2013数学高考真题—平面向量分类汇编

专题08 平面向量一、选择题：1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理10)非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C. ||||a ba b =D. a b =2．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理11)若12,e e是平面内夹角为60的两个单位向量，则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1203. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理6)在△ABC 中，AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为A.52-B.52C.54-D.54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r 所以点D 是BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，11()22BD BC AC AB ==- ，所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-2222115()(23)444AC AB =-=-=- ，选C.4. （山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理8）已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，则PA PB PC AB ++=是点P 在线段AC 上的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b不共线，且存在m ，n∈R 使c ma nb =+ 成立，若a 、b 、c的终点共线，则必有A ．m+n=0B ．m －n= 1C ．m+n =1D ．m+ n=－16. （山东省诸城市2013届高三12月月考理）若向量(1,2),(4,)a x b y =-= 相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．127.（山东省青岛一中2013届高三1月调研理）已知两点(1,0),3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈。

第五章 平面向量一．基础题组1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 【答案】B【解析】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +∙-=.∴22||||0m n -=，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=，∴3λ=-.故选B.【考点定位】向量的坐标运算2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知向量 (1,),(,2),a m b m ==,若a b ∥则实数m 等于（ ）(A) (D) 0【答案】C【解析】2(1,),(,2)//12=,C a m b m a b m m ==⇔⨯=由，故选择。

【考点定位】本题主要考查向量共线定理的基本运用，属于容易题. 3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， [答案]A [解析] 2134==(3,-4)=(,-)5553AB e AB，故选A[考点定位]本题考查单位向量的定义和坐标运算.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A．2 BC．2-D． [答案] A[解析] ||cos ||2||||AB CD AB AB AB CD θ⋅===, 选A. [考点定位] 本题考查投影的定义及数量积的运算，考查概念的理解及基本运算能力.5.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____. 【答案】2；【解析】因为(1)0b c ta b t b b =+-=，故(1)02tt +-=，故2t =. 【考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅ =_______. 【答案】2【解析】以点B 为原点，直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A （0，2），E （2，1），D （2，2）， B （0，0），所以(2,1),(2,2)AE BD =-=，所以AE BD ⋅=2.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积，难度不大，熟练平面向量的数量积的定义以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________.【答案】2【解析】如图，2AB AD AC AO +==，所以2λ=，故填2. 【易错点】对数乘向量的几何表示不理解！【考点定位】本题考查平面向量的线性运算以及运算的几何表示.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为_____.【答案】5【解析】()3,2AB OB OA t =-=-,0,OB AB ⋅=所以()()2,23,20, 5.t t ⋅-==【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算，考查转化思想和运算能力. 本题通过0OB AB ⋅=进行运算极易想到，但求AB 时往往出现坐标的“倒减”，虽然不影响运算的结果，被填空题型所掩盖，但在解答题中就会被发现.二．能力题组9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10 [答案]C[解析]注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.[考点定位]本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】因为1c a b --=，()1c a b -+=，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+=时，c 取到最大值；最大值为1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c 取到最小值；1.【考点定位】本题考查向量的加法，考查学生数形结合的能力. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= [答案]C[解析]由点B 的坐标可知B 点在3=y x 的图象上，由此可知=90=90A B ∠∠或者若=90A ∠，则3=b a ，若=90B ∠，则31=+b a ，二者为或的关系，故选C 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为【答案】3-【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅,则22244||||cos a a b a b θ=++⋅，即220443||cos b b θ=+⋅, 得1cos 3θ=-.【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.13. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）】已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为__________. [答案]3[解析]()2,1AB =,()1,2AC =，()()()2,11,22,2AP AB AC λμλμλμλμ=+=+=++，设(),P x y ，则()1,1AP x y =-+，所以12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨+=+⎩即23,323.3y x x y μλ-+⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩因为12λ≤≤，01μ≤≤，所以23013y x -+≤≤且23123x y --≤≤，即230,20,260,290.x y x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨--≥⎪⎪--≤⎩画出平面区域，如下图所示，||CD =E 到直线230x y --=，故四边形BDCE 的面积为3.【考点定位】本题考查两条直线的位置关系、考查了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题.难度较大.14.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 【答案】12【解析】设AB 的长为x ，因为AC =AB BC +，BE =BC CE +，所以·AC BE = ()AB BC +⋅()BC CE +=2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅=1cos18022x x x +⋅+1+1cos1202x⋅=1，解得12x =，所以AB 的长为12. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.15.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 . [答案] 12[解析]依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.[考点定位]平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i j kl ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是 ．【答案】-2【解析】画图易得最小值为-2【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题. 17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈、 若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______. 【答案】2【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即22||a a =，很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的.此题中利用22||a a =求出2||b ，然后求出2||()||x b 的表达式，最后利用函数最值的求法即可求出答案.由已知得到：22222212||()||22b b xe ye b x y xy ==+⇒=++⨯⇒22222||x x bx x==+22min21(1)4||y x t t x b =∴++=∴的最大值为4，所以答案是2.【考点定位】此题考查向量的数量积的计算和性质，考查二次函数的性质和换元法的应用.三．拔高题组18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；ks5u③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.【考点定位】平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 19.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】已知)si n ,(cos )si n ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<. （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.[答案] （1）由题意， 22-=|a b |，即（a -2=）b 2222-=a a b+b ，又因为|1=|a |=|b ，∴222-ab=，即a b 0=，∴a ⊥b .（2）a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=，∴cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩，由此得 cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<，又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==，而αβ>，∴56πα=，6πβ=. [解析]（1）先由向量的加法法则求a -b ，再利用2||=-b a 求得a b 0=.（2）利用两个向量相等，则对应坐标相等，得出关于sin α、cos α、sin β、cos β的等式，结合0βαπ<<<求得结果.向量的坐标运算、数量积，向量的垂直与平行，是高考重点考查的；向量与三角函数的交汇是高考的热点，解题是要选准公式，特别注意角的取值范围.[考点定位]本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.。

