整式的乘法

整式的加减乘除整式是数学中重要的概念之一，它在代数表达式中起着重要的作用。

在整式中，加减乘除是基本的运算法则。

本文将针对整式的加减乘除分别进行讨论，以帮助读者更好地理解和运用这些运算法则。

一、整式的加法整式的加法是指对两个或多个整式进行求和的操作。

在整式的加法中，重点是合并同类项，并按照次数从高到低排列。

以下是一个例子：例：将整式3x²+5x-2和2x²-3x+6进行相加。

解：按照同类项合并的原则，我们可以将该整式进行合并，得到5x²+2x+4。

二、整式的减法整式的减法是指对两个整式进行相减的操作。

在整式的减法中，我们可以利用减法的逆运算性质，将减法转化为加法。

以下是一个例子：例：将整式4x²-3x+2和2x²+5x-1进行相减。

解：利用减法的逆运算，我们可以将减法转化为加法，即4x²-3x+2-(2x²+5x-1)等于4x²-3x+2+(-2x²-5x+1)。

继续整理合并同类项，我们得到2x²-8x+3。

三、整式的乘法整式的乘法是指对两个整式进行相乘的操作。

在整式的乘法中，我们需要将每个整式的项进行相乘，并合并同类项。

下面是一个例子：例：将整式3x²+2x+4和2x²-3x+1进行相乘。

解：按照乘法分配律，我们可以将每一项进行相乘，然后将结果进行合并。

(3x²+2x+4)(2x²-3x+1)等于6x^4-3x^3+2x^3-9x^2+3x^2-4x+2x-3+4，继续整理合并同类项，我们得到6x^4-x^3-4x^2-2x+1。

四、整式的除法整式的除法是指对两个整式进行相除的操作。

在整式的除法中，我们需要找出商和余数。

以下是一个例子：例：将整式5x³-2x²+3x-1除以x-1。

解：按照除法的步骤，我们首先进行第一步骤——比较最高次项。

整式乘法法则知识点总结一、整式乘法法则的定义整式乘法法则是指在代数中，两个整式相乘得到的结果仍为整式。

简单来说，整式乘法就是指对两个整式进行乘法运算，得到的结果仍然是整式。

整式乘法的结果可以表示为一个新的整式，它由被乘数和乘数的各项的乘积相加得到。

整式乘法法则的定义包括以下几点：1. 整式乘法的定义：两个整式相乘得到的结果仍为整式。

2. 整式的乘法形式：当两个整式相乘时，可以将它们的各项进行对应的乘法运算，然后将乘积相加得到结果。

3. 乘法的交换律：在整式的乘法中，乘法的交换律成立，即乘数的顺序可以交换，结果不变。

整式乘法法则的定义是整式乘法的基础，理解了这个定义，我们就能够正确地进行整式的乘法。

接下来，我们将介绍整式乘法法则的性质，以及整式乘法的具体运算规则。

二、整式乘法法则的性质整式乘法法则有许多重要的性质，这些性质包括了整式乘法的基本规律和运算法则。

了解整式乘法法则的性质，可以帮助我们更好地理解整式乘法的运算规则。

下面是整式乘法法则的性质：1. 分配律：整式乘法满足分配律，即加法和乘法的结合性。

对于任意的整式a、b、c，有a*(b+c) = a*b + a*c。

2. 乘法的交换律：整式乘法满足交换律，即乘数的顺序可以交换，结果不变。

对于任意的整式a、b，有a*b = b*a。

3. 乘法的结合律：整式乘法满足结合律，即乘法的顺序可以变换，结果不变。

对于任意的整式a、b、c，有(a*b)*c = a*(b*c)。

4. 零乘法则：任何整式与0相乘，结果都为0。

即0*a = 0。

5. 单位元素法则：任何整式与1相乘，结果都为它本身。

即1*a = a。

整式乘法法则的性质是整式乘法的基本规律，它们对于整式乘法的具体运算具有重要的指导作用。

了解了整式乘法法则的性质，我们就能够更好地运用整式乘法进行代数运算。

接下来，我们将介绍整式乘法的具体运算规则，以及整式乘法法则在具体应用中的运用。

三、整式乘法法则的运算规则整式乘法法则的具体运算规则是在整式乘法的基础上，根据乘法法则的性质进行整式的具体运算。

数学中的整式的加减与乘除整式是数学中的一种基本概念，它是由常数、变量及其指数所构成的代数式。

整式的加减与乘除是数学中常见的运算方式，本文将详细介绍整式的加减与乘除运算方法。

一、整式的加法运算整式的加法是指将两个或多个整式相加的过程。

两个整式相加时，需要将相同指数的变量合并在一起，并对系数进行相加。

例如，将3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 进行相加，步骤如下：1. 将相同指数的变量合并在一起，即将x²合并，将x合并，将常数项合并。

