[推荐学习]山西省平遥县高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2对数函数及其性质3教案新人教A版必修1

对数与对数运算【教学目标】1．对数的运算性质进一步应用2．换底公式的应用【重点难点】换底公式的应用【教学过程】一、情景设置1．复习对数的运算性质以及公式应用需要注意的问题。

2．引入：利用常用对数表、自然对数表能求出任意正数的常用对数或自然对数，如何求其它底的对数呢？二、探索研究你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？loga b =log c blog c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1；b>0)三、教学精讲推导过程：推论:①loga b=1log b a②lognab n=logab ③logmab n =nmlogab例1．①log89 log2732的值。

（可以换以10为底，以2为底，以3为底）②已知log23=a, log37=b,用a,b表示log4256。

例2．计算:①lg25+23lg8+lg5⋅lg20+lg 22 ②(log 2125+log 425+ log 85)⋅(log 1258+log 254+log 52).例3．课本P 66例5例6四、课堂练习1.log 49343= .2.在b=log (a-2)3中，实数a 的取值范围是3.已知log 189=a, 18b=5，,用a,b 表示log 3645。

4.已知方程lg 2x+(lg2+lg3)lgx+lg2⋅lg3 =0有两个不等的实数根x 1、x 2,求x 1⋅x 2的值.五、本节小结换底公式及推论的应用、对数的运算性质进一步应用【教学后记】。

对数与对数运算【教学目标】对数的运算性质【重点难点】准确应用对数的运算性质及对数恒等式.【教学过程】一、情景设置问题：①我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？②如我们知道a m=M, a n=N, a m⋅a n= a m+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗？③在上述②的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？二、探索研究(1)推导：①设a m=M, a n=N,由于a m⋅a n= a m+n，由对数的定义得到:loga M=m, logaN=n, loga(M⋅N)=logaM+logaN仿照上述过程，由a m÷a n= a m-n和(a m)n=a mn得出对数其他运算性质②③得出对数的运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,N>0, 那么①loga (M⋅N)=logaM+logaN ②logaMN=logaM –logaN ③logaM n=nlogaM(2)你能否用最简练的语言描述上述运算性质？①②③(3) 上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？三、教学精讲例1.用loga x,logay, logaz表示下列各式:①loga xyz②logax2y3z③loga3xy2z④loga(x4z3y2)例2.求下列各式的值:①2log 510+log 50.25 ②log 2(47⨯25) ③12lg 3249- 43lg 8+lg 245四、课堂练习1.求下列各式的值:①5110log 25- ②2log 32-log 3329+log 38 -53log 252.求解下列各题:①若lgm=b-lgn,则m 用n,b 表示为____________.②已知log 29=a,log 25=b.用a,b 表示log 275.五、本节小结熟练掌握对数的运算性质及初步应用【教学后记】。

