⇒BC ＝207(海里)．由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．[即时训练] 3．(2020·商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在△BCP 中，由tan ∠PBC＝PC BC ，得BC ＝PCtan ∠PBC ＝2，在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝ABsin ∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，所以AB ＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，BD ＝3＋1，BC ＝2，∠CBD ＝60°， 则由余弦定理，得CD ＝6， 在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠CDB ，即6sin60°＝2sin ∠CDB，所以sin ∠CDB ＝22， 所以山顶位于D 处南偏东45°的方向．(2019·永州模拟)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30°＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里． 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时． 答题启示解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决．函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力．对点训练(2019·郑州摸底)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50 km/h 的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)．汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5 km ，距离公路线的垂直距离为3 km 的M 点，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问摩托车至少以多大的速度匀速行驶才能追上汽车，并求追上汽车时摩托车行驶了多少公里？解 作MI 垂直公路所在的直线于点I ，则MI ＝3 km ， ∵OM ＝5 km ，∴OI ＝4 km ，∴cos ∠MOI ＝45.设摩托车的速度为v km/h ，追上汽车的时间为t h ， 由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45，v 2＝25t 2－400t ＋2500＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －82＋900≥900，∴当t ＝18时，v 的最小值为30，vt ＝308＝154km.故摩托车至少以30 km/h 的速度行驶才能追上汽车，此时摩托车行驶了154 km.1、在最软入的时候，你会想起谁。