2011.3.14.3.3.1 几何概型
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3.3.1几何概型
题型二 与面积有关的几何概型
例2、取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落 入圆内的概率。 解：记“豆子落入园内” 为事件A. 则事件A 圆的面积 发生的可能性等于
正方形的面积
所以，豆子落入园内的概率为
a
4a
2 2
4
题型三
与体积有关的几何概型
例3、已知棱长为2的正方体，内切球O，若 在正方体内任取一点，则这一点不在球内的 概率为_______.
解析 3 由几何概型知，P＝ . 1 000
解析答案
课堂小结
几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P ( A) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
古典概型
几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
相同 区别 求解方法
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性
S S 1 4 则有 P(A)＝ 2＝ ＝ ，解得 S＝ . 2 4 3 3
解析答案
1
2
3
4
5
4.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，
绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( C )
1 A. 12 3 B. 8 1 C. 16 5 D. 6
解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的， 可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.
1 事件A发生的概率P(A) 3
课堂练习
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x， 4 则x不大于3的概率为： 11 . （2）在区间[0，10]上任意取一个实数x， 3 则x不大于3的概率为： 10 .
3.3.1几何概型
这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢?
对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等 分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长 度等于绳长的1/3.
事件A发生的概A率 )31P(
对于问题2.记黄“心射”中为事 由件 于B中, 靶点随机 面地 积
为1π1222cm2的大圆而内当, 中靶点落在 1π面 1积 2.22c为 m2
4
4
的黄心内 事时 件,B发生.
1π 1 2 2. 2 事 件 B 发 生 (的B概 )41π 率 1为 222P0 . 0 1
4
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
为
5
2、分别向下列区域内撒一粒黄豆， 求黄豆撒在阴影区域的概率.
半径为r
中位线
r2
2r 2
4
1 2
2
1 4
基本事件是黄豆落到图形上的某一点， 由于点的位置可以是任意的，因此具有无限 性和等可能性的特点．
练习2:如图,假设你在每个图形上随机撒一粒 黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
复习
• 古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题情境
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？
对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等 分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长 度等于绳长的1/3.
事件A发生的概A率 )31P(
对于问题2.记黄“心射”中为事 由件 于B中, 靶点随机 面地 积
为1π1222cm2的大圆而内当, 中靶点落在 1π面 1积 2.22c为 m2
4
4
的黄心内 事时 件,B发生.
1π 1 2 2. 2 事 件 B 发 生 (的B概 )41π 率 1为 222P0 . 0 1
4
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
为
5
2、分别向下列区域内撒一粒黄豆， 求黄豆撒在阴影区域的概率.
半径为r
中位线
r2
2r 2
4
1 2
2
1 4
基本事件是黄豆落到图形上的某一点， 由于点的位置可以是任意的，因此具有无限 性和等可能性的特点．
练习2:如图,假设你在每个图形上随机撒一粒 黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
复习
• 古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题情境
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？
331几何概型(共24张PPT)
全优69页变式训练
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23
4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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20
解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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14
3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
全优86页限时规范训练
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2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20
2014人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》(1)教案
河北省武邑中学高中数学 3．3．1几何概型（1）教案新人教A版必修3备课人授课时间课题3．3．1几何概型（1）课标要求（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式教学目标知识目标（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式；技能目标会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型情感态度价值观本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率难点等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一．导入新课1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二．研探新知探究（一）：几何概型的概念提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑1河北武邑中学教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,于是事件A发生的概率P(A)=31.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.2河北武邑中学教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型的概念.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.注：几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P（A）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A.(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.探究二、几何概型的应用例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 3河北武邑中学教师课时教案。
3.3.1 几何概型
解 设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，
则小张比小王至少早到 5 分钟时满足 x－y≥5.
如图，原点 O 表示 7：30，
作出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，
该正方形区域的面积为 400，
小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形面积为1×15×15＝225，
2
2
225 故所求概率为 P＝4200＝392.
域角，而∠ACB可看成是试验
的所有结果构成的区域角，可
用“角度化”公式计算其概率。 C
D
.E
B
跟踪探究2.如图在等腰直角三角形ABC中，过直角 顶点C在∠ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于 点D，求满足AD<AC的概率。
解：在AB上取AE=AC，则
A
ACE 1 (1800 450 ) 67.50 , 2
B
.O
C
D
E
则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为
跟踪探究2.如图在等腰直角三角形ABC中，过直角 顶点C在∠ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于 点D，求满足AD<AC的概率。
【分析】过直角顶点C在∠ACB 内部作一条射线可以看作是随
A
机的，满足条件AD<AC的
∠ACE可看成是构成事件的区
也不会落在两种颜色之间, 求飞镖落在下列区域的概率:
(1) 编号为25的区域; (2) 绿色区域; (3) 编号不小于24的区域; (4) 编号在6号到9号之间的区域; (5) 编号为奇数的区域; (6) 红色的编号为奇数的区域.