2013年全国高考数学试题分类解析——平面向量部分1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。

3.（北京文科11）已知向量),(01),(a b c k ==-=。

若2a b -与c 共线，则k = .4.（福建理科第10题）已知函数x e x f x+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④5.（福建理科15）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量 1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有)()1()())1(b f a f b a f λλλλ-+=-+（，则称映射f 具有性质P 。

先给出如下映射：①V y x m y x m f R V f ∈=-=→),(,)(,:11；②V y x m y x m f R V f ∈=+=→),(,)(,:222；③V y x m y x m f R V f ∈=++=→),(,1)(,:33.其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号）6.（福建文科13）若向量)2,1(),1,1(-==b a ，则b a ⋅等于_____________.7.（广东理科3）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．08.（广东文科3）已知向量)2,1(=a ，)0,1(=b ，)4,3(=c 。

北京市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（7）平面向量一、选择题:（3）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习理)已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-u u u r u u u r ，()2,1OC m m =+u u u r .若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35【答案】A （3）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-u u u r u u u r ，()2,1OC m m =+u u u r .若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为A ．15B ．3-C ．35-D ．17- 【答案】B（3）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，则向量BC u u u r 为（A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b【答案】C6. (北京市房山区2013年4月高三第一次模拟理)在△ABC 中，,1AB AC AC ⊥=，点D 满足条件3BD =u u u r u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 等于 ( A ) 3B. 3 D.12 5. (北京市海淀区2013年4月高三第二学期期中练习理)若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12- B.12C.1-D. 1 【答案】A二、填空题:（14）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文理)在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=u u u r u u u r 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．【答案】[]5,5- 9．(北京市西城区2013年4月高三一模文)已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．【答案】013．（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅=u u u r u u u r.【答案】-1(13) （北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -•=uu u r uuu r uuu r ____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r 的取值范围是___________.【答案】2; [9,9]- 【解析】2211()()2222AB AC AD CB AC CD CB CD CB -•=+===⨯=uu u r uuu r uuu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r g g .将直角三角形放入直角坐标系中，则(0,4),(2,0),(1,2),(1,0)A B E D ,设(,)P x y ，则(1,4)(1,2)47AD EP x y x y ⋅=---=-+uuu r uu r g ，令47z x y =-+，则1744z y x -=+，做直线。

