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离散最值问题在数学中，经常做的一件事就是求值，求值问题中有一类是在一定条件下求最大值或是最小值，这类问题涉及知识非常广泛，有很强的实际应用价值。
例1、一个长方形周长为20厘米，要使它的面积最大，这个长方形的长、宽各是多少厘米？例2、不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少？例3、两个四位数，每一个的各位数字互不相同，如果它们的差是1999，那么它们的和的最大值是多少？例4、某学习小组有4名女生，2名男生。
在一次考试中，他们做对试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题；女生中做对最多的比男生做对最少的多4题，男生中做对最多的比女生中做对的最少的多4题，则男生中做对最多的人对了几题？例5、20=10+10=5+5+10=1+2+3+4+5+5=…=1+1+…+1。
这说明20可用多种形式写成若干个自然数之和。
在每种写法中，将这种写法所包含的所有自然数相乘，问乘积的最大值是多少？例6、连续自然数1，2，…，N（N>50）。
如果从中任取50个数，都能从中找到两个数，使这两个数的差等于7。
问N的最大值是多少？例7、已知算术式abcd-efgh=1996，其中abcd和efgh均为四位数；a，b，c，d，e，f，g，h是0，1，2，3，…，9中的八个不同数字。
问abcd与efgh之和的最大值与最小值差是多少？例8、将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张正方形卡片排成一排，发现恰好是一个能被11整除的最大的九位数。
请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。
离散最值问题练习学校姓名成绩1、120名少先队员先大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时，每人只能投票选举其中1人，开票中途累计，前100张选票中，甲得45票，乙得20票，丙得35票。
如果这次选举没有弃权票，也没有废票，得到票最多的1人当选。
那么，在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票能当选？2、一排有50个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？3、设a和b是选自前100个自然数中的两个不同的数，那么（a+b）÷（a-b）的最大可能值是多少？4、号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两个人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。
2.2最大值、最小值问题-北师大版选修1-1教案一、教学目标1.了解定义最大值和最小值的概念；2.学习求解函数的最大值与最小值；3.学会通过求导数判断函数的最值；4.能够识别最小二乘法的应用领域；5.能够灵活应用求解最大值和最小值的方法。
二、教学重点和难点重点1.掌握求解函数最大值和最小值的方法；2.理解最小二乘法的应用领域和求解过程。
难点1.理解函数最值与导数的关系；2.了解最小二乘法的具体应用。
三、教学内容1. 最大值和最小值的定义最大值和最小值是指函数在某个区间上的最大值和最小值。
在数学中，主要使用极值和最值来描述这两个概念。
2. 求解函数的最大值和最小值(1)确定函数最值的存在性和区间。
(2)求导数f’(x) = 0的解。
(3)求出解的函数值，并与端点的函数值比较，确定最值。
3. 利用最小二乘法求解函数拟合问题最小二乘法是一种常用的函数拟合方法。
它是通过求解最小二乘平均误差来对研究对象进行拟合。
最小二乘法的应用领域很广，如统计学、气象学、地质学等。
在经济学中，最小二乘法也是一种重要的分析方法。
4. 求解实际问题中的最大值和最小值在实际生活中，很多问题需要求解最大值和最小值，如求解最优方案、最大利润等。
我们可以选择合适的方法和模型来求解这些问题。
四、教学方法和教学手段1. 教学方法主要采用讲授、讨论和实例演练的方法。
2. 教学手段1.PPT展示；2.课件；3.实物模型；4.例题练习。
五、教学过程1. 导入通过短暂的导入，回顾上节课的内容，然后引出本节课的新内容。
2. 讲授1.最大值和最小值的定义；2.求解函数的最大值和最小值；3.利用最小二乘法拟合函数；4.求解实际问题中的最大值和最小值。
3. 讨论在讲授的基础上，由教师引导，学生们一起分析一些实际问题，讨论求解最大值和最小值的方法，并探讨这些方法的优缺点。
4. 例题练习教师根据选修1-1教材第2章第2节提供的例题和一些实际问题，让学生们独立思考并解题。
