基于能量的倒立摆系统摆起控制的研究

倒立摆系统控制方法的研究的开题报告一、选题背景倒立摆系统作为一种重要的非线性系统，其具有复杂的动态特性，包含了多种不同的振动模式，其中包括摆臂旋转、摆杆摆动等。

在实际应用中，倒立摆系统被广泛应用于机器人控制、无人机飞行稳定性控制以及动态控制系统等领域。

倒立摆系统具有高度的不确定性和非线性性，因此如何设计有效的控制策略，使其稳定地控制成为了研究人员的热点问题。

二、研究目标本研究旨在探究倒立摆系统的控制方法，以实现系统的稳定控制并提高其动态性能。

三、研究内容1. 倒立摆系统的建模及数学描述2. 常用的倒立摆控制方法：包括经典PID控制、模糊控制、神经网络控制、自适应控制等3. 基于模型预测控制算法的倒立摆控制方法研究4. 倒立摆控制算法的性能评估四、研究难点和挑战倒立摆系统具有非线性、时变性强、不确定性大的特点，在应用中存在稳定性差、控制精度低、鲁棒性不足的问题。

因此，在设计控制策略时需要解决这些难点和挑战。

五、研究方法本研究将采用理论分析和实验验证相结合的方法，建立数学模型，并针对不同的倒立摆控制方法进行对比分析，评估其性能及优缺点。

六、研究意义本研究的意义在于：1. 为倒立摆系统的控制提供了新的思路与方法，有助于提高系统的稳定性和控制精度。

2. 对于其他非线性系统控制算法的研究和应用提供了借鉴和参考。

3. 促进了控制理论及其在实际应用中的发展。

七、预期成果1. 完成倒立摆系统的建模及数学描述。

2. 实现常用的控制算法，并对其稳定性和性能进行评估。

3. 基于模型预测控制算法，实现倒立摆系统的控制，提高其稳定性和控制精度。

4. 优化控制算法，提高系统的鲁棒性和动态性能。

八、研究计划本研究计划于2021年12月开始，预计2022年12月完成。

计划分为以下几个阶段：1. 研究倒立摆系统的基本原理和常用控制方法，完成控制算法的设计和建模，预计时间：3个月。

2. 基于模型预测控制算法，实现倒立摆系统的控制，进行实验验证，评估其性能及优缺点，预计时间：6个月。

摘要倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。

通过它能有效地反映控制过程中诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等多种关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。

因此，对倒立摆系统的稳定性研究在理论上和方法上具有深远的意义。

对倒立摆的研究可以归结对非线性、多变量、不稳定系统的研究。

在应用上，倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人等领域，在自动化领域中具有重要的价值。

另外，由于此装置成本低廉，结构简单，便于用模拟、数字等不同方式控制，在控制理论教学和科研中也有很多应用。

对其的稳定控制是控制界一个极具挑战性的难题。

本文首先叙述了对倒立摆系统稳定性研究的意义，综述了倒立摆的研究现状，并介绍了当前已有的稳定倒立摆的各种控制方法。

本文建立了一级、二级倒立摆的数学模型，分析了系统的能控性和能观测性，采用经典控制理论和现代控制理论对单级倒立摆的控制进行仿真研究。

关键词：倒立摆；数学模型；仿真AbstractInverted pendulum is a typical lmodel of multi-variable,nonlinear,essentially unsteady system.During the control process,pendulum can effectively reflect many pivotal problems such as equanimity,robust,follow-up and track.Therefore,it is a perfect model used to testing various control theories.and researching stability of inverted Pendulum system has the profound meaning in theory and methodology.The research on inverted pendulum can be diverted to the research on nonlinear,multi-variable and unsteady system.And in application many equipments such as aviation,robots cannot do without it.The inverted pendulum plant is in common use in control theory teaching and research as it is also so cheap and easy to get.So it is amusing valuable for a senior student to do research on this subject.The stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for the researchers in the controlling field because of the difficulty of the problem.In this dissertation，first of all，analyze the meaning of researching the inverted pendulum system,give a summary on the research actuality of inverted pendulum,and introduce many control ways on making inverted pendulum system steady.In this paper,we establish mathematical models of single,double inverted pendulum system,and analyze the controllability and observability of these models.We do research on the stabilization control of a single inverted pendulum system by means of classical control theory and modern control theory.Key words：Inverted Pendulum; Mathematical models;Simulation目录摘要 (I)Abstract (II)1 绪论 (1)1.1课题研究的背景和意义 (1)1.1.1倒立摆系统研究的工程背景 (1)1.1.2倒立摆系统研究的意义 (2)1.2国内外研究现状 (2)1.2.1稳定问题的研究 (2)1.2.2起摆问题的研究 (6)1.2.3倒立摆控制存在的主要问题 (6)1.3本论文的主要工作 (7)2倒立摆系统的建模与分析 (9)2.1倒立摆系统的建模 (10)2.1.1直线一级倒立摆的数学模型 (10)2.1.2直线二级倒立摆的物理模型 (18)2.2倒立摆系统的定性分析 (22)2.2.1一级倒立摆系统模型分析 (22)2.2.2二级倒立摆系统模型分析 (23)2.3本章小结 (23)3直线一级倒立摆系统的控制 (25)3.1MATLAB控制系统工具箱简介 (25)3.2基于根轨迹校正的直线一级倒立摆控制 (26)3.2.1系统根轨迹分析 (26)3.2.2根轨迹校正及控制 (27)3.3直线一级倒立摆PID控制 (33)3.4直线一级倒立摆频率响应分析与校正 (36)3.5基于状态空间综合法的直线一级倒立摆控制 (40)3.5.1反馈控制系统设计 (40)3.6本章小结 (47)4总结与展望 (48)参考文献 (49)致谢 (50)附录A：英文文献 (51)附录B：中文翻译 (65)附录C：程序 (72)1 绪论1.1课题研究的背景和意义1.1.1倒立摆系统研究的工程背景在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。