(3x² - 2x²) + (2x - 4x) + (-5 + 3)2. 对合并后的每项进行系数相加。

x² + (-2x²) = 1x²2x + (-4x) = -2x-5 + 3 = -2因此，3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 的和为 x² - 2x - 2。

在整式的加法运算中，需要注意变量指数的合并和系数的相加，通过有序的步骤进行计算，可以确保运算的准确性。

二、整式的减法运算整式的减法是指将两个整式相减的过程。

减法运算可以通过加法的方法进行转化，即通过改变被减整式中各项的符号，将减法转化为加法的形式，然后进行整式的加法运算。

例如，将5x³ + 2x² - 7x + 1 和 3x³ - 4x² + x + 2 进行相减，步骤如下：1. 将被减整式的各项符号改变为相反数。

(5x³ + 2x² - 7x + 1) + (-(3x³ - 4x² + x + 2))2. 将改变符号后的整式转化为加法形式。

5x³ + 2x² - 7x + 1 - 3x³ + 4x² - x - 23. 对转化后的整式进行加法运算。

整式的乘法与除法整式是指由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。

整式的乘法与除法是代数学中重要的运算，本文将从定义、性质及计算方法等方面进行探讨。

一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。

常数称为零次整式，单个变量称为一次整式，以此类推。

整式可以表示为：f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀其中，a₀、a₁、...、aₙ为系数，n为自然数，x为变量。

二、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。

要进行整式的乘法，需要遵循以下规则：1. 同类项相乘：将相同指数的项的系数相乘，并将指数保持不变。

例如：(3x²)(4x³) = 12x⁵。

2. 多项式相乘：将一个整式中的每一项都与另一个整式的每一项相乘，然后将结果相加。

例如：(3x + 2)(4x + 5) = 12x² + 22x + 10。

3. 分配律：整式的乘法满足分配律。

例如：a(b + c) = ab + ac。

三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。

要进行整式的除法，需要注意以下几点：1. 除数不为零：除数不为零，否则除法无意义。

2. 长除法：使用长除法的步骤进行计算，以下以一个例子作说明：例如：(2x³ + 3x² - 4x + 1) ÷ (x - 1)首先将被除式按降幂排列：2x³ + 3x² - 4x + 1然后进行第一步的除法，将2x³ ÷ x进行计算，得到2x²，并将结果写在商式上。