2.2.2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数函数及其性质 1.对数函数 一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像y=log a （x+1），y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践. 2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象描点即可完成y=log 2x ，y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x -1-2 y=log 1/2x -3s由表及图可以发现：我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0.5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0.5x=-log 2x ，点(x,y)与点(x,-y)关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x,y)关于x 轴对称点(x,-y)在y=log 0.5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（a1，-1），（1，0），（a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”②函数y=log a x 与y=x a1log 的图象关于x 轴对称.要点提示 （1）对数函数的图象恒在y 轴右方.（2）对数函数的单调性取决于它的底数.（3）log a b>0⇔(a-1)(b-1)>0；log a b<0⇔(a-1)(b-1)<0．（4）指数函数由唯一的常量a 确定．两个同底数的对数比较大小的一般步骤: （1）确定所要考查的对数函数; （2）根据对数的底数来判断对数函数的增减性,若底数与1的大小关系不确定应对a 进行分类讨论;（3）比较真数的大小,然后利用对数函数的增减性来判断两个对数值的大小. 3.反函数在指数函数y=2x中，x 为自变量（x ∈R ），y 是x 的函数(y ∈(0,+∞))，而且它是R 上的单调递增函数．可以发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点；另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式y=log 2x ．这样，对于任意一个y ∈(0,+∞)，通过式子x =log 2y ，x 在R 中都有唯一确定的值和对应．也就是说，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说x =log 2y(y ∈(0,+∞))是函数y=2x（x ∈R ）的反函数（inverse function ）.在函数x =log 2y 中，y 是自变量，x 是函数，但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们常常对调函数x =log 2y 中的字母x,y ，把它写成y =log 2x ．这样，对数函数y =log 2x(x ∈(0,+∞))是指数函数y=2x（x ∈R ）的反函数．由上述讨论可知，对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）是指数函数y=2x（x ∈R ）的反函数；同时指数函数y=2x（x ∈R ）也是对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）的反函数．因此，指数函数y=2x（x ∈R ）与对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）互为反函数． 当一个函数是单调函数时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.由于指数函数y=ax（a>0，且a ≠1）在R 上是单调函数，它的反函数是对数函数y=log a x （a>0，且a ≠1），反之对数函数的反函数是指数函数.课本上只要求知道指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）和对数函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数，不要求会求函数y=f （x ）的反函数.联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.(2)若是已知f （x ）的解析式，求f -1（x 0）的值，不必去求f -1（x ），只需列方程f （x ）=x 0，得出x 的值即为所求.(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称，单调性相同，图象关于直线y=x 对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x 变化而得到的，也可以在用描点法作对数函数的图象时，对调同底数的指数函数的对应值里的x 、y 即可.所以在研究对数函数的图象和性质时，要紧扣指数函数的图象和性质. 问题·思路·探究问题1 在同一坐标系中，画出函数y=log 3x ，y=x 31log ，y=log 2x ，y=x 21log 的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系.思路：利用对数函数的图象与性质可比较底数相同，真数不同的对数值的大小；可比较底数不同，真数相同的对数值的大小；也可比较底数与真数都不同的对数值的大小.一般地，如果两对数的底数不同而真数相同，如y=1log a x 与y=2log a x 的比较（a 1＞0，a 1≠1，a 2＞0，a 2≠1）.①当a 1＞a 2＞1时，曲线y 1比y 2的图象（在第一象限）上升得慢，即当x ＞1时，y 1＜y 2； 当0＜x ＜1时，y 1＞y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越大. ②当0＜a 2＜a 1＜1时，曲线y 1比y 2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x ＞1时，y 1＜y 2；当0＜x ＜1时，y 1＞y 2，即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小. ③当0＜a 2＜1＜a 1时，曲线y 1和y 2的图象分布在不同象限. 即当x ＞1时， y 2<0<y 1；当0＜x ＜1时，y 2>0>y 1探究:从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a>1时，图象向下与y 轴的负半轴无限靠拢，在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0）的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大；当0<a<1时，图象向上与y 轴的正半轴无限靠拢，在点（1，0）的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大，在点（1，0）的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小；由此我们知道，对于对数函数y=log a x ，当y=1时，x=a ，而a 恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小.同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log 23<log 1.53，log 20.5 <log 30.5，log 0.52>log 0.62等. 问题2 怎样画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象？至少要描出哪几个关键点？思路：（1）要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;（2）从联系的角度研究画对数函数图象的方法，对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.探究:画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象依据它与指数函数y=a x(a>0, a ≠1)的图象关于直线y=x 对称，用找对称点作对称图形的方法来画，也可以用列表、描点、连线的方法来画．画图象时首先要分清底数a>1还是0<a<1,明确图象的走向，然后至少要画出三个关键点：（a1，-1），（1，0），（a ，1），当然画出的点越多，所画图象越准确． 学好数学是大有禆益的. 典题·热题·新题例1 比较下列各组数中两个值的大小： （1）log 67,log 76（2）log 38,log 20.7; 思路解析：由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两个对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数值的大小.解：(1)因为log 67> log 66=1, log 76< log 77=1,所以log 67>log 76； (2)因为log 38> log 31=0, log 20.7< log 21=0,所以log 38>log 20.7.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.例2 已知（1）log 2（2x-1）>1，（2）已知log 1/2（2x-1）＞0，试分别求x 的取值范围. 思路解析：利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解：（1）∵log 2（2x-1）>1，即log 2（2x-1）>log 22，∴2x-1>2，解得x>23， 即x 的范围是x ∈（23，+∞）. （2）由已知得log 2（2x-1）＞lg1，0＜2x-1＜1，∴0＜x ＜1.误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.例3 求函数y=)3lg(562+--x x x 的定义域.思路解析：定义域是使解析式的各部分有意义的交集.解：要使函数有意义，必须且只⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥--,13,03,0562x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-≠->≤≤-,2,3,16x x x∴-3＜x ＜-2，或-2＜x ≤1.∴函数的定义域为（-3，-2）∪（-2，1］.深化升华 注意此处空半格求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.例4 试求满足不等式2（log 0.5x ）2+9log 0.5x+9≤0的x 的范围.思路解析：把log 0.5x 看作一个变量t ，原不等式即变为关于t 的一元二次不等式，可求出t 的取值范围，进而再求出x 的取值范围.解：令t=log 0.5x ，则原不等式可化为2t 2+9t+9≤0，解得-3≤t ≤-23， 即-3≤log 0.5x ≤-23.又-3=log 0.50.5-3，-23=235.0log .∴235.0≤x ≤0.5-3，即22≤x ≤8.深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时，一般要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各种方法求解.例5 求函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调区间和值域.思路解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.解：因为2x+8-x 2>0，即x 2-2x-8<0,解得-2<x<4，所以此函数的定义域为（-2,4），又令u=2x+8-x 2,则y=log 0.3u.因为y=log 0.3u 为定义域上的减函数,所以y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调性与u=2x+8-x 2的单调性相反.对于函数u=2x+8-x 2,x ∈（-2,4）.当x ∈（-2，1]时为增函数;当x ∈［1，4)时为减函数.所以函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的增区间为［1，4),减区间为（-2，1]，又因为u=2x+8-x 2=-（x-1）2+9，所以当x ∈（-2,4）时, 0<u ≤q ⇒log 0.3u ≥log 0.39,即函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的值域为 ［log 0.39,+∞)．拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log 3x 的图象经过怎样变换得到：(1) y=log 3|x|;（2）y=|log 3x|.思路解析：作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出. 解：（1）原函数可化为y=⎩⎨⎧<->,0),(log ,0,log 33x x x x 它的图象如图(1)所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log 3|x|的图象.(2)原函数可化为y=⎩⎨⎧≤<-≥,1,log ,1,log 33x x x x x 它的图象如(2)图所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象再将所得图象在x 轴下方(虚线部分)的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log 3x|的图象.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.。