固高科技《倒立摆与自动控制原理实验》《倒立摆与自动控制原理实验》是一个固高科技开展的实验项目，旨在培养学生对自动控制原理的理解和应用能力。

该实验通过搭建倒立摆的物理模型，利用自动控制原理来实现倒立摆的平衡控制。

以下是对该实验项目的介绍，包括实验目的、原理以及实验步骤。

实验目的：1.理解自动控制原理的基本概念和应用。

2.掌握使用固高科技控制系统进行实验的方法。

3.了解倒立摆的特性和控制方法。

4.通过实验，提高学生的动手实践能力和创新思维。

实验原理：倒立摆是一个经典的自动控制系统，由一个摆杆和一个旋转关节组成。

摆杆可以沿着旋转关节旋转，目标是使摆杆保持直立状态。

倒立摆系统可以看作是一个负反馈控制系统，输入为倒立摆的角度和角速度，输出为控制摆杆旋转的力矩。

通过调节输入和输出之间的关系，可以实现倒立摆的平衡控制。

实验步骤：1.准备实验所需的材料和仪器，包括固高科技控制系统、倒立摆模型、电源等。

2.搭建倒立摆的物理模型，将摆杆固定在旋转关节上，并与驱动电机相连。

3.将摆杆的角度和角速度传感器与固高科技控制系统相连。

4.将固高科技控制系统通过USB接口连接到计算机上，并打开控制系统控制软件。

5.运行控制软件，配置摆杆的初始角度和目标角度，并设置控制参数。

6.开始实验，观察摆杆的运动状态，尝试调节控制参数以实现倒立摆的平衡控制。

7.记录实验结果，分析控制参数对倒立摆平衡控制的影响。

通过以上步骤，可以实现对倒立摆的平衡控制。

学生通过实际操作和观察，加深对自动控制原理的理解和应用。

此外，他们还可以探索倒立摆系统的多种控制方法和策略，提高自己的创新能力。

总结：《倒立摆与自动控制原理实验》是一个很有意义的实验项目，旨在培养学生对自动控制原理的理解和应用能力。

通过实际操作和观察，学生可以深入了解倒立摆的特性和控制方法，并通过调节控制参数实现倒立摆的平衡控制。

通过这个实验，学生不仅可以提高动手实践能力，还可以培养创新思维，为将来的研究和工作打下坚实的基础。

倒立摆控制算法的研究与优化第一章：引言倒立摆是一种经典的控制理论案例，它是一个由一个倒立的杆和底座组成的系统。

通过应用适当的控制算法，倒立摆可以稳定在立直的位置上。

倒立摆的研究对于理解和应用控制算法有着重要的作用。

本文将对倒立摆控制算法的研究和优化进行探讨。

第二章：倒立摆控制算法的基本原理倒立摆控制算法的基本原理是通过对摆杆的力矩进行控制，使其保持在立直的位置上。

常用的控制算法包括PID控制、模糊控制和神经网络控制等。

PID控制是一种常见且简单的控制算法，通过对比实际位置和期望位置的偏差来控制力矩的大小。

模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制算法，通过设置一系列的模糊规则来控制力矩。

神经网络控制则通过训练神经网络来得到最优的控制策略。

第三章：倒立摆控制算法的研究进展在过去的几十年中，倒立摆控制算法得到了广泛的研究。

研究者们不断提出新的控制算法，并对已有的算法进行改进和优化。

例如，有学者通过将PID控制与模糊控制相结合，提出了模糊PID控制算法，使控制效果更加稳定和精确。

另外，研究者们还通过使用进化算法对控制算法进行优化，提高了控制的性能。

此外，一些新兴的控制算法如深度强化学习等也被应用于倒立摆控制中。

第四章：倒立摆控制算法的优化方法为了提高倒立摆控制算法的性能，研究者们提出了一系列的优化方法。

首先，一些参数整定技巧被应用到控制算法中，例如Ziegler-Nichols方法和系统辨识方法，可以提高控制算法的稳定性和鲁棒性。

其次，优化算法如遗传算法和粒子群算法被用于优化控制算法的参数，实现更好的控制效果。

另外，研究者们还将深度学习方法引入倒立摆控制中，通过训练神经网络来得到更优的控制策略。

这些优化方法使得倒立摆控制算法在实际应用中得到了更好的效果。

第五章：倒立摆控制算法的应用与展望倒立摆控制算法在现实世界中有着广泛的应用。

例如，它可以应用在机器人控制、航天器操纵和工业自动化等领域。

随着科技的不断发展，倒立摆控制算法也将不断演化和完善。

倒立摆控制系统研究【关键词】 状态空间、可控可观、状态反馈、降维观测器、Simulink 非线性系统仿真一、研究背景基于自动控制原理课程设计《倒立摆控制系统研究》以及3号楼实验室具有硬件实验平台，我们在已知系统的非线性模型、简化线性模型的条件下对系统进行设计控制，有利于我们将控制理论真正地应用到实际中去解决问题。

同时也能有利于我们对Matlab 软件具有较好的应用。

二、研究目的1、学会使用Simulink 软件分析复杂的控制系统。

2、学会状态反馈进行控制系统设计。

3、了解状态观测器的实现。

4、加深对现代控制理论的理解。

三、实验平台装有Matalab 的计算机以及打印机 一台 实际倒立摆系统 一套四、倒立摆的数学模型1、实际的非线性模型)(cos 00144.00061.0212001θθθ--+=⋅⋅B A 2121121222)sin(2.1)cos(2.1sin 2.61⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-----=θθθθθθθθθθ其中：⋅⋅---++=11212110]0168.0)cos()sin(00144.0[sin 2979.00236.0θθθθθθθu A 2221212210])sin()[cos(0012.0sin )cos(0734.0⋅⋅---+--=θθθθθθθθθB2、简化的线性模型 状态空间表达式为X AX BU Y CX DU⎧=+⎨=+⎩其中：''1212x θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，12y θθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3444.16254.42122.822122.822760.07062.38751.168751.6510000100A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5125.62184.500B⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00100001C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00D3、系统研究方法 由现代控制理论知识知，原系统的状态空间模型为BU AX X+= ，若系统的状态是完全能控的，则引入状态反馈调节器KX R U -=。

