高考数学复习考知识解析与专题练习19---导数与函数的单调性

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题19 导数与函数的单调性考点知识1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案C解析由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )单调递增． 2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案A解析∵f ′(x )＝2x －2x＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1(负值舍去)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为________________．(用“<”连接) 答案f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析因为f (x )＝x sin x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，又因为0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f (x )＝x ln x －3x ＋2的单调递减区间为________． 答案(0，e 2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f (x )＝x －ln x －e xx.判断函数f (x )的单调性．解因为f (x )＝x －ln x －e xx，所以f ′(x )＝1－1x －(x －1)e xx 2＝(x －1)(x －e x )x 2(x >0)．令g (x )＝x －e x ，则g ′(x )＝1－e x ， 可得g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以g (x )<g (0)＝－1<0.所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f (x )＝(2－a )x －ln x －1，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若a <0，设g (x )＝f (x )＋ax 2，求函数g (x )的单调区间．解(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x －1，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x >0)，当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)g (x )＝ax 2＋(2－a )x －ln x －1(a <0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝2ax ＋2－a －1x ＝2ax 2＋(2－a )x －1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x(a <0)，令g ′(x )＝0，可得x 1＝12，x 2＝－1a >0，①若－1a >12，即－2<a <0，当0<x <12或x >－1a 时，g ′(x )<0；当12<x <－1a时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ；②若－1a ＝12，即a ＝－2，则g ′(x )≤0，∴g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；③若0<－1a <12，即a <－2，当0<x <－1a 或x >12时，g ′(x )<0；当－1a <x <12时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12.综上，当－2<a <0时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ；当a ＝－2时，g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12.思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若a>ln2，则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减．②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，③若a<ln2，则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是()A．2ln 32<32ln2B.2ln 3<3ln 2C．5ln4<4ln5D．π>elnπ答案AD 解析设f (x )＝ln x x(x >0)，则f ′(x )＝1－ln xx2， 所以当0<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 因为32<2<e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)，即2ln32<32ln2，故选项A 正确； 因为2<3<e ， 所以f (2)<f (3)， 即2ln3>3ln2，故选项B 不正确；因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln4>4ln5， 故选项C 不正确； 因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D 正确．(2)已知函数f (x )＝cos x ＋e x ＋e －x －12x 2，则关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为() A ．(－1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4 C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(4，＋∞) 答案B解析f ′(x )＝e x －e －x －sin x －x ，令g (x )＝e x －e －x －sin x －x ，则g ′(x )＝e x ＋e －x －cos x －1≥2e x ·e －x －cos x －1＝1－cos x ≥0，当且仅当x ＝0时等号成立， ∴函数g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝0，∴当x ∈[0，＋∞)时，g (x )≥g (0)＝0， ∴f ′(x )≥0，∴当x ∈(－∞，0)时，g (x )<g (0)＝0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )可转化为|3＋x |>|2x －1|，解得－23<x <4.即关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4.命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立． (2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝1e x －e x ＋2x －13x 3，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是________． 答案－1≤a ≤13解析由题意得f ′(x )＝－1e x －e x ＋2－x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋2－x 2，因为e x＋1ex ≥2e x·1ex ＝2，当且仅当x ＝0时等号成立，所以f ′(x )≤0，所以函数f (x )在R 上单调递减，又f (x )＝－f (－x )，所以f (x )为奇函数，所以f (3a 2)＋f (2a －1)≥0⇒f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )， 即3a 2≤1－2a ，解得－1≤a ≤13.(2)已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋2)上不单调，则实数t 的取值范围是________． 答案[0,1)解析由题意，f ′(x )＝－x －3＋4x ＝－x 2＋3x －4x，x ∈(0，＋∞)，当f ′(x )＝0时，有x 2＋3x －4＝0，得x ＝－4或x ＝1， ∵f (x )在(t ，t ＋2)上不单调，且(t ，t ＋2)⊆(0，＋∞)， ∴⎩⎨⎧t <1<t ＋2，t ≥0，解得t ∈[0,1)．课时精练1．函数f (x )＝x ln x ＋1的单调递减区间是() A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(e ，＋∞)答案C解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )<0，得0<x <1e，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1e .2．已知f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )函数的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， 所以只有D 选项符合．3．(2023·邯郸模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ln x ，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，c ＝12(e )f -，则()A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >a 答案B解析由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ln x ，得f ′(x )＝ln x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 因为c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，0<1e <23<45<1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，故c >a >b . 4．已知a ∈R ，则“a ≤2”是“f (x )＝ln x ＋x 2－ax 在(0，＋∞)上单调递增”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案A解析因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝1x＋2x－a≥0对任意的x>0恒成立，即a≤2x＋1x，当x>0时，由基本不等式可得2x＋1x≥22x·1x＝22，当且仅当x＝22时，等号成立，所以a≤2 2.因为{a|a≤2}{a|a≤22}，因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．5．(多选)(2023·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则()A．2e x－1e x>ln x2＋1x1＋1B．2e x－1e x<lnx2＋1x1＋1C．x21e x>x12e x D．x21e x<x12e x答案AC解析令f(x)＝e x－ln(x＋1)且x∈(0,1)，则f′(x)＝e x－1x＋1>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，因为0<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)，即1e x－ln(x1＋1)<2e x－ln(x2＋1)，故2e x－1e x>ln x2＋1x1＋1，所以A正确，B错误；令f(x)＝e xx且x∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x2<0， 故f (x )在区间(0,1)上单调递减， 因为0<x 1<x 2<1， 所以f (x 1)>f (x 2)，即11e x x >22e x x ， 故x 21e x >x 12e x ， 所以C 正确，D 错误．6．(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是() A ．f (x )＝e x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝sin x 答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数． 对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ， 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”； 对于B ，g (x )＝x 3在R 上单调递增，故B 中函数为“F 函数”； 对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，g ′(x )<0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递减，故D 中函数不是“F 函数”．7．函数f (x )＝e －xcos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，e －x >0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0，则f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π时，e －x >0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4<0，则f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 8．已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________． 答案25<a <1解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－1x，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，又a>0，所以0<a≤25或a≥1.因为f(x)在[1,2]上不单调，故25<a<1.9．已知函数f(x)＝a e x－x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性．解(1)因为a＝1，所以f(x)＝e x－x，则f′(x)＝e x－1，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)因为f(x)＝a e x－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝a e x－1，当a≤0时，f′(x)＝a e x－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增，综上，当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减；当a >0时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． 10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x ，x ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝－(x 2－2)e x ， 令f ′(x )>0，即x 2－2<0，解得－2<x <2， ∴f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，若f (x )在(－1,1)上单调递增， 即当－1<x <1时，f ′(x )≥0，即－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)恒成立， 即a ≥x ＋1－1x ＋1对x ∈(－1,1)恒成立， 令y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0， ∴y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， ∴y <1＋1－11＋1＝32，∴a ≥32，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是()A．f(ln2)＝ln 52B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2 答案ACD解析f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝ln5－ln2＝ln 52，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e x＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋e x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；f′(x)＝e x－e－xe x＋e－x，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝e x－e－xe x＋e－x>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln2，D正确．12．已知函数f(x)＝e x－e－x＋12sinπ2x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不等式成立的是() A．2a＋b<－1B．2a＋b>－1 C．4a＋b<1D．4a＋b>1答案C解析设g(x)＝e x－e－x＋12sinπ2x，则g(x)＝f(x)－1，f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∵g (－x )＝e －x －e x－12sin π2x ＝－g (x )，∴函数g (x )是奇函数，∵g ′(x )＝e x＋e －x＋π4cos π2x ≥2e x ·e －x＋π4cos π2x ＝2＋π4cos π2x >0，∴g (x )是增函数，∵g (3a ＋b )＋g (a －1)<0，∴g (3a ＋b )<－g (a －1)＝g (1－a )， 则3a ＋b <1－a ，即4a ＋b <1.13．(多选)(2023·杭州模拟)已知f (x )＝(a 2－1)e x －1－12x 2，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1在(1，＋∞)上恒成立，则a 的值可以为() A ．－2B ．－1C ．1D. 2 答案AD解析设y ＝x －1－ln x (x >1)， 则y ′＝1－1x>0，∴y ＝x －1－ln x 在(1，＋∞)上单调递增， ∴x －1－ln x >0，∴ln x <x －1，x ∈(1，＋∞)， ∴0<ln x <x －1， ∴1ln x >1x －1>0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1在(1，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝(a2－1)e x－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，即a2－1≥xe x－1在x∈(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xe x－1，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝1－xe x－1，当x>1时，g′(x)<0，故g(x)<g(1)＝1，∴a2－1≥1，解得a≥2或a≤－2，∴a的值可以为－2，2.14．(2023·蚌埠模拟)若x1·12x＝x2·log2x2＝2024，则x1x2的值为________．答案2024解析因为x1·12x＝x2·log2x2＝2024，所以12x log212x＝x2·log2x2＝2024，则12x>1，x1>0，x2>1，设f(x)＝x log2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋1ln2>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以12x＝x2，所以x1x2＝x1·12x＝2024.21 / 21。

