2015-2016年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中数学试卷及答案

2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷数 学 2015.11注意事项：1.本试卷共4页。

满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

3.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答．卷纸．．相应的位置）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．函数的()2ln 2y x x =--定义域是 ▲ ．3．已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝ ▲ ．4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22xf x x =-，则()()()103f f f -++＝ ▲ ．5．函数()cos 20y x x x =-->的值域是 ▲ ．6．等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若41428,4S a a a ==+，则10S = ▲ ．7．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a ▲ 9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值等于 ▲ ．10．已知函数()(),,0bf x ax a R b x=+∈>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，且函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增，则b 的最大值等于 ▲11．已知()()312f m m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，()1f m ≤恒成立，则a b +的最大值是 ▲ ． 12．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若221tan 2tan ,3A B a b c =-=，则c = ▲13．已知1,0,0x y y x +=>>，则121xx y ++的最小值为 ▲ 14．设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反。

2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数学学科试题命题人审题人（第一卷）( 满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.经过点(2,1),且与直线«Skip Record If...»平行的直线方程是___________________.2.曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线方程为_____ _____．的右焦点为焦点的抛物线方程是．3.顶点在原点且以双曲线«Skip Record If...»4.圆«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»的位置关系是________________.5. 已知函数«Skip Record If...»，其导函数为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»=_____________.6.直线«Skip Record If...»被圆«Skip Record If...»：所截得的弦长为.7. 若方程«Skip Record If...»表示椭圆，则实数«Skip Record If...»的取值范围是．8．已知双曲线Γ：«Skip Record If...»的右顶点为«Skip Record If...»，与«Skip Record If...»轴平行的直线交Γ于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»两点，记«Skip Record If...»，若Γ的离心率为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的取值的集合是_________.二、解答题 (本大题共4小题，共计60分)9. （本小题满分14分）已知三角形的顶点«Skip Record If...»,试求：（1）«Skip Record If...»边所在直线的方程；（2）«Skip Record If...»边上的高所在直线的方程.10. （本小题满分14分）已知椭圆«Skip Record If...».左右焦点分别为«Skip Record If...».（1）求椭圆的右焦点«Skip Record If...»到对应准线的距离；（2）如果椭圆上第一象限的点«Skip Record If...»到右准线的距离为«Skip Record If...»，求点«Skip Record If...»到左焦点«Skip Record If...»的距离.11. （本小题满分16分）（1）对于函数«Skip Record If...»，已知«Skip Record If...»如果«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值；（2）直线«Skip Record If...»能作为函数«Skip Record If...»图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由.12. （本小题满分16分）已知平面直角坐标系«Skip Record If...»，圆«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外接圆.（1）求圆«Skip Record If...»的一般方程；（2）若过点«Skip Record If...»的直线«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»相切，求直线«Skip Record If...»的方程.（第二卷） ( 满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.直线«Skip Record If...»经过原点，且经过两条直线«Skip Record If...»的交点，则直线«Skip Record If...»的方程为______________.14. 已知圆心在第一象限的圆过点«Skip Record If...»,圆心在直线«Skip Record If...»上,且半径为5,则这个圆的方程为________________.x=处的切线方程是15.已知偶函数«Skip Record If...»的图象经过点(0,1)，且在1f(xy=的解析式为．y x=-，则)216. 已知«Skip Record If...»为正数，且直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»互相垂直，则«Skip Record If...»的最小值为 .17.过点«Skip Record If...»作圆«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的切线，切点为«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»的取值范围是．18．如图，椭圆,椭圆«Skip Record If...»的左、右焦点分别为«Skip Record If...»过椭圆上一点«Skip Record If...»和原点«Skip Record If...»作直线«Skip Record If...»交圆«Skip Record If...»于«SkipRecord I f...»两点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为四、解答题 (本大题共2小题，共计30分)19. (本题满分14分)抛物线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»«Skip Record If...»处的切线«Skip Record If...»分别交«Skip Record If...»轴、«Skip Record If...»轴于不同的两点«Skip Record If...»、«Skip Record If...».（1）如果«Skip Record If...»,求点«Skip Record If...»的坐标：（2）圆心«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴上的圆与直线«Skip Record If...»相切于点«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，求圆的方程.20. (本题满分16分)已知椭圆C：«Skip Record If...».(1)如果椭圆«Skip Record If...»的离心率«Skip Record If...»,经过点P(2,1).①求椭圆«Skip Record If...»的方程；②经过点P的两直线与椭圆«Skip Record If...»分别相交于A,B,它们的斜率分别为«Skip Record If...».如果«Skip Record If...»,试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明.(2) 如果椭圆«Skip Record If...»的«Skip Record If...»,点«Skip Record If...»分别为考试号_______________________班级______________学号_______姓名_________________________ ————————密——————————————————封——————————————线———————椭圆«SKIP RECORD IF...»的上、下顶点，过点«SKIP RECORD IF...»的直线«SKIP RECORD IF...»分别与椭圆«SKIP RECORD IF...»交于«SKIP RECORD IF...»两点. 若△«SKIP RECORD IF...»的面积是△«SKIP RECORD IF...»的面积的«SKIP RECORD IF...»倍，求«SKIP RECORD IF...»的最大值.2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 答 题 纸1. x y -5.2e + (,3)29.解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=,根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标33(2,)(2,)()33k k k Z ππππ+--∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则044320623480F D E F D E F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:43,430,l y kx kx y =+-+=即 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，2|443|34,1k k k+==+解得所以直线3:43,3120.3l y x x y =-++-=即 故所求直线0,3120.l x x y =+-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴=切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ， 所以210-=-b y ； 由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y 解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得2c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+ 同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++ 121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++ 12A B AB A B y y k x x -==-为定值(2) 解法一：12TBC S BC t t =⋅=△ ，直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x =22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为4． 解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