然后将2x²与(x - 1)相乘，并进行减法得到2x³ + 2x²。

依次进行下一步的除法计算，直到无法再继续进行为止。

四、整式乘法与除法的性质1. 乘法的交换律与结合律：整式的乘法满足交换律与结合律，即a ·b = b · a，(a · b) ·c = a · (b · c)。

整式的乘法运算整式是由数字、字母和乘法、加法运算符组成的代数表达式。

在数学中，整式的乘法运算是一项基本且常见的操作。

通过对整式的乘法运算，我们可以得到一个新的整式，从而求解复杂的代数问题。

下面将介绍整式的乘法运算及其相关概念和规则。

1. 整式的乘法定义整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式。

整式的乘法运算通常涉及到乘法分配律和乘法合并同类项的规则。

乘法分配律表示：对于任意的整式a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c。

乘法合并同类项是指将相同字母的乘积合并为一个同类项。

例如，将3x与2x 相乘得到6x²，其中6是系数，x²是字母的乘积。

2. 整式的乘法规则在进行整式的乘法运算时，需要注意以下几个规则：(1) 系数相乘：将两个整式的系数相乘得到新的系数。

(2) 字母相乘：将两个整式中相同字母的指数相加得到新的指数。

(3) 合并同类项：将相同字母的乘积合并为一个同类项。

(4) 乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b = b×a。

3. 实例演示为了更好地理解整式的乘法运算，我们来看几个实例：(1) 将3x²与2x相乘。

3x² × 2x = 6x³通过系数相乘，得到6；通过字母相乘，x²与x相乘得到x³，因此结果是6x³。

(2) 将4ab²与(-5a²b³)相乘。

4ab² × (-5a²b³) = -20a³b⁵系数相乘得到-20，字母相乘时，a与a²相乘得到a³，b²与b³相乘得到b⁵，因此结果是-20a³b⁵。

4. 注意事项在进行整式的乘法运算中，需要注意一些特殊情况和要点：(1) 乘法的顺序：乘法运算符具有优先级，在计算整式的乘法时，需要按照从左到右的顺序进行计算。

整式的乘法运算整式是指由数字及其对应的字母和指数所组成的代数式。

整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的操作。

本文将介绍整式的乘法运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。

一、同底数幂的乘法当两个整式的底数相同时，它们的指数进行相加。

例如：(3x^2)(4x^3) = 3 * 4 * x^2 * x^3 = 12x^5解析：相乘后，指数相加得到5，底数保持不变。

二、不同底数幂的乘法当两个整式的底数不同但指数相同时，它们的底数进行相乘。

例如：(2x^2)(3y^2) = 2 * 3 * x^2 * y^2 = 6x^2y^2解析：相乘后，底数相乘，指数保持不变。

三、含有常数项的整式乘法含有常数项的整式乘法的运算规则与上述相同。

例如：(2x^2 + 3)(4x - 5) = 2x^2 * 4x + 2x^2 * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^3 - 10x^2 + 12x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。

四、多项式乘法多项式乘法是指含有多个整式的乘法运算。

例如：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^2 - 10x + 12x - 15= 8x^2 + 2x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。

五、分配律的运用在整式的乘法运算中，分配律是一个重要的运算法则。

例如：3(2x - 1) = 3 * 2x - 3 * 1 = 6x - 3解析：每一项都与括号外的数进行相乘。

六、乘法的交换律和结合律整式的乘法满足乘法的交换律和结合律。

例如：2x * y = y * 2x = 2xy解析：乘法的交换律代表乘法顺序可以任意调整；乘法的结合律代表多个整式相乘的结果可以按任意顺序进行。

综上所述，整式的乘法运算遵循一定的规则，根据底数和指数的不同情况进行相应的运算。

整式的乘法公式整式的乘法公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们快速、准确地进行整式的乘法运算。

在本文中，我将详细介绍整式的乘法公式及其应用。

一、整式的乘法公式整式是由常数和变量的乘积以及它们之间的加减运算所构成的代数式。

在乘法运算中，可以利用整式的乘法公式来简化计算。

整式的乘法公式包括以下几条：1. 乘法分配律：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：a(b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca这条乘法分配律的应用非常广泛，它可以用于加法和乘法的结合。

例如，对于整式3(x+2)，根据乘法分配律，我们可以得到：3(x+2) = 3x + 62. 平方差公式：对于任意的整式a和b，有如下公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2这条平方差公式在整式乘法中十分常用，可以用来求平方差的计算。

例如，对于整式(x+3)(x-4)，根据平方差公式，我们可以得到：(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 123. 三角形式乘法公式：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+bc+ca)(a+b+c) - abc这条三角形式乘法公式常用于多项式的乘法运算。

例如，对于整式(x+1)(x+2)(x+3)，根据三角形式乘法公式，我们可以得到：(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2+3x+x+2)(x+3) - (x+1)(x+2)(x+3) =(x^2+4x+2)(x+3) - (x^2+3x)(x+3) = x^3 + 6x^2 +11x + 6二、整式的乘法公式的应用整式的乘法公式在代数学中有着广泛的应用。

下面我将通过实际例子来说明整式的乘法公式的应用。

例题1：计算(2x+3)(x+1)。

根据乘法分配律，我们可以按照以下步骤进行计算：(2x+3)(x+1) = 2x(x+1) + 3(x+1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3例题2：计算(3x+2)(3x-2)。

整式的乘除整式是指由常数、变量及它们的乘、除运算符号经有限次组合而成的代数表达式。

整式是代数学中一个重要的概念，掌握整式的乘除运算是解决代数问题的关键。

一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。

在整式的乘法中，我们需要遵循如下规则：1.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

例如：am* an = am+n2.乘法满足交换律和结合律。

3.不同底数幂相乘时，可以将其视为两个不同的因数。

例如：am * bn = abn下面是一个整式乘法的示例：假设有整式 a = 2ab2，b = 3a2b，c = 4a2b2。

要求计算整式 d = a * (b + c) 的值。

根据乘法分配律，我们可以将乘法转化为加法运算，即：d = a * b + a * c。

将 a、b、c 的值代入计算，有：d = 2ab2 * 3a2b + 2ab2 * 4a2b2化简上式，将幂相加，并化简系数，得到：d = 6a3b3 + 8a3b4因此，整式 d 的值为 6a3b3 + 8a3b4。