固高科技《倒立摆与自动控制原理实验》《倒立摆与自动控制原理实验》是固高科技中一门重要的实验课程。

倒立摆是一种常见的动力学系统模型，可以应用于机器人控制、姿态稳定控制、飞行器控制等领域。

自动控制原理是掌握电路、机器、仪器等系统控制的基础，对于机械、电子、自动化等专业的学生来说都是必学的课程。

此实验旨在通过实践操作，帮助学生理解倒立摆的原理和自动控制原理，并培养他们的实验操作能力和问题解决能力。

下面将简要介绍实验的目的、原理和步骤。

实验目的：1.理解倒立摆的原理和动力学方程；2.学习掌握自动控制原理；3.掌握实验操作技巧；4.提高问题解决能力和团队合作意识。

实验原理：倒立摆是一个不稳定的系统，需要通过控制来保持平衡。

实验中，用电机驱动倒立摆杆旋转，通过两个位置传感器检测倒立摆杆的角度和角速度，并将这些信号经过控制器进行处理后控制电机。

通过调整电机输出的力矩，使倒立摆保持在垂直位置。

自动控制原理是实现倒立摆控制的基础。

对于这个系统来讲，可以采用经典的PID控制算法。

PID控制器根据当前倒立摆的角度误差、角速度误差和积分误差来计算控制信号，实时调整电机输出的力矩，使倒立摆保持在稳定的位置。

实验步骤：1.搭建倒立摆实验平台：根据实验材料提供的装配手册，按图纸要求完成倒立摆的搭建。

注意调整杆件位置，使倒立摆保持平衡。

2.连接传感器和控制器：将位置传感器和角速度传感器连接到控制器，确保信号传输的可靠性。

3.设置控制参数：在控制器上设置PID控制器的参数，包括比例系数Kp、积分系数Ki和微分系数Kd。

根据实验要求，调整参数值。

4.进行控制实验：启动电机，观察倒立摆的运动情况。

根据实际情况，调整控制器的参数，使倒立摆保持在平衡位置。

5.实验数据处理：记录实验过程中的数据，包括控制器的输出信号、倒立摆的角度和角速度等数据。

通过数据分析，评估控制效果和控制器参数的优化方法。

总结：《倒立摆与自动控制原理实验》是一门理论与实践相结合的课程，通过实验操作，学生能够深入理解倒立摆和自动控制原理，并培养他们的实验操作能力和问题解决能力。

倒立摆系统稳摆控制算法研究的开题报告一、研究背景和意义倒立摆是一种经典的非线性、强耦合的动态系统，具有复杂的非线性动力学行为，因此受到了大量研究人员的关注。

倒立摆广泛应用于机器人控制、自动化控制、电子工程等领域，特别是在反馈控制、机器人控制、运动稳定、姿态控制、非线性控制等领域中发挥着重要的作用。

针对倒立摆系统的稳定控制算法研究是经典非线性控制理论的热点和难点问题，具有很高的理论研究和实际应用价值。

二、研究内容和研究方法本文将对倒立摆系统的稳定控制算法进行研究。

具体包括以下几个方面：1. 倒立摆系统建模：倒立摆系统的建模是研究控制算法的基础，本文将基于力学原理，采用数学建模方法对倒立摆系统进行建模，得到其数学模型。

2. 倒立摆系统控制策略研究：本文将采用研究者近几年发展起来的基于三阶计数的自适应 back-stepping 控制策略，结合非线性观测器进行倒立摆系统的控制。

3. 倒立摆系统控制算法仿真实验：本文将采用MATLAB/Simulink 对倒立摆系统控制算法进行仿真实验，验证所提出算法的控制性能。

三、预期研究成果和意义本文的研究成果和意义主要体现在以下几个方面：1. 提出基于三阶计数的自适应 back-stepping 控制策略，具有普适性和实用性。

2. 实现了对倒立摆系统的控制，控制效果良好，验证了所提出算法的控制性能。

3. 为进一步研究非线性控制提供了一个研究方向，并对后续研究倒立摆控制问题具有较大的参考价值。

四、研究计划和进度安排根据以上研究内容，本文的研究计划和进度安排如下：第一阶段（1-2 个月）：查阅相关文献，深入了解倒立摆系统的建模方法和控制策略。

第二阶段（2-3 个月）：对倒立摆系统进行建模，并提出基于三阶计数的自适应 back-stepping 控制策略。

第三阶段（3-4 个月）：采用 MATLAB/Simulink 对所提出算法进行仿真实验，并进行控制性能评估。

第四阶段（1-2 个月）：总结研究成果，撰写毕业论文。

基于深度学习的倒立摆控制算法研究摘要：深度学习在各个领域得到了广泛的应用，特别是在控制领域，其算法可以应用于各种不稳定系统的控制。

本文通过对深度学习算法的研究，实现了基于深度学习的倒立摆控制算法。

该算法通过神经网络的训练，能够有效控制倒立摆系统，实现倒立不倒的控制效果，为控制领域提供了新的技术手段。

1.引言倒立摆是指系统在垂直位置的基础上，通过对摆杆的控制，使得摆杆保持直立或者倒立状态的过程。

倒立摆是典型的非线性系统，许多研究者通过控制算法实现了倒立摆的控制。

但是传统的控制算法对于非线性系统控制存在一定的限制。

深度学习在控制领域中得到了广泛的应用，其可以通过神经网络的训练，实现对非线性系统的控制，特别是对于不稳定系统的控制有较好的效果。

本文研究了基于深度学习的倒立摆控制算法，通过神经网络的训练，实现了倒立摆系统的控制。

2.深度学习算法深度学习算法是一种机器学习算法，通过神经网络的训练，实现对非线性系统的控制。

深度学习算法通常采用反向传播算法，通过对神经元的权重调整，实现对非线性系统的模拟和控制。

深度学习算法具有以下优点：（1）具有较强的自适应性，可以对于未知的非线性系统进行建模和控制。

（2）具有良好的泛化能力，可以对于训练数据以外的数据进行有效的控制。

（3）可以处理大量的输入数据，在处理图像、语音和文本等数据领域具有广泛的应用。

3.倒立摆系统倒立摆系统是典型的非线性系统，具有以下特点：（1）系统不稳定，无法通过简单的控制算法进行控制。

（2）系统具有延迟响应特性，已经发生的状态对于后续状态的影响很大。

（3）系统存在噪声干扰，对于控制系统的灵敏度要求较高。

4.基于深度学习的倒立摆控制算法基于深度学习的倒立摆控制算法通过神经网络的训练，实现了对倒立摆系统的控制。

该算法包括以下几个步骤：（1）收集数据：通过传感器对倒立摆系统进行数据采集，得到系统输入和输出数据。

（2）建立模型：使用深度学习算法建立倒立摆系统模型，包括输入层、隐藏层和输出层。

第40卷第2期2023年2月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.40No.2Feb.2023基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制徐德来1,2,平兆武1,2†,张文军1,2,黄云志1,2,葛锁良1,2,卢俊国3(1.合肥工业大学电气与自动化工程学院,安徽合肥230009;2.工业自动化安徽省工程技术研究中心,安徽合肥230009;3.上海交通大学自动化系,上海200240)摘要:二级倒立摆是一个典型的欠驱动非线性系统,其控制问题具有一定的挑战性.为了解决时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题,本文提出了一种基于能量控制与近似输出调节方法的起摆和三阶控制器设计方案.首先,采用能量控制方法将第1级摆杆从下垂位置摆起到倒立位置附近;其次,采用滑模控制方法将第1级摆杆稳定在倒立位置,同时,采用等效小车与能量控制相结合的方法将第2级摆杆摆起到倒立位置附近;最后,采用基于近似输出调节理论的多项式近似方法设计三阶控制器实现二级倒立摆的位置跟踪控制.仿真和实验结果均验证了该控制方案的有效性.关键词:二级倒立摆;起摆;跟踪控制;能量控制;近似输出调节引用格式:徐德来,平兆武,张文军,等.基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制.