2013年高考试题分类汇编（平面向量）考点1 平面向量基本定理1.（2013·广东卷·理科）设a 是已知的平面向量且0a ≠.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c ,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b , c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.42.（2013·陕西卷·理科）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（2013·北京卷·理科）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示， 若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ= .4.（2013·江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 . 考点2 平面向量基本运算1.（2013·安徽卷·理科）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ==⋅=则点集{},1,,|P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是a b cA.2.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+．若12OP <，则OA的取值范围是A.B.C.D. 3.（2013·安徽卷·文科）若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为 . 4.（2013·江西卷·理科）设12 e e ，为单位向量。

2013年高考-平面向量部分汇编一、选择题1、（2013年辽宁卷）已知点（A ）（B ）（C ）（D ）2、（2013年大纲卷）已知向量（A ）（B ）（C ）（D ）3、（2013年湖北卷）已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）C. D.4、（2013年安徽卷）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB === 则点集,1,,|P OPOA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A ）B）C）D ）5、（2013年北京卷）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则= 6、（2013年重庆理卷）在平面上，，,.若，则的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、7、(2013年新课标1理)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则4--32--1()1,1A -()1,2B ()2,1C --()3,4D ABCD λμ12AB AB ⊥ 121OB OB ==12AP AB AB =+ 12OP < OA⎛ ⎝⎦⎝⎦⎝⎝8、（2013年四川卷）在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。

9、（2013年山东卷）已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为 。

10、(2013年新课标2理)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD=_______.11．（2013年江西卷）设e 1，e 2为单位向量。

且e 1、e 2的夹角为，若a=e 1+3e 2，b=2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________.12、（2013年江苏卷）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为．ABCD AC BD O AB AD AO λ+=λ=AB AC 120||3,||2,AB AC == ,AP AB AC λ=+AP BC ⊥λE D ，ABC ∆BC AB ，AB AD 21=BC BE 32=AC AB DE 21λλ+=21λλ，21λλ+。

平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的【】A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 。

【考点】向量的线性运算性质及几何意义。

【分析】∵AB AB、AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB ACAB AC +的方向与∠BAC 的角平分线一致。

再由()AB ACOP OA AB ACλ=++可得到()AB AC OP OA AB AC λ-=+ ，即()AB ACAP AB ACλ=+可得答案：向量AP 的方向与∠BAC的角平分线一致。

∴一定通过△ABC 的内心。

故选B 。

2.（江苏2004年4分）平面向量b a ,中，已知a =(4，－3)，b =1，且b a ⋅=5，则向量b = ▲ . 【答案】43, 53⎛⎫- ⎪⎝⎭。

【考点】平面向量数量积的运算。

【分析】∵a =(4，－3)，∴5a =。

又∵b =1，b a ⋅=5，∴5cos , 151a b a b a b ⋅===⨯⋅。

∴, a b 同向。

∴()1143 4, 3, 5553b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 。

3.（江苏2005年4分）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC )⋅+的最小值是 ▲ 【答案】－2。

【考点】向量与解析几何的综合应用。

【分析】如图，由向量的运算法则，得OA (OB OC)2OA OM 2OA OM ⋅+=⋅⋅=-⋅。

设OA x = ，则由AM=2得，OM 2x =-。

则()()22OA (OB OC)2224212x x x x x ⋅+=--=-=-- 。

∴当x =1时，OA (OB OC)⋅+有最小值－2。

4.（江苏2006年5分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为【 】（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B 。

2013年高考数学试题集(7)平面向量将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .解：由向量等式得：6222-=-⋅+b b a a ，又12=a ，42=b 代入可得1=⋅b a所以，21||||),cos(=⋅=b a b a b a ，故a 与b 的夹角为3π2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。

解：)3,3(2=-b a ，又b a 2-与c 共线，从而求得1=k3.（北京文科11）已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。