2015-2016学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为．2．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为．3．（5分）已知两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是．4．（5分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为．5．（5分）一质点的运动方程为s=t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为．6．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a 的值为．7．（5分）将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来的圆锥的高为．8．（5分）在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．9．（5分）关于直线a，b有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面β．使b∥β；②过直线a有且只有一平面β．使b⊥β；③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β；④在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β．其中，正确的命题的序号是（把所有正确序号都填上）．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线l：x+y﹣4=0．点B（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为．13．（5分）如图，一根长为2米的竹竿AB斜靠在在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下段点A从距离墙角O点1米的地方移动到米的地方，则AB的中点D经过的路程为米．14．（5分）函数f（x）=a x﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题.：本大题共6小题，共计９０分．15．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足s=x2﹣x3+x ﹣xln（ax）（1≤x≤60），当x=10时，s=102，景点新增毛收入f（x）（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率（参考数据：ln5=1.61）18．（16分）如图，圆O：x2+y2=8内有﹣点P（﹣1，2），AB为过P且倾斜角为135°的弦．（1）求AB的长；（2）若圆C与圆O内切又与弦AB切于点P，求圆C的方程．19．（16分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R为常数．（1）当a=1时，试判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若存在x1∈[1，2]，∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．附加题21．（10分）求函数f（x）=ln+x的最小值．22．（10分）求与圆C：x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．23．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是PA，PD，AB的中点．（1）求直线AH与平面EFH所成角的大小；（2）求二面角H﹣EF﹣A的大小．24．（10分）已知抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）．（1）求抛物线的方程；（2）设F是抛物线的焦点，直线l；y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A，B两点，记AF，BF的斜率之和为m，求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．2015-2016学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为．【分析】设l的倾斜角为θ，可得：tanθ==1，α∈（0，π）．解出即可得出．【解答】解：设l的倾斜角为θ，可得：tanθ==1，α∈（0，π）．∴θ=．故答案为：．2．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为1．【分析】抛物线的标准方程为x2=2y，故p=1，即它的焦点到准线的距离为1．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=2y，故p=1，即它的焦点到准线的距离为1，故答案为1．3．（5分）已知两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是．【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可．【解答】解：两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，化为直线l1：8x+6y+6=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是：=．故答案为：．4．（5分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为x+y﹣π=0．【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，在点（π，0）处的切线斜率为k=cosπ=﹣1，即有在点（π，0）处的切线方程上午y﹣0=﹣（x﹣π），即为x+y﹣π=0．故答案为：x+y﹣π=0．5．（5分）一质点的运动方程为s=t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为6m/s．【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为s=t2+10的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度【解答】解：∵质点的运动方程为s=t2+10∴s′=2t∴该质点在t=3秒的瞬时速度为2×3=6故答案为6m/s6．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是f（0）=a=2即可．【解答】解：f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=a=2，故答案为：2．7．（5分）将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来的圆锥的高为．【分析】通过圆锥的侧面展开图的弧长，就是圆锥底面圆的周长，求出圆锥的底面半径，利用母线、半径、高满足勾股定理，求出圆锥的高．【解答】解：一个圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π底面半径：r=1所以圆锥的高是：=，故答案为：．8．（5分）在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．【分析】先求出边AC的长，在利用双曲线的定义，求出离心率．【解答】解：由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，AC﹣BC=2a，即：2c﹣2c=2a，∴=，即：双曲线的离心率为．故答案为．9．（5分）关于直线a，b有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面β．使b∥β；②过直线a有且只有一平面β．使b⊥β；③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β；④在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β．其中，正确的命题的序号是③（把所有正确序号都填上）．【分析】在①中，当a，b相交时不成立；在②中，当a∥b时不成立；在③中，在空间至少存在一个平面β，使得a∥β，b∥β；在④中，当a∥b时不成立．【解答】解：在①中，若a，b相交，由过直线a没有平面β．使b∥β，故①错误；在②中，若a∥b，由过直线a没有平面β．使b⊥β，故②错误；在③中，在空间至少存在一个平面β，使得a∥β，b∥β，故③正确；在④中，当a∥b时，在空间存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故④错误．故答案为：③．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线l：x+y﹣4=0．点B（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是．【分析】线段DE的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离加半径，由此可得结论．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的圆心坐标为（1，0），半径为；根据题意，线段DE的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离加半径，∵圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离为=∴线段DE的最大值为故答案为：．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心O 在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是4π．【分析】根据圆的性质求出△ABC的面积，代入体积公式分别计算棱锥和球的体积．【解答】解：∵球心O在AB上，∴AC⊥BC，AB=2r，∴BC==．∵SO⊥底面ABC，∴V棱锥=S△ABC•OS==．∵V球=，∴=4π．故答案为4π．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为．【分析】由正切函数的意义，可得3b=4c，可设b=4t，c=3t，a=5t，设出D的坐标，代入椭圆方程，求得k BD•k CD=•=﹣，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：tan∠F1BO=，可得=，可设b=4t，c=3t，a==5t，设D（m，n），即有+=1，即为=﹣，B（0，b），C（0，﹣b），即有k BD•k CD=•==﹣=﹣，===﹣，由k即有k CD=．故答案为：．13．（5分）如图，一根长为2米的竹竿AB斜靠在在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下段点A从距离墙角O点1米的地方移动到米的地方，则AB的中点D经过的路程为米．【分析】点D的路径是：以点O为圆心，1为半径的圆弧，其圆的方程为：x2+y2=1．利用直角三角形的边角关系可得：当OA=1时，∠OAD=60°=∠DOA；当OA′=时，∠D′A′O=30°=∠D′OA′，可得∠DOD′=．利用弧长公式即可得出．【解答】解：点D的路径是：以点O为圆心，1为半径的圆弧，其圆的方程为：x2+y2=1．当OA=1时，∠OAD=60°=∠DOA；当OA′=时，∠D′A′O=30°=∠D′OA′，∴∠DOD′=．∴=m．故答案为：．14．（5分）函数f（x）=a x﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是[，1）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．【解答】解：函数的导数f′（x）=a x lna﹣lna=lna•（a x﹣1），∵0＜a＜1，∴lna＜0，由f′（x）＞0得lna•（a x﹣1）＞0，即a x﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lna•（a x﹣1）＜0，即a x﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，当x=1，则f（1）=a﹣lna当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1+lna，则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，设g（a）=a﹣﹣2lna，则g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0，则g（a）在（0，1）上为增函数，则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0，即g（a）＜0，则f（1）﹣f（﹣1）＜0，即f（1）＜f（﹣1），即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1+lna，若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1，即+lna≤e﹣1，设h（a）=+lna，则h′（a）=﹣+=﹣（）2+，∵0＜a＜1，∴＞1，∴当h′（a）＜h′（1）=0，即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数，由+lna=e﹣1得a=．则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（），即≤a＜1，故答案为：[，1）．二、解答题.：本大题共6小题，共计９０分．15．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标．（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2x﹣y﹣5=0，与直线为x﹣2y﹣5=0．联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足s=x2﹣x3+x ﹣xln（ax）（1≤x≤60），当x=10时，s=102，景点新增毛收入f（x）（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率（参考数据：ln5=1.61）【分析】（1）通过将x=10、s=102代入s=x2﹣x3+x﹣xln（ax）整理、计算可知a=，进而计算可得结论；（2）通过记g（x）=，计算可知g（x）=x﹣x2﹣lnx+ln10（1≤x≤60），通过求导、根据函数的单调性计算即得结论．