控制理论与应用,2023,40(2):400–408DOI:10.7641/CTA.2022.11307Swing-up and tracking control of double inverted pendulum based on energy control and approximate output regulationXU De-lai1,2,PING Zhao-wu1,2†,ZHANG Wen-jun1,2,HUANG Yun-zhi1,2,GE Suo-liang1,2,LU Jun-guo3(1.School of Electrical Engineering and Automation,Hefei University of Technology,Hefei Anhui230009,China;2.Anhui Engineering Technology Research Center of Industrial Automation,Hefei Anhui230009,China;3.Department of Automation,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240,China)Abstract:The control problem of double inverted pendulum is challenging since it is a typical underactuated nonlinear system.In this paper,a swing-up and third-order controller design scheme based on energy control and approximate output regulation method is proposed to solve the swing-up and tracking control problem of double inverted pendulum with time-varying reference signal.First,the energy control method is adopted to swing up thefirst pendulum from the downward position to the neighborhood of the upright position.Second,the sliding mode control method is adopted to stabilize the first pendulum at the upright position.Meanwhile,a method combining“equivalent cart”and energy control is adopted to swing up the second pendulum to the neighborhood of the upright position.Third,a polynomial approximation method based on approximate output regulation theory is adopted to design a third-order controller to realize the position tracking control of the double inverted pendulum.Both simulation and experimental results verify the effectiveness of the proposed control scheme.Key words:double inverted pendulum;swing-up;tracking control;energy control;approximate output regulation Citation:XU Delai,PING Zhaowu,ZHANG Wenjun,et al.Swing-up and tracking control of double inverted pendulum based on energy control and approximate output regulation.Control Theory&Applications,2023,40(2):400–4081引言二级倒立摆是一个具有强非线性的复杂欠驱动机械系统,具有一个控制输入和三个自由度,其控制问题具有一定的挑战性.近二十年来,二级倒立摆的研究主要关注于镇定控制问题和起摆控制问题.一方面,各种控制算法已经被应用到二级倒立摆的镇定控制研究中,比如LQR控制[1–2]、神经网络控制[3]、鲁棒自适应模糊控制[4]、模糊滑模控制[5];另一方面,一些文收稿日期:2021−12−30;录用日期:2022−05−27.†通信作者.E-mail:***************.cn;Tel.:+86138****4526.本文责任编委:龙离军.国家自然科学基金项目(61873083,62073217),中央高校基本科研业务费项目(PA2020GDKC0013)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(61873083,62073217)and the Fundamental Research Funds for the Central Univer-sities of China(PA2020GDKC0013).第2期徐德来等:基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制401献研究了二级倒立摆的起摆控制问题[6–10],其中:文献[6–7]将能量控制与滑模控制方法相结合,采用逐个摆起的方式实现了二级倒立摆的起摆控制;文献[8]提出了一种基于变增益LQR方法的控制策略,不仅能实现导轨长度受限情况下二级倒立摆的分阶段自动起摆控制,还具有较强的自适应性和鲁棒性;文献[9]针对起摆问题提出了一种前馈和反馈控制方案,可以确定摆杆从初始位置到倒立位置的起摆轨迹;文献[10]提出了一个自适应模糊切换起摆及滑模控制器来实现二级倒立摆的起摆和位置控制,然而其期望位置只能是常值或者方波信号.因此,如何设计控制器解决时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题具有一定的挑战性.值得注意的是,输出调节理论是处理各类非线性系统轨迹跟踪和干扰抑制问题的有效工具,在过去的几十年里得到了控制界的广泛关注[11–14].目前,输出调节理论的最新研究主要关注于多输入多输出非线性系统[15–16]以及多智能体系统[17–18].除了理论上的发展,输出调节理论还被应用于处理实际系统的各种控制问题,比如:永磁同步电机的位置控制和干扰抑制问题[19],带迟滞的压电执行器轨迹跟踪控制问题[20],以及柔性飞行器的姿态跟踪和干扰抑制问题[21].注意到大多数关于输出调节问题的现有工作都需要假设调节器方程的精确解是可获得的.其中,调节器方程是一组用来表征被控对象稳态行为的偏微分方程,其可解性问题通常是输出调节问题可解的前提条件.然而,对于一些复杂的非线性系统,调节器方程的精确解往往无法获得.为了解决这个问题,文献[12,22]提出了一种有效的多项式近似方法来解决近似输出调节问题,其核心思想是将控制律中使用的调节器方程的精确解替换为相应的近似解.目前该方法已经被成功应用到一级倒立摆[12]、pendubot机器人[23]、球形倒立摆[24]以及二级倒立摆[25]的跟踪控制问题上.特别是文献[25]基于力作为控制输入的数学模型提出了一种基于能量控制和近似输出调节方法的起摆和跟踪控制器用于解决时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题,但其结果仅限于仿真层面.受到文献[6,8,22]的启发,本文进一步研究了时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题.由于二级倒立摆对应的调节器方程的精确解无法获得,本文将二级倒立摆的跟踪控制问题描述为一个近似输出调节问题.需要注意的是,单一的近似输出调节理论难以解决二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题.考虑到多控制器切换方案可以有效的处理强复杂系统的控制问题[26],本文将能量控制和近似输出调节方法相结合,提出了一个起摆和三阶控制器.整体控制过程可分为以下3个阶段:1)采用能量控制方法将第1级摆杆从下垂位置摆起到倒立位置附近[6];2)采用滑模控制方法将第1级摆杆稳定在倒立位置[6],同时,采用等效小车与能量控制相结合的方法将第2级摆杆摆起到倒立位置附近[8].需要说明的是,采用文献[6]和[8]相结合的方法不仅可以缩短第2级摆杆的起摆时间,而且可以简化控制器的设计;3)当两个摆杆都位于倒立位置附近时,采用多项式近似方法设计三阶控制器实现二级倒立摆位置跟踪控制.本文的主要贡献可以总结如下:1)本文提出了一种基于能量控制与近似输出调节方法的起摆和三阶控制器来解决二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题.