对数函数及其性质【教学目标】1．掌握对数函数的定义、图象和性质.2．会求简单对数函数(对数型函数)的定义域【重点难点】对数函数的定义、图象和性质．【教学过程】一、情景设置问题:我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数,这个函数可用指数函数_____________表示.现在研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个，10万个，……细胞？那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是_______________.二、探索研究1．对数函数的定义：形如y=log a x(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数.定义域是________.思考：①为什么规定底数a>0,a≠1？②如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出步骤2．学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．三．教学精讲对数函数的图象和性质①在同一坐标系中画出下列函数的图象：y=log2x y=log1x2②从画出的图象中你能发现函数y=log2x的图象和函数y=log12x的图象有什么关系？可否利用y=log2x的图象画出y=log12x的图象？说明画法的理由。

观察y=log2x和y=log12x的图象，可以得出对数函数y=a x在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质：例1．求下列函数的定义域(1)y=log a x2 (2) y=log a(4-x)例2．比较下列各组数的大小：(1)log23.4, log28.5; (2)log0.31.8, log0.32.7(3)log a5.1, log a5.9(a>0,且a≠1) (4) log43, log34, log43(34 )四．课堂练习比较下列各组数的大小：(1)log a ，log a e(a>0,且a ≠1)；(2)log 212，log 2(a 2+a+1)(a ∈R).五、本节小结对数函数的定义,图象和性质以及简单的对数函数(对数型函数)的定义域【教学后记】。