第2节 导数与函数的单调性课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。

【知识衍化体验】知识梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内 ； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内 ； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是 . 【微点提醒】1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．基础自测 1．函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a >03．函数y ＝f(x)的导函数f′(x)的图象如下图，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )4．若函数f(x)＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ 【考点聚焦突破】考点1利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，讨论f (x )的单调性．规律方法当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.【训练1】函数f(x)＝axx2＋1(a>0)的单调递增区间是( )A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数f(x)＝x＋2cos x(x∈(0，π))的单调递减区间为________．考点2利用导数讨论函数的单调区间【例2】 (2015江苏节选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．规律方法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f x＝x3，f′x＝3x2≥0f′x＝0在x＝0时取到，f x在R上是增函数.【训练2】已知函数f(x)＝e x(ax2－2x＋2)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．考点3函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例3-1】(1)已知函数f (x )＝－xex ＋ln 2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D ．大小关系无法确定 (2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．角度2 根据函数的单调性求参数【例3-2】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(Ⅰ)若f (x )在(－1，1)上为减函数，则实数a 的取值范围为 ； (Ⅱ)若f (x )的单调递减区间为(－1，1)，则实数a 的值为 ； (Ⅲ)若f (x )在(－1，1)上不单调，则实数a 的取值范围为 .【训练3】（1）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．（3）定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，则满足13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)的实数x 的取值范围是________．规律方法1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧，利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2. f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．反思与感悟【思维升华】1．函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f′(x)≥0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为增函数．在一个区间上，f′(x)≤0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为减函数．2．根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．【易错防范】1．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．2．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．第2节 导数与函数的单调性【知识衍化体验】 知识梳理1.(1)单调递增；(2)单调递减；(3)常数函数．基础自测 1．B 2．B 3.D 4.D【考点聚焦突破】【例1】解：f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x－1).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ln 12.当x 变化时， f (x )， f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，ln 12 ln 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(ln 12，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12.【训练1】B函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )<0得sin x >12，故π6<x <5π6.【例2】解：由题意， f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3当a ＝0时，有f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.当a ＞0时，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 2a 3∪(0，＋∞)；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减.当a ＜0时，令f ′(x )>0，得x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减.综上，当a＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a ＜0时， f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减 【训练2】解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2a a.(1)当0＜a ＜1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；(2)当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a ＞1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 【例3-1】C 解析 f ′(x )＝－e x－－x exe x ·e x＝x －1ex，当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∵1e <12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.故选C. (2) (4，＋∞)令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．【例3-2】 解(Ⅰ)(法一)由题意，f ′(x )＝3x 2－a ，由f (x )在(－1，1)上为减函数，得f ′(x )≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2恒成立.又因为当x ∈(－1，1)时，函数y ＝3x 2的值域是[0，3)，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(法二)当a ≤0时， f ′(x )＝3x 2－a ≥0，显然没有单调递减区间，不符合题意.当a ＞0时，令f ′(x )＝3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3时， f (x )单调递减.若f (x )在(－1，1)上为减函数，则(－1，1)应为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3的子区间，即3a 3≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )的单调递减区间为( －3a 3， 3a 3)，所以3a 3＝1，解得a ＝3. (Ⅲ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意.当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3，因为f (x )在(－1，1)上不单调，所以0<3a3<1，解得0<a <3，所以a 的取值范围是(0，3).【训练3】（1） [3，＋∞)由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max ＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3，∴a ≥3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.（3）(－1，2)∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴由xf ′(x )<f (－x )可得xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，∵当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，∴当x ∈(－∞，0]时，恒有[xf (x )]′<0，设F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )在(－∞，0]上为减函数，∵F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )(－f (x ))＝xf (x )＝F (x )，∴函数F (x )为R 上的偶函数，∴函数F (x )＝xf (x )为[0，＋∞)上的增函数，∵13(2x －1)f (2x －1)<f (3)，∴(2x －1)f (2x －1)<3f (3)，∴F (2x －1)<F (3)，∴|2x －1|<3，解得－1<x <2.。

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

第十一节导数与函数的单调性[考纲传真](教师用书独具)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第32页)[基础知识填充]函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．[知识拓展]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()[答案](1)×(2)√(3)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是() 【导学号：79170063】图2-11-1A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(2015·陕西高考)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B[因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C．又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B．] 5．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2-11-2所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()图2-11-2D[观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A、C．如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D．](对应学生用书第32页)判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.讨论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1x－2ax＋2－a＝－2x＋1ax－1x.①若a≤0，则f′(x)＞0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝1 a ，且当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．[规律方法]用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤一求：求f′(x)；二定：确认f′(x)在(a，b)内的符号；三结论：作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1](2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－ee x，其中a∈R，e＝2.718,为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0. 【导学号：79170064】[解](1)由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0). 2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；5分当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 7分(2)证明：令s(x)＝e x－1－x，则s′(x)＝e x－1－1. 9分当x>1时，s′(x)>0，所以e x－1>x，从而g(x)＝1x－1e x－1>0. 12分求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 5分②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞. 12分[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．[变式训练2]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．(－2，2)[因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，因为e x＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．]已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[解]因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．[母题探究1](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．[解]因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．[母题探究2](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．[解]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．[母题探究3](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－A．由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．[规律方法]根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了3a3∈(0,1)来求解．[变式训练3]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围.【导学号：79170065】[解](1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由h(x)在[1,4]上单调递减得，当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．令G(x)＝1x2－2x，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，即a的取值范围是－716，＋∞.(2)h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，即a＞1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1.。

考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一　不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二　含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三　函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1　比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（ ）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2　根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（ ）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（ ）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（ ）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（ ）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为 ．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为 ．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。

第1讲函数与导数【知识框图1】【方法点拨1】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．2.重视“数形结合思想”渗透．。

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．3.强化“分类讨论思想”应用．。

“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．【知识框图2】【方法点拨2】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。

同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。

2．深刻理解导数概念。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。

5．理解和体会“定积分”的实践应用。

1.1函数基础 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =y =，y =； ④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10x y =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________；(3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________． 3.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x ()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x =； R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃-解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）21y x x =-+． 分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3）解：令1x t +=(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围． 【直击高考】1.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ） A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤【解析】如图所示，把函数=2log y x 的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象，1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选CAB Oxy -122C2.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. 3.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 4.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C864224681510551015【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为_______(0,1]_________． 4. 函数23134y x x =--的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．1.2函数单调性 【基础练习】1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数223y x x =--__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________． 5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃(,1]-∞- (1,)+∞②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②③______． 【范例解析】例1. 求证（定义法）：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>，故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++，又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++>，故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则1212()()1212f x f x x x -=---211212121212x x x x ---=-⋅-1212121212(1212)x x x x =-⋅--+- 又120x x -<，12121212(1212)0x x x x -⋅--+->，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 【直击高考】1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.故选B2.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)yπ4π23π4ππ3π4π2π4yyπ4π23π4ππ3π4π2π4y【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-+++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．【反馈演练】 1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___. 3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >． (0,1)。

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。

一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。

通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【2022年新高考全国II 卷】已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（ ） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（ ） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是 （ ） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ， 求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=， 若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数， 求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<2．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