214 6
Hale Waihona Puke 192171223 20 5
23 9
26 7
331几何概型课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM 交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．
解 如图所示，因为过一点作射线是均匀 的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做 是等可能的，基本事件是射线CM落在 ∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小 有关，这符合几何概型的条件． 设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”． 在 AB 上取点 C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰 三角形，所以∠ACC′＝180°－2 30°＝75°， μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以 P(D)＝1950＝16.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
特别提示 在使用几何概型中，事件 A 的概率计算公式
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积时，公式中 分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另 一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样， 一个若是体积，另一个也必然是体积．
距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的概率为13.
(8 分)
(3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h，由题意，得13a2h＜16a3，
∴h＜a2.
∴使四棱锥 M－ABCD 的体积小于16a3 的概率为12.
(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 分清题中的条件，提炼出几何体的形状， 并找出总体积是多少．以及前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”， 把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10(米)，所以 P(E) ＝1300＝13.
人教A版数学必修3第三章3.3.1 几何概型 说课稿
《几何概型》说课稿《几何概型》今天我说课的题目是几何概型，我将从教材分析，教学过程分析，教法学法分析，评价分析、板书设计五个方面来阐述。
一、教材分析：1、地位和作用：本节课是高中数学必修三第三章第三节几何概型的第一课时，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好几何概型可以有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
2、教学的重点和难点：（1）重点：①了解几何概型的概念、特点；②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。
（2）难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件A的区域和试验的全部结果所构成的区域及度量。
3、教学目标：（1）知识与技能：①了解几何概型的概念②会用公式求解随机事件的概率。
（2）过程与方法：通过试验，将已学过计算概率的方法做对比，提出新问题，师生共同探究，引导学生继续对概率的另一类问题进行思考、分析，进而提出可行性解决问题的建议或想法。
（3）情感、态度与价值观：通过试验，感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
二、教法分析基于以上对本节课教学过程的分析，体现了本节课的教法是：采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过两组试验来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
三、教学过程分析：基于以上分析，本节课的教学过程我将分为五个环节：提出问题，引入新课；思考交流，形成概念；观察类比，推导公式；例题分析，推广应用；总结概括，加深理解。
1、提出问题，引入新课本节课理解起来很困难，特别是如何判断一个试验是否为几何概型，其概率如何计算对学生来说是个难点。
那么如何分散这些难点的呢？由于几何概型与古典概型既有共性（等可能性），又有本质上的区别，因此，我在本节课的开始设计了两组试验，试验的第一题是古典概型，稍加变化之后就是几何概型，它们表面上很相似，但实际上有本质的不同。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.1 几何概型》
几何概型教学设计【教材分析】1、“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
几何概型概念的引入过程就是问题解决的过程，以此为载体，提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
2．学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。
这充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源于生活，而又高于生活；同时说明了它在概率论中的重要作用，为高校的进一步学习奠定了基础。
【教学目标】知识与技能：1、初步体会几何概型的意义；2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型，并进行分析、解决。
过程和方法：1、问题和设问，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，并理解几何概型的概念。
2、通过将一些实际问题转化为几何概型的解题过程，学会应用几何概型的概率计算公式解决问题，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识。
情感态度与价值观：1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用；2、培养严谨的思维习惯。
【教学重点】理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题。
【教学难点】几何概型的判断和具有实际背景的随机事件与几何区域联系的建立；解题中准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度【教学过程】一、回顾复习1、古典概型的特征（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等2、公式基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P )(二、提出问题： 问题1：取1根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1m 的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm ，黑心半径为1cm,现一人随机射箭，假设每靶都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，请问射中黑心的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题3：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是500ml水中的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？设计意图：1、引导学生发现试验的结果是等可能的和无限的，归纳几何概型的特征；2、激励学生寻求解决问题的方法.三、几何概型1、归纳共同特征：(1)一次试验可能出现的结果有无限多个；(2) 每个结果的发生都具有等可能性．老师：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.老师：如何求解上述三个问题？同学们有好的解决方吗？问题1：1m1m3m学生分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，机会是均等的，基本事件形成的集合是一线段，设事件A:剪得的两段长都不小于1m.则31)(=A P )(长度全部结果所构成的区域的区域长度构成事件A设计意图：让学生体会解决问题的实质就是将原来具有无限性的基本事件集合进行了度量，即一维空间时用长度度量．问题2：学生分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合是整个靶面，设事件B ：射中黑心01.0101)(22=⨯⨯=ππB P)(面积全部结果所构成的区域的区域面积构成事件B问题3:学生分析：草履虫出现的每一个位置都是一个基本事件,草履虫出现位置可以是500ml水中的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合为500ml 的水，设事件C:2ml 的水样中发现草履虫25015002)(==C P)(体积全部结果所构成的区域的区域体积构成事件C设计意图：让学生意识到试验的结果均匀分布在几何区域内的任意一点，事件A 的概率只与事件A 构成的区域的面积或体积有关，与所在区域的位置、形状无关.让学生明确具有无限性基本事件集合,二维时用面积度量,三维时用体积度量.2、建构概念（1）定义如果每个事件发生的概率只与构成该区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
3.3.1几何概型
3.3.1几何概型个性笔记【使用说明】独立完成导学案所设计的问题，并在不会或有疑问的地方用红笔标出，规范书写.课上小组合作探究，并及时用红笔纠错，补充.【学习目标】1. 通过对具体问题的分析理解古典概型的意义；2. 通过具体问题和已有经验感受几何概型的意义；3. 会用几何概型公式计算一些简单事件的概率。
