数值分析复习提纲

第1-3章 习题课 (绪论、插值、逼近)一、基本内容及基本要求 第一章、绪论1. 了解数值分析的研究对象与特点。

2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。

3. 了解误差的定性分析及避免误差危害 第二章、插值法1. 了解插值的概念。

2. 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。

3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。

4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

5. 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。

6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。

7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。

第三章、函数逼近与曲线拟合1. 了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。

2. 了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。

3. 理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。

4. 理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。

5. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。

6. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。

二、练习.7321.1 ,7320.1 ,732.1 ,73.173********.131各有几位有效数字，问近似值、设 ==A .5,4,4,3 答：.1118 .01118 22准确无初始误差和假定系数、解二次方程=+-x x .6,992.117992.5859348059 1位有效数字有答：=+≈+=x ?008.0992.58592=-=x.1021,992.1171 )992.117(992.1171992.1171992.11711711212-⨯≤+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+==εεηηη x x .102.0 ,008475.0992.1171622-⨯≤+=εε.1021 ,008475.01621212112-⨯≤+≤+++==∴εεεεεεx x .008475.0112，有四位有效数字≈=⇒x x 说明什么？位数字求解，计算结果再用准确解位数字解方程组、用十进制6 )1,1( .127.0330.0457.0,217.0563.0780.0 33-==⎩⎨⎧=+=+y x y x y x.586.0217.0127.0)586.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (1)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x 解： .00 ,217.0563.0780.0 ⎩⎨⎧==+y y x..585897.0217.0127.0)585897.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (2)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x .00014.000014.0-=y ,127140.0127.0)329860.0330.0(-=-y 00000.1,00000.1=-=x y ).30()30( )1ln()( *42-++=f f x x x f 和计算，试用六位函数表设反双曲正弦、P19, 5,9..3)()()(*)()(,34)(3p C R V R V R R R R V R V R V R R V =='≈∆-=π %.3.0%33.0≤∆≤∆RRR R ，或只需%.1%,1)(*)()(≤∆-∴RRC R V R V R V V p 只需为的相对误差限要使,)()( 5M x f h x f ≤''在节点上造表，且有以等距假设对、;:)1( 21Mh 性插值误差不超过任意相邻两节点上的线证明.10,sin )()2( 621-⨯≤=差取多大能使线性插值误问设h x x f .102 ),2(5 3-⨯≤h 答：.,2),(21 0.5 1 0 12)( 63.02并估计误差的近似值用以求建立二次插值多项式：：的函数表试由、x p y x x f x -=;2475.1)3.0(2 ;175.025.0)( 23.02 2=≈++=p x x x p or 牛拉答：.03030.0)13.0)(03.0)(13.0()3.0(2 !36660.023.0=--+≤-p6660.0)2(ln 2)(max 311=='''≤≤-x f x保证两位有效数字∴P59, 6,8.7、P59, 4.].2,,2,2[]2,,2,2[,13)( 871061046 f f x x x x f 和求设、+++=.0 )2( ,1 )1( 答：).()12(3);()(2)()(2);()]([1)( 922x T x T x T x T x T x T x T x T T k x T n n n m n m n m mn n m k =-=+=-+）（）（）（明次切比雪夫多项式，证是设、.