不同于文献[25],本文基于加速度作为控制输入的数学模型进行起摆和跟踪控制器设计,并首次给出了实验结果,而文献[25]只给出了仿真结果.2)本文考虑的二级倒立摆的期望位置可以是时变的,而不局限于常值或者方波信号.与起摆和线性控制器比较,本文所提出的起摆和三阶控制器具有更好的跟踪性能.本文的结构如下:第2节介绍了k阶输出调节问题;第3节给出了二级倒立摆的数学模型和问题描述;第4节介绍了起摆和三阶控制器的设计过程;第5节对所提控制算法进行了数值仿真和实验验证;最后,第6节根据仿真和实验结果给出了相关结论.2预备知识考虑如下形式的非线性系统:{˙x(t)=F(x(t),u(t),v(t)),x(0)=x0,e(t)=H(x(t),u(t),v(t)),(1)其中x∈R n,u∈R m,e∈R p,v∈R q分别表示系统状态,控制输入,跟踪误差和外部信号.假设外部信号可以由如下的外部系统来产生:˙v(t)=α(v(t)),v(0)=v0,t 0.(2)此外,假设上述所有函数在原点处都是足够光滑的,并且F(0,0,0)=0,H(0,0,0)=0,α(0)=0.考虑如下状态反馈控制律:u(t)=ψ(x(t),v(t)).(3)结合非线性系统(1),外部系统(2)以及状态反馈控制律(3),可以得到如下形式的闭环复合系统:˙x(t)=F c(x(t),v(t))F(x(t),ψ(x(t),v(t)),v(t)),˙v(t)=α(v(t)),e(t)=H c(x(t),v(t))H(x(t),ψ(x(t),v(t)),v(t)).(4)通过上述闭环复合系统(4),输出调节问题可以描述为:设计一个形如(3)的控制器,使得对于所有充分小402控制理论与应用第40卷的x 0和v 0,闭环复合系统(4)的解col (x (t ),v (t ))对于一切t 0存在且有界,且lim t →∞e (t )=0.为了解决这个问题,关键条件是存在两个充分光滑的函数x (v )和u (v )满足如下调节器方程:∂x (v )∂v α(v )=F (x (v ),u (v ),v ),0=H (x (v ),u (v ),v ).(5)然而,对于一些复杂的非线性系统,很难获得其调节器方程的精确解x (v )和u (v ).因此需要借助某种近似方法来解决输出调节问题.特别地,文献[12,22]中定义了如下k 阶输出调节问题:设计一个形如式(3)的控制律,使得闭环复合系统(4)具有以下性质:1)矩阵∂F c∂x(0,0)的所有特征值都具有负实部;2)对于充分小的初始状态x 0和v 0,闭环复合系统(4)的解col (x (t ),v (t ))满足lim t →∞(H c (x (t ),v (t ))−o k (v (t )))=0,其中o k (v )是关于v 的光滑函数,无论其值域空间的维数如何,其所有小于或者等于k 阶的偏导数在原点处的值为0.为了保证k 阶输出调节问题的可解性,需要做出如下标准假设.假设1外部系统(2)的零平衡点是Lyapunov 稳定的,并且∂α∂v(0)的所有特征值都位于虚轴上.假设2(∂F ∂x (0,0,0),∂F ∂u(0,0,0))是可镇定的.假设3对所有λ∈Λi ,rank∂F ∂x (0,0,0)−λI ∂F∂u (0,0,0)∂H ∂x (0,0,0)∂H∂u(0,0,0)=n +p,(6)其中I 表示单位矩阵,并且Λi ={λ|λ=i 1λ1+···+i q λq ,i 1+···+i q =i,i 1,···,i q =0,1,···,i },λ1,···,λq 是矩阵∂α∂v(0)的特征值.根据文献[12],k 阶输出调节问题的主要结论可以总结如下.定理1在满足假设1–3的条件下,闭环复合系统(4)的k 阶输出调节问题可以由如下形式的k 阶控制器来解决:u =u (k )(v )+K (x −x (k )(v )),(7)其中K 使得矩阵∂F ∂x (0,0,0)+∂F∂u(0,0,0)K 的所有特征值都具有负实部.x (k )(v ),u (k )(v )分别代表x (v )和u (v )的k 阶近似值,形式为x (k )(v )=k ∑i =1X i v [i ],u (k )(v )=k ∑i =1U i v [i ],(8)其中v [i ]=[v i1v i −11v 2···v i −11v q v i −21v 22v i −21v 2v 3···v i −21v 2v q ···v i q ]T,X i 和U i 是系数矩阵.3问题描述如图1所示,二级倒立摆主要由小车,摆杆1(链接在小车上)和摆杆2(链接在摆杆1的另一端)组成.其中,r 和m c 分别表示小车的位置与质量,u 表示作用在小车上的控制输入,θ1∈(−π,π)表示摆杆1与铅垂线方向的夹角,θ2∈(−π,π)表示摆杆2与铅垂线方向的夹角.当两个摆杆都竖直向上时,θ1=θ2=0.m i 为摆杆i 的质量,L i 为摆杆i 的长度,l i 表示摆杆i 由底端到质心的距离,m 3为链接机构(包括两个摆杆之间的链接装置和编码器)的质量.二级倒立摆的机械参数如表1所示.此外,m c =1.32kg,m 3=0.236kg 以及重力加速度g =9.8m/s 2.图1二级倒立摆示意图Fig.1Diagram of double inverted pendulum表1二级倒立摆的机械参数Table 1Mechanical parameters of double invertedpendulum机械参数(单位)摆杆i =1摆杆i =2质量m i (kg)0.050.13底端到质心的距离l i (m)0.07750.25摆杆长度L i (m)0.1550.5转动惯量J i (kg ·m 2)13m 1l 2113m 2l 22忽略所有摩擦和扰动的影响,基于Lagrange 方程,二级倒立摆的数学模型如下[1]:κ1¨r cos θ1−κ2¨θ1−κ5¨θ2cos(θ1−θ2)−κ5˙θ22sin(θ1−θ2)+κ1g sin θ1=0,κ4¨r cos θ2−κ3¨θ2−κ5¨θ1cos(θ1−θ2)+κ5˙θ21sin(θ1−θ2)+κ4g sin θ2=0,(9)第2期徐德来等:基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制403其中:κ1=m1l1+m2L1+m3L1,κ2=J1+m1l21+m2L21+m3L21,κ3=J2+m2l22,κ4=m2l2,κ5=m2L1l2.选取状态变量:x1=r,x2=˙r,x3=θ1,x4=˙θ1,x5 =θ2,x6=˙θ2,控制输入u=¨r,则系统(9)的状态空间方程为{˙x=f(x)+g(x)u,y=x1,(10)其中: x=x1x2x3x4x5x6,f(x)=x2x4A1∆x6A2∆,g(x)=1B1∆B2∆,A1=−κ25x24sin(x3−x5)cos(x3−x5)−κ3κ5x26sin(x3−x5)+κ1κ3g sin x3−κ4κ5g sin x5cos(x3−x5),B1=κ1κ3cos x3−κ4κ5cos x5cos(x3−x5),A2=κ2κ4g sin x5−κ1κ5g sin x3cos(x3−x5)+κ2 5x26sin(x3−x5)cos(x3−x5)+κ2κ5x24sin(x3−x5),B2=κ2κ4cos x5−κ1κ5cos x3cos(x3−x5),∆=κ2κ3−κ25cos2(x3−x5).与文献[12,23–25]一样,二级倒立摆的期望位置y d(t)=A m sin(ωt)可以由如下的外部系统来产生:˙v(t)=S(v(t)),v(0)=v0,t 0,(11)其中:v=[v1v2],S=[0ω−ω0],v(0)=[A m].外部系统(11)的输出为y d(t)=v1(t),则定义跟踪误差e(t)=x1(t)−v1(t).(12)显然假设1成立.结合系统状态空间方程(10),外部系统(11)以及跟踪误差(12),可以得到如下形式的紧凑系统:˙x(t)=F(x(t),u(t),v(t))f(x(t))+g(x(t))u(t),˙v(t)=S(v(t)),e(t)=H(x(t),u(t),v(t))x1(t)−v1(t).(13)现在,二级倒立摆系统(10)的位置跟踪控制问题已经被描述为系统(13)的k阶输出调节问题.4控制器设计本文采用逐个摆起的方式将两个摆杆从下垂位置摆起到倒立位置附近,起摆控制完成后,采用多项式近似方法设计跟踪控制实现位置跟踪控制.控制过程可分为以下3个阶段.第1阶段这一阶段采用能量控制方法将第1级摆杆(即摆杆1)从下垂位置摆起到倒立位置附近.在设计时,将问题简化为一级倒立摆的起摆控制,采用能量控制方法可设计如下起摆控制器[6]:uθ=−u a1sgn((E1−E10)˙θ1cosθ1),(14)其中能量函数E1=12(J1+m1l21)˙θ21+m1g l1(cosθ1−1),u a1>0,E10 0.