第二篇函数、导数及其应用专题2.11 导数与函数的单调性【考纲要求】了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)【命题趋势】导数与函数的单调性是高考中的热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大【核心素养】本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.【素养清单•基础知识】1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f x在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′a＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f x的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.【素养清单•常用结论】(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．【真题体验】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．若，b=1，则，与0<a<3矛盾.若，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.2. 【2019年高考天津理数】设函数为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故．因此，在区间上单调递减，进而．所以，当时，．（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，，故．所以，．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．3. 【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】（1）当时，．，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．（2）由，得．当时，等价于．令，则．设，则．（i）当时，，则．记，则.故10 +单调递减极小值单调递增所以，．因此，．（ii）当时，．令，则，故在上单调递增，所以．由（i）得，．所以，．因此．由（i）（ii）知对任意，，即对任意，均有．综上所述，所求a的取值范围是．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 【考法拓展•题型解码】 考法一 确定函数的单调性解题技巧：利用导数求函数的单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．【例1】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 【答案】见解析【解析】：(1)f ′(x )＝14－a x 2－1x ，f ′(1)＝－34－a .由题意得－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知，f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )>0得x 2－4x －5>0(x >0)，解得x >5； 由f ′(x )<0得x 2－4x －5<0(x >0)，解得0<x <5.故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． 考法二 已知函数的单调性求参数的范围解题技巧：由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 【例2】 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )在(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (4)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值； (5)若f (x )在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)因为f (x )在R 上为增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．所以a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上为增函数，所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (3)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(－1,1)上为减函数， 所以f ′(x )≤0⇔3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为x ∈(－1,1)，所以3x 2<3，即a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)． (4)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由f ′(x )<0得3x 2－a <0， 所以x 2<a3，即－a 3<x <a 3. 故f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，a 3. 由题意得a3＝1，解得a ＝3. (5)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a >0时，因为f (x )在(－1,1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1,1)内有解x ＝±a3，所以0<a3<1，解得0<a <3.所以a 的取值范围是(0,3)．考法三 导数在函数单调性中的应用解题技巧：导数在函数单调性中的应用类型及求解方法比较大小或解不等式：利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：①f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；②xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′；③xf ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f x x ′；④f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′；⑤f ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f x e x ′.【例3】 (1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】(1)令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以f ′(x )－2>0，即g ′(x )>0， 所以g (x )＝f (x )－2x －4在R 上单调递增． 又因为f (－1)＝2，所以g (－1)＝f (－1)－2＝0， 所以g (x )>0⇔g (x )>g (－1)⇔x >－1，所以f (x )>2x ＋4的解集是(－1，＋∞)．故选B ．(2)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )为f (x )的导函数)．若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎫log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b 【答案】C【解析】因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以y ＝f (x )为奇函数．令g (x )＝xf (x )，则g (x )＝xf (x )为偶函数，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0在(－∞，0)上恒成立，所以g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．因为c ＝⎝⎛⎭⎫log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319＝(－2)·f (－2)＝2f (2)，又0<log π3<30.3<2，所以g (log π3)<g (30.3)<g (2)，所以c >a >b .故选C ．(3)若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 2 【答案】C【解析】令f (x )＝e xx，则f ′(x )＝e x′·x －x ′·e x x 2＝e xx －1x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,1)上单调递减 ，因为0＜x 1＜x 2＜1，所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C ．【易错警示】易错点 对导数与单调性的关系不明确【典例】 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．【错解】：(1)因为h(x)＝ln x －12ax2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax －2.由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，所以x ∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1x －ax －2≤0有解，而a≥1x2－2x 有解，而1x2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1≥－1，所以a≥－1，故a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)由h(x)在[1,4]上单调递减得当x ∈[1,4]时，h′(x)＝1x －ax －2＜0恒成立，所以a ＞1x2－2x 恒成立，又1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，而1x2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1∈⎣⎡⎦⎤－1，－716，所以a ＞－716，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－716，＋∞. 【错因分析】不清楚可导函数f(x)在某区间上f′(x)＞0(f′(x)＜0)只是f(x)在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件，从而造成漏解或错解．本题(1)问中，若a ＝－1，即h′(x)＝0，h(x)不可能有单调递减区间，(2)中，由h(x)在[1,4]上单调递减应得到h′(x)≤0在[1,4]上恒成立，而不是h′(x)＜0在[1,4]上恒成立． 【正解】：(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a 的取值范围是(－1，＋∞) (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 【跟踪训练】 (2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】C【解析】 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增得f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g1＝4－3a －5≤0，g －1＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.故选C ．【递进题组】1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】B【解析】 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝x －1x ＋1x (x >0)．令y ′<0，得0<x <1，所以单调递减区间为(0,1)．2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是__________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 3．函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集是________． 【答案】 {x |x >0}【解析】 令g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，则g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．因为f (x )＋f ′(x )>1，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )在R 上是增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1⇔e x ·f (x )－e x －1>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (0)⇔x >0.4．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 【答案】见解析【解析】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增． 5．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝mx －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)因为f ′(x )＝1x (x ＞0)，所以f ′(1)＝1＝12a ，解得a ＝2.又因为g (1)＝12a ＋b ＝f (1)＝0，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1. (2)因为φ(x )＝mx －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，所以φ′(x )＝mx ＋1－m x －1x ＋12－1x ＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x在[1，＋∞)上恒成立．因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，得m ≤2.所以实数m 的取值范围是(－∞，2]． 【考卷送检】 一、选择题1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ′＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】D【解析】 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f (x )在这些零点处取得极值，排除A ，B 项；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上，f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C 项．故选D ． 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3．(2019·长郡中学月考)求形如y ＝f (x )g (x )的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导得1y y ′＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )1f xf ′(x )，于是得到y ′＝f (x )g (x )⎣⎡⎦⎤g ′x ln f x ＋g x 1f x f ′x ，运用此方法求得函数y ＝x 1x 的单调递增区间是( ) A ．(e,4) B ．(3,6) C ．(0，e) D ．(2,3)【答案】C【解析】 由题意知y ′＝x 1x ⎝⎛⎭⎫－1x 2·ln x ＋1x 2＝x 1x ⎝⎛⎭⎫1－ln x x 2(x ＞0)，令y ′＞0，得1－ln x ＞0，所以0＜x ＜e ，所以函数y ＝x 1x的单调递增区间为(0，e)．故选C ．4．函数f (x )对定义域R 上的任意x 都有f (2－x )＝f (x )，且当x ≠1时，其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>f ′(x )，若1<a <2，则有( )A ．f (2a )<f (2)<f (log 2a )B ．f (2)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (2)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (2) 【答案】C【解析】 因为函数f (x )对定义域R 上的任意x 都有f (2－x )＝f (x )，所以函数图象的对称轴为直线x ＝1.又因为其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>f ′(x )，即(x －1)f ′(x )>0，故当x ∈(1，＋∞)时，函数单调递增，x ∈(－∞，1)时，函数单调递减．因为1<a <2，所以0<log 2a <1,2a >2，所以f (log 2a )<f (2)<f (2a )．故选C ．5．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】A【解析】 令F (x )＝f xe x ，则F ′(x )＝f ′x －f x e x＜0，故F (x )为R 上的减函数．则f (x )＜e x 等价于F (x )＜1，因为f (0)＝1，所以F (0)＝f 0e 0＝1，F (x )＜F (0)，所以x ＞0，即不等式的解集为(0，＋∞)．故选A ． 6．(2019·龙泉二中月考)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C ．⎣⎡⎭⎫1，32 D ．⎣⎡⎭⎫32，2【答案】C【解析】 由题意得f ′(x )＝4x －1x＝2x －12x ＋1x ，因为x >0，由f ′(x )＝0得x ＝12，所以令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12<k ＋1⇒1≤k <32.二、填空题 7．f (x )＝x n2－3n(n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.【答案】 1或2 【解析】 因为f (x )＝x n2－3n(n ∈Z )是偶函数，所以n 2－3n ＝2k (k ∈Z )，即f (x )＝x 2k ，所以f ′(x )＝2kx 2k －1.因为f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以在(0，＋∞)上f ′(x )＝2kx 2k －1<0恒成立．因为x 2k －1>0，所以2k <0，即n 2－3n <0，解得0<n <3.因为n ∈Z ，所以n ＝1时，2k ＝n 2－3n ＝－2；n ＝2时，2k ＝n 2－3n ＝－2. 8．若f (x )＝－12x 2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．【答案】 1【解析】 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，而f ′(x )＝－x ＋b x ＝－x 2＋bx .函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，即－x 2＋b ≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以b ≤1，则b 的最大值为1.9．(2019·佛山一中模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x (a ∈R )是区间(1,4)上的单调函数，则a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，2]∪[5，＋∞)【解析】 因为f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，因为f (x )是区间(1,4)上的单调函数，所以a －1≤1或a －1≥4，得a ≤2或a ≥5. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． 【答案】见解析【解析】 (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．11．已知函数f (x )＝e x －ax －a ln x ，其中a ＞0，x ＞0，e 是自然对数的底数，讨论f (x )的单调性．【答案】见解析【解析】 f ′(x )＝e x x －e x －a x 2－ax＝x －1e x ＋a x 2－ax x 2＝1x 2[(x －1)·e x ＋a －ax ]＝1x2[(x －1)(e x －a )]． ①当0＜a ≤1时，e x ＞a ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②当1＜a ＜e 时，令e x ＝a ，得x ＝ln a ∈(0,1)，由f ′(x )＜0得ln a ＜x ＜1，由f ′(x )＞0得0＜x ＜ln a 或x ＞1，所以f (x )在(0，ln a )，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a,1)上单调递减． ③当a ＝e 时，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．④当a ＞e 时，令e x ＝a ，得x ＝ln a ∈(1，＋∞)，由f ′(x )＜0得1＜x ＜ln a ，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞ln a ，所以f (x )在(0,1)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(1，ln a )上单调递减．综上，当0＜a ≤1时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当1＜a ＜e 时，f (x )在(0，ln a )，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a,1)上单调递减．当a ＝e 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＞e 时，f (x )在(0,1)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(1，ln a )上单调递减．12．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，所以h (x )＝x 2－8x ＋2，f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)由(1)得f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x.因为x >0，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表所示.x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增单调递减单调递增所以f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)，要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，则⎩⎨⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，52. 13．[选做题]定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，则恒有f (x )cos x ＋f ′(x )sin x ＞0成立，则( ) A ．2f ⎝⎛⎭⎫π4＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)sin 1＞12f ⎝⎛⎭⎫π6C ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 【答案】B【解析】 根据题意，设g (x )＝f (x )sin x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π2，则g ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ，又由当0＜x ＜π2时，恒有f (x )cos x ＋f ′(x )sin x ＞0成立，则g ′(x )＞0，则函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又因为1＞π6，所以g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f (1)sin 1＞12f ⎝⎛⎭⎫π6.故选B ．。

