专题四参数方程
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参数方程知识点整理参数方程是数学中一种常用的表示曲线形状的方法。
参数方程的形式为x=f(t),y=g(t),其中x和y分别是曲线上的点的横纵坐标,t为参数。
参数方程通常用于描述一些复杂的曲线,如圆、椭圆、双曲线等,它可以方便地描述出曲线上每一个点的位置。
下面结合一些具体的例子来整理参数方程的相关知识点。
1.直线的参数方程:当直线的斜率为k,截距为b时,可以通过参数方程表示为:x=ty=kt+b其中t为参数,t可以取任意实数。
2.圆的参数方程:一个圆可以通过参数方程表示为:x=R*cos(t)y=R*sin(t)其中R为圆的半径,t为参数,t的取值范围可以是[0,2π]。
3.椭圆的参数方程:一个椭圆可以通过参数方程表示为:x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴长度和短轴长度,t为参数,t的取值范围可以是[0,2π]。
4.双曲线的参数方程:一个双曲线可以通过参数方程表示为:x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别是双曲线的参数,cosh(t)和sinh(t)分别表示双曲函数的余弦和正弦函数。
5.抛物线的参数方程:一个抛物线可以通过参数方程表示为:x=ty=at^2+bt+c其中a、b和c为抛物线的参数,t为参数,t可以取任意实数。
6.参数方程与命题方程的转化:有时候我们已经知道了一条曲线的命题方程,想要求出其参数方程。
这时可以通过代入一些特定的参数值,利用参数方程的定义解出x和y的值,从而得到参数方程。
例如,已知一条直线的命题方程为y=2x+3,我们可以任选一个参数值t,假设t=1,那么根据直线的参数方程可以得到:x=1y=2*1+3=5所以参数方程可以表示为:x=ty=2t+3参数方程在几何图形的研究中有着广泛的应用。
通过参数方程,我们可以方便地描述出复杂曲线的形状和特性,比如曲线的弧长、曲率、切线等。
参数方程能够将复杂的问题转化为简单的曲线方程的解析表达式,进而进行更深入的研究和分析。
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数,通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为:x=f(t)y=g(t)其中,x和y是平面上的坐标,t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系,可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线,例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地,参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线,常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如,圆的参数方程为:x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中,r为圆的半径,t为参数,取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线,参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如,螺旋线的参数方程可以表示为:x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中,r为螺旋线的半径,k为螺旋线的高度,t为参数,取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程,可以求解曲线的方程和轨迹。
例如,通过给定曲线上的两个点,可以得到曲线的方程,然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外,通过变换参数的取值范围,可以得到不同参数方程的曲线,从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程,可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算,即:L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中,L为曲线的长度,dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算,即:k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中,k为曲线的曲率,dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
参数方程知识点总结参数方程是解决数学问题的一种有效方法,它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
参数方程的基本概念和相关知识点对于学习者来说是非常重要的,下面将对参数方程的相关知识点进行总结和介绍。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是用参数表示的一组方程,通常用来描述曲线、曲面等几何图形。
在平面直角坐标系中,参数方程通常表示为x=f(t),y=g(t),其中t为参数,x和y分别是t的函数。
参数方程的引入可以将曲线或曲面的方程化简为一组关于参数的函数,从而更方便地进行分析和计算。
二、参数方程与常规方程的关系。
参数方程与常规方程之间存在着一定的对应关系。
对于平面曲线来说,常规方程通常是y=f(x)的形式,而参数方程则是x=g(t),y=h(t)的形式。
通过参数方程可以将常规方程中的x和y表示为参数t的函数,从而更方便地进行曲线的研究和分析。
三、参数方程的应用。
参数方程在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在几何学中,参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性;在物理学中,参数方程常用来描述粒子在空间中的运动轨迹;在工程学中,参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性,以及工程问题的求解等。
四、参数方程的性质。
参数方程具有一些特殊的性质,例如参数方程可以描述一些常规方程无法描述的曲线或曲面,参数方程可以简化一些复杂的数学问题,参数方程可以更直观地描述一些几何图形的特性等。
参数方程的这些性质使其在实际问题中具有重要的应用价值。
五、参数方程的求解方法。
对于给定的曲线或曲面,可以通过参数方程来描述其形状和特性。
参数方程的求解方法通常包括参数的选取、参数方程的建立、参数方程的化简等步骤。
通过适当选择参数,并建立相应的参数方程,可以更方便地对曲线或曲面进行分析和计算。
六、参数方程的实际应用举例。
参数方程在实际问题中有着丰富的应用,例如在物理学中,可以利用参数方程描述粒子在空间中的运动轨迹;在工程学中,可以利用参数方程描述曲线、曲面的形状和特性,以及工程问题的求解等。
高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点,是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。
参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程,它与直角坐标系有着密切的联系,可以方便地表达出不同形状和特征的图形。
在这篇文章中,我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。
1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程,它通常以参数的形式给出,通过改变参数的取值范围,可以得到不同位置的点,从而形成一条曲线或者曲面。
在解析几何中,参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。
2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示,这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。
