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【总结提升】灵活运用平方差公式的三种情形 1.用平方差公式简便计算两数的积. 2.在整式的混合运算中,正确识别符合平方差公式的部分 . 3.变化系数灵活运用平方差公式.
题组一:运用平方差公式进行计算 1.计算(2a+b)(2a-b)的结果是( A.4a2-b2 C.2a2-b2 B.b2-4a2 D.b2-2a2 )
2
6 3 6 3
答案:1
2
3.用简便方法计算: 503×497= ;1.02×0.98= .
【解析】503×497=(500+3)(500-3)=5002-32 =250000-9=249991; 1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996. 答案:249991 0.9996
2.若用平方差公式,原式如何变形? 提示:1003×997=(1000+3)(1000-3). 3.运用平方差公式计算: 1003×997=(1000+3)(1000-3) 10002-32 =________ 1000000-9 =__________ 999991 . =_______
【互动探究】观察下列等式19×21=202-1,28×32=302-22, 37×43=402-32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示方法可 得:mn= .
【解析】根据观察,可设mn=x2-y2=(x+y)(x-y), 则 m,
2 2 mn mn n, 2 2 所以 x m n , y m n , 2 2 所以 mn ( m n ) 2 ( m n ) 2 . 2 2 答案:( m n ) 2 ( m n ) 2 2 2
平方差公式的要求.
3.计算(x-y)(-y-x)的结果是( A.-x2-y2 C.x2+y2 B.-x2+y2 D.x2-y2
)
【解析】选B.(x-y)(-y-x)=(-y)2-x2=y2-x2.
4.计算(3m+4)(4-3m)的结果是 【解析】原式=(4+3m)(4-3m)=16-9m2. 答案:16-9m2
和 与这两个数的___ 差 的积等于这两个数的 (2)语言叙述:两个数的___
平方差 . _______
(打“√”或“×”) (1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( × ) (2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.( √ ) (3)(a+b)(b-a)=a2-b2.( × ) (4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.( × )
题组二:平方差公式的简单应用 1.计算20142-2013×2015的结果是( A.1 B.-1 C.2 ) D.-2
【解析】选A.原式=20142-(2014-1)(2014+1) =20142-(20142-12)=20142-20142+1=1.
2.(2013·枣庄中考)若a2-b2= 1 , a-b= 1, 则a+b的值为____. 【解析】因为a2-b2=(a+b)(a-b)= 1 , a-b= 1, 所以 a b 1 .
2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式
1.理解平方差公式的结构特征.(重点)
2.会进行平方差公式的推导和应用.(重点、难点)
用多项式乘多项式的法则计算下列各式: x2-4 (1)(x+2)(x-2)=____. 9-y2 (2)(3+y)(3―y)=____.
9a2-1 (3)(3a+1)(3a-1)=_____.
4.先化简,再求值: a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3. 【解析】原式=a2+a-(a2-1)=a2+a-a2+1=a+1, 当a=3时,原式=a+1=3+1=4.
5.街心花园有一块边长为am的正方形草坪,经规划后,草坪南北 方向要加长2m,而东西方向要缩短2m,问改造后的长方形草坪的 面积和以前相比变化多少? 【解析】改造后草坪的面积为:(a+2)(a-2)=(a2-4)(m2). 而以前正方形草坪的面积为a2m2,故改造后草坪的面积和以前相 比减少4m2.
【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法
知识点 2
平方差公式的简单应用
【例2】计算:1003×997.
【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把
997看成哪两个数的差?
提示:设两个数中较小的为x,则较大的为1003-x. 所以1003-x-x=997, 解得x=3, 所以1003-x=1003-3=1000.
.
5.方程(x+6)(x-6)-x(x-9)=0的解是
.
【解析】因为(x+6)(x-6)-x(x-9)=x2-36-(x2-9x)=x2-36x2+9x=9x-36, 所以方程可化为9x-36=0,解得x=4. 答案:x=4
6.(2013·台州中考)化简:(x+1)(x-1)-x2. 【解析】原式=x2-1-x2=-1.
m2-25n2 (4)(m+5n)(m―5n)=_______.
【思考】1.观察以上算式,等号的左边的两个因式有什么特点? 提示:第一个因式是两个数的和,第二个因式是这两个数的差. 2.具有上述特点的两个因式的积等于什么?
提示:这两个数的平方差.
【总结】平方差公式: a2-b2 . (1)式子表示:(a+b)(a-b)=_____
知识点 1
运用平方差公式进行计算
【例1】计算:(1)(3x+1)(3x-1).(2)(a-2b)(-a-2b). 【思路点拨】观察两个二项式中各式的特点,分清相同的项与 相反的项,根据平方差公式,用相同的项的平方减去相反的项的 平方,然后再计算.
【自主解答】(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12 =9x2-1. (2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a) =(-2b)2-a2 =4b2-a2.
【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
2.下列各式能用平方差公式计算的是(
A.(3a+b)(a-b)
)
B.(-3a-b)(-3a+b)
C.(3a+b)(-3a-b)
D.(-3a+b)(3a-b)
【解析】选B.平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组
互为相反数的项.A,C,D中不存在相同的项,因此A,C,D都不符合