专题09 导数与函数的单调性一、选择题1．（求导得单调性判断图象）已知是R 上的奇函数，时， ，则函数()f x 0x >()ln 1f x x x =-+()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得当x ＞0时，， 1xf x x x-'1（)=-1=所以函数f(x)在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减. 所以排除选项B,C.因为函数是奇函数，所以其图像关于原点对称， 故选A2．（求导得单调性解不等式）若函数，则满足的的取值范()sin 2x x f x e e x -=-+2(21)()0f x f x -+>x 围为（ ） A ． B ． 1(1,2-1(,1)(,)2-∞-+∞ C ． D ．1(,1)2-1(,(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B【解析】函数，定义域为，()sin2xxf x e ex -=-+R 且满足 ，()()sin 2xx f x ee x --=-+-()()sin2x x e e xf x -=--+=-∴为上的奇函数； ()f x R 又恒成立，()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥∴为上的单调增函数； ()f x R 又，()()2210f x f x -+>得，()()()221f x f x f x ->-=-∴， 221x x ->-即， 2210x x +->解得或， 1x <-12x >所以的取值范围是． x ()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选B ．3．（求导得单调性求字母范围）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是f (x )=12ax 2+x ln x ―x a （ ） A ．B ．C ．D ．(―1e ,1)(―1e ,+∞)(―1,+∞)(―∞,1e )【答案】B【解析】f ′（x ）ax+，=ln x ∴f ′（x ）＞0在x ∈上成立， (0，+∞)即ax+0，在x ∈上成立， ln x ＞(0，+∞)即a 在x ∈上成立．＞―lnxx(0，+∞)令g （x ），则g ′（x ），=―lnxx=―1―lnx x 2∴g （x ），在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增， =―lnxx∴g （x ）的最小值为g （e ）==―lnxx―1e ∴a ＞．―1e 故选：B ．4．（由单调区间求字母范围）若函数，在区间和上均为增函数，()22f x x a x =++x ∈R [)3,+∞[]2,1--则实数的取值范围是（ ）aA ．B ． 11,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦[]6,4--C ．D ．3,⎡--⎣[]4,3--【答案】B【解析】由于函数为上的偶函数， ()y f x =R 因此只需考虑函数在上的单调性即可. ()y f x =()0,∞+由于函数在区间和上均为增函数，()y f x =[)3,+∞[]2,1--所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，()y f x =[]1,2[)3,+∞，解得，因此，实数的取值范围是，故选B. 232a∴≤-≤64a -≤≤-a []6,4--5．（构造函数得不等式）已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的()f x 0x >1()()12f x xf x '+>是（）A ．B ． ()()1342f f +>()()2344f f +>C ．D ．()()1893f f +<()()2434f f +<【答案】C【解析】构造函数.在恒成立，()()22g x x f x x =- ()2g x x '=⋅()()1102f x x f x ⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭'x ∈()0,∞+在上是增函数， ∴()g x ()0,∞+ 13<得，∴()()13g g <()()1893f f +<故选.C 6．（单调性与充分必要条件的综合）函数上不单调的一个充分不必要条件()()212ln 132f x ax ax x =-+在，是（）A ．B ．C ．D ． 1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭11,62a ⎛⎫∈⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】 ()212ln 2f x ax ax x =-+函数所以 2121'()2ax ax f x ax a x x-+=-+=令2()21g x ax ax =-+因为函数上不单调 ()()13f x 在，即在上由实数根 2()21g x ax ax =-+()13，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需 ，解得或()()0130g g ∆≥⎧⎨⋅<⎩1a ≥13a <-即a ∈ [)1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭它的充分不必要条件即为一个子集 所以选A7．（构造函数得不等式）定义域为的奇函数，当时，恒成立，若R ()f x (),0x ∈-∞()()0f x xf x '+<，，则（ ）()()33,1a f b f ==()22c f =--A ． B ． a b c >>c b a >>C ． D ．c a b >>a c b >>【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =因为是奇函数，所以为偶函数()f x ()()g x xf x =当时，恒成立，即，所以(),0x ∈-∞()()0f x xf x '+<()'0g x <在时为单调递减函数 ()()g x xf x =(),0x ∈-∞在时为单调递增函数()()g x xf x =()0,x ∈+∞根据偶函数的对称性可知，()()33,1a f b f ==()22c f =--所以 a c b >>所以选D 二、填空题8．（利用导数求单调区间）函数的单调递减区间是_________. 2()2ln f x x x =-【答案】()0,1【解析】，其中，()2212'2x y x x x-=-=0x >令，则，故函数的单调减区间为，填． '0y <()0,1x ∈22ln y x x =-()0,1()0,19．（构造函数得不等式）．在单调递增，则的范围是()cos 2(sin cos )f x x a x x =+-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a __________．【答案】)+∞【解析】，则， ()cos 2sin cos f x x a x a x =+-'()2sin 2cos sin f x x a x a x =-++因为函数在上单调增，可得在上恒成立，()f x [0,]2π'()0f x ≥[0,]2π即，令，则，，(sin cos )2sin 2a x x x +≥sin cos x x t +=2sin 21x t =-t ∈所以，因为在上是增函数， 22212()t a t t t-≥=-1t t -t ∈所以其最大值为 a ≥=所以实数的取值范围是. α)+∞三、解答题10.（含参函数求导得单调区间）已知函数． 2()ln ,(0)f x ax x x x x =-->（1）设时，求的导函数的递增区间； 1a =()f x ()f x '=()h x （2）设 ，求的单调区间； ()()f x g x x=()g x （3）若 对 恒成立，求的取值范围．()0f x ≥()0,x ∈+∞a【答案】（1）；1(,)2+∞（2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间， 0a ≤()g x (0,)+∞当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 0a >()g x 1(0,)a 1(,)a+∞（3）[1,)+∞【解析】解：（1） 2()ln ,(0)f x ax x x x x =--> 时，，1a =2()ln f x x x x x =--，()21ln 12ln 2f x x x x x '=---=--令， ()()2ln 2h x f x x x '==--则， 121()2x h x x x-'=-=令，得， ()0h x '>12x >的单调递增区间为；()h x ∴1(,)2+∞（2） ()()1ln ,(0)f x g x ax x x x==-->，11()ax g x a x x'-=-=若，则恒成立，在单调递减； 0a ≤()0g x '<()g x (0,)+∞若，令，得，单调递增， 0a >()0g x '>1x a>()g x 令，得，单调递减. ()0g x '<10x a<<()g x 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 0a ≤()g x (0,)+∞当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 0a >()g x 1(0,)a 1(,)a+∞（3）对恒成立可转化为恒成立， ()0f x ≥()0,x ∈+∞ln 1x a x+≥设，，ln 1()x x xϕ+=2ln ()x x x ϕ-'=则当时，，单调递增，(0,1)x ∈()0x ϕ'>()x ϕ当时，，单调递减，(1,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ，max ()(1)1x ϕϕ==，即的取值范围为.1a ∴≥a [1,)+∞。