第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184⨯-=（分）．再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ⨯+=一个三位数． ①因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当2a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即 22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小． 所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。
初中数学竞赛精品标准教程及练习64最大最小值最大值和最小值是数学中的基本概念，在初中数学竞赛中常常涉及到这些题目。
下面是关于最大最小值的精品标准教程及练习，共计1200字以上。
一、初步理解最大值和最小值的概念最大值和最小值是指在一组数中，数值最大的数和数值最小的数。
在数学中，我们可以通过比较数的大小来确定最大值和最小值。
比较数的大小时，需要注意数的正负和绝对值大小。
二、最大最小值的求解方法1.列举法：将给定的数列或集合中的数逐一列举出来，并通过比较数的大小来确定最大值和最小值。
例题1：在数集{-5，3，8，0，2，-3}中，求最大值和最小值。
解：通过逐一列举数集中的数，可以发现最大值是8，最小值是-5例题2：求-3、4、0、1、-2这5个数的最大值和最小值。
解：通过比较这几个数的大小，可以得出最大值是4，最小值是-32.利用数的性质：根据数的性质，例如奇数和偶数的性质，可以依据给定的条件来确定最大值和最小值。
例题3：求两个相连奇数的和最大值。
解：相连的奇数有如下形式：(2n-1)、(2n+1)，其中n为整数。
根据奇数的性质可得：(2n-1)+(2n+1)=4n由于4n是以4为周期的数列，因此相连奇数的和的最大值为4例题4：一个正整数的个位数与十位数的和为12，求该正整数的最大值。
解：设这个正整数为ab，a和b分别是十位数和个位数。
根据题意可得：a+b=12为了使正整数最大，应该使十位数尽量大。
由于十位数的范围为0-9，因此可以得到十位数的最大值为9，个位数的最小值为12-9=3、因此最大的正整数是93三、最大最小值的综合应用1.利用函数的性质：在数学竞赛中，经常需要求函数的最大值和最小值。
对于一元函数，可以通过求导数来得到函数的极值，并判断极值的正负来确定最大值和最小值。
对于二元函数，则可以通过参数方程或边界条件来确定最大值和最小值。
2.利用不等式性质：在数学竞赛中，经常需要通过利用不等式的性质来确定最大值和最小值。
数学素材：初中数学竞赛专题最大、最小值最大、最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0，∴若a 0时，当x=－时， y 最小值=；若a 0时，当x=－时， y 最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x 在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.若a 0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；若a 0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a 0, b 0, a+b=k . (k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a 0, b 0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b.那么y=a+, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)； y ≥2.∴ y最小值=2.解方程组得a=b=.∴当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, ∵y是实数，∴y2≥0.即≥0，6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－( x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即∴a和b是方程x2－kx+k=0 的两个实数根.∵a, b都是正实数，∴△≥0.即(－)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0 . k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.∵△AHG∽△ABC，∴ .∴ y=.∴当x=时，y 最大值 =.即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4. 如图已知：直线m ‖n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC 上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x.∵m‖n，∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x) Sinα=aSinα(=aSinα(2x+.