2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点).知识点1 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数.( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数.( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞).( )提示 (1)× 对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)× 在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)× 由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错.知识点2 对数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域 (0，＋∞)值域 R过定点 过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值当0＜x ＜1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0的变化当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【预习评价】(1)函数f(x)＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点________.(2)若函数y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析(1)令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).(2)由题意2a－3>1，得a>2，即a的取值范围是(2，＋∞).答案(1)(1，2) (2)(2，＋∞)知识点3 反函数对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数.【预习评价】设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)>0，则x的取值范围是________.解析易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.答案(2，＋∞)题型一对数函数的概念及应用【例1】(1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.解析(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.(2)由题意设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.答案 (1)B (2)－3规律方法 判断一个函数是对数函数的方法【训练1】 若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4. 答案 4题型二 对数型函数的定义域 【例2】 (1)函数f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)的定义域为________；(2)函数f (x )＝1log 12（2x ＋1）的定义域为________.解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>02－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得：x ∈(－1，2)，故函数的定义域为(－1，2).(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x >－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞).答案 (1)(－1，2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4.∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三 对数函数的图象问题【例3】 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1)D.(－1，1)(2)如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则( )A.a 4>a 3>1>a 2>a 1>0B.a 3>a 4>1>a 1>a 2>0C.a 2>a 1>1>a 4>a 3>0D.a1>a2>1>a3>a4>0(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象.解析(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝log a1＋1＝1，故函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).(2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.答案(1)D (2)A(3)解第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示.第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示.规律方法 1.对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律：(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.【训练3】已知a>0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )解析函数y＝log a x与y＝a x的单调性相同，故排除B；A中，由y＝log a x与y＝a x的图象知a＞1，而由y＝x＋a的图象知0＜a＜1，矛盾；D中，由y＝log a x与y＝a x的图象知0＜a＜1，而由y＝x＋a的图象知a＞1，矛盾，故选C.答案 C课堂达标1.下列函数是对数函数的是( )A.y＝log a(2x)B.y＝log22xC.y＝log2x＋1D.y＝lg x解析选项A，B，C中的函数都不具有“y＝log a x(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.答案 D2.设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)解析由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.答案 D3.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4，2)，则a＝________.解析∵f(x)的反函数的图象过(4，2)，∴f(x)的图象过(2，4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.答案 44.函数f(x)＝1log12x＋1的定义域为________.解析要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2).答案(0，2)5.已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值.解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2).故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值.课堂小结1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.基础过关1.函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A.(1，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(2，0)解析 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1，0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1，0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1，0)平移以后即为定点(2，1)，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2，1).故选C. 答案 C 2.函数y ＝1log 2（x －2）的定义域为( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(2，3)∪(3，＋∞)D.(2，4)∪(4，＋∞)解析 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2（x －2）≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C3.函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故A 项正确. 答案 A4.已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫34＝________.解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝log2x ，∴f (34)＝log 234＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案 435.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 017)＝______.解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案 166.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3).(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13且x ≠1，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞).7.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x >0，0，x ＝0，－lg （1－x ），x <0，∴f (x )的大致图象如图所示：能力提升8.已知0<a <1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析 当0＜a ＜1时，函数y ＝a x在R 上是减函数，排除A ，B ；y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，故选D. 答案 D9.若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析 由题意y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.答案 A10.已知函数y ＝log 22－x 2＋x，关于其图象有下列说法： ①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点.其中正确的是________.解析 由于函数定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0，y ＝0，所以③正确.答案 ①③11.已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )>f (2)，则a 的取值范围为________.解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由于f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故结合图象可知0<a <12或a >2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 12.已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值. (1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2， 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2， 所以左边＝右边，所以f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2. (2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32. 13.(选做题)已知f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x .(1)当x ∈(－∞，0)时，求函数f (x )的解析式；(2)在给出的坐标系中画出函数f (x )的图象，写出函数f (x )的单调区间，并指出单调性. 解 (1)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝log 2(－x )，又f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝log 2(－x )(x ∈(－∞，0)).(2)函数图象如图.f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).。

对数与对数运算【教学目标】1.理解对数的概念．2.能正确进行指数式与对数式的互化。

【重点难点】指数式与对数式的关系【教学过程】一、情景设置问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。

如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过多少年以后人口数可达到18亿，20亿，30亿？二、探索研究①1813=1.01x,2013=1.01x,3013=1.01x,在这几个式子中x分别等于多少？②你能否给出一个一般性的结论？三、教学精讲1.对数的定义:①如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即__________，那么b叫做以a为底N的对数（Logarithm）.记作____________.其中a叫做_____________,N叫做___________. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0,a≠1时，a x=N x= log a N ②对数与指数幂的关系③说明:10零和负数没有对数,但对数可以是任意实数.20对数式中各字母的范围:a>0且a≠1;N>0;b∈R.2.对数的性质(对数恒等式):①log a1=________ ②log a a=_______ ③a logaN=＿＿＿④log a a b=________3.对数的两种常见形式:①常用对数:__________________ _____. ②自然对数_____________________ . 例1.把下列指数式写成对数式：①3x =81 ②10x =25 ③2-6=164 ④(13)m =5.73例2.把下列对数式写成指数式：①log 218=-3 ②lg2=0.3010 ③ln10=2.303 ④log 2128=7例3．①求下列各式中x 的值：log 64x=- 23；log x 8=6；lg 100=x ；-ln e 2=x ；log 2(log 5x)=1；log 3(lg x)=0.四、课堂练习1.把下列指数式写成对数式：①3n=27 ②(12)x =116 ③215-=15④10-2=11002.把下列对数式写成指数式：①log 87=x ②lg0.01=-2 ③log 2116=-4 ④ln5=y3.求下列式中的x 的值:①x=log 2719 ②log 4x=-32 ③log x 8=-3 ④log 31-2x9=1⑤log )12(-(3+22)=x⑥5100log 5-1=x五、本节小结对数的定义、指数式与对数式的关系【教学后记】。