【热点聚焦】单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．【重点知识回眸】（一）函数的单调性与导数的关系 条件 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )＜0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数优先”原则． （二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． （三）常见问题解题方法1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4.含参数问题分类讨论的时机分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.【典型考题解析】热点一 不含参数的函数的单调性【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【答案】B【分析】求导，解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞ 解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<， 故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选：B ．【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________． 【答案】(0,)6π，5(,)6ππ【分析】对()f x 求导，令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π，求出()0f x '> 的解即可求出答案. 【详解】f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π， 当0<x <6π时，f ′(x )>0， 当6π<x <56π时，f ′(x )<0，当56π<x <π时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,)6π和5(,)6ππ上单调递增，在5(,)66ππ上单调递减．故答案为：(0,)6π，5(,)6ππ.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211,0()2,0x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 【答案】20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<，所以当1≥x 时，12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增，当01x <<时，21122()loglog g x x x =-+，则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=，由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得202x <<， 所以()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增， 综上得函数()g x 的单调递增区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． 故答案为：20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． (1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 热点二 含参数的函数的单调性【典例5】（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，，讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性. 【答案】见解析 【分析】先求出2()x kf x x +'=-，然后分k -与(1,e)的关系进行分类讨论,从而得出答案. 【详解】由()ln kf x x k k R x=--∈，，(1,e)x ∈ 221()k x k f x x x x+'∴=--=- ①当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->， ()0f x '∴< ，()f x ∴在(1,e)单调递减；②当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<， ()0f x '∴> ，()f x ∴在(1,e)单调递增；③当1e k <-<，即e 1k -<<-时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上所述，当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减 当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减.【方法总结】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围【典例7】（全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．【典例8】（全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【详解】试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【典例9】（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【规律方法】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函数在区间D 上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max ＞0(或f ′(x )min ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间D 上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令D 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 热点四 函数单调性与函数图像【典例10】（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内.符合条件的只有D. 故选：D【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，221202164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 【规律方法】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 热点五 函数单调性与比较大小、解不等式 【典例13】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>， 故选：A【典例14】（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，211x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当021x <<时，()0h x <，所以当021x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.【典例15】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()3log 912xf x x =+-+，则不等式()()21f x f x -<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为R ，()()()9ln 92991119191ln 391x x x x x x f x ⋅-'=-=-=+++，当0x <时，0f x ；当0x >时，0f x ，故()f x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数. 又()()3391log 912log 29x xx f x x x -+-=+++=++()()3log 9122x x x f x =+-++=，故()f x 为R 上的偶函数，故()()21f x f x -<等价于()()21f x f x -<， 即21x x -<，两边平方得23410x x -+<，故1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.'()f x 当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.【典例17】（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（ ）A ．()2019,+∞B ．()2021,2019--C ．(),2019-∞-D ．()2019,0-【答案】C【分析】根据已知条件构造函数2()()g x x f x =，可得()g x 在(0,)+∞上为增函数，且()g x 为奇函数，然后将()()()220212021420x f x f +++-<可转化为(2021)(2)g x g +<，从而可求出不等式的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>， 所以当0x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-， 所以()g x 为R 上的奇函数， 所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--， ()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<， 所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-， 故选：C【典例18】（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【分析】利用导数研究函数()sin f x x x =-，()ln(1)g x x x =-+，6()ln(1)5h x x x =-+在(0,1)上的单调性，利用函数的单调性可比较,,a b c 的大小.【详解】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->， 所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++， 所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<. 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；(2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′；(5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e′.（6）()()f x f x '<→()()x f x g x e = （7）()()xf x f x '<→()()f x g x x=（8）()()0xf x f x '+<→()()g x xf x =.【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C【分析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间，结合图像理解判断． 【详解】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间 结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦故选：C ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()1,1-上，()f x 是增函数B ．在区间()3,2--上，()f x 是减函数C ．2-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【答案】D【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解. 【详解】由导函数()f x '的图像可知，在区间()1,0-上为单调递减，在区间()0,1上为单调递增，则选项A 不正确； 在区间()3,2--上，()0f x '>，则()f x 是增函数，则选项B 不正确；由图像可知()20f '-=，且()3,2--为单调递增区间，()2,0-为单调递减区间，则2-为()f x 的极大值点，则选项C 不正确；由图像可知()20f '=，且()1,2为单调递增区间，()2,3为单调递减区间，则2为()f x 的极大值点，则选项D 正确； 故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．1a ≥ C ．3a ≤-或1a ≥ D ．31a -≤≤【答案】D【分析】结合函数单调性得到()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立，分0a =，0a >和0a <三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a 的取值范围. 【详解】∵函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，∴()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立， ∵()()()22233f x x ax a x a x a =--=-+'，∴当0a =时，()20f x x '=≥恒成立，满足题意；当0a >时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞--⋃+上恒成立，()0f x '<在(),3a a -上恒成立，故只需33a ≤，解得：1a ≤，故可得：(]0,1a ∈ 当0a <时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞-⋃-+上恒成立，()0f x '<在()3,a a -上恒成立，故只需3a -≤，解得：3a ≥-，故可得：[)3,0a ∈- 综上可得：实数a 的取值范围是[]3,1-， 故选：D ．4．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：由题意可知，函数()12ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+. 因为()22211110f x x x x ⎛⎫'=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.则由()()211f x f x -<-可得21010211x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213x <<，即原不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.a A ．ln ln ab a b -<-e e B ．ln ln b a a b < C ．e a b ba-> D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误. 【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e x y x'=-，故12|e 20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除； B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=， 所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减； 故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除； C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增， 所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除； D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增， 所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D6．（2022·四川成都·高三期末（理））若函数()在区间()上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,1 D ．(]0,2【答案】B【分析】根据已知条件等价为()20f x k x =-≥'在()1,+∞上恒成立，即2k x≥在()1,+∞上恒成立，求解()()21g x x x=>的取值情况即可得出结果. 【详解】()2ln f x kx x =-由题意，已知条件等价为()20f x k x=-≥'在()1,+∞上恒成立， 即2k x≥在()1,+∞上恒成立， 令()()21g x x x=>， ()g x 在()1,+∞上单调递减，()2g x ∴<，2k ∴≥，k ∴的取值范围是[)2,+∞.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．72a >-B ．72a ≥-C ．72a <D ．72a ≤【答案】D【分析】由已知可得()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，从而进行参变分离求最值即可.【详解】解：()210f x x a x'=--≥，因为函数()31ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，所以()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，即21a x x≤-在()2,+∞恒成立，令()()212g x x x x =->，则()2120g x x x '=+>在()2,+∞恒成立， 故()g x 在()2,+∞单调递增，所以()()722g x g >=， 故a 的取值范围是72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选：D ．8．（2023·全国·高三专题练习）已知R α∈，则函数()ex x f x =的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x xf x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能； 当1α=-时，1()e x f x x =且0x ≠，则21()e xxf x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >， 所以D 图象可能； 综上，排除A 、B 、D. 故选：C3232b b =，03c <<且33c c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，求导，根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =，两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =， 同理可得ln ln 3232b b =，ln ln33c c =， 设()ln xf x x=，0x >，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，解得e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>， 所以()()()f c f a f b >>， 故c a b >>， 故选：A.10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(,)2-∞-C ．1(,)2+∞D ．1(,)2-∞【答案】D【分析】构造函数23()()2g x f x x =-，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.【详解】设23()()2g x f x x =-，则()()3g x f x x '='-，因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()0g x '>， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增，因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()g x 也是偶函数,所以()g x 在(,0]-∞上单调递减. 因为3()(1)32f x f x x --<-,所以2233()(1)(1)22f x x f x x -<---, 即()(1)g x g x <-, 则1x x <-，解得12x <， 故选：D.b a b =下列正确的是（ ） A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【分析】利用指对数互化及对数的运算性质可得1b a =，进而可得1121a b b<=<<+，然后构造函数，利用函数的单调性即得. 【详解】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误； 又02b a b <<<，故120a a a<<<， ∴12a <<，对于函数()112y x x x=+<<， 则2221110x y x x-'=-=>，函数()112y x x x =+<<单调递增，∴1322,2a b a a ⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误； ∵02b a b <<<，112a b<=<， ∴1212a b b <<<+<， 令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确； ∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增， ∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误. 故选：B. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知0a <，函数322()2f x x ax a x =+-+的单调递减区间是________ ． 【答案】,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数导数，由()0f x '<即可求出单调递减区间. 【详解】22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+，令()0f x '<，解得3ax a <<- ， 所以()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．（2021·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(]0,2【分析】由题可得函数4y x x=+在区间(0,2]上是减函数，结合条件即得. 【详解】对于函数4y x x=+，0x >， ∴()()222222441x x x y x x x+--'=-==，0x >， 由0y '<，可得02x <<， 因为函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数， 所以02a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2.14．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数()2x x f x =的单调递增区间为__________. 【答案】2(0,)ln 2【分析】先求得导函数，并令'0f x ，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间.【详解】函数2()2x xf x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x xxx fx x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==， 当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减， 故答案为：2(0,)ln 2. 15．（2023·全国·高三专题练习）()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()212a x x >-，求出函数()212y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域，可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()3211232f x x x ax =-++，则()22f x x x a '=-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()0f x '>，即()212a x x >-，当()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-.故答案为：1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞. 三、解答题17．（2022·四川成都·高三期末（理））设函数()()321113f x x x a x =-++--，其中a ∈R ．若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间． 【答案】(1)1a =(2)单调递增区间为()0,2；单调递减区间为(),0∞-，()2,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得()32113f x x x =-+-，再求导分析函数的单调区间即可(1)()221f x x x a '=-++-．∵函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行，∴()010f a =-='，解得1a =．此时()010f =-≠，满足题意．∴1a =． (2)由（1）得()32113f x x x =-+-，故()()222f x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得0x =或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-0 ()0,22 ()2,+∞()f x ' - 0 +0 -()f x单调递减1- 单调递增13单调递减∴函数()的单调递增区间为()；单调递减区间为()，()．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22ln x f x x a =-（a ∈R 且0a ≠）．(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程． (2)讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)2ln 2y x =- (2)答案见解析【分析】（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义即可求得切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论a 的取值，判断导数的正负，从而确定函数的单调性. (1)当2a =时，()22ln 2x f x x =-，所以()22n2l 2f =-,()2f x x x'=-，所以()22212f '=-=,所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-. (2)()f x 的定义域为(0)+∞，， 22()x f x a x'=-,当0a <时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0)+∞，上单调递减； 当0a > 时， ()()222()x f x x a x a a x ax'=-=+-,在()0,a 上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在(),a +∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.。