[-1,1]53)( 102多项式上的线性最佳一致逼近在求、-+=x x x f .293)(21)()( )(21)()(解2*12*1-=-==-x x T x f x p x T x p x f ，：).7([-1,1]arcsin )( 11==n x x f 上的切比雪夫级数在求、[-1,1],,)(2)( 7107∈+=∑=x x T a a x p j j j 解：0,d 1arcsin )(211222奇其中=-=⎰-x xxx T a k k πxxxx T a k k d 1arcsin )(21121212⎰-++-=πθθθθπθππd )sin (sin )2]()12(cos[2 0⎰--+=k .)12(4d 1)sin(2k )12(2 2+=++=⎰k k πθθππ[-1,1].,)(491)(251)(91)(4)( 75317∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=x x T x T x T x T x p πP115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可，[-1,1].,4964175288315248105764)( 7537∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=x x x x x x p π一、数值积分与数值微分第4-5章 习题课(数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法).d )( :0∑⎰=≈nk k k baf w x x f 求积公式.,1, m次代数精度称该求积公式具有则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立的多项式都准确对于所有次数不超过若一个求积公式+m m.d )( ,d )( )( )( 0称为插值型求积公式，其中，得到求积公式由拉格朗日插值⎰∑⎰∑=≈===bak k nk k k bak nk k n x x l w f w x x f f x l x L [].d )()!1()(d )()(][ :0)1(x x x n f x x L x f f R banj j n b an ⎰∏⎰=+-+=-=ξ余项.d )( 0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式⇔≈∑⎰=n f w x x f nk k k ba定理.C ,C )(d )(,],[)(0)(Cotes系数Cotes公式-Newton 称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间n k nk k n k bak f a b x x f kh a x nab h n b a ∑⎰=-≈+=-= .d )()!(!)1(d C0000)(⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=+=n n kj j kn n n kj j n kt j t k n nk t j k j t a b h th a x ，则有作变换 )],()([2d )( ,1n b f a f ab T x x f ba +-=≈=⎰得到梯形公式时当(2.3) )]()2(4)([6d )( , ,2n ，也称为得到抛物线公式时当b f ba f a f ab S x x f b a+++-=≈=⎰n)公式辛普森(Simpso )4.2( .4,)],(7)(32)(12)(32)(7[90,443210ab h kh a x x f x f x f x f x f ab C n k -=+=++++-==其中得到时当公式柯特斯(cotes).,C 8)(公式不稳定出现负值时柯特斯系数表C N n n k -≥ .].,[ ),(12)(][ ],[)(3b a f a b T I f R b a x f T ∈''--=-=''ηη则梯形公式的余项为 上连续,在若 ].,[),(2 180 )]()2(4)([6d )(][ 辛普森 ,],[)()4(4)4(b a f a b a b b f ba f a f ab x x f S I f R b a x f baS ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++--=-=⎰ηη公式的余项为则上连续在若.)]()(2)([2)]()([2 1101∑∑-=-=+++=+=n i i n i i i n b f x f a f hx f x f h T ).(12)(12)](121[2313ηηηf h a b f h n f h T I n i i n ''--=''-=''-=-∑-=)].()(2)(4)([6101121b f x f x f a f hS n i n i i i n +++=∑∑-=-=+).,( ),(8802)(2180)4(410)4(4b a f h a b f h h S I n i i n ∈--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑-=ηηη)].()([2)1(1b f a f ab T +-=初值.)(221 ),2,1,0( 2)2(1221∑-=++==-=n i i n n i x f h T T i ab h 计算，令 .63/ ,15/C ,3/ )3(222222）（）（）（求加速值n n n n n n n n n n n n C C C R S S S T T T S -+=-+=-+=).2( )4(否则，转满足精度要求；., ,12,)(d )()( ,010 高斯求积公式高斯点求积公式为并称此则称此组节点为次代数精度具有使插值型求积公式若一组节点+≈≤<<<≤∑⎰=n x f w x x f x b x x x a ni i i ban ρ0.d )()()( ,)()()())(()( 110110=---=⇔≤<<<≤⎰++ba n n n n x x P x x x x P n x x x x x x xb x x x a ωρρω即正交带权的多项式不超过与任何次数高斯点是插值型求积公式的节点 定理 .],[ ,d )()()!22()( ][21)22(b a x x x n f f R b a n n n ∈+=⎰++ηρωη[]),(2)()(1)(010ξf h x f x f h x f ''--='[]).(2)()(1)(011ξf hx f x f h x f ''+-='),(3)]()(4)(3[21)(22100ξf h x f x f x f h x f '''+-+-='),(6)]()([21)(2201ξf h x f x f h x f '''-+-=').(3)](3)(4)([21)(22102ξf h x f x f x f h x f '''++-=').(12)]()(2)([1)()4(221021ξf h x f x f x f h x f -+-=''基本内容及基本要求1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。