【解答】解：（1）将x=10、s=102代入s=x2﹣x3+x﹣xln（ax）（1≤x≤60），得：102=102﹣10+10﹣10ln（10a），即a=，∴s=x2﹣x3+x﹣xln（x）（1≤x≤60），∴y=f（x）=s﹣x=x2﹣x3﹣xln（x）（1≤x≤60）；（2）记g（x）==x﹣x2﹣ln（x），则g（x）=x﹣x2﹣lnx+ln10（1≤x≤60），令g′（x）=﹣x﹣===0，可知x=1或x=50，列表如下：由上表可知，g（50）是极大值，也是最大值，g（x）max=g（50）=51﹣25﹣ln5=26﹣1.61=24.39，答：当投入资金50万元时，改造资金的收益最高，最高效益率为24.39．18．（16分）如图，圆O：x2+y2=8内有﹣点P（﹣1，2），AB为过P且倾斜角为135°的弦．（1）求AB的长；（2）若圆C与圆O内切又与弦AB切于点P，求圆C的方程．【分析】（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．（2）设圆C的圆心为（a，a+3），则=2﹣，求出a，即可求圆C的方程．【解答】解：（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1），圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=，则|AB|=2=，∴AB的长为．（2）过P与直线AB垂直的直线方程为y﹣2=x+1，即y=x+3，设圆C的圆心为（a，a+3），则=2﹣，∴a=﹣，∴圆心为（﹣，），半径为，∴圆C的方程为（x+）2+（y﹣）2=．19．（16分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【分析】（I）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．（II）设点P的坐标为（x0，y0），由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD的一半，进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为，F（c，0）．由题意知解得，c=1．故椭圆C的方程为，离心率为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．所以，．因为点F坐标为（1，0），当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2=1与直线PF相切．当时，则直线PF的斜率．所以直线PF的方程为．点E到直线PF的距离=．又因为|BD|=4|k|，所以．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R为常数．（1）当a=1时，试判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若存在x1∈[1，2]，∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求导数f′（x），当a=1时判断导数f′（x）的符号即可；（2）由g（x）在其定义域内为增函数，知对∀x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可；（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，求出函数的导数，由g′（x）=0，得x的值，从而得到函数的单调性，所以在（0，1）上，g（x）max=g（），由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣，得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a=1时，f′（x）=＞0（x＞0），f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由已知得，g（x）=ax﹣﹣5lnx，其定义域为（0，+∞），g′（x）=．因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2﹣5x+a≥0，则a≥．而=≤，当且仅当x=1时，等号成立，所以a≥；（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，g′（x）=，由g′（x）=0，得x=或x=2．当x∈（0，）时，g′（x）≥0；当x∈（，1）时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，g（x）max=g（）=﹣3+5ln2，而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，所以有，∴，∴，解得m≥8﹣5ln2，所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．附加题21．（10分）求函数f（x）=ln+x的最小值．【分析】求出函数的导数，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：f（x）的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）最小值=f（x）极小值=f（）=﹣ln2．22．（10分）求与圆C：x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x（x≠0），若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x＜0．23．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是PA，PD，AB的中点．（1）求直线AH与平面EFH所成角的大小；（2）求二面角H﹣EF﹣A的大小．【分析】（1）以{}为正交基底向量建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线AH与平面EFH所成角的大小．（2）求出平面HEF的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角H﹣EF﹣A的大小．【解答】解：（1）以{}为正交基底向量建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0），=（1，0，0），=（0，1，0），=（1，0，﹣1），设平面EFH的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设直线AH与平面EFH所成角为α，则sinα=|cos＜＞|==，∴直线AH与平面EFH所成角的大小为．（2）由（1）知平面HEF的一个法向量为=（1，0，1），平面AEF的一个法向量为=（1，0，0），cos＜＞==，∵二面角H﹣EF﹣A为锐二面角，∴二面角H﹣EF﹣A的大小为．24．（10分）已知抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）．（1）求抛物线的方程；（2）设F是抛物线的焦点，直线l；y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A，B两点，记AF，BF的斜率之和为m，求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）将y=ax2，化为标准方程为x2=，利用抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程，即可求得抛物线C的方程；（2）直线方程与抛物线方程联立，得x2﹣4kx﹣4b=0．利用韦达定理及直线AF，BF的斜率之和为m，可得直线l：y=kx+，进而令xk2﹣（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直线l过定点．【解答】解：（1）将y=ax2，化为标准方程为x2=，∴抛物线C的准线方程为：y=﹣．∵抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，∴﹣=﹣1，解得a=．∴抛物线C的方程是x2=4y．（2）F（0，1），设A（x1，），B（x2，），由，得x2﹣4kx﹣4b=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，△=16k2+16b＞0．k AF+k BF=+==．…∴b=．∴直线l：y=kx+．令xk2﹣（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立．则，解得．所以m=0，直线l过定点（0，﹣1）．。

2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷一、填空题：1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=．2．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是．3．已知sinα=，α∈（，π），则tanα= ．4．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）= ．5．函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是．6．等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10= ．7．设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是．8．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= ．9．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．10．已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．11．已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．12．在△ABC 中，若tanA=2tanB ，a 2﹣b 2=c ，则c= ．13．已知x+y=1，x ＞0，y ＞0，则+的最小值为 ．14．设f′（x ）和g′（x ）分别是f （x ）和g （x ）的导函数，若f′（x ）g′（x ）≤0在区间I上恒成立，则称f （x ）和g （x ）在区间I 上单调性相反．若函数f （x ）=x 3﹣2ax 与g （x ）=x 2+2bx 在开区间（a ，b ）上单调性相反（a ＞0），则b ﹣a 的最大值为 ．二、解答题：15．已知函数f （x ）=2cos （cos ﹣sin ）（ω＞0）的最小正周期为2π． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f （θ）=+，求cos θ的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1﹣2n+1+1，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．（1）求a 1，a 2的值；（2）求证：{a n +2n }是等比数列．并求数列{a n }的通项公式．17．已知函数f （x ）=x 2﹣2ax+1．（1）若函数g （x ）=log a [f （x ）+a]（a ＞0，a≠1）的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞0时，恒有不等式＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．18．如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了A ，B 两个报名点，满足A ，B ，C 中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A ，B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于A ，B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元．（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？19．设函数f（x）=x|x﹣1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）﹣g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B即可．【解答】解：集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，所以A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}【点评】本题是基础题，考查集合间的交集及其运算，考查观察能力，计算能力．2．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=ln（x2﹣x﹣2），∴x2﹣x﹣2＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1，或x＞2；∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是基础题目．3．已知sinα=，α∈（，π），则tanα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．4．