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第15练导数与函数的单调性（精练）一、解答题【A组在基础中考查功底】一、单选题A ．B ．C ．．【答案】A【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；【详解】解：由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()f x '，故排除C 、D ；当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于0，最后小于B ；故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．),1-∞-C ．[)+∞D ．[1,-【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可【详解】由ln 1a y x a x x=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10ax+≥在[1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100x a a ≥⇒+≥⇒≥，因为[)1,x ∞∈+，所以,1]x --∞-，于是有1a ≥-二、多选题f x为偶函数A．()f x为奇函数B．()f x的最小值为a C．()三、填空题四、解答题【B组在综合中考查能力】一、解答题二、单选题而函数()3g x a ax =-恒过点(3,0C 象应介于直线AC 与直线BC 之间（可以为直线又()1,1A ，()2,2ln 21B +，∴011312AC k -==--，0(2ln 3BC k -=三、填空题故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故答案为：[e,)+∞【C 组在创新中考查思维】一、解答题令()0f x ¢>,解得()0,x ∈+∞;令()0f x '<,解得(),0x ∈-∞,所以()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-,当1a <-时,令()0f x '=,解得:0x =或()ln 1x a =--,①当()ln 10a --=时,即2a =-,()()2e 10xf x '=-≥,所以()f x 在(),-∞+∞上单增.②当()ln 10a -->时,即2a <-,由()0f x ¢>解得:()()(),0ln 1,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()0,ln 1x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.③当()ln 10a --<时,即21a -<<-,由()0f x ¢>解得:()()(),ln 10,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()ln 1,0x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --.综上:当1a ≥-时,()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-;当21a -<<-时,()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --;当2a =-时,()f x 在(),-∞+∞上单增;当2a <-时,()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.二、单选题三、多选题四、填空题。

