3.2.2直线的两点式方程更新

3.2.2 直线的两点式方程1．直线的两点式方程名称 两点式方程已知条件P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2示意图直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 适用范围斜率存在且不为零思考：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 思考 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．2．直线的截距式方程名称 截距式方程已知条件在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0示意图直线方程 x a ＋yb＝1 适用范围斜率存在且不为零，不过原点思考：方程x 2－y 3＝1和x 2＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？思考 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？3．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1．过点A (3，2)，B (4，3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝02．过P 1(2，0)，P 2(0，3)两点的直线方程是( )A ．x 3＋y 2＝0B ．x 2＋y 3＝0C ．x 2＋y 3＝1D ．x 2－y 3＝13．如图，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<04．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．1．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．跟踪训练2若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.直线的截距式方程【例2】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．命题角度1与三角形有关的直线方程例2过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0跟踪训练2 直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．命题角度2 判断直线的条数例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．求过点A (5，2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．直线方程的灵活应用[探究问题]1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？ 2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ 【例3】 已知A (－3，2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．1．本例中条件不变，试求AB 边上的高线所在直线方程．2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．例4设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．3．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8)．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．一、选择题1．下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示2．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则()A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限3．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是() A．|b| B．－b2 C．b2D．±b 4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝05．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝06．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为()A．x＋y＝1 B．x－y＝1 C．x＋y2＝1 D．x－y2＝17．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()二、填空题8．已知直线xa＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．9．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．10．过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为________．11．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是__________________________________________________________．三、解答题12．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．13．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．四、探究与拓展14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________．15．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．。