实际中,E10是一个设计参数用来补偿未知摩擦对第1级摆杆能量的损耗.此外,为了使第1级摆杆在起摆过程中,小车始终处于导轨的中心,考虑加入反馈控制器u z=−K1[x1x2]T,其中K1>0.那么,通过结合uθ与u z,第1阶段的控制器可设计为[6]u={uθ+u z,sgn uθ=sgn u z或|uθ|>|u z|,uθ,sgn uθ=sgn u z且|uθ| |u z|.(15)第2阶段在第1级摆杆摆起到平衡位置附近后,这一阶段采用滑模控制方法将第1级摆杆稳定在倒立位置,同时,采用等效小车与能量控制相结合的方法将第2级摆杆(即摆杆2)摆起到倒立位置附近.首先,由于仅考虑了第1级摆杆的镇定,可以忽略系统(9)中的θ2.此时,系统(9)退化为如下仅关于θ1的动力学方程:κ2¨θ1−κ1g sinθ1=κ1u1cosθ1,(16)其中u1=¨r.选取新的状态变量z=[z1z2z3z4]T=[r˙rθ1˙θ1]T,则系统(16)在平衡点((θ1,˙θ1)=(0,0))处线性化后的状态空间方程为˙z=Az+Bu1,(17)其中:A=01000000000100κ1gκ2,B=1κ1κ2.对于系统(17),设计如下滑模控制器将第1级摆杆404控制理论与应用第40卷稳定在倒立位置[6]:u 1=−M −1(B T P Az +R sgn σ+Lσ),(18)其中:R >0,L >0,M =B T P B ,σ=B T P z ,P 是如下Riccati 方程的解:P Λ+ΛT P −P BB T P +Q =0,其中Λ=A +n 1I ,n 1>0,Q 是单位矩阵.其次,采用等效小车与能量控制相结合的方法实现第2级摆杆的起摆.在设计时,与第1阶段类似,通过忽略第1级摆杆得到仅关于θ2的动力学,将问题简化为一级倒立摆的起摆控制.起摆控制器设计如下[8]:u 2={u a 2sgn ˙θ2,|θ2|>τ,u a 3sgn ((E 2−E 20)˙θ2cos θ2),|θ2| τ,(19)其中能量函数E 2=12(J 2+m 2l 22)˙θ22+m 2g l 2(cos θ2−1),并且τ,u a 2,u a 3均为正数,E 20 0.实际中,E 20是一个设计参数用来补偿未知摩擦对第2级摆杆能量的损耗.最后,结合u 1与u 2,第2阶段的控制器可设计为u =u 1+u 2.(20)因此,当第1级摆杆摆起到倒立位置附近时,控制器(15)将切换为第2阶段的控制器(20).第3阶段当两个摆杆都位于倒立位置附近时,这一阶段将采用多项式近似方法设计三阶控制器实现二级倒立摆位置跟踪控制.特别地,选取ω=0.4π.首先,需要验证近似输出调节问题的可解性.系统(13)在原点处的雅可比线性化矩阵为∂F ∂x (0,0,0)= 01000000000000010000κ1κ3g ∆10−κ4κ5g ∆1000000100−κ1κ5g ∆10κ2κ4g ∆1,∂H∂x(0,0,0)=[100000],∂F ∂u (0,0,0)= 010κ1κ3−κ4κ5∆10κ2κ4−κ1κ5∆1,∂H∂u(0,0,0)=0,(21)其中∆1=κ2κ3−κ25.根据表1中的数据,容易验证假设2成立.因此存在一个反馈增益K 使得∂F ∂x (0,0,0)+∂F ∂u(0,0,0)K 的所有特征值都具有负实部,这也保证了由式(7)和式(13)所组成的闭环复合系统在平衡点处是Lyapunov 稳定的[12].此外,假设3同样满足.综上所述,该闭环复合系统的近似输出调节问题是可解的.其次,需要获取调节器方程的近似解.与系统(13)相关的调节器方程如下:∂x (v )∂v S v =F (x (v ),u (v ),v ),0=H (x (v ),u (v ),v ),(22)其中:x (v )=[x 1(v )x 2(v )···x 6(v )]T 表示稳态状态,u (v )表示稳态输入.由于调节器方程(22)的复杂性,只能得到它的部分解{x (v )=[v 1ωv 2x 3(v )x 4(v )x 5(v )x 6(v )]T ,u (v )=−ω2v 1,(23)其中ϕ(v )=[x 3(v )x 4(v )x 5(v )x 6(v )]T 满足如下的中心流形方程:∂ϕ(v )∂vS v =φ(ϕ(v ),v ),(24)其中:ϕ=[x 3x 4x 5x 6]T ,φ(ϕ,v )=[x 4φ1(ϕ,v )x 6φ2(ϕ,v )]T ,φ1(ϕ,v )=A 1∆−ω2v 1B 1∆,φ2(ϕ,v )=A 2∆−ω2v 1B 2∆.然而对于中心流形方程(24),无法获得ϕ(v )的精确解.因此,将使用多项式近似方法来获取方程(24)的近似解,经过简单分析得出ϕ(v )=[x 3(v )x 4(v )x 5(v )x 6(v )]T 的三阶近似解可以写成如下形式: x (3)3(v )=a 10v 1+a 30v 31+a 12v 1v 22,x (3)4(v )=ω(a 10v 2+a 12v 32+3a 30v 21v 2−2a 12v 21v 2),x (3)5(v )=b 10v 1+b 30v 31+b 12v 1v 22,x (3)6(v )=ω(b 10v 2+b 12v 32+3b 30v 21v 2−2b 12v 21v 2),(25)其中:a 10=0.15534,a 30=−0.00121,a 12=−0.00019,b 10=0.14924,b 30=−0.00103,b 12=−0.00035.最后,由式(25)可以设计三阶控制器为u =u (3)(v )+K (x −x (3)(v )),(26)其中:u (3)(v )=−ω2v 1,第2期徐德来等:基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制405x(3)(v)=[v1ωv2x(3)3(v)x(3)4(v)x(3)5(v)x(3)6(v)]T.因此,当两个摆杆都位于倒立位置附近时,控制器(20)将切换为另一个三阶控制器(26).注1起摆和三阶控制器的整体控制过程由以上三个阶段组成,每个阶段分别对应控制器(15)(20)(26),它的控制器切换方式如下:{第1阶段−→第2阶段:cosθ1>ε1;第2阶段−→第3阶段:cosθ1>ε2,cosθ2>ε3,其中ε1,ε2,ε3∈(0,1).注2类似于文献[25],本文提出了一种基于能量控制与近似输出调节方法的起摆和三阶控制器来解决时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题.不同之处在于以下两个方面:1)数学模型不同.文献[25]是基于力作为控制输入的数学模型设计控制器,而本文是基于加速度作为控制输入的数学模型设计控制器;2)起摆方式不同.文献[25]通过建立两个摆杆的总能量函数,对二级倒立摆进行起摆控制器设计,而本文分别建立了两个摆杆的能量函数,采用逐个摆起的方式来实现起摆控制.这样不仅可以对由未知摩擦所引起的摆杆能量损耗分别进行补偿,还有助于约束起摆过程中小车的位移.5仿真与实验为了检验本文所提出的控制器设计方案有效性,本文将进行数值仿真和实验验证.在跟踪控制阶段,还给出了一个线性控制器的仿真和实验结果进行比较,形式为u(1)(v)+K(x−x(1)(v)),其中u(1)(v)和x(1)(v)分别表示u(v)和x(v)的一阶近似解.选取参考信号的幅值A m=0.2m.对于三阶控制器和线性控制器,选择K=[−28.2843−26.6879−115.4752−1.5632229.065637.7392].5.1仿真结果选取系统初始状态x0=[00π0.1π0.01]T.在起摆控制阶段,选取控制器参数u a1=3.250,K1= [5.47725.0946],R=2,L=20,n1=1.5,u a2=3.5, u a3=2.5,τ=1.236,E10=E20=0,ε1=ε2=ε3= 0.9.仿真结果如图2–7所示,其中图2和图3分别表示起摆和三阶控制器下的输出响应曲线和摆杆角度曲线,图4和图5分别表示起摆和线性控制器下的输出响应曲线和摆杆角度曲线.由图可知,在t=3.1s左右,只有第1级摆杆摆起到倒立位置附近.此时,控制器(15)将切换为控制器(20).随后,在t=9.8s左右,第2级摆杆也成功摆起到倒立位置附近.此时,控制器(20)将切换为另一个三阶控制器(26)(或线性控制器)以实现二级倒立摆的小车位置跟踪控制.图6表示两种控制器下的跟踪误差曲线,其中起摆和三阶控制器与起摆和线性控制器的最大百分比稳态跟踪误差分别为0.29×10−3%,15.19×10−3%.