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）+f（0）+f（3）= ﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，先求出f（1），f（0），f（3），进而求出f（﹣1），相加可得答案．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（1）=1，f（0）=0，f（3）=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，∴f（﹣1）+f（0）+f（3）=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．5．函数y=sinx﹣cosx﹣2（x＞0）的值域是[﹣4，0] ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值域．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx﹣2=2sin（x﹣）﹣2 的值域为[﹣4，0]，故答案为：[﹣4，0]．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．6．等差数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10= 120 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入等差数列的求和公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=8a1，a4=4+a2，∴4a1+d=8a1，a1+3d=4+a1+d，联立解得a1=3，d=2∴S10=10×3+×2=120故答案为：120【点评】本题考查等差数列的求和公式，求出数列的公差d是解决问题的关键，属基础题．7．设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是a＞1或a＜﹣1 ．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式转化为两个不等式组，解不等式组可得．【解答】解：由题意可得f（1）=21﹣4=﹣2，∴f（a）＞f（1）可化为或，分别解不等式组可得a＞1或a＜﹣1故答案为：a＞1或a＜﹣1．【点评】本题考查分段不等式的解法，转化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．8．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= 4 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{a n}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．9．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）是偶函数，则φ的值等于．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数f（x）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，若函数f（x）是偶函数，则﹣2φ+=kπ+，即φ=﹣﹣，k∈Z，∴φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知函数f（x）=ax+（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，且函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a﹣b=2，再由题意可得a﹣≥0在区间[，+∞）上恒成立，即有≤x2的最小值，解b的不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=ax+（b＞0）的导数为f′（x）=a﹣，在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=a﹣b，由切线与直线x+2y﹣1=0垂直，可得k=a﹣b=2，即a=b+2，由函数f（x）在区间[，+∞）上是单调递增，可得a﹣≥0在区间[，+∞）上恒成立，即有≤x2的最小值，由x≥可得x2的最小值为．即有≤，由b＞0，可得b≤．则b的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒成立问题的解法，属于中档题．11．已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知函数解析式变形，结合当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，得到关于a，b的约束条件，然后利用线性规划知识求得a+b的最大值．【解答】解：f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m=（3a﹣2）m﹣a+b，∵当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，∴，即．画出可行域如图，联立，解得A（），令z=a+b，化为b=﹣a+z，由图可知，当直线b=﹣a+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．12．在△ABC中，若tanA=2tanB，a2﹣b2=c，则c= 1 ．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】解三角形．【分析】由tanA=2tanB，可得，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，由余弦定理化简整理可得：a2﹣b2=c2，结合a2﹣b2=c，即可解得c的值．【解答】解：∵tanA=2tanB，可得：，利用正弦定理可得：acosB=2bcosA，∴由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2﹣b2=c2，又∵a2﹣b2=c，∴c=c2，解得：c=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．13．已知x+y=1，x＞0，y＞0，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】消元可得+=﹣1+，然后换元令3x+2=t，x=（t﹣2），代入要求的式子由基本不等式可得．【解答】解：∵x+y=1，x＞0，y＞0，∴y=1﹣x∴+=+===﹣1+，令3x+2=t，则t∈（2，5）且x=（t﹣2），∴﹣1+=﹣1+=﹣1+=﹣1+，由基本不等式可得﹣2t﹣=﹣2（t+）≤﹣2•2=﹣16，当且仅当t=即t=3x+2=4即x=时取等号，∴﹣2t﹣+20≤4，∴≥，∴﹣1+≥，故答案为：．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及消元和换元的思想，属中档题．14．设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b﹣a的表达式，求出最大值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ax，g（x）=x2+2bx，∴f′（x）=x2﹣2a，g′（x）=2x+2b；由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，∴x2﹣2a≤0恒成立，即﹣≤x≤；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，即0＜a≤，解得0＜a≤2；∴b﹣a≤﹣a=﹣+，当a=时，取“=”，∴b﹣a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．二、解答题：15．已知函数f（x）=2cos（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）=+，求cosθ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把已知的函数解析式变形，结合其最小正周期求出ω，则函数解析式可求；（2）把f（θ）=+代入函数解析式求得，结合θ的范围得到cos（），再由cosθ=cos[]展开两角和的余弦得答案．【解答】解：（1）f（x）=2cos（cos﹣sin）====．∵f（x）的最小正周期为2π，∴ω=1，∴f（x）=；（2）f（θ）==+，∴，∵θ∈（0，），∴（），则cos（）=．则cosθ=cos[]=cos（）cos﹣sin（）sin==．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换中的应用，是基础的计算题．16．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1，a2的值；（2）求证：{a n+2n}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得a1+a3=2（a2+5），2a1=a2﹣3，2（a1+a2）=a3﹣7，由此能求出a1，a2的值．（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，得2S n﹣1=a n﹣2n+1，（n≥2），两式相减整理得{a n+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．由此能求出a n=3n﹣2n．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列，∴a1+a3=2（a2+5），①，当n=1时，2a1=a2﹣3，②当n=2时，2（a1+a2）=a3﹣7，③∴联立①②③解得，a1=1，a2=5，a3=19．（2）证明：由2S n=a n+1﹣2n+1+1，①得2S n﹣1=a n﹣2n+1，（n≥2），②，两式相减得2a n=a n+1﹣a n﹣2n（n≥2），==3（n≥2）．∵=3，∴{a n+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，即a n=3n﹣2n．【点评】本题考查数列中前两项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）=log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式＞lnx成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题可知x2﹣2ax+1+a＞0在R上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；（2）整理不等式得x+﹣lnx＞2a，构造函数f（x）=x+﹣lnx，利用导数求出函数的最小值即可．【解答】（1）由题意可知，x2﹣2ax+1+a＞0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4﹣4a＜0，∴0＜a＜，且a≠1；（2）∵＞lnx，∴x+﹣lnx＞2a，令f（x）=x+﹣lnx，∴f'（x）=﹣﹣+1，令f'（x）=﹣﹣+1=0，∴x=，∴x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）≥f（）=﹣ln，∴a＜（﹣ln）．【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换．难点是利用导函数求出构造函数的最小值．18．如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）由题在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．（2）利用导数求得cosα=时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．【解答】解：（1）由题在△ACD 中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=，∠CDA=α，∴∠ACD=﹣α． 又AB=BC=CA=10，△ACD 中，由正弦定理知，得CD=，AD=…∴S=8AD+16BD+24CD=+160=40•+120（＜α＜）．…（2）S′=40×，令S′=0，得cos α=．…当cos α＞时，S′＜0；当cos α＜时，S′＞0，∴当cos α=时S 取得最小值．…此时，sin α=，AD==5+，∴中转站距A 处5+千米时，运输成本S 最小．…【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．19．设函数f （x ）=x|x ﹣1|+m ，g （x ）=lnx ．（1）当m ＞1时，求函数y=f （x ）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p （x ）=f （x ）﹣g （x ），若函数p （x ）有零点，求m 的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）化简函数f （x ）的解析式，分别在[0，1]和（1，m]上求函数的最大值．（2）函数有零点即对应方程有解，得到m 的解析式m=h （x ），通过导数符号确定h （x ）=lnx ﹣x|x ﹣1|的单调性，由h （x ）的单调性确定h （x ）的取值范围，即得m 的取值范围．【解答】解：（1）当x ∈[0，1]时，f （x ）=x （1﹣x ）+m=∴当时，当x ∈（1，m]时，f （x ）=x （x ﹣1）+m=∵函数y=f （x ）在（1，m]上单调递增，∴f（x ）max =f （m ）=m 2由得：又m＞1．∴当时，f（x）max=m2；当时，．