第一章基础
掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。

了解：误差限，算法及要注意的问题。

第二章插值
掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。

了解：Lagrange插值
第三章数据拟合
掌握：给出几个点求线性拟合曲线。

了解：最小二乘原理
第四章数值积分微分
掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss 积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形
公式推导及算法。

了解：数值微分，积分余项
第五章直接法
掌握：LU分解求线性方程组，运算量
了解：Gauss消去法，LDL，追赶法
第六章迭代法
掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径
了解：SOR迭代
第七章Nolinear迭代法
掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。

了解：二分法，弦截法
第八章ODE解法
掌握：Euler公式构造、收敛阶。

了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式题目类型：填空，计算，证明综合题
ＱＱ：１３３６６４８３
地点：数学１０２。

第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。

近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。

【考点2】相对误差限的概念。

近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。

【考点3】有效数字定义。

设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。

例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。

因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。

若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。

例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。

41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。

例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。

410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。

【考点5】有效数字与相对误差的关系。

设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。

《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。

特点：可正可负，带量纲。

（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。

注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。

2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。

数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。

P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。

（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。

迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。

主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。

(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。

《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。

(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。

2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。

3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。

4. 最小二乘法及其计算方法。

第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。

2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。

熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。

会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。

一、提纲１、高斯消去法、全选主元消去法、列选主元消去法、LU 分解、对称矩阵的T LDL 分解，对称正定矩阵的T LL 分解，三对角阵的追赶法。

２、向量空间距离的概念（向量范数、矩阵范数）、谱半径３、解线性方程组的迭代方法：Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代方法，及其收敛性 ４、求最大（小）特征值的幂法与反幂法 二、要点１、对于线性方程组b X A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n b b b b a a a a a a a a a A21212222111211,如果A 的所有顺序主子式0≠i D ，则高斯消去法可以完成。

其过程如下 将方程组的第一行乘111a a k -加到第k ，消去A 中除了第一行之外的第一列元素，得到 ()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1121111212122112111,00n nn n n n b b b b a a a a a a a A其中()()n i a ab b b a a a a a i i i i j ij ij,,3,2,,1111111111 =⨯-=⨯-= 得到一个等价的方程组()()11b X A=将方程组的第二行乘()()11112a a k -加到第k ，消去()1A 中除了第一、二行之外的第二列元素，得到()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1231212223232331212312211312112,00000n nn n n n n b b b b b a a a a a a a a a a a A其中()()()()()()()n i a a b b b a a a a a i i ii j ij ij,,4,3,,122121211221222 =⨯-=⨯-=依此类推，可以得到一般的表达式()()()()()()()()n k i a a b b b a a a a a k k k k ik k k i ik k k k ik k kjij k ij,,1,,111111,111 +=⨯-=⨯-=++++++++如果只满足0≠A ，那么就得在消去之前调整元素的大小，将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。

全日制硕士生“数值分析”复习提纲（2008、11）一、考核知识点及其要求（一）引论1、误差的基本概念理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。

2、数值算法设计若干原则掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失（避免相近数相减），选择数值稳定的算法。

（二）插值方法1、插值问题的提法理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。

2、Lagrange插值熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。

3、Newton插值熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。

4、Hermite插值掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。

5、分段线性插值知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。

6、三次样条函数与三次样条插值概念了解三次样条函数与三次样条插值的定义。

（三）曲线拟合与函数逼近1、曲线拟合的最小二乘法熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解。

2、连续函数的最佳平方逼近了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。

（四）数值微积分1、数值求积的基本思想、插值型求积公式与代数精度掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。

2、Newton-Cotes公式（等距节点插值型求积公式）掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余项公式与代数精度的联系，了解系数之和的性质，掌握稳定性条件；理解复化求积方法的思想。