∵2x ×=2b2 (定值)，根据定理二，2x +有最小值.∴当2x =， x=时，S△PAB+S△PCD的最小值是(－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=ab ∴ab ＝2S△.∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r.∴a+b－2r= .两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1, ab=2S△代入，得 4+4S△－4(a+b) =0. a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a, b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即 [[]－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0 .解得S△≥3+2或S△≤3－2. S△≤3－2不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图△ABC中，AB=，∠C=30. 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y－a.根据余弦定理，得()2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a 的二次方程：(2+)a2－(2+)ya+y2－(8+4)=0.∵a 是实数，∴△≥0.即(2+)2y2－4(2+)[[]y2－(8+4)]≥0，y2－(8+4)2 ≤0 .∴－(8+4)≤y ≤(8+4).∴a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+2. ………三、练习1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为[_][_][_][_]，[_][_][_][_]时，其面积最大，最大面积是[_][_][_][_][_][_].3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].5. 若x 0, 则x+的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].6.如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8. 下列四个数中最大的是 ( )tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48.9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是[_][_][_][_][_][_][_][_][_][_]10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11. △ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13. △ABC中∠B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k) (0 k 1). 问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S△=×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大.8. (A).9. 3 AD≤910. P在AB中点时，S△最大值=，S△=x与－x的和有定值，当x=－x时，S△值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理，当150－α=90时，AD最大.12. 当x=时，有最大值；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14. 内切圆半径的最大值r=(－1) (仿例6).当 k=时，S△DEF=S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值.16. 当点P是BC中点时，面积最大值是.。