【学习过程】（一）、预习学案1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2．几何概型的特点：_____________、____________________.3.几何概型的概率公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式：P（A）=4.古典概型与几何概型的比较⎧⎪⎨⎪⎩相同点不同点（二）、预习检测1.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）A．B．C．D．2.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定3.在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（）A．B．C．D．4. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）A．B．C．D．5．在长为10 的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 与49 之间的概率为（）A．B．C．D．6.若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（）A．B．C．D．（三）课堂学案1. 如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2. 现有的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）A．B．C．D．3.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是（）A．0.62B．0.38 C．0.02 D．0.684．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）A．B．C．D．5.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（）A．B．C．D．6.飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？（四）达标检测1. 在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5/6的概率是_____________.2. 已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 _________________ ．3.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）A．B．C．D．4.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．5.如图，，，，在线段上任取一点，试求：(1)为钝角三角形的概率；(2)为锐角三角形的概率．。
高中数学3.3.1几何概型课件新人教A版必修3
与长度有关的几何概型
[例 1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为 ________．
(2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时 刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1,1]， 而区间[－1,1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取 一个数 x，|x|≤1 的概率 P＝23.
数的概率；
③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2
的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中
心不超过1 cm的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
率为
()
A.π4
B．1－π4
π C.8
D．1－π8
2．在平面直角坐标系 xOy 中，设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成 的区域，向 M 中随机投一点，则所投的点落入 E 中的概率是 ________．
解析：如图，区域 M 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内 部(含边界)，区域 E 表示单位圆及其内部， 因此 P＝π4××142＝1π6.
将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，
则区域M的面积S＝12×8×8＝32， 区域N的面积S′＝12×6×2＝6， 所以点P落入区域N的概率为P＝362＝136.
答案：D
[随堂即时演练]
1．下列概率模型中，几何概型的个数为
()
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
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则AMFra bibliotek于AC的概率为
2 2
M
C
A
3.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
解 ： 记 “ 这 杯 水 含 有个 细 菌 ” 这 为事件 . A
取出水的体积 P( A) 所有水的体积 0.1 ＝ 1 1 ＝ . 10
4、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
问题2取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生
有限个
几何概型
无限个
等可能
等可能
每个基本事件的 发生的概率
概率的计算
P(A)=
1/n
/
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
的概率为
1 6
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。 分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
31 2 P ( A) 5 5 2 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 5 为
P 1
1
3 P2 8
5.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
例3. 送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家,你 父亲离开家的时间在7:00-8:00之间,问你父亲离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 解 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲 离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区 域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根 据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸(y>x),即时间A发生,所以
基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限 多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。 分析：点M随机地落在线段AB上，故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 解： 在AB上截取AC’=AC，于是 B P（AM＜AC）=P（AM＜AC’） C’
AC' AC 2 = = = AB AB 2
3.3.1几何概型
前面我们学习了古典概型的特点以及概率计算公式和随机数模 拟古典概型试验 古典概型的两个基本特点: （1）每个基本事件出现的可能性相等; （2）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
对于有限的基本事件,我们了可以通过试验方法计算 频率得到概率的近似估计概率,对于满足古典概型的 概率问题也可以通过古典概型的概率计算公式来计 算概率
y
1 1 1 7 P( A) 1 = . 2 2 2 8
Y>x
x
例4.两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者等 候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。 解. 以 7 点为坐标原点，
60
y S A
20
小时为单位。x，y 分别表示 两人到达的时间，( x，y ) 构成边长为 60的正方形S，
7:00
7:30
8:00
小结 1.几何概型的特点. 2.古典概型与几何概型的区别： 1）两种模型的基本事件发生的可能性都相 等； 2）古典概型要求基本事件是有限个，而几 何概型则要求基本事件有无限多个。 3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
P( A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例1 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型， 还是几何概型。 （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； （2）地铁列车每3 分钟一班，在车站停1分钟. 求乘客到达站台立即上车的概率 ． （3）奥运会射击比赛中箭靶的直径为122cm， 而靶心的直径只有12.2cm，运动员在70米外 射箭，假设每箭都能射中靶面任意一点，求射中 靶心的概率为多少？ （4）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计 硬币正面朝上的概率。
x
20 60
显然这是一个几何概率问题。 o
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
A的面积 602 40 40 5 P( A) = = . 2 S的面积 60 9
思考:“必然事件的概率为1,但概率为1的事件 不一定是必然事件。”这种说法对吗？为什么?