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。

专题4.2 导数与函数的单调性1. 以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合凸显数学运算、逻辑推理等核心素养；2.与函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等综合考查.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力1.函数的单调性与导数的关系(1)函数()y f x =在某个区间(),a b 内可导.①如果在区间(),a b 上()0f x '>恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递增； ②如果在区间(),a b 上()0f x '<恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递减； (2) 函数()y f x =在某个区间(),a b 内单调①在某个区间内，()0f x '>()()0f x '<是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件．．．．，而不是必要条件.如函数()2f x x =在R 上单调递增，但()230f x x '=≥.②如果函数()f x 在(),a b 内单调递增(减)，则()()()00f x f x ''≥≤在区间(),a b 内恒成立，且在其任意的子区间内()0f x '=不能恒成立，即在个别点处导函数等于零，不影响函数的单调性.2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数()f x 的定义域； (2)求导数()f x '；(3)在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>或()0f x '<； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．求函数的单调区间【方法储备】1.利用导数求函数的单调区间的一般步骤为： （1）确定函数()f x 的定义域； （2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<； （4）根据（3）的结果确定函数()f x 的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解．．．．．．．．．，方便后面求根和判断导函数的符号．【精研题型】1.已知函数()2ln f x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为________． 2.函数()=1+sin f x x x -在()0,2π上的单调情况是 ．3.已知0a <，函数()322=2f x x ax a x +-+的单调递减区间是 ．【特别提醒】1. 先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化．．的作用，方便单调区间的求解；2.在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式；3.一般可令()0f x '>，解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常值函数部分，那么减区间即为增区间在定义域上的补集；4.若()0f x '>的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若()0f x '>的解集为∅，那么()f x 是定义域上的减函数.给定区间求参数的取值范围【方法储备】已知函数单调性求参数的值或参数的范围： (1)已知函数()y f x =在区间(),a b 上单调 ①在区间(),a b 上单调递增：转化．．为()0f x '≥在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．为区间(),a b 是单调增区间的子区间； ②在区间(),a b 上单调递减：转化．．为()0f x '≤在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．区间(),a b 是单调减区间的子区间. (2)已知区间(),a b 是函数()y f x =的单调区间：①函数()y f x =的增区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝增区间， 也可转化．．．．为()0f x '>的解集是(),a b ； ②函数()y f x =的减区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝减区间，也可转化．．．．为()0f x '<的解集是(),a b ． (3)已知函数()y f x =在区间(),a b 上存在递增或递减区间：①利用正难则反思想，转化为函数()y f x =在区间(),a b 上不存在递增或递减区间，即()0f x '≤或()0f x '≥；②转化为()0f x '>或()0f x '<在区间(),a b 上有解. (4) 已知函数()y f x =在区间(),a b 上不单调：即函数()y f x =在区间(),a b 上有极值点，转化为()f x '在区间(),a b 上有零点.【精研题型】6.若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是A. (],2-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()2,-+∞【思维升华】7. 若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 13a <≤ B. 4a ≥ C. 3a ≤ D. 14a <≤ 8.设函数()ln 2ln xf x a x x=+. （1）若12a =-，求()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.函数单调区间的讨论【方法储备】1.求函数的定义域；2.明确讨论点依据：（1）导函数有无零点的讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域内的讨论； （3）二次项系数讨论；（4）导函数多个零点时大小的讨论.【精研题型】9.（导函数有一零点）已知函数()=ln f x ax x -，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性；10.（导函数有两个零点且能因式分解）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，1a >． （1）若'(2)0f = ，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．12.（构造函数再求导）已知函数()=2ln 1f x x +． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()g x =【思维升华】（1）若，求()f x 的零点；【特别提醒】1.导函数有一个零点：①定义域为R 时，讨论零点有无意义；②定义域不是R 时，讨论零点在不在定义域内；2.导函数有两个零点：①定义域为R 时：讨论零点的大小关系；②定义域不是R 时，讨论两个零点在不在定义域内，若都在，讨论零点的大小关系；③不能因式分解时，利用判别式讨论根个数，或构造函数研究零点.构造函数研究单调性【方法储备】比较大小或解不等式的思路方法1.根据导数计算公式和已知的不等式．．．．．．．．．．．．．构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数. 构造函数常见形式： （1）加乘型①()()()xf x f x e f x '+⇒②()()()f x xf x xf x '+⇒ ③()()()nnf x xf x x f x '+⇒（2）减除型 ① ()()()xf x f x f x e '-⇒② ()()()f x xf x f x x '-⇒③()()()n f x xf x nf x x'-⇒ （3）带常数型① ()()()xxf x f x k e f x ke '+±⇒±②()()()xf x kf x f x k e'-±⇒2.含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系.【精研题型】15.实数33,3,,e e πππ中的最大值和最小值分别为A. 33,e πB. 33e π，C. 3,e e πD. 3,e ππ16.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈ ，则不等式()21f x x <-的解集为A. (),1-∞B. ()1+∞，C. ()12，D. ()(),11,+-∞-∞17.已知()f x 的定义域是()0+∞，，()f x '是()f x 的导数，且满足()()f x f x '>，则不等式()()2222x x ef x x e f +⋅->⋅的解集是 ______ ．【思维升华】20.(多选)已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A.10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B. ()f x 在1x e =处取得极大值C.()011f <<D. ()f x 在()0+∞，单调递增 单调性的应用【方法储备】先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小，或者解不等式.【精研题型】21.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()=2f x f x -，且当(),1x ∈-∞时，22.设函数()21cos 2f x x x =+，若()()0.2153log 2,log 2,a f b f c f e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c的大小为A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a b c << 23.函数()f x 是定义是在R 上的可导函数，其导函数()f x '满足()()20f x xf x '+<，则【思维升华】25.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()+0f x f x -=．设26a f π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<26.定义在R 上的函数()f x ,满足()()24f x f x x +-=,且当0x >时, ()40f x x '-<,专题4.2导数与函数的单调性答案和解析考点一1.【答案】(]0,2 【解析】 【分析】本题考查利用函数的导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，然后令导函数大于等于零，解集即为函数的单调增区间. 【解答】 解：()f x =-()1-x ⎛'=- ⎝()0x '≥，又可得(]0,2x ∈， 故答案为(]0,2.2.【答案】()f x 在()0,2π上单调递增 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，导数在给定的区间上恒大于0，则函数在区间上单调递增. 【解答】解：由题意得()1cos f x x '=-当()0,2x π∈时，()1cos 0f x x '=->恒成立，()f x ∴在()0,2π上单调递增.3.【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数()f x '，解不等式()0f x '<，即可得出函数的单调递减区间. 【解答】考点二4. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.因为()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()0x f x ke x '=-恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立.令()(0)x x g x x e=>，求得()g x 在(0,)+∞的最大值，即可得答案． 【解答】解：21()2x f x ke x =-， ().x f x ke x '∴=-函数()212x f x ke x =-在(0,)+∞上单调递增， ()0x f x ke x '∴=-在(0,)+∞上恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立. 令()(0)x x g x x e =>，则()1(0)x x g x x e -'=>， ∴当01x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.max 1()(1)g x g e∴==， 1.k e∴ 故选.C5. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属根据题意可知当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，从而可得函数()f x 在(2,2)-上不单调时a 的取值范围，进而可得充分不必要条件．【解答】解：由已知，当(2,2)x ∈-时，2()3f x x a '=-，当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，则0a 或12a ，故()f x 在(2,2)-上不单调时，a 的范围为(0,12)，故C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选.D6. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为()0f x '>在1(,2)2x ∈有解，转化为存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-，，而21()2g x x =-在1(,2)2单调递增，求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【解答】解：根据题意得，()12f x ax x'=+， ()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，()0f x '∴>在1(,2)2内有解， 即211202ax a x x +>⇔>-在1(,2)2内有解 故存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-， 令21()2g x x =-，则()g x 在1(,2)2单调递增， 所以1()(2,)8g x ∈--，故选.D7. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了用导数研究函数的单调性，是基础题.利用导数求出函数的单调减区间，然后转化为集合之间的关系即可.【解答】 解：因为299()x f x x x x-'=-=， 所以在(0,3)x ∈上()0f x '<，()f x 单调递减；在(3,)x ∈+∞上()0f x '>，()f x 单调递增， 函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,]a a -上单调递减， 于是103a a ->⎧⎨⎩，解得1 3.a <故选.A8.【答案】解：(1)当12a =-时，ln ()ln x f x x x =-+，21ln ()x x f x x '-+-=， 所以1()f e e '=-，又因为1()1f e e =-+，所以切线方程为11.y x e e=-+ (2)因为()f x 在定义域上单调递增，所以当(0,)x ∈+∞时，221ln ln 1()02ax x x f x a x x+--'=⇒， 令2ln 12ln (),()x x g x g x x x--='=，2()0(0,),g x x e '>⇒∈2()0(,)g x x e '<⇒∈+∞，所以2max 21()()g x g e e ==， 所以21.2a e - 【解析】本题考查函数的导数，求函数中未知量的取值范围，首先分离参变量，再根据新构建的函数的性质求得未知量范围．(1)将a 的值代入()f x ，求出()f e 和()f e '，即可得切线方程；(2)函数单调递增则()0f x '，即21ln 0ax x +-，整理分离未知量a ，再根据x 取值范围求得实数a 的范围．考点三9. 【答案】解：(1)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-， 由于a R ∈，0x >，所以当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递减【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)函数()ln ()f x ax x a R =-∈的定义域为(0,).+∞求导后对a 分类讨论即可得出单调性．10. 【答案】解：（1）由题意得()1a f x x a x-'=-+ ()12202a f a -'∴=-+= 3a ∴=（2）由（1）得()()()21111=x x a a x ax a f x x a x x x---⎡⎤--+-⎣⎦'=-+=1a >，10a ∴->①当11a -=即2a =时，()()210x f x x -'=≥()f x ∴在区间()0+∞，上单调递增②当11a -<即02a <<时，令()0f x '>时，01x a <<-或1x >()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减③当11a ->即2a >时，令()0f x '>时，01x <<或1x a >-()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减综上可得：当2a =时，()f x 在区间()0+∞，上单调递增；当02a <<时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减； 当2a >时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减.【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．（1）先求导，结合已知条件带入可求a ；（2）结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论，即可求解函数的单调性.11. 