001——《从单位圆谈起》华罗庚002——丘成桐中学数学奖推荐参考书（英文版的都没有传，以下同）由高等教育出版社出版，目前已出版了5本：1.《莫斯科智力游戏 359 道数学趣味题》(俄)Б. А. 柯尔捷姆斯基著2.《趣味密码术与密写术》M·加德纳著3.《著名几何问题及其解法尺规作图的历史》B. 波尔德(Benjamin Bold)著4.《第一届丘成桐中学数学奖获奖论文集(英文版)》5.《恒隆数学奖获奖论文集(英文版)》003——好玩的数学，目前已经出了13种：1.《不可思议的e》2.《幻方及其他》第二版3.《乐在其中的数学》4.《七巧板、九连环和华容道》5.《趣味随机问题》6.《数学聊斋》7.《数学美拾趣》8.《数学演义》9.《说不尽的π》10.《中国古算解趣》11.《数学志异》12.《进位制与数学**》13.《古算诗题探源》14.《幻方与素数》第三版注：前10本xuguoyun 于“数学丛书”帖上传；《幻方及其他》第二版已经改成《幻方与素数》第三版004——科普作家别莱利曼，三类一、中国青年出版社最近出版的1.《趣味代数学第4版》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译2.《趣味几何学第3版》（俄）别莱利曼著符其珣译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《趣味物理学第5版》（俄）别莱利曼著符其珣译4.《趣味物理学：续编第3版》（俄）别莱利曼著滕砥平译二、中国青年出版社5、60年代出版的（有的是繁体字）5.《趣味代数学》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译（无）6.《趣味几何学（上册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）7.《趣味几何学（下册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）8.《趣味力学》（苏）别莱利曼著；符其珣译9.《趣味天文学》（苏）别列利曼撰；滕砥平，唐克译10.《趣味物理学》（苏）别莱利曼撰；符其珣译（无）11.《趣味物理学续编》（苏）别莱利曼撰；腾砥平译（无）12.《行星际的旅行》（苏）别莱利曼著；符其珣译三、其他出版社出版的13.《物理万花筒》（苏）别莱利曼著；王昌茂译14.《趣味思考题》（苏）别莱利曼著；符其珣译15.《有趣的游戏》（苏）别莱利曼原著；王昌茂翻译005——《数学试卷分析方法》华东师范大学出版社，许世红，胡中锋编著006——《七彩数学》专辑，科学出版社第一批1.《数学走进化学与生物》姜伯驹钱敏平龚光鲁著2.《数论与密码》冯克勤著3.《迭代浑沌分形》李忠著4.《数学的力量——漫话数学的价值》李文林任辛喜著5.《古希腊名题与现代数学》张贤科著第二批6.《离散几何欣赏》宗传明著7.《通信纠错中的数学》冯克勤著8.《趣话概率》安鸿志著9.《画图的数学》齐东旭著10.《整数分解》颜松远著007——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，初中部分一、算术：1.《整数》2.《分数》3.《小数与百分数》4.《比例》二、代数5.《有理数》6.《有理整式的恒等变换》7.《分式与比例》8.《一元一次方程》9.《一次方程组及开平方》三、几何10.《体面线点》11.《全等三角形》12.《基本轨迹与作图》13.《平行四边形》14.《圆》（缺）008——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，高中部分一、代数：1.《无理数与无理式》2.《一元二次方程》3.《函数图象及二元二次联立方程》4.《数列与极限》（缺）5.《指数与对数》6.《联合二项式定理及复数》7.《不等式》8.《高次方程》二、几何9.《相似形》10.《勾股定理》11.《多边形面积》12.《正多边形与圆》13.《直线与平面》14.《多面体》（缺）15.《回转体》（缺）三、三角16.《三角函数》17.《加法定理》18.《解三角形》19.《三角方程》（缺）注：部分书籍以内容完全相同的上教版代替009——《中学数学教学参考丛书》，上海教育出版社1.《多项式的乘法和因式分解》茅成栋编2.《一元二次方程》赵宪初编3.《绝对值》陈汝作编（缺，这里该书的封面用附件传上）4.《代数方程组》李大元武成章等编5.《指数函数和对数函数》徐美琴许三保编6.《三角函数》姚晶编7.《幂的运算和幂函数》顾鸿达朱成杰王致平编8.《解不等式》张福生赵国礼编9.《实数》张镜清霍纪良编10.《直线形》陶成铨编11.《圆与正多边形》黄承宏编12.《相似形和比例线段》杨荣祥黄荣基编13.《轨迹》毛鸿翔左铨如编14.《解三角形》黄汉禹编15.《直线与平面》夏明德编16.《排列和组合》翟宗荫编17.《高次方程》李传芳陈汝作陈永明编18.《复数》顾忠德管锡培编19.《数列与极限》刘文编20.《直线和圆》陈森林揭方琢编21.《二次曲线》张泽湘编22.《参数方程和极坐标方程》刘世伟编23.《概率初步》上海师范大学数学系应用数学组编24.《矩阵初步》张弛编25.《集合论初步》沈石山俞鑫泰编010——教学工具书1.《代数学辞典问题解法上》笹部贞市郎编蒋声等译2.《代数学辞典问题解法下》笹部贞市郎编张明梁等译3.《三角学辞典问题解法》笹部贞市郎编肖乐编译4.《几何学辞典问题解法》笹部贞市郎编高清仁等译5.《解析几何辞典问题解法》笹部贞市郎编关桐书等译6.《微积分辞典问题解法》笹部贞市郎编蒋声等译011——《中学生数学课外读物》，上海教育出版社1．《速算与验算》姚人杰著2．《数学归纳法》华罗庚著3．《不等式》张驰著4.《谈谈怎样学好数学》苏步青著5．《π和е》夏道行著6．《复数的应用》莫由著7．《怎样用复数解题》程其坚著8．《圆和二次方程》马明著9．《怎样列方程解应用题》赵宪初著10．