二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在整式的除法中，我们需要遵循如下规则：1.除法满足结合律，但不满足交换律。

2.同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

例如：am/ an = am-n3.除法中，除数不为零。

下面是一个整式除法的示例：假设有整式 p = 5a3b2c 和 q = 10a2c2。

要求计算整式 r = p / q 的值。

根据整式除法的规则，我们需要将p 和q 化简到最简形式，然后进行除法运算。

首先，我们将 p 和 q 化简，并将指数按照从大到小的顺序排列：p = 5a3b2c，q = 10a2c2进行除法运算，将 p 中每一项除以 q 中的对应项，并将指数进行相减：r = (5a3b2c) / (10a2c2)再化简这个分式，我们可以将分子和分母都除以其最大公因式 5ac，得到最简形式：r = (a2b2) / (2c)因此，整式 r 的值为 (a2b2) / (2c)。

整式的乘法与因式分解整式是由字母或字母与常数的乘积所组成的代数式。

在代数中，整式的乘法和因式分解是非常重要的运算。

本文将详细介绍整式的乘法与因式分解。

一、整式的乘法整式的乘法是指利用分配律将两个或多个整式相乘的过程。

整式的乘法规则如下：1. 当两个整式相乘时，先将系数相乘，再将字母相乘，最后将结果相加。

例如，计算 (2x + 3)(4x + 5) 的结果：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 152. 当整式中含有多个字母时，需要将对应字母的项相乘，并按照指数的规则进行运算。

例如，计算 (2xy + 3xz)(4xy - 5xz) 的结果：(2xy + 3xz)(4xy - 5xz) = 2xy * 4xy + 2xy * (-5xz) + 3xz * 4xy + 3xz * (-5xz)= 8x^2y^2 - 10x^2z^2 + 12x^2yz - 15xz^2整式的乘法在代数中非常常见，掌握好整式的乘法规则可以方便进行复杂的代数运算。

二、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个整式乘积的形式。

因式分解在解方程、求极限、计算函数值等方面都有广泛的应用。

下面介绍两种常见的因式分解方法。

1. 公因式提取法公因式提取法是指将整式中的公因式提取出来，并将整式分解为公因式与其他部分的乘积。

例如，对于整式 4x^2 + 8x，可以提取公因式 4x，得到 4x(x + 2)。

2. 完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式表示为两个一次多项式的平方差形式。

例如，对于整式 x^2 + 12x + 36，可以通过完全平方公式将其分解为 (x + 6)^2。

通过因式分解，可以简化复杂的整式，方便进行进一步的计算和问题求解。

综上所述，整式的乘法和因式分解是代数中重要的运算。

整式的乘法运算法则乘法运算法则1. 相同数乘以相同数等于它们的乘积：a*a=a²；2. 指数乘积性质：xⁿ*xᵐ=xⁿ⁺ᵐ；3. 幂乘积性质：(x*y)ᵐ=xᵐ*yᵐ；4. 相反数乘积：(-a)*(-b)=a*b；5. 乘积与商乘积性质：a¹／b¹=a*b；6. 乘积与商除积性质：a¹／b⁰=a/b；7. 乘积与和差乘积性质：(a+b)*(a-b)=a²-b²；8. 乘积的特点：乘积不受其中的任意一个因子的变化而受影响。

9. 乘方：x*x*x=x³；10. 平方根：x*x=√x；11. 积与分母乘积：(x*x)*(1/x)=x，(x*y/a)*(a/z)= x*y/z。

12. 求倒数乘积：（1/a）*（1/b）=1/(ab)；13. 指定数乘积：x*a=a*x=a，x*0=0*x=0；14. 除数与商的乘积性质：a/b*b=a；15. 乘法减法：x/(x-a)=1+a／x；16. 四、三、二乘方：a⁴*b³*c²=(abc)⁶；17. 乘积减法：a*b*c-a*b=a*b*(c-1)；18. 乘积的和减去乘积的差：a*b-c*d=(a-c)*(b-d)。