一般而言,一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b,y=ct+d,其中a、b、c、d 是常数。
通过给定不同的参数值,我们可以得到直线上的不同点,从而构成整条直线。
3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标,从而实现对曲线形状的准确描述。
例如,给定一个参数方程 x=f(t),y=g(t),通过给定不同的参数 t 值,我们可以获得曲线上的不同点的坐标。
参数方程不仅可以表达直线,还可以表达各种曲线,如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
4. 参数方程的转换和应用有时候,我们需要将参数方程转换为直角坐标方程,或者将直角坐标方程转换为参数方程。
对于参数方程转换为直角坐标方程,我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示,然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。
而对于直角坐标方程转换为参数方程,我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化,从而得到参数方程。
5. 参数方程与面积的计算通过参数方程,我们还可以计算曲线所围成的面积。
对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q,我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积,并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小,所得到的近似值也会越来越接近实际面积。
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程,一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下,参数方程是形如x=f(t),y=g(t),z=h(t)的方程,其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标,t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式:参数方程有两种常用的表示形式,一种是向量形式,另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为:r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量,t是参数,x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为:x=f(t),y=g(t),z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标,t是参数,f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形:参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形,参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形,可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点,然后将这些点用线段或者曲线段连接起来,就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用:参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用,比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题,比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似,只是要注意求导和求积分的对象是参数t,而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成,这些参数方程之间存在一定的关系,我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换,通过参数曲线的方程,我们可以求解其在直角坐标系中的方程,通过直角坐标系中的方程,我们也可以求解其在参数方程中的方程。
高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2+b 2=1,②即为标准式,此时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2≠1,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +|t |.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数)若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|221t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b),半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ,从O 引一条射线Ox ,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点,射线Ox 叫 做极轴.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示射线Ox 到OM 的角度 ,那么ρ叫做M 点的极径,θ叫做M 点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解: 将圆的方程化为参数方程:⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x (θ为参数) 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ,1+5sin θ),它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d 最长,这时,点A 坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d 最短,这时,点B 坐标为(-2,2).(二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是( ) A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解: ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x ( )A.(-3,5),(-3,-3)B.(3,3),(3,-5)C.(1,1),(-7,1)D.(7,-1),(-1,-1)解:化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2=16,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y xA.双曲线的一支,这支过点(1,21) B.抛物线的一部分,这部分过(1,21) C.双曲线的一支,这支过(-1,21)D.抛物线的一部分,这部分过(-1,21)解:由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x >0) 即y=21x 2(x >0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.(31,32)C.(21,21) D.(1,0)解:y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入,得y=21 ∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解:普通方程x 2-y 中的x ∈R ,y ≥0,A.中x=|t |≥0,B.