（2）函数p（x）有零点即方程f（x）﹣g（x）=x|x﹣1|﹣lnx+m=0有解，即m=lnx﹣x|x﹣1|有解令h（x）=lnx﹣x|x﹣1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2﹣x+lnx∵∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0当x∈（1，+∞）时，h（x）=﹣x2+x+lnx．∵=＜0∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0∴方程m=lnx﹣x|x﹣1|有解时，m≤0，即函数p（x）有零点时m≤0【点评】本题考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法．20．已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【考点】数列的应用；等差关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）确定数列的前5项，利用S5=16，a4=a5，建立方程，求出d1=2，d2=3，从而可求a10；（2）先证明d1=d2，再利用S15=15a8，求得d1=d2=2，从而可证数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m为奇数，n为偶数，利用a m=a n，及d1=3d2，可得，从而可求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：根据题意，有a1=1，a2=2，a3=a1+d1=1+d1，a4=a2+d2=2+d2，a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16，a4=a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16，2+d2=1+2d1∴d1=2，d2=3．∴a10=2+4d2=14（2）证明：当n为偶数时，∵a n＜a n+1恒成立，∴2+，∴（d2﹣d1）+1﹣d2＜0∴d2﹣d1≤0且d2＞1当n为奇数时，∵a n＜a n+1恒成立，∴，∴（1﹣n）（d1﹣d2）+2＞0∴d1﹣d2≤0∴d1=d2∵S15=15a8，∴8++14+=30+45d2∴d1=d2=2∴a n=n∴数列{a n}是等差数列；（3）解：若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m为奇数，n为偶数∵a m=a n，∴∵d1=3d2，∴∵m为奇数，n为偶数，∴3m﹣n﹣1的最小正值为2，此时d1=3，d2=1∴数列{a n}的通项公式为a n=．【点评】本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．。

2023-2024学年江苏省常熟市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 5+a 8＝18，则S 9＝（ ） A ．36B ．45C ．54D ．632．圆x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心到直线2x +y ﹣1＝0的距离为（ ） A ．0B ．1C ．√33D ．√553．数列{a n }中，a n =1√n+√n+1，S n ＝8，则n ＝（ ）A ．77B ．78C ．79D ．804．直线l 1：ax +3y +a 2﹣5＝0，l 2：x +（a ﹣2）y +4＝0，若两条直线平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．3D ．﹣1或35．若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(34，1]B ．(34，3) C ．[−1，−34]∪(34，1]D ．(34，+∞)6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点为A （0，0），B （5，0），C （2，4），则该三角形的欧拉线方程为（ ） A ．x +2y ﹣5＝0B ．x ﹣2y ﹣5＝0C ．2x +y ﹣10＝0D ．2x ﹣y ﹣10＝07．已知a 1＝1，a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+2a n ﹣2+1（n ≥3，n ∈N *），S n 为其前n 项和，则S 60＝（ ） A ．230﹣31B ．430﹣31C ．230﹣30D ．430﹣308．已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2|MB |+|MD |的最小值为（ ） A ．√152B ．√15C ．√172D ．√17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线x +2y ﹣4＝0与直线2x +4y +1＝0之间的距离是9√510D ．直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2，则a ＝﹣3 10．下列命题中，正确的有（ ）A ．数列{a n }中，“a n ＝2a n ﹣1（n ≥2，n ∈N *）”是“{a n }是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B ．数列{a n }的通项为a n =2n 2+λn ，若{a n }为单调递增数列，则λ≥﹣4C ．等比数列{a n }中，a 2，a 10是方程x 2﹣8x +4＝0的两根，则a 6＝±2D ．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S 5T 7=1513，则a 3b 4=211311．已知圆M ：（x +1）2+y 2＝2，（M 为圆心）直线l ：x ﹣y ﹣3＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形P AMB 的面积最小值为2√3B ．|P A |最短时，弦AB 长为√6C ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ﹣y ﹣1＝0D ．直线AB 过定点为（−12，−12）12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为斐波那契数列，现将{a n }中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{b n }，则（ ）A ．b 1+b 2+b 3+⋯+b 2022＝2697B ．b 2002＝3C ．a 1+a 2+a 3+⋯+a 2002＝a 2004﹣1D ．a 22+a 32+⋯+a 20022=a 2002a 2003−a 1a 2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点P （﹣1，1），Q （1，3），圆心在直线y ＝x 上的圆的标准方程为 ． 14．点A （1，2）关于直线l ：x +2y ﹣1＝0的对称点的坐标为 ．15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my +2＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣2m +3＝0交于点P （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值为 ．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2n+1，数列{b n }满足b n =log 2ann+1，其中n ∈N *．则使不等式(1+1b 2)⋅(1+1b 4)⋅⋯⋅(1+1b 2n)≥m ⋅√b 2n+2对任意正整数n 都成立的最大实数m 的值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，点C 的坐标为（4，﹣1），BC 边上的中线所在直线的方程为3x ﹣y ﹣1＝0，直线AC 的倾斜角为3π4．（1）求点A 的坐标；（2）过点A 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，求△MON （O 为坐标原点）面积的最小值．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a 5＝a 2+14，S 9＝72，S 9＝72． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={a n ，n 为奇数2n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19．（12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （2，0），B （2，4），C （4，2），直线l 经过点D （1，4）． （1）求△ABC 外接圆M 的方程；（2）若直线l 与圆M 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2√3，求直线l 的方程．20．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设{bn a n}是首项为1，公比为3的等比数列，①求数列{b n }的前n 项和T n ；②若不等式λT n −S n +2n 2≤0对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和记为A n ，且A n =n(a 1+a n )2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若a 1＝b 1≠0，且存在不小于3的正整数m ，k ，使得a k ＝b m ． （1）若a 1＝1，a 3＝5，求a 2的值； （2）求证：数列{a n }是等差数列；（3）若q ＝2，是否存在正整数m ，k ，使得A k ＝65B m ？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标是（6，4），端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝1． （1）求曲线C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于两点E ，F （异于原点O ）直线OE ，OF 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝5，①证明：直线l 过定点P ，并求出点P 的坐标；②若BD ⊥EF ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．2023-2024学年江苏省常熟市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 5+a 8＝18，则S 9＝（ ） A ．36B ．45C ．54D ．63解：a 2+a 5+a 8＝3a 5＝18， ∴a 5＝6，S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=54． 故选：C ．2．圆x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心到直线2x +y ﹣1＝0的距离为（ ） A ．0B ．1C ．√33D ．√55解：圆x 2+y 2﹣2x ＝0的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，则圆心（1，0）， 所以（1，0）到直线2x +y ﹣1＝0的距离d =|1×2+0−1|√2+1=√55．故选：D ． 3．数列{a n }中，a n =√n+√n+1，S n ＝8，则n ＝（ ）A ．77B ．78C ．79D ．80解：依题意，a n =1√n+√n+1=√n +1−√n ，所以S n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， 由S n =√n +1−1=8，解得n ＝80． 故选：D ．4．直线l 1：ax +3y +a 2﹣5＝0，l 2：x +（a ﹣2）y +4＝0，若两条直线平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．3D ．﹣1或3解：直线l 1：ax +3y +a 2﹣5＝0，l 2：x +（a ﹣2）y +4＝0，互相平行， 则a （a ﹣2）＝3，解得a ＝3或a ＝﹣1， 当a ＝3时，两直线不重合，符合题意， 当a ＝﹣1时，两直线重合，不符合题意，舍去， 综上所述，a ＝3． 故选：C ．5．若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(34，1]B ．(34，3) C ．[−1，−34]∪(34，1]D ．(34，+∞)解：直线kx ﹣y ﹣1＝0化成y ＝kx ﹣1，可得它必定经过点（0，﹣1），而曲线√1−(y −1)2=x −1，可变形整理为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1）， ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x ＝1右侧的部分，设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k 1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k 2． 可得当直线kx ﹣y ﹣1＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k 满足k 1＜k ≤k 2． 由点（1，1）到直线kx ﹣y ﹣1＝0的距离d =|k−2|√1+k =1，解得k 1=34，而k 2=0+11−0=1，由此可得34＜k ≤1． 