对,在几何概型中，如果随机事件所在区域是一个单点，由于 单点的长度、面积、体积为0，则它出现的概率为0，但它不 是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除 一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件 例如某人7：00～8：00上班，求它 刚好不在7：30上班的概率，很明 显是一个几何概型，其概率为1， 但他7：30上班的确有可能，这就 不是必然事件了
例2、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,
想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分 钟}.我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60] 时间段内,因此由几何概型的求 概率的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”
60 50 1 P( A) , 60 6
2 2
M
C
A
3.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
解 ： 记 “ 这 杯 水 含 有个 细 菌 ” 这 为事件 . A
取出水的体积 P( A) 所有水的体积 0.1 ＝ 1 1 ＝ . 10
4、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
问题2取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生
有限个
几何概型
无限个
等可能
等可能
每个基本事件的 发生的概率
概率的计算
P(A)=
1/n
/
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
的概率为
1 6
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。 分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
31 2 P ( A) 5 5 2 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 5 为
P 1
1
3 P2 8
5.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
例3. 送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家,你 父亲离开家的时间在7:00-8:00之间,问你父亲离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 解 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲 离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区 域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根 据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸(y>x),即时间A发生,所以
基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限 多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。 分析：点M随机地落在线段AB上，故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 解： 在AB上截取AC’=AC，于是 B P（AM＜AC）=P（AM＜AC’） C’
AC' AC 2 = = = AB AB 2
3.3.1几何概型
前面我们学习了古典概型的特点以及概率计算公式和随机数模 拟古典概型试验 古典概型的两个基本特点: （1）每个基本事件出现的可能性相等; （2）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
对于有限的基本事件,我们了可以通过试验方法计算 频率得到概率的近似估计概率,对于满足古典概型的 概率问题也可以通过古典概型的概率计算公式来计 算概率
y
1 1 1 7 P( A) 1 = . 2 2 2 8
Y>x
x
例4.两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者等 候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。 解. 以 7 点为坐标原点，
60
y S A
20
小时为单位。x，y 分别表示 两人到达的时间，( x，y ) 构成边长为 60的正方形S，
7:00
7:30
8:00
小结 1.几何概型的特点. 2.古典概型与几何概型的区别： 1）两种模型的基本事件发生的可能性都相 等； 2）古典概型要求基本事件是有限个，而几 何概型则要求基本事件有无限多个。 3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
P( A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例1 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型， 还是几何概型。 （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； （2）地铁列车每3 分钟一班，在车站停1分钟. 求乘客到达站台立即上车的概率 ． （3）奥运会射击比赛中箭靶的直径为122cm， 而靶心的直径只有12.2cm，运动员在70米外 射箭，假设每箭都能射中靶面任意一点，求射中 靶心的概率为多少？ （4）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计 硬币正面朝上的概率。
x
20 60
显然这是一个几何概率问题。 o
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
A的面积 602 40 40 5 P( A) = = . 2 S的面积 60 9
思考:“必然事件的概率为1,但概率为1的事件 不一定是必然事件。”这种说法对吗？为什么?
对,在几何概型中，如果随机事件所在区域是一个单点，由于 单点的长度、面积、体积为0，则它出现的概率为0，但它不 是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除 一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件 例如某人7：00～8：00上班，求它 刚好不在7：30上班的概率，很明 显是一个几何概型，其概率为1， 但他7：30上班的确有可能，这就 不是必然事件了
例2、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,
想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分 钟}.我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60] 时间段内,因此由几何概型的求 概率的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”
60 50 1 P( A) , 60 6