2.2.2 对数函数及其性质
1.知识与技能
(1)理解对数函数的概念;
(2)掌握对数函数的性质,了解对数函数在生产实际中的简单应用.
(3)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.
2.过程与方法
(1)培养学生的交流能力和与人合作的精神;
(2)用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的联系,激发学生的学习兴趣;
(2)在教学过程中,通过对对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
重点:对数函数的定义、图象和性质,对数函数性质的初步应用.
难点:底数a对图象的影响.
重难点的突破:由指数函数的图象过渡到对数函数的图象,通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键,在教学时一定要使学生的思考紧紧围绕图象、数形结合,加强直观教学,使学生形成以图象为根本,以性质为主体的知识网络.同时,在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变形,使教学真正体现出由浅入深,由易到难,由具体到抽象的特点,从而突出重点、突破难点.
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为()
A.-1
B.-2
C.1
D.2
解析:f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=-log24=-2.答案:B
2.若f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函数,则a的值为. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
即log3a=log34+ a.解得a=-1.
答案:-1。

对数函数及其性质【教学目标】1．知道同底的对数函数与指数函数互为反函数2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。

【重点难点】对数函数的性质的综合运用，反函数的意义【教学过程】一、情景设置问题:用列表描点法在同一个直角坐标系中画出y=log2x与y=2x与x=log2y的函数图像。

二、探索研究①通过图像探索在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？②如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。

③探索y=2x与x=log2y的图像间的关系。

④探索y=2x与y=log2x的图像间的关系。

⑤结合①与④推测函数y=a x与函数y=log a x的关系。

三、教学精讲共同讨论以上问题：①指数函数y=2x在R上是单调（增/减函数）。

过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y 的函数。

②由指数式与对数式关系，由y=2x解得 。

③在同一个直角坐标系中，y=2x 与x=log 2y 的图像完全重合。

④通过观察图像可知，y=2x 与y=log 2x 的图像关于⑤通过①与④类比，归纳知道，y=a x （a>0,且a ≠1）的反函数是 ，且他们的图像关于 对称。

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称例1．求下列函数的反函数：①y=2x+3 ②y=x 31log ③y=（13）x ④y=0.2x +1例2．若y=log 2(2-ax)在区间［0，1］上是减函数，则求a 的取值范围。

例3．已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14] (1)若定义域为R,求实数a 的取值范围；(2)若值域为R,求实数a 的取值范围.例4．试求：(1)满足不等式2(log 2x)2+9log 0.5x+9≤0的x 的范围；(2)当x 在(1)中求得的范围内变动时，函数f(x)= log 2x 2 log 2x 4的最大值和最小值。

对数函数及其性质【教学目标】1．进一步理解对数函数的图象和性质；2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。

【重点难点】教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对数函数的性质的综合运用． 【教学过程】 一、情景设置1．画出函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象。

回答下列问题．（1）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？（2）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（3）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ==== 的图象，则底数之间的关系：_______________________________.y=log a 1xy=log a 2x y=log a 3xy=log a 4x2.根据对数函数的图象和性质填空．(1)已知函数x y 2log =，则当0>x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ； 当10<<x 时，∈y ；当4>x 时，∈y ．(2)已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当5>x 时，∈y ；当20<<x 时，∈y ；当2>y 时，∈x ． 二、教学精讲例1.溶液酸碱度的测量。

溶液酸碱度是通过PH 刻画的。

PH 的计算公式为PH=-lg[H]，其中[H]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

（1）根据对数函数性质及上述PH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H]=10摩尔/升，计算纯净水的PH 。

对数函数及其性质
（1）y=log2 （4-x）
(2)y=log x(4-x)
总结: (1)对数的真数必须大于零；(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
(1) y=log2x
（2）y=log1/2x
教师提示概念中的要求学生
完成（2）
生：独立画图，同学间交流。

师：课堂巡视，个别辅导，
展示画得较好的个别同学图象。

两个函数的
图象。

为对数函数
的图象和性
质作铺垫
问题五：
从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？
问题六：
1、你知道下列函数：
第一组，，(1)y=log2x (2) y=log33x(3) y=log4x
第二组，(1)y=log1/2x (2) y=log1/3x(3) y=log1/4x
，图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？
生：个别同学尝试回答。

师：引导学生发现、观察、对比
底数不同对函数图象的影响。

生：独立思考，小组讨论。

师：用多媒体课件展示各个
函数的图象。

生：观察图象讨论、交流合
作，归纳出对数函数的共同性质。

通过学
生讨论，培养
学生交流合
作能力。

获得对
数函数的图
象和性质。

明确底
数a是确定对
数函数的要
素，渗透分类。