【答案】解：2221(1)()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>， 若0a ，则()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增；若0a >，方程20x x a +-=的判别式为140a +>，所以方程有两根分别为10x =<，20x =>， 所以当2(0,)x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增. 【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题.(1)求导数可得2221()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>，对a 进行分类讨论可得函数单调性； 已知函数()2ln 1.f x x =+(1)若()2f x x c +，求c 的取值范围;(2)设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性. 12.【答案】解：(1)()2f x x c +等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-， 则22(1)()2x h x x x-'=-=， 所以()h x 在()0,1上递增，在(1,)+∞递减，max ()(1)2h x h ==-，所以12c --，即1c -，因此c 的取值范围是[1,).-+∞(2)因为2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-， 所以22()2ln 2ln ()()x a x a x g x x a --+'=- 222ln 2ln 2()a x a x x a --++=-， 令2()2ln 2ln 2(0),a x x a x x ϕ=--++> 则22222()()a a x x x x x ϕ-'=-=， 令()0x ϕ'>，得0x a <<；令()0x ϕ'<，.x a >所以，()x ϕ在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减；因此，()()0x a ϕϕ=，即()0g x '，所以()g x 在(0,)a 和(,)a +∞都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-，求导判断()h x 单调性及最值，即可求得c 的范围;(2)对()g x 求得，再令()g x '的分子为2()2ln 2ln 2(0),a x x a x xϕ=--++>对()x ϕ求导，判断单调性及最值，进而可得()g x 的单调性. 13.【答案】解：(1)若1a =，则2()(1)12xx f x x e =--+，()(1)x x f x xe x x e '=-=-， 当(,0)x ∈-∞时，10xe -<，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，10x e ->，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．又因为(0)0f =，所以()f x 的零点为0.x =(2)()()x f x x e a '=-，①若0a ，由于0x e a ->，令()0f x '=，则0x =，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．②若01a <<，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a <，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增；当(ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(ln ,0)a 上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．③若1a =，由(1)知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．④若1a >，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a >，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞上单调递增；当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增．综上，当0a 时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立问题，涉及的主要思想是分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题．(1)当1a =时，()(1)x f x x e '=-，易证得()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，故()f x 有唯一零点0.x =(2)求导得()()x f x x e a '=-，然后分四类：0a ，01a <<，1a =和1a >，逐一讨论()f x '与0的关系，从而得函数()f x 的单调性．14.【答案】解：22221(1)((1))(1)(1)()(1)a a x x a a x a x f x a x x x x '-+--+-=-+-==，(0)x >①当1a =时，21()x f x x '-=，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ②当1a >时，101a x a=<-，210x =>，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ③当01a <<时，10a -<，101a x a =>-，210x =>， )11a i a<-，即102a <<时()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.)11a ii a =-，即12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. )11a iii a >-，即112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减.综上：①当102a <<时，()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.②当12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. ③当112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减. ④当1a 时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增.(2)()ln a g x x ax x=+-，(1)0g =，22()ax x a g x x '-+-=， 令2()+h x ax x a =--，214a ∆=-，①当2140a -，即12a 时，()0()0()h x g x g x '⇒⇒在()0,1单调递减， (1)0g =，()g x 在()0,1上没有零点，舍；②当2140a ->，即102a <<时，(0)0h a =-<，对称轴102x a =>，(1)120h a =->，3401x x ∃<<<，使得()()340h x h x ==，∴当3(0,)x x ∈时，()0()0()h x g x g x <⇒<⇒在()30,x 单调递减，当3(,1)x x ∈时，()0()0()h x g x g x >⇒>⇒在()30,x 单调递增，0000ln lim ()lim(ln )lim()lim()x x x x a x x a a g x x ax x xx →→→→+=+-===+∞， ∴存在唯一的03(0,)x x ∈，使得()00.g x = 综上，1(0,).2a ∈【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，由函数的零点求参数. (1)先求导，并求出()0f x '=的根，然后分1a =，1a >，01a <<进行讨论求解()f x 的单调性；(2)求出()g x 并求导22()ax x a g x x-+-'=，令2()+h x ax x a =--，对214a ∆=-的值进行讨论求解a 的取值范围.考点四15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查指数函数与幂函数的单调性，利用导数判断函数的单调性，运用指数函数与幂函数的性质求解即可.【解答】解：因为3e π<<，由x y e =在R 上单调递增，则 3e e π<，由3y x =在(0,)+∞上单调递增，则 33e π<，由y x π=在(0,)+∞上单调递增， 3e ππ<，令()()ln x f x x e x=>， 则()21ln 0x f x x -'=<， 所以()f x 在(),e +∞上单调递减， 所以3ln 3ln ln 33ln 33ππππππ>⇒>⇒>， 所以实数3e ，3π，3π，e π中的最大值和最小值分别为3π，3.e故选.A16 【答案】B【解析】【分析】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数()()21g x f x x =-+，()()20g x f x ''=-<，从而可得()g x g （x ）的单调性，结合()1=1f ，可求得()1=0g ，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：令()()21g x f x x =-+，∵()()2f x x R '<∈，∴()()20g x f x ''=-<，∴()()21g x f x x =-+为减函数，又()1=1f ，∴()()1=f 1210g -+=，∴不等式()21f x x <-的解集⇔()()()2101g x f x x g =-+<=的解集，即()()1g x g <，又()()21g x f x x =-+为减函数，∴1x >，即()1+x ∈∞，．故选B ．17. 【答案】(1,0)(1,2)-【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数()g x 是解题的关键，本题是一道中档题． 构造新函数()()x f x g x e=，通过求导得到()g x 的单调性，所解的不等式转化为求2()(2)g x x g ->，结合函数的单调性得到不等式，解出即可．【解答】解：设()()x f x g x e =，(0)x >，则()()()0x f x f x g x e'-'=<， ()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由222()(2)x x e f x x e f +⋅->⋅得：222()(2)x x e e f x x e f ⋅⋅->⋅，得：222()(2)x xf x x f e e -->， 2()(2)g x x g ∴->，202x x ∴<-<，解得：10x -<<或12x <<，故答案为(1,0)(1,2).-18. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，方法是利用导数求函数的最值，构造函数()y xf x =是解题的关键.【解答】解：依题意，得12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1211222121()()()()0f x f x x f x x f x x x x x --=<， 所以1122()()x f x x f x <，则()y xf x =在(0,)+∞上单调递增， 令2()()()xx ae g x xf x x x ae x x ==-=-，则()20x g x ae x '=-恒成立，即2x x a e， 令2()x x t x e =，则2(1)()xx t x e -'=， 当()0,1x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '<，故max 2()(1)t x t e ==，所以2a e， 故选.B19. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造函数()ln 1x f x x x=+，求出导数可知()f x 的单调性，由题可知()f x 在(0,)a 单调递增，即可求出a 的范围，得出答案. 【解答】解：令()ln 1x f x x x=+，0x >， 则()2ln x f x x -'=，令()0f x '=，解得1x =，则()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，对于任意的120x x a <<<，都有121221ln ln 11x x x x x x -<-，即121122ln ln 11x x x x x x +<+， 即()f x 在(0,)a 单调递增，所以01a <，即a 的最大值为1. 故选.C20. 【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题. 根据题意可设21()ln 2f x x x bx =+，根据11()f e e =求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【解答】 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=， 即满足2()()ln xf x f x x x x'-=， 2()()()()f x xf x f x x x ''-=， ()ln ()f x x x x'∴=，∴可设2()1ln (2f x x b b x =+为常数)， 21()ln 2f x x x bx ∴=+， 211111()ln 2b f e e e e e=⋅+=，解得12b =， 211()ln 22f x x x x ∴=+， 1(1)2f ∴=，满足0(1)1f <<， C ∴正确；22111()ln ln =(ln 1)0222f x x x x '=+++，且仅有1()0f e'=， B ∴错误，A 、D 正确，故选.ACD考点五21. 【答案】B【解析】【分析】本题考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力，属于中档题．根据()(2)f x f x =-求出()x 的图象关于1x =对称，又当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x -⋅'<，10x -<，得到()0f x '>，此时()f x 为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由()(2)f x f x =-可知，()f x 的图象关于1x =对称，根据题意又知(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以1(3)(1)(0)()2f f f f =-<<，即c a b <<， 故选.B22 【答案】A【解析】23. 【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用，不等式求解，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性及极值，属于中档题.设()2()g x x f x =，求导判断出()g x 的单调性及极值，利用单调性及极值，结合分类讨论即可求出不等式的解集.【解答】解：2()()0f x xf x +'<，当0x =时，()0f x <；设()2()g x x f x =，则()()()2()22()()g x xf x x f x x f x xf x '=+'=+'， 当0x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，则0x =时，()g x 有极大值为(0)0g =，所以()0g x ，又当0x =时，()0f x <；所以()0f x <的解集为.R故选.D24. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及分离参数与函数值域的求法知识点，属中等题．根据题意原不等式即sin 1m m θ>-恒成立，根据分离变量法求解.【解答】解：由3(),f x x x R =∈可知()f x 的定义域为R ，且为奇函数，2()30f x x '=，则()f x 在R 上单调递增，(sin )(1)0f m f m θ∴+->即(sin )(1)(1)f m f m f m θ>--=-，根据函数单调性有：sin 1m m θ>-①，02πθ<，∴可设sin [0,1),t θ=∈则011t <-，∴①式即1(1)11m t m t-<⇒<-恒成立， min 11m t ⎛⎫∴< ⎪-⎝⎭，当0t =时，min111t ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 1m ∴<，则实数m 的取值范围是(,1).-∞故选.D 25. 【答案】D【解析】解：设()()sin f x g x x =，2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'-∴'=， (0,)x π∈时，()sin ()cos f x x f x x '<，(0,)x π∴∈时，()0g x '<，()g x ∴在(0,)π上是减函数，又x R ∈时，()()0f x f x +-=，()f x ∴是R 上的奇函数，()g x ∴是R 上的偶函数，()(),(),()6642a g gb gc g ππππ∴=-===， ()g x 在(0,)π上是减函数， .c b a ∴<<故选：.D可设()()sin f x g x x=，根据条件即可得出(0,)x π∈时，()0g x '<，即得出()g x 在(0,)π上是减函数，并根据条件可判断出()g x 是偶函数，这样即可得出(),(),()642a gb gc g πππ===，这样即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了通过构造函数解决问题的方法，基本初等函数和商的导数的计算公式，奇函数和偶函数的定义及判断，根据导数判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．26.【答案】C 【解析】()()24f x f x x +-=，()()()()22-220f x x f x x ⎡⎤∴+---=⎣⎦. ()g x ∴为R 上的奇函数，()()=4g x f x x ''-,当0x >时, ()()400f x x g x ''-<∴<,()g x ∴在()0+∞，上单调递减.又()g x 为R 上的奇函数, ()g x ∴在R 上单调递减.()()()()()()()()2211212142g m g m f m m f m m f m f m m ⎡⎤⎡⎤---=-------=⎣⎦⎣⎦---+-f(m-1)- ()()()2410f m m g m g m -<-∴---<即()1g m -<()g x ∴是。