若2a b -与c 共线，则k = .答案：14.（福建理科第10题）已知函数x e x f x+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④ 解：设这三个点的坐标分别是))(,(),,(),,(321332211x x x y x C y x B y x A <<，2312x x x x -=-，),(),,(23232121y y x x BC y y x x BA --=--=，由于x e x f x+=)(为R上的增函数，所以，0<⋅BC BA ，故B ∠为钝角，所以①成立，②不成立，若为等腰三角形，只有可能是||||BC BA =，此时有2312y y y y -=-，即23131222x x x x x ee e e+>+=，与2312x x x x -=-矛盾，故④正确选B 。

2013全国大纲卷文（3）已知向量（A ） （B ） （C ） （D ） 答案：B （12）已知抛物线（A ） （B ） （C（D ）答案：D 2013全国大纲卷理（3）已知向量（A ） （B ） （C ） （D ） 答案：B （11）已知抛物线（A ）（B ）（C （D ）答案：D 2013全国1卷理13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】=====0，解得=.2013全国1卷文（13）已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。

()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则4-3--2-1()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则1222()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则4--32--1()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则1222b c [(1)]t t •+-b a b 2(1)t t •+-a b b 112t t +-112t -t 2a b 60(1)=+-c ta t b 0⋅=b c t =2013全国2卷文（14）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。

【答案】【解析】在正方形中，,,所以。

2013全国2卷理（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 =_______. 【答案】2 2014全国大纲卷文（6）已知a 、b 为单位向量，其夹角为60，则（2a －b ）·b =( )A. －1B. 0C. 1D.2 【答案】B 2014全国大纲卷理4．[2014·全国卷] 4.若向量满足：则 （ ）A ．2 B. 2 C ．1 D.22 4．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 2014全国1卷理10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=ABCD 2E CD AE BD ⋅=212AE AD DC =+BD BA AD AD DC =+=-2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=AE BD ︒,a b ()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥b =C 28y x =F l P l Q PF C 4FP FQ =||QF. . .3 .2 【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵ ∴，又，∴，由抛物线定义知 选C15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若，则与的夹角为 . 【答案】：【解析】：∵，∴O 为线段BC 中点，故BC 为的直径，∴，∴与的夹角为。

第7部分: 平面向量一、选择题:7.(东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合理)直线1l 与2l 相交于点A ，动点B 、C 分别在直线1l 与2l 上且异于点A ，若AB 与AC 的夹角为60，23BC =，则ABC ∆的外接圆的面积为A. 2πB. 4πC. 8πD. 12π5. (东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合文)直线1l 与2l 相交于点A ，点B 、C 分别在直线1l 与2l 上，若AB 与AC 的夹角为60，且2AB =，4AC =，则BC =A. B. C. D.8. (东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合文)已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +=，那么k 的值为A. 2B.C.D. 410. (吉林省长春市2013年高中毕业班第四次调研测试文)如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且3||2,||,||232OA OB OC ===(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ，则A. 4,2λμ==B. 83,32λμ== C. 42,3λμ== D. 34,23λμ==二、填空题:16. (吉林省吉林市2013届高中毕业班下学期期末复习检测理) 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b=-+222，0>⋅BC AB ,23=a ,则c b +的取值范围是.（15）(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟理)设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤，向量(2)(11)a b y x m =-=-，，，，且a ∥b ，则m 的最小值为 ．【答案】-6三、解答题:20. (吉林省长春市2013年高中毕业班第四次调研测试文)（本小题满分12分）已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆的内切圆面积的最大值为43π. (1) 求椭圆的方程；(2) 若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D 共 线，且0AC BD ⋅=，求||||AC BD +的取值范围.20.(本小题满分12分)20. (吉林省吉林市2013届高中毕业班下学期期末复习检测理) (本小题满分12分)设F 为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若0=++FT FS FR 6（Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值.（20）(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟理)（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，其离心率为12，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：1()2y kx m k=+≤与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足+OP OA OB=，求OP的取值范围．（20）解：。