故选：A ．6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点为A （0，0），B （5，0），C （2，4），则该三角形的欧拉线方程为（ ） A ．x +2y ﹣5＝0B ．x ﹣2y ﹣5＝0C ．2x +y ﹣10＝0D ．2x ﹣y ﹣10＝0解：△ABC 的顶点为A （0，0），B （5，0），C （2，4）， ∴重心G (73，43)．设△ABC 的外心为W （52，a ），则|OW |＝|WC |，√(52)2+a 2=√(52−2)2+(4−a)2，解得a =54．可得W （52，54）．则该三角形的欧拉线方程为y −43=43−5473−52（x −73），化为：x +2y ﹣5＝0．故选：A ．7．已知a 1＝1，a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+2a n ﹣2+1（n ≥3，n ∈N *），S n 为其前n 项和，则S 60＝（ ） A ．230﹣31B ．430﹣31C ．230﹣30D ．430﹣30解：由a n ＝a n ﹣1+2a n ﹣2+1（n ≥3，n ∈N *）可得：a n +a n ﹣1+1＝2a n ﹣1+2a n ﹣2+2＝2（a n ﹣1+a n ﹣2+1）， 已知a 1＝1，a 2＝1，所以a 1+a 2+1＝3，则{a n +a n ﹣1+1}是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n +a n−1+1=3×2n−2，即a n +a n−1=3×2n−2−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 1+a 2=3×20−1，a 3+a 4=3×22−1，a 5+a 6=3×24−1，⋯，a 59+a 60=3×258−1， S 60=a 1+a 2+⋯+a 60=3(20+22+⋯+258)−30=3×1−4301−4−30=430−31，故选：B ．8．已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2|MB |+|MD |的最小值为（ ） A ．√152B ．√15C ．√172D ．√17解：依题意，以点C 为坐标原点，直线CB ，CD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，如图，取点E （0，12），设M ′（x ，y ），则当|M ′D |＝2|M ′E |时，√x 2+(y −2)2=2√x 2+(y −12)2， 化简整理得x 2+y 2＝1，∴点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，∵点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，∴|MD |＝2|ME |， ∴点B 在圆C ：x 2+y 2＝1外，则2|MB |+|MD |＝2（|MB |+|ME |）≥2|BE |，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，∵|BE|=√22+(12)2=√172，∴2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|=√17．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．直线√3x+y+1=0的倾斜角为120°B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0C．直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0之间的距离是9√5 10D．直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，l1⊥l2，则a＝﹣3解：对于A，直线√3x+y+1=0的斜率k=−√3，则其倾斜角为120°，A正确；对于B，过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为y=12x，B错误；对于C，直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0，即x+2y+12=0间的距离：|−4−12|√12+22=9√510，C正确；对于D，由l1⊥l2，得a（a﹣1）﹣2a（a+1）＝0，且a≠0，解得a＝﹣3，D正确．故选：ACD．10．下列命题中，正确的有（）A．数列{a n}中，“a n＝2a n﹣1（n≥2，n∈N*）”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列{a n}的通项为a n=2n2+λn，若{a n}为单调递增数列，则λ≥﹣4C．等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2﹣8x+4＝0的两根，则a6＝±2D．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若S5T7=1513，则a3b4=2113解：对于A，{a n}是公比为2的等比数列，则有a n＝2a n﹣1（n≥2，n∈N*），反之，当a n＝2a n﹣1（n≥2，n∈N*），若a1＝0，数列{a n}不是等比数列，因此“a n＝2a n﹣1（n≥2，n∈N*）”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，A正确；对于B，a n=2n2+λn，{a n}为单调递增数列，则∀n∈N*，a n+1−a n=2(n+1)2+λ(n+1)−(2n2+λn)=4n+2+λ＞0，即λ＞﹣4n﹣2，而数列{﹣4n﹣2}单调递减，即﹣4n﹣2≤﹣6，因此λ＞﹣6，B错误；对于C ，令等比数列{a n }的公比为q ，依题意a 62=a 2a 10=4＞0，a 2+a 10=8＞0，显然a 2＞0，而a 6=a 2q 4＞0，因此a 6＝2，C 错误； 对于D ，等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为分别为S n ，T n ， 所以a 3b 4=2a 32b 4=75⋅5(a 1+a 5)27(b 1+b 7)2=75⋅S 5T 7=75×1513=2113，D 正确．故选：AD ．11．已知圆M ：（x +1）2+y 2＝2，（M 为圆心）直线l ：x ﹣y ﹣3＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形P AMB 的面积最小值为2√3B ．|P A |最短时，弦AB 长为√6C ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ﹣y ﹣1＝0D ．直线AB 过定点为（−12，−12）解：A 选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和， 即S 四边形P AMB ＝S △MP A +S △MPB ，又因切线长定理可知，即S 四边形P AMB ＝S △MP A +S △MPB =12•√2•（|P A |+|PB |）=√2|P A |， ∴当|AP |最短时，四边形面积最小． 又∵|MP |与|AP |及半径R 构成直角三角形， ∴|MP |最短时，|AP |最短， 即MP ＝d ＝2√2，∴|AP |=√(2√2)2−√22=√6， ∴S 四边形PAMB =√6⋅√2=2√3， 故A 正确．由上述可知，MP ⊥l 时，|P A |最短， 由等面积法可知，S 四边形PAMB =12|MP ||AB |． 得|AB |=√6， 故B 正确．∵MP ⊥AB ，MP ⊥l ，k l ＝1， ∴k AB ＝1，可设AB 的直线方程为x ﹣y +m ＝0，由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距=√√22−(√62)2=√22， ∴圆心M （﹣1，0）到直线AB 的距离d =|−1+m|√2=√22， 解得m ＝0，即直线AB 的方程为x ﹣y ＝0． 故C 错误．设圆上一点A 为（x A ，y A ）B （x B ，y B ），P （x P ，y P ），∴MA →=（x A +1，y A ），MB →=（x B +1，y B ），PA →=（x A ﹣x P ，y A ﹣y P ），易知PA →⋅MA →=0⇒（x A +1）（x A ﹣x P ）+y A （y A ﹣y P ）＝0⇒（x P +1）（x A +1）+y P •y A ＝2， 同理PB →⋅MB →=0⇒（x P +1）（x B +1）+y P •y B ＝2， ∴AB ：（x +1）（x P +1）+y •y P ＝2． ∵y P ＝x P ﹣3，∴原式＝（x +1）（x P +1）+y （x P ﹣3）＝2， 将（−12，−12）代入得12⋅x P +12−12x P +32=2等号成立，故直线AB 过定点为（−12，−12），D 正确． 故选：ABD ．12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为斐波那契数列，现将{a n }中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{b n }，则（ ）A ．b 1+b 2+b 3+⋯+b 2022＝2697B ．b 2002＝3C ．a 1+a 2+a 3+⋯+a 2002＝a 2004﹣1D ．a 22+a 32+⋯+a 20022=a 2002a 2003−a 1a 2解：斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯，则b 1＝1，b 2＝1，b 3＝2，b 4＝3，b 5＝1，b 6＝0，b 7＝1，b 8＝1，b 9＝2，b 10＝3，b 11＝1，b 12＝0，⋯， 即数列{b n }是以6为周期的周期数列，对于A ，b 1+b 2+b 3+⋯+b 2022＝337×（b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6）＝337×8＝2696，故A 错误； 对于B ，b 2002＝b 6×333+4＝b 4＝3，故B 正确；对于C ，a 2004﹣a 2003＝a 2002，a 2003﹣a 2002＝a 2001，⋯，a 3﹣a 2＝a 1， 以上式子相加得：a 2004﹣a 2＝a 2004﹣1＝a 1+a 2+⋯+a 2002，故C 正确；对于D ，a 2a 1+a 22+a 32+⋯+a 20022=a 2（a 1+a 2）+a 32+⋯+a 20022＝a 2a 3+a 32+⋯+a 20022=a 3（a 2+a 3）+...+a 20022=a 3a 4+...+a 20022＝...＝a 2002a 2003，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点P （﹣1，1），Q （1，3），圆心在直线y ＝x 上的圆的标准方程为 （x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4 ． 解：圆心C 在直线y ＝x 上，设C （a ，a ），设圆的半径为r ，由圆过点P （﹣1，1），Q （1，3）， 有r ＝|PC |＝|QC |，则r 2＝（a +1）2+（a ﹣1）2＝（a ﹣1）2+（a ﹣3）2， 解得a ＝1，r 2＝4，所以圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．14．点A （1，2）关于直线l ：x +2y ﹣1＝0的对称点的坐标为 (−35，−65) ． 解：设对称点的坐标为（a ，b ）， 则{1×a+12+2×b+22−1=0b−2a−1×(−12)=−1，解得a =−35，b =−65，所以对称点的坐标为(−35，−65)． 故答案为：(−35，−65)．15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my +2＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣2m +3＝0交于点P （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值为252．解：直线x +my +2＝0可得A （﹣2，0），直线mx ﹣y ﹣2m +3＝0可整理为m （x ﹣2）﹣y +3＝0， 令{x −2=0−y +3=0，解得{x =2y =3， 所以B （2，3），因为1•m +m •（﹣1）＝0，所以直线x +my +2＝0与直线mx ﹣y ﹣2m +3＝0垂直， 则P A ⊥PB ，所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆，|AB|=√(−2−2)2+(0−3)2=5，所以|P A |2+|PB |2＝|AB |2＝25，所以|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=252，当且仅当|PA|=|PB|=5√22时等号成立．故答案为：252．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2n+1，数列{b n }满足b n =log 2a nn+1，其中n ∈N *．则使不等式(1+1b 2)⋅(1+1b 4)⋅⋯⋅(1+1b 2n )≥m ⋅√b 2n+2对任意正整数n 都成立的最大实数m 的值为 34． 