图7表示两种控制器下的控制输入曲线.仿真结果表明,增加近似解的阶数大幅度提升了跟踪精度,但缺点是增加了计算的复杂度.图2起摆和三阶控制器的输出响应曲线Fig.2Output response under swing-up and third-ordercontroller图3起摆和三阶控制器的摆杆角度曲线Fig.3Angle under swing-up and third-ordercontroller图4起摆和线性控制器的输出响应曲线Fig.4Output response under swing-up and linear controller5.2实验结果二级倒立摆系统的实验装置和工作原理分别如图8和图9所示.该实验平台由固高派动(东莞)智能科技有限公司提供,型号为GLIP2002-II.实验中,通过MATLAB/Simulink环境编写代码,采样时间设置为406控制理论与应用第40卷0.005s,GTS-400-PV-PCI运动控制卡会利用内部算法来实现控制策略.此外,采用MADLN15SF型号的伺服驱动器来驱动交流伺服电机.图5起摆和线性控制器的摆杆角度曲线Fig.5Angle under swing-up and linearcontroller图6跟踪误差曲线Fig.6Trackingerror图7控制输入曲线Fig.7Control input在起摆阶段,为了克服实际中摩擦力等因素对能量的损耗,可以适当的增大起摆控制输入增益u a1−u a3以及两个摆杆的期望能量E10,E20,使得起摆能量具有一定的超调[6,8].控制器具体参数选择为u a1= 3.348,K1=[5.47725.0946],R=2,L=20,n1=1.5,u a2=3.89,u a3=3.92,τ=1.350,E10=0.045,E20= 0.150,ε1=0.996,ε2=0.93,ε3=0.978.图8二级倒立摆实验装置Fig.8Experimental setup of double invertedpendulum图9工作原理框图Fig.9Working principle diagram实验结果如图10–15所示,其中图10和图11分别表示起摆和三阶控制器下的输出响应曲线和摆杆角度曲线,图12和图13分别表示起摆和线性控制器下的输出响应曲线和摆杆角度曲线.由图可知,在t=3.5s 左右,只有第1级摆杆摆起到倒立位置附近.此时,控制器(15)将切换为控制器(20).随后,在t=14.5s左右,第2级摆杆也成功摆起到倒立位置附近.此时,控制器(20)将切换为另一个三阶控制器(26)(或线性控制器)以实现二级倒立摆的小车位置跟踪控制.图10起摆和三阶控制器的输出响应曲线Fig.10Output response under swing-up and third-order controller图14表示两种控制器下的跟踪误差曲线,其中起摆和三阶控制器与起摆和线性控制器的最大百分比第2期徐德来等:基于能量控制与近似输出调节的二级倒立摆起摆和跟踪控制407稳态跟踪误差分别为4.30%,6.71%.图15表示两种控制器下的控制输入曲线.实验结果表明,所提出的起摆和三阶控制器可以实现起摆和跟踪控制目标.此外,在跟踪控制阶段,三阶控制器对小车位置的跟踪误差小于线性控制器.图11起摆和三阶控制器的摆杆角度曲线Fig.11Angle under swing-up and third-ordercontroller图12起摆和线性控制器的输出响应曲线Fig.12Output response under swing-up and linearcontroller图13起摆和线性控制器的摆杆角度曲线Fig.13Angle under swing-up and linear controller6结论针对时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制问题,本文提出了一种基于能量控制与近似输出调节的起摆和三阶控制器,并首次对其进行了实验验证.控制过程可分为以下三个阶段:首先,采用能量控制方法将第1级摆杆从下垂位置摆起到倒立位置附近;其次,采用滑模控制方法将第1级摆杆稳定在倒立位置,同时,采用等效小车与能量控制相结合的方法将第2级摆杆摆起到倒立位置附近;最后,采用基于近似输出调节理论的多项式近似方法设计三阶控制器实现二级倒立摆的位置跟踪控制.仿真和实验结果均表明,该控制器不仅能实现时变参考信号下二级倒立摆的起摆和跟踪控制,而且跟踪误差比起摆和线性控制器小.本研究有助于验证近似输出调节理论在实际实验装置中的有效性.需要注意的是,本文所提控制器要求二级倒立摆的机械参数是已知的.今后,作者将进一步研究更先进的控制算法以实现机械参数未知时二级倒立摆的鲁棒位置跟踪控制.图14跟踪误差曲线Fig.14Trackingerror图15控制输入曲线Fig.15Control input参考文献:[1]CHEN X,YU R,HUANG K,et al.Linear motor driven double in-verted pendulum:a novel mechanical design as a testbed for control algorithms.Simulation Modelling Practice and Theory ,2018,81:31–50.[2]YAREN T,K ˙IZ˙IR S.Power-based modelling and control:experimen-tal results on a cart-pole double inverted pendulum.Turkish Journalof Electrical Engineering and Computer Sciences ,2021,29(3):1736–1750.[3]NEJADFARD A,YAZDANPANAH M J,HASSANZADEH I.Fric-tion compensation of double inverted pendulum on a cart using local-ly linear neuro-fuzzy model.Neural Computing &Application ,2013,22(2):337–347.408控制理论与应用第40卷[4]MOHAN V,RANI A,SINGH V.Robust adaptive fuzzy controllerapplied to double inverted pendulum.Journal of Intelligent&Fuzzy Systems,2017,32(5):3669–3687.[5]TAO C W,TAUR J,CHANG C W,et al.An alternative type reductionapproach based on information combination with interval operations for interval-valued fuzzy sliding controllers.Internation Journal of Intelligent Systems,2017,32(3):291–309.[6]HENMI T,DENG M,INOUE A,et al.Swing-up control of a seri-al double inverted pendulum.Proceedings of the American Control Conference.New York,USA:IEEE,2004:3992–3997.[7]INOUE Akira,DENG Mingcong,HENMI Tomohiro,et al.Swing-up controller design for cart-type double inverted pendulum.Control Theory&Applications,2004,21(5):709–716.(井上昭,邓明聪,逸见知弘,等.小车二级摆摆起控制器设计.控制理论与应用,2004,21(5):709–716.)[8]ZHANG Yongli,LI Hongxing,MIAO Zhihong,et al.Swing-up ofdouble inverted pendulum based on variable gain LQR technique.Systems Engineering–Theory&Practice,2011,31(7):1341–1355.(张永立,李洪兴,苗志宏,等.基于变增益LQR方法的二级倒立摆自动摆起.