中x=cost ∈〔-1,1〕,故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==,即x 2y=1,故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解:将ρ=22y x +,sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ,得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解:原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ,∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ,表示圆.应选D.例9 在极坐标系中,与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解:如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,CO ⊥OX,OA 为直径,|OA |=4,l 和圆相切, l 交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点,则有 cos θ=ρ2=OPOB ,得ρcos θ=2,∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解:4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ 把ρ=22y x + ρcos θ=x ,代入上式,得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解:由4sin 2θ=3,得4·222yx y +=3,即y 2=3 x 2,y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线:3x-4y-9=0与圆:)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标,t 表示参数,则下列各组曲 线:①θ=6π和sin θ=21;②θ=6π和tg θ=33,③ρ2-9=0和ρ= 3;④ ⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:ρ1+ρ2=0 ,θ1+θ2=0,则M ,N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称 5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 6.经过点M(1,5)且倾斜角为3π的直线,以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数,ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x b y a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π),则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2,且t 1+t 2=0,那么M ,N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy ,y 2-x 2)也在单位圆上运动,其运动规律是( )A.角速度ω,顺时针方向B.角速度ω,逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω,逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称,则l 的方程是( )A .θθρsin cos 23-=B .θθρcos cos 23-=C .θθρsin 2cos 3-=D .θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 532543(t 为参数),则过点(4,-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数)化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ;直线上一点P(x ,y)与点M(-1,2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ,若点P 在第一象限,且∠xOP=3π,求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p >0,t 为参数),当t ∈[-1,2]时 ,曲线C 的端点为A ,B ,设F 是曲线C 的焦点,且S △AFB =14,求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0,-2),过点B 作直线BD ,与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点,又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线,交椭圆于G ,H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 . (2)若点M 为弦CD 的中点,S △BMF2=2,试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为49,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ,B 为椭圆2222by a x +=1,(a >b >0) 上的两点,且OA ⊥OB ,求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1,直线l ∶812y x +=1,P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2,当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4;17.y 2=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线;19.135°,|32t|(三)20.(5154,558);21.;33222.(1)不存在,(2)x+y+2=0;23.51(27-341);24.Smax=2ab,s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
参数方程参数方程是一种数学描述形状的方法,通过给定参数的范围,可以得到一系列点的坐标,进而得到形状。
在许多科学和工程领域中,参数方程被广泛应用。
什么是参数方程参数方程是一种使用参数变量来描述形状的方法。
通常情况下,我们使用的坐标系是直角坐标系,其中一个点的坐标由它在 x 轴和 y 轴上的投影得到。
但是在参数方程中,我们使用参数变量 t 来表示一个点的位置。
通过改变参数 t 的值,我们可以得到一系列点的坐标,这些点连接在一起可以形成一个曲线。
参数方程的表示方法参数方程可以用以下形式表示:x = f(t)y = g(t)这里的 f(t) 和 g(t) 是两个关于参数变量 t 的函数。
通过给定参数 t 的范围,我们可以计算出相应的 x 和 y 坐标。
参数方程的例子让我们来看一个简单的例子:绘制一个圆。
圆的参数方程可以表示为:x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中 r 是圆的半径,t 是参数变量,在范围[0, 2π] 内变化。
通过改变参数 t 的值,我们可以计算出圆上一系列点的坐标,从而绘制出整个圆。
参数方程的优点参数方程有一些独特的优点,使它在某些情况下比直角坐标系更有用:1.参数方程可以轻松地描述曲线的弯曲和扭曲,而直角坐标系可能需要更复杂的表达式。
2.参数方程可以很容易地绘制出一些具有特殊形状的曲线,如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以轻松地描述一些与时间相关的现象,如物体在空中的轨迹。
参数方程的应用参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景:1.物理学中,参数方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹,如抛体运动、行星运动等。
2.工程学中,参数方程可以用来描述曲线的形状,如航线规划、平面曲线设计等。
3.计算机图形学中,参数方程可以用来描述二维和三维模型的形状,如计算机动画、三维建模等。
参数方程的总结参数方程是一种描述形状的方法,通过使用参数变量 t,我们可以得到一系列点的坐标,从而形成曲线或者其他形状。