乘法运算在日常生活中很常见，由小孩子到成年人，都会用到乘法，小学是孩子学习数学中最基础的概念，乘法运算是学习过程中重要的一步。

乘法运算分为乘法公式和乘法运算法则两部分。

乘法公式主要是指某些具体的情形，根据这些具体情形来估算和求解数学问题；乘法运算法则则是一些更宽泛的知识，用来解决不同概念之间的关系。

以下是乘法运算法则的18条规则：1、相同数乘以相同数等于它们的乘积：a*a=a²；2、指数乘积性质：xⁿ*xᵐ=xⁿ⁺ᵐ；3、幂乘积性质：(x*y)ᵐ=xᵐ*yᵐ；4、相反数乘积：(-a)*(-b)=a*b；5、乘积与商乘积性质：a¹／b¹=a*b；6、乘积与商除积性质：a¹／b⁰=a/b；7、乘积与和差乘积性质：(a+b)*(a-b)=a²-b²；8、乘积的特点：乘积不受其中的任意一个因子的变化而受影响；9、乘方：x*x*x=x³；10、平方根：x*x=√x；11、积与分母乘积：(x*x)*(1/x)=x，(x*y/a)*(a/z)= x*y/z；12、求倒数乘积：（1/a）*（1/b）=1/(ab)；13、指定数乘积：x*a=a*x=a，x*0=0*x=0；14、除数与商的乘积性质：a/b*b=a；15、乘法减法：x/(x-a)=1+a／x；16、四、三、二乘方：a⁴*b³*c²=(abc)⁶；17、乘积减法：a*b*c-a*b=a*b*(c-1)；18、乘积的和减去乘积的差：a*b-c*d=(a-c)*(b-d)。

八年级14.1整式的乘法知识点总结【知识点一】整式的混合运算例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-∙∙例题二、计算：3222132213⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xy y y x例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++【知识点二】利用幂的运算法则解决问题例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。

例题二、解方程：486331222=-++x x例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324∙的值。

【知识点三】整式除法的运用例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷，求n,m,p 的值。

例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式【知识点四】整式化简求值例题一、先化简，再求值：()()()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x例题二、先化简，再求值：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x .【知识点五】开放探求题例题一、若多项式()()4322+-++xxnmxx展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。

例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()bxax++32，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为101162-+xx；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10922+-xx。

（1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。

例题三、若x是整数，求证121223+-+--x x xxx是整数。

【知识点六】整式乘除法在实际问题中的应用例题一、某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2a m，宽为（2a-24）m，试用a表示地基的面积，并计算当a=25时地基的面积例题二、大庆市环保局欲将一个长为2×103dm，宽为4×102dm，高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，（1）请你考虑一下，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池________.（请填“能”或“不能”）（2）若能，则该正方体贮水池的棱长_________dm；（3）若不能，你能说出理由吗？（不要求作答）例题三、太阳可以近似的看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么34 V π3R ，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？（π取3）。

初中数学什么是整式的乘法整式的乘法指的是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。

整式是由常数、变量及它们的乘积和幂次的和或差组成的代数式。

下面将详细介绍整式的乘法运算的定义、性质以及如何进行整式的乘法。

一、整式的乘法定义设有两个整式A和B，表示为：A = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀B = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀其中，aₙ、aₙ₋₁、...、a₂、a₁、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₂、b₁、b₀为常数系数，x为变量，n和m 为幂次。

整式A和B的乘积表示为A * B，即：A *B = (aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀) * (bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀)二、整式乘法的性质整式的乘法具有以下性质：1. 乘法交换律：对于任意两个整式A和B，有A * B = B * A。

即整式的乘法满足交换律。

2. 乘法结合律：对于任意三个整式A、B和C，有(A * B) * C = A * (B * C)。

即整式的乘法满足结合律。

3. 乘法分配律：对于任意三个整式A、B和C，有A * (B + C) = A * B + A * C。

即整式的乘法满足左分配律。

三、整式的乘法运算整式的乘法运算可以通过展开和合并同类项的方法进行。

例如，设有两个整式A和B，表示为：A = 2x² + 3xy - 4y²B = 5x - 2y我们将A与B相乘，即A * B，得到：A *B = (2x² + 3xy - 4y²) * (5x - 2y)按照乘法分配律的定义进行展开和合并，得到：A *B = 2x² * 5x + 2x² * (-2y) + 3xy * 5x + 3xy * (-2y) - 4y² * 5x - 4y² * (-2y)进一步计算，得到：A *B = 10x³ - 4x²y + 15x²y - 6xy² - 20xy² + 8y³将上述结果进行合并同类项，得到最后的乘积结果：A *B = 10x³ + 11x²y - 26xy² + 8y³总结：整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。