3、正交多项式掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式。

数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。

它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。

本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。

一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。

2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。

3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。

4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。

二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。

2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。

3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。

4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。

三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。

2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。

3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。

4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。

四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。

2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。

3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。

五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。

2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。

3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。

总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。

在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。

数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。

数值分析第一部分线性方程组的数值解法一、基本要求1、掌握每一种解法的基本思想，适用范围，收敛条件，计算公式以及误差估计.2、在应用中不同解法的异同、优劣，加深对算法的理解，最好能上机计算.二、主要概念及结果主要概念定义1.1 对于方程通过某种方法建立了迭代法（2.1.1）如果对于任何使得极限成立，则称该迭代法是收敛的.定义1.2 如果，对于，都有成立，则称A是严格对角占优的.主要算法与定理高斯(Gauss)消去法假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为计算步骤为1） 把上面的第一个方程除以，在分别乘上后与第k 个方程相加（）,得到于是我们从第2到第n 个方程中消去了.2） 把上面的第二个方程除以，再分别乘上后与第k 个方程相加（）得到于是我们从第3到第n 个方程中消去了.3） 继续这个过程直到我们得到4） 由上面的最后一个方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一计算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假设A 的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为（1） 消元过程.对，进行以下运算： 1） 选主元.找行号，使得； 2） 交换中的ki k ,两行；3） 消元：对于； 对.（2） 回代过程.按下述公式；回代求解即可得到方程组的解.定理1.1 对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得Doolittle 分解 根据定理1.1，对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得.可以直接计算分解式中的诸元素.为此，我们假设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111,21323121n n n n l l l l l l L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----nn n n n n n n n n u u u u u u u u u u U ,11,121,22211,11211用U 的第k 列（）乘L ，然后与A 的相应列比较，可以逐列（逐行）计算出L(U)的元素.定理1.2 设A 是一个对称正定矩阵，则存在唯一的下三角阵L ，其对角元素都是正的，使得定理1.3 设A 是一个对称正定矩阵，则存在一个单位下三角阵L和对角矩阵D，使得定理1.4 迭代法对于任意收敛的充分必要条件是，其中是迭代矩阵的谱半径.如果及假设A的对角元素，令A=D-L-U,其中D是A 的对角部分构成的矩阵.L和U分别是A的严格下（上）三角矩阵，则有以下几个具体算法：雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法关于这两个算法的收敛性有如下定理：定理1.5 如果方程组Ax=b的系数矩阵是严格对角占优的，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛.定理1.6 如果方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，则高斯-赛德尔迭代法收敛.第二部分非线性方程的数值解法一、基本要求掌握每种方法的基本思想、迭代公式、收敛条件以及与其他方法的差异.二、主要概念及结果主要概念定义2.1 对于方程，通过某种方法建立了迭代法（2.1）如果存在使得极限，则称该迭代法是收敛的.主要算法与定理定理2.1 设有方程，如迭代函数在有根区间[a，b]上满足：（1）当时，；（2）在[a，b]上可导，且有，则有：（1）方程在[a，b]上有唯一的根*x；（2）对任意初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的唯一根*x，即；（3）误差估计定理2.2 设*x是方程的根，在*x的某个邻域内连续，且有，则必存在*x的一个邻域，对于任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根*x.二分法假设的隔根区间为，取，计算.如果，则取，否则取.继续这个过程直到取见足够的小，就可以把最后区间的中点作为方程的近似根.此法称为二分法.牛顿法计算公式定理 2.3 如果，且在*x的某个邻域内连续，则牛顿法是局部收敛的.弦截法计算公式第三部分插值法一、基本要求1、在算法上要求熟练掌握拉格朗日插值法，等距节点插值法，牛顿插值法.2、要求能按所给条件，选用适当的近似公式求出近似函数或计算出函数的近似值，并会估计其误差.二、主要概念及结果主要概念定义3.1 设在区间上有定义，且在上的个不同的点的函数值为，若存在一个代数多项式（3.1）其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点.主要算法与定理定理3.1 在个互异节点上满足插值条件的次数不高于的插值多项式存在且唯一.拉格朗日插值多项式的一般形式 其中为插值基函数， 插值余项为其中是区间中的某一个值，且和x 有关，所以牛顿插值多项式及余项)())(](,,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N余项牛顿前插公式牛顿后插公式第四部分数值积分与数值微分一、基本要求掌握梯形求积公式、辛普森求积公式以及复化的梯形公式、复化的辛普森公式和龙贝格公式的构造方法.二、主要概念及结果主要概念定义4.1 若求积公式对于任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于次多项式却不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.定义 4.2 将个节点的具有次代数精度的插值型求积公式称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数.主要算法与定理插值型求积公式其中牛顿-柯特斯公式其中梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中复化梯形公式复化辛普森公式复化柯特斯公式其中龙贝格求积公式定理4.1 节点为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不大于的多项式在上正交，即.第五部分常微分方程的数值解法一、基本要求掌握欧拉公式、经典的龙格-库塔公式二、主要概念及结果主要算法和定理显式欧拉方法隐式欧拉方法梯形公式预报-校正方法预估校正龙格-库塔方法二阶龙格-库塔公式经典的四阶龙格-库塔公式。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。

基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。

例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。

解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。

由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。

当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。

此时，e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差和误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。

基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式或，这样计算简单。