解：因为S n =2a n −2n+1，所以S n−1=2a n−1−2n (n ≥2)， 所以a n =2a n −2a n−1−2n ，即a n =2a n−1+2n ， 两边同除以2n 可得a n 2n=a n−12n−1+1，又因为n ＝1时a 1=2a 1−22⇒a 1=4，所以a 121=2，所以{a n 2n }是以2为首项，1为公差的等差数列， 即a n 2n=2+(n −1)×1=n +1⇒a n =(n +1)⋅2n ，所以b n =log 2an n+1=log 22n =n ，代入不等式可得(1+12)(1+14)⋯(1+12n)≥m √2n +2， 即m ≤(1+12)(1+14)⋯(1+12n )√2n+2， 令c n =(1+12)(1+14)⋯(1+12n )√2n+2，则c n+1=(1+12)(1+14)⋯(1+12n )(1+12n+2)√2n+4， 所以c n+1−c n =(1+12)(1+14)⋯(1+12n )(1+12n+2)√2n+4−(1+12)(1+14)⋯(1+12n )√2n+2=(1+12)(1+14)⋯(1+12n )(2n+3(2n+2)2n+412n+2)=(1+12)(1+14)⋯(1+12n )(2n+3)−√2n+2⋅√2n+4(2n+2)2n+4， 因为（2n +3）2﹣（2n +2）（2n +4）＝1＞0，所以(2n +3)2＞(2n +2)(2n +4)⇒2n −3＞√2n +2⋅√2n +4， 所以c n +1﹣c n ＞0恒成立，即{c n }为单调递增数列，所以(c n )min =c 1=1+122+2=34，所以m ≤34，即m 的最大值为34．故答案为：34．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，点C 的坐标为（4，﹣1），BC 边上的中线所在直线的方程为3x ﹣y ﹣1＝0，直线AC 的倾斜角为3π4．（1）求点A 的坐标；（2）过点A 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，求△MON （O 为坐标原点）面积的最小值．解：（1）因为直线AC 的倾斜角为3π4，所以直线AC 的斜率为﹣1，又C 的坐标为（4，﹣1），所以直线AC 的方程为y +1＝﹣（x ﹣4），即x +y ﹣3＝0． 因为BC 边上的中线经过点A ，即A 为直线AC 与BC 边中线的交点， 联立{3x −y −1=0x +y −3=0，解得x ＝1，y ＝2，所以点A 的坐标为（1，2）． （2）依题意可设直线l 的方程为xa+y b=1（a ＞0，b ＞0），则1a+2b=1．因为a ＞0，b ＞0，所以1a+2b=1≥2√1a ⋅2b，则ab ≥8，当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立，所以△MON 面积的最小值为S =12ab =12×8=4．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a 5＝a 2+14，S 9＝72，S 9＝72． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={a n ，n 为奇数2n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．解：（1）依题意，设数列{a n }的公差为d ， 因为S 9＝72，所以9(a 1+a 9)2=9a 5=72，则a 5＝8，又2a 5＝a 2+14，所以a 2＝2， 所以d =a 5−a 25−2=8−23=2，a 1=a 2−d =0， 所以a n ＝（n ﹣1）×2，即a n ＝2n ﹣2． （2）因为b n ={a n ，n 为奇数2n ，n 为偶数，所以b n ={2n −2，n 为奇数2n ，n 为偶数，所以T 2n =(0+22)+(4+24)+⋯+(4n −4+22n ) ＝（0+4+⋯+4n ﹣4）+（22+24+⋯+22n ）=n(0+4n−4)2+22×(1−4n)1−4=2n 2−2n +4n+1−43． 19．（12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （2，0），B （2，4），C （4，2），直线l 经过点D （1，4）． （1）求△ABC 外接圆M 的方程；（2）若直线l 与圆M 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2√3，求直线l 的方程．解：（1）因为A （2，0），B （2，4），C （4，2），所以k AC ＝1，k BC ＝﹣1，所以k AB •k AC ＝﹣1，所以CA ⊥CB ， 又因为CA =CB =2√2，所以△ABC 是等腰直角三角形， 所以⊙M 的圆心是AB 的中点，即圆心M （2，2），半径r =|AB|2=2， 所以⊙M 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4；（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2√3时， 圆心到直线的距离为d =√22−(√3)2=1， ①当直线l 与x 轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线l 为x ＝1，与圆心M （2，2）的距离为1，满足条件；（2）当直线l 的斜率存在时，设l ：y ﹣4＝k （x ﹣1），即kx ﹣y +4﹣k ＝0， 则圆心到直线的距离为d =|2k−2+4−k|√k +1=|k+2|√k +1=1，解得k =−34，此时直线l 的方程为y −4=−34(x −1)，即3x +4y ﹣19＝0， 综上可知，直线l 的方程为x ＝1或3x +4y ﹣19＝0．20．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设{bn a n}是首项为1，公比为3的等比数列，①求数列{b n }的前n 项和T n ；②若不等式λT n −S n +2n 2≤0对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）依题意得a 42=a 1a 13，S 3+S 5＝50，即有{3a 1+3×22d +5a 1+4×52d =50(a 1+3d)2=a 1(a 1+12d)，解得{a 1=3d =2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即a n＝2n+1．（2）①b na n=3n−1，b n=a n⋅3n−1=(2n+1)⋅3n−1，T n=3+5⋅3+7⋅32+⋯+(2n+1)⋅3n−1，3T n=3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1+(2n+1)⋅3n，所以−2T n=3+2⋅3+2⋅32+⋯+2⋅3n−1−(2n+1)3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)3n=−2n•3n．∴T n=n⋅3n．②由（1）易求得S n＝n（n+2），所以不等式λT n−S n+2n2≤0对一切n∈N*恒成立，即转化为λ≤2−n3n对一切n∈N*恒成立，令f(n)=2−n3n(n∈N∗)，则f（n）min≥λ，又f(n+1)−f(n)=1−n3n+1−2−n3n=2n−53n+1，当1≤n≤2时，f（n+1）﹣f（n）＜0；n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＞0，所以f（1）＞f（2）＞f（3），且f（3）＜f（4）＜⋯，则λ≤f(n)min=f(3)=−1 27．所以实数λ的最大值为−1 27．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和记为A n，且A n=n(a1+a n)2，数列{b n}是公比为q的等比数列，它的前n项和记为B n．若a1＝b1≠0，且存在不小于3的正整数m，k，使得a k＝b m．（1）若a1＝1，a3＝5，求a2的值；（2）求证：数列{a n}是等差数列；（3）若q＝2，是否存在正整数m，k，使得A k＝65B m？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当n＝3时，A3=a1+a2+a3=3(a1+a3)2，因为a1＝1，a3＝5，所以a2＝3．（2）证明：由A n=n(a1+a n)2，得A n+1=(n+1)(a1+a n+1)2，两式相减，得a n+1=a1+(n+1)a n+1−na n2，即（n﹣1）a n+1﹣na n+a1＝0，则na n+2﹣（n+1）a n+1+a1＝0，两式相减，得2a n +1＝a n +a n +2， 所以数列{a n }为等差数列． （3）依题意：a k =b m =a 1⋅2m−1，由A k ＝65B m 得：a 1+a k2×k =65×a 1−q m a 11−q，即a 1+a 1⋅2m−12×k =65×a 1−2m a 11−2，所以260−k =3902m−1+1， 因为28＝256，且m ≥3，所以2≤m ﹣1≤8， 又因为390＝6×65，且2m ﹣1+1为奇数，所以当2m ﹣1+1＝65时，3902m−1+1是整数，此时m ﹣1＝6，所以m ＝7，k ＝254．22．（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标是（6，4），端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝1． （1）求曲线C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于两点E ，F （异于原点O ）直线OE ，OF 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝5，①证明：直线l 过定点P ，并求出点P 的坐标；②若BD ⊥EF ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值． 解：（1）不妨设A （x ，y ），M （x 0，y 0）， 因为M 为线段AB 的中点， 所以x 0=x+62，y 0=y+42， 因为点M 的轨迹方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝1， 所以(x+62−4)2+(y+42−2)2=1， 整理得曲线C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）①证明：不妨设直线l 的方程为y ＝kx +m ，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），x 1x 2≠0， 联立{y =kx +m(x −2)2+y 2=4，消去y 并整理得（1+k 2）x 2+2（km ﹣2）x +m 2＝0， 因为Δ＝4（km ﹣2）2﹣4（1+k 2）m 2＞0， 解得m 2+4km ﹣4＜0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2(km−2)1+k2，x 1x 2=m 21+k2，所以k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2+2km(2−km)1+k2+m 2m 21+k2=1+4km=5， 解得m ＝k ，所以直线l 的方程为y ＝k （x +1）， 此时直线l 过定点P （﹣1，0）；②证明：因为BP 为定值，且△BDP 为直角三角形，BP 为斜边， 所以当点Q 是BP 的中点时，|QD|=12|BP|为定值， 因为B （6，4），P （﹣1，0）， 由中点坐标公式得Q （52，2）．故存在定点Q （52，2），使得|DQ |为定值．。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列，，，3，，…，，…，则是这个数列的2023年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷( )A. 第12项 B. 第13项C. 第24项D. 第25项2.已知直线 ：，：，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是( )A. B.C.或 D.4.已知在圆上到直线的距离为的点恰有三个，则( )A.B. C. D. 85.已知递减的等差数列满足，则数列的前n 项和取最大值时，( )A. 3B. 4C. 4或5D. 5或66.已知圆C ：，点及点，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.7.已知点，，若圆上存在点P ，使得，则正数a 的取值范围为( )A.B.C.D.8.南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为，设，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为( )A. 5043B. 5047C. 5048D. 5052二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线：，动直线：，则下列结论错误的是( )A. 不存在k，使得的倾斜角为B. 对任意的k，与都有公共点C. 对任意的k，与都不重合D. 对任意的k，与都不垂直10.已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则( )A. B. C. D.11.下列结论正确的是( )A. 已知点在圆C：上，则的值可能是B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为C. 已知点是圆外一点，直线l的方程是，则l与圆相交D. 若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是12.意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是( )A. B. …C. …D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏徐州市五县一区2015～2016学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟 总分160分）参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．