整式的乘法与除法在初中数学中，整式的乘法与除法是一个重要的知识点。

它不仅涉及到数学运算的基本技巧，还能帮助我们解决实际问题。

本文将以实际问题为背景，通过举例、分析和说明来介绍整式的乘法与除法的应用。

一、整式的乘法整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

它的应用非常广泛，例如在代数表达式的化简、方程的解法、图形的面积计算等方面都有应用。

举例一：化简代数表达式假设有一个代数表达式：(3x + 2)(x - 5)。

我们可以使用整式的乘法运算将其展开化简。

首先，将括号中的每一项与另一个括号中的每一项相乘，得到以下结果：3x * x + 3x * (-5) + 2 * x + 2 * (-5)。

然后，将同类项相加合并，得到最简形式的代数表达式：3x^2 - 15x + 2x - 10。

最后，将同类项合并得到最终结果：3x^2 - 13x - 10。

通过整式的乘法运算，我们成功地将代数表达式化简为最简形式，从而更方便地进行后续计算或分析。

二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

它的应用也非常广泛，例如在多项式的因式分解、方程的解法、函数的图像绘制等方面都有应用。

举例二：因式分解假设有一个整式：x^3 - 8。

我们希望将其进行因式分解，以便更好地理解和分析。

首先，我们可以观察到这个整式是一个立方差式，即一个立方数减去另一个立方数。

根据立方差公式，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。

通过整式的除法运算，我们成功地将整式进行了因式分解，得到了更简洁的表达形式。

这样，我们可以更方便地研究整式的性质和特点。

三、实际问题的应用整式的乘法与除法不仅仅是数学中的一种运算，它还能帮助我们解决实际问题。

例如，在几何中，我们可以使用整式的乘法来计算图形的面积或体积；在经济学中，我们可以使用整式的乘法来计算成本、利润等。

举例三：计算图形的面积假设有一个矩形，长为2x + 3，宽为3x - 4。

整式的乘除概念总汇1、同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102，33· 32到a 3· a 2到a m· a n，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据（2）同底数幂的乘法法则是： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m· a n= anm +（字母m ，n 表示正整数）当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a pn m ++（字母m ，n ，p 表示正整数）说明：（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。

两者不能混淆。

（2）、—a ²的底数a ，不是—a 。

计算—a ²·a ²的结果是—（a ²·a ²）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2）=a 4 。

（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方（1）、幂的乘方的性质推导当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。

（2）、幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。

如（103 ）2=106说明：（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。

（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。

3、积的乘方（1）积的乘方当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（ ）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（ ）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（ ）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（ ）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下： （x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（ ）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即． 同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0， 则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ． 如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则 原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或 由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

数学中的整式运算知识点数学中的整式运算是指对整式进行各种加减乘除的运算。

整式是由常数、变量及其指数和系数之和组成的表达式，其中变量都是以整数指数出现的。

一、整式的加法和减法整式的加法和减法遵循相同的规律：将相同的项按照系数相加或相减，并保留同类项的系数。

例如，考虑以下两个整式的加法和减法：整式A：3x^3 + 2x^2 - 5x + 1整式B：-2x^3 + 4x^2 + 3x - 2将两个整式对应的同类项相加或相减得到结果：A +B = (3x^3 + (-2x^3)) + (2x^2 + 4x^2) + (-5x + 3x) + (1 + (-2))= x^3 + 6x^2 - 2x - 1A -B = (3x^3 - (-2x^3)) + (2x^2 - 4x^2) + (-5x - 3x) + (1 - (-2))= 5x^3 - 2x^2 - 2x + 3二、整式的乘法整式的乘法遵循分配律和乘法法则，即将每个项相乘，再将同类项相加。

例如，考虑以下两个整式的乘法：整式A：(2x + 1)(3x - 4)整式B：(x^2 - 3)(x + 2)将每个项相乘并将同类项相加得到结果：A = 2x * 3x + 2x * (-4) + 1 * 3x + 1 * (-4)= 6x^2 - 8x + 3x - 4= 6x^2 - 5x - 4B = x^2 * x + x^2 * 2 + (-3) * x + (-3) * 2= x^3 + 2x^2 - 3x - 6三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余式。

但需要注意的是，整式的除法不一定能得到整式的结果。

例如，考虑以下整式的除法：整式A：4x^3 - 9x^2 + 2x - 3整式B：2x - 1计算得到商和余式：2x^2 - 5__________________2x - 1 | 4x^3 - 9x^2 + 2x - 3- (4x^3 - 2x^2)__________________-7x^2 + 2x - 3- (-7x^2 + 7x)__________________-5x - 3通过除法运算可得到商为2x^2 - 5，余式为-5x - 3。