系统工程理论与实践,2011,31(7):1341–1355.)[9]GRAICHEN K,TREUER M,ZEITZ M.Swing-up of the double pen-dulum on a cart by feedforward and feedback control with experimen-tal validation.Automatica,2007,43(1):63–71.[10]TAO C W,TAUR J,CHANG J H,et al.Adaptive fuzzy switchedswing-up and sliding control for the double pendulum-and-cart sys-tem.IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics–Part B: Cybernetics,2010,40(1):241–252.[11]ISIDORI A,MARCONI L,SERRANI A.Robust Autonomous Guid-ance:An Internal Model-Based Approach.London,UK:Springer-Verlag,2003.[12]HUANG J.Nonlinear Output Regulation:Theory and Applications.Philadelphia,PA:SIAM,2004.[13]CHEN Z,HUANG J.Stabilization and Regulation of NonlinearSystems:A Robust and Adaptive Approach.Cham,Switzerland: Springer-Verlag,2015.[14]HUANG Jie.An overview on the output regulation problem.Journalof System Science and Mathematical Sciences,2011,31(9):1055–1081.(黄捷.输出调节问题综述.系统科学与数学,2011,31(9):1055–1081.)[15]BIN M,MARCONI L.Output regulation by postprocessing internalmodels for a class of multivariable nonlinear systems.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2020,30(3):1115–1140.[16]PING Z,LI Y,HUANG Y,et al.Global robust output regulation of aclass of MIMO nonlinear systems by nonlinear internal model con-trol.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2021, 31(9):4037–4051.[17]LIU W,HUANG J.Cooperative adaptive output regulation for lowertriangular nonlinear multi-agent systems subject to jointly connect-ed switching networks.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,2020,31(5):1724–1734.[18]ZHANG Y,SU Y,WANG X.Distributed adaptive output feedbackcontrol for multiagent systems with unknown dynamics.IEEE Trans-actions on Automatic Control,2021,66(3):1367–1374.[19]PING Z,WANG T,HUANG Y,et al.Internal model control of PMSMposition servo system:Theory and experimental results.IEEE Trans-actions on Industrial Informatics,2020,16(4):2202–2211.[20]CHEN Z,ZHENG J,ZHANG H,et al.Tracking of piezoelectric actu-ators with hysteresis:A nonlinear robust output regulation approach.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2017,27(15): 2610–2626.[21]ZHONG C,CHEN Z,GUO Y.Attitude control forflexible space-craft with disturbance rejection.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2017,53(1):101–110.[22]HUANG J,RUGH W J.An approximation method for the nonlinearservomechanism problem.IEEE Transactions on Automatic Control, 1992,37(9):1395–1398.[23]TARN T J,SANPOSH P,CHENG D,et al.Output regulation fornonlinear systems:Some recent theoretical and experimental results.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2005,13(4):605–610.[24]POSTELNIK L,LIU G,STOL K,et al.Approximate output regula-tion for a spherical inverted pendulum.Proceedings of the American Control Conference.New York,USA:IEEE,2011:539–544.[25]ZHOU M,PING Z,HUANG Y,et al.An output regulation approachfor swing-up and tracking control of double pendulum on a cart.Pro-ceedings of the Chinese Control Conference.New York,USA:IEEE, 2020:404–409.[26]SUN Z,GE S S.Switched Linear Systems:Control and Design.Lon-don,UK:Springer-Verlag,2005.作者简介:徐德来硕士研究生,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、机电系统控制,E-mail:**************;平兆武教授,博士生导师,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、机电系统控制、神经网络控制、切换系统的控制与估计, E-mail:***************.cn;张文军硕士研究生,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、机电系统控制,E-mail:*****************;黄云志教授,博士生导师,目前研究方向为信号处理、电磁无损评估、智能仪器,E-mail:*************.cn;葛锁良副教授,硕士生导师,目前研究方向为现代控制理论及应用,非线性系统的跟踪与解耦控制,E-mail:**************;卢俊国教授,博士生导师,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、分数阶控制系统、机器人控制和多机器人协调、复杂网络、大数据、3-D数字化,E-mail:*************.cn.。