点)2,1(P 直线1-=y 的距离 ▲ ． 2．点)1,2,2(-P 关于xOz 平面对称点是 ▲ ． 3．命题“,R x ∈∀有02≥x ”的否定为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．4．经过点)3,2(-A 且与直线012=-+y x 垂直的直线方程为 ▲ ． 5．方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是 ▲ ． 6．过三点)2,0(),0,4(B A -和原点)0,0(O 的圆的方程 ▲ ．7．已知两条直线.8)5(2:,354)3(:21=++-=++y m x l m y x m l 若直线1l 与直线2l 平行，则实数=m ▲ .8．已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,//αα⊂m l 则;//m l ②若,,//,m l l =⊂βαβα 则;//m l ③若α⊂m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥ 则其中真命题为 ▲ （写出所有真命题的序号）．9．若命题“02)1(,2≤+-+∈∃x a x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 10.空间四个点C B A P ,,,在同一个球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且,a PC PB PA ===那么这个球的表面积是 ▲ ．11．直线2-=kx y 被圆4)1()2(22=-+-y x 所截得的弦长为32，则实数k 的值为▲ ．12．过点)2,4(A 作圆4)1()2(22=++-y x 的切线,l 则切线l 的方程为 ▲ ． 13．已知圆,0442:22=-+-+y x y x C 若以直线b x y l +=:被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆过原点，则实数=b ▲ ．14．若方程2)(12+=+-x a x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知直线022:1=++y x l 和013:2=++y x l（1）求过直线1l 和2l 的交点且与直线0532:3=++y x l 平行的直线方程； （2）求直线1l 和2l 的交点到直线01=+-y x 的距离.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAB 平面//,BC ABCD 平面︒=∠90,PBC PAD.90︒≠∠PBA求证：（1）//AD 平面;PBC（2）平面//PBC 平面.PAB17.（本小题满分14分）设:p 实数x 满足,03422<+-a ax x 其中0>a ，命题:q 实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0820622x x x x（1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分16分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，1,2,1===⊥BC AC AA BC AB ,F E ,分别为11C A 、BC 的中点.（1）求证：平面⊥ABE 平面;11BCC BP ABCD1C1AE1B（2）求证：//1F C 平面ABE ; （3）求三棱锥ABC E -的体积.19. （本小题满分16分）如图：已知B A ,是圆422=+y x 与x 轴的交点，P 为直线4:=x l 上的动点，PB PA ,与圆的另一个交点分别为.,N M（1）若P 点坐标为)6,4(，求直线MN 的方程； （2）求证：直线MN 过定点.20.（本小题满分16分）在平面直线角坐标系xOy 中，已知直线0168:=++y x l ，圆,01328:221=+-++y x y x C 圆.0121688:222=++-++t y tx y x C（1）当1-=t 时，试判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并说明理由； （2）若圆1C 和圆2C 关于直线l 对称，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若),(b a P 为平面上的点，是否存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由.A NMPO B2015～2016学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一、填空题：1. 32. (2,2,1)P3. 存在x 0∈R ，x 20<0 4. 082=--y x5. 12m <6.（x +2）2+(y-1)2=5 7. 7- 8. ②④ 9. )221,221(+- 10. 23a π 11 . 0k =或43k =12. 4y =或34200x y +-= 13. 1b =或 --4 14. ]1,22(-二、解答题 15.解：（Ⅰ）由220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得交点坐标为()1,4-----------------3分因为所求直线与直线2350x y ++=平行，则所求直线方程的斜率为23-， 所求直线方程为23+100x y +=----------------------------------7分 （Ⅱ）由（1）知两直线的交点坐标为)4,1(-所以点到直线的坐标为23262141==++=d ---------------14分16. 【证】(1)因为BC//平面PAD,而BC ⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD = AD, 所以BC//AD因为AD ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC,所以//AD 平面PBC ----------------7分(2)自P 作PH ⊥AB 于H,因为平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ⋂平面ABCD =AB, 所以PH ⊥平面ABCD --------------------------------10分因为BC ⊂平面ABCD,所以BC ⊥PH.因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB,而90PBA ∠≠,于是点H 与B 不重合,即PB ⋂PH = H. ----------------12分 因为PB,PH ⊂平面PAB,所以BC ⊥平面PAB因为BC ⊂平面PBC,故平面PBC ⊥平面AB -----------------------------14分 17解: 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,当2=a 时,2﹤a ﹤6,即p 为真时实数x 的取值范围是2﹤a ﹤6. ---------2分由2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤. ----4分 若p q ∧为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是23x <≤ ------------7分 (Ⅱ) p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝,设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB , -----------------------------------10分又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={23x x ≤>或}, ---------12分 则0<2a ≤,且33a >所以实数a 的取值范围是12a <≤ ----------------14分 18.解：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，----------3分 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC .-----------6分 （II ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，-----------------------------8分 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .---------------10分A BCPDH（III ）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以AB=223AC BC -=，------------14分所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=⋅=1131232⨯⨯⨯⨯=33.--------16分 19. 解(1)直线PA 方程为2y x =+ , 由2224y x x y =+⎧⎨+=⎩解得(0,2)M , 直线PB 的方程36y x =- ,由22364y x x y =-⎧⎨+=⎩解得86(,)55N -, ----------4分所以MN 的方程22y x =-+ ----------------------------------------6分 (2)设(4,)p t ,则直线PA 的方程为(2)6t y x =+,直线PB 的方程为(2)2ty x =- 224(2)6x y t y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得22272224(,)3636t t M t t -++,同理222288(,)44t t N t t --++ ---------10分 直线MN 的斜率222222224883647222812364t tt t t k t t t t t --++==----++ -------------------------12分 直线MN 的方程为22228288()1244t t ty x t t t -=---++, -------------------------14分化简得:22881212t t y x t t =---所以直线MN 过定点(1,0) --------------- -------------------------16分 20．解：（1）1t =-时圆1C 的圆心1(4,1)C - 半径12r = 圆2C 的圆心2(4,4)C 半径26r =圆心距221212||(41)(44)738C C r r =-++=>+=--------------- -2分∴两圆相离--------------- --------------- --------------- -------4分（2）圆2C 圆心2C (4,4)t - 半径2216164r t t =-+1C 与2C 关于直线l 对称，又直线l 的斜率43l k =-由24134444441861022161644t t t t -⎧=⎪-+⎪--+⎪⨯+⨯+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩-----------------------------------6分得0t =， 即t 的值为0-----------------------------------------------8分 （3）假设存在(,)P a b 满足条件： 不妨设1l 的方程为()(0)y b k x a k -=-≠ 则2l 的方程为1()y b x a k-=-----------------------------------------10分 因为圆221:(4)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)4C x y +-=的半径相等，又直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆1C 的圆心到直线1l 距离，和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等：即22|4||41|111ab k b ka k k k----+-=++---------------------12分 整理得|(4)1||(4)|a k b b k a +-+=-+即(4)1(4)a k b b k a +-+=-+或(4)1(4)a k b b k a +-+=-- 即(8)10a b k a b -+--+=或()10a b k a b ++-+= 因为k 取值无穷多个 所以8010a b a b -+=⎧⎨--+=⎩或010a b a b +=⎧⎨-+=⎩----------------------------------------14分解得7292a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴这样的点P 可能是179(,)22P -，211(,)22P - 经检验12,P P 符合题意∴所求点P 的坐标为79(,)22-和11(,)22------------------------------------16分。

江苏省常熟市２０17－2０18学年高二数学上学期期中试题(扫描版）编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（江苏省常熟市２017-2018学年高二数学上学期期中试题（扫描版))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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