《怎样应用数学归纳法》洪波著11．《最大值和最小值》谷超豪著12．《图上作业法》管梅谷著13．《谈谈怎样编数学墙报》华东师范大学第一附属中学数学教研组编012——上海教育出版社1978年12月到2002年5月出版一套初等数学小丛书，一共29本，如下：1.《抽屉原则及其他》常庚哲2.《谈谈怎样学好数学》苏步青3.《函数方程》田增伦4.《几何不等式》单壿5.《一百个数学问题》 [波兰]史坦因豪斯6.《又一百个数学问题》[波兰]史坦因豪斯7.《从单位根谈起》蒋声8.《从正五边形谈起》严镇军9.《集合论与连续统假设浅说》张锦文10.《矩阵对策初步》张盛开11.《趣味的图论问题》单壿12.《母函数》史济怀13.《代数方程与置换群》李世雄14.《中学生数学分析》[苏]庞特里亚金15.《覆盖》单壿16.《计数》黄国勋李炯生17.《对称和群》朱水林18.《平方和》冯克勤19.《不定方程》单壿余红兵20.《凸函数与琴生不等式》黄宣国21.《有趣的差分方程》李克大李尹裕22.《柯西不等式与排序不等式》南山23.《组合几何》单壿24.《奇数、偶数、完全平方数》南秀全余石25.《棋盘上的组合数学》冯跃峰26.《十个有趣的数学问题》单壿27.《染色:从**到数学》柳柏濂28.《集合及其子集》单壿29.《平面几何中的小花》单壿013——《中学生文库》数学部分：1.《怎样列方程解应用题》赵宪初2.《面积关系帮你解题》张景中3.《怎样用配方法解题》奚定华4.《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔5.《怎样添辅助线》余振棠谢传芳6.《圆和二次方程》马明7.《几何作图不能问题》邱贤忠沈宗华8.《从勾股定理谈起》盛立人严镇军9.《从√2谈起》张景中10.《不等式》张弛11.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗12.《奇数和偶数》常庚哲苏淳13.《射影几何趣谈》冯克勤14.《数学万花镜》[波]史坦因豪斯著裘光明译15.《递归数列》陈家声徐惠芳16.《从平面到空间》蒋声17.《平面向量和空间向量》吕学礼18.《几何变换》蒋声19.《一些不像“几何”的几何学》沈信耀20.《复合推理与真值表》戴月仙21.《数学归纳法》华罗庚22.《凸图形》吴立生庄亚栋23.《三角恒等式及应用》张运筹24.《三角不等式及应用》张运筹25.《抽屉原则及其他》常庚哲26.《初等极值问题》程龙27.《图论中的几个极值问题》管梅谷28.《趣味的图论问题》单墫29.《矩阵对策初步》张盛开30.《从单位根谈起》蒋声31.《形形色色的曲线》蒋声32.《反射和反演》严镇军33.《极坐标与三角函数》陈福泰34.《反证法》孙玉清35.《棋盘上的数学》单墫程龙36.《谈谈数学中的无限》谷超豪37.《模糊数学》刘应明任平38.《人造卫星轨道的分析和计算》俞文陈守吉39.《谈谈怎样学好数学》苏步青40.《世界数学名题选》陆乃超袁小明41.《生物数学趣谈》李金平苏淳42.《漫话电子计算机》张根法43.《运动场上的数学》黄国勋李炯生44.《ＳＯＳ编码纵横谈》谈祥柏45.《数学探奇》(西班牙)米盖尔.德.古斯曼著周克希译46.《三角形趣谈》杨世明47.《思维的技巧》吴宣文48.《魔方》朱兆毅沈庆海著014——《初中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1．《漫游勾股世界》吴深德2．《绝对值》陈汝作3．《多项式的乘法和因式分解》刘渝瑛4．《怎样列方程解应用题》赵宪初5．《怎样解不等式》张福生赵国礼6．《怎样用配方法解题》奚定华7．《面积关系帮你解题》张景中8．《怎样添辅助线》余振棠射传芳9．《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔10．《反证法》孙玉清015——《高中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1.《从平面到空间》蒋声2.《三角恒等式及其应用》张运筹3.《直线和平面》夏明德4.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗5.《参数方程和极坐标方程》刘世伟6.《从单位根谈起》蒋声7.《二次曲线》张泽湘8.《排列与组合》翟宗荫9.《数列与极限》刘文10.《集合和映射》康士凯张海森（缺）11.《随机世界探秘概率统计初步》茆诗松魏振军016——《自然科学小丛书》，北京出版社出版1.《轨迹》赵慈庚编著2.《三角形内角和等于180°吗？》梅向明著3.《谈勾股定理》严以诚孟广烈编著4.《有趣的偶然世界》张文忠著5.《中学数学中的对称》张文忠著017——《北京市中学生数学竞赛辅导报告汇集》，北京出版社1.《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》华罗庚著2.《无限的数学》秦元勋著3.《谈谈解答数学问题》赵慈庚著018——数学中译本，科学普及出版社1.《高次方程解法》程乃栋编译2.《力学在数学上的一些应用》高天青编译3.《怎样作图象》刘远图编译4.《逐次逼近法》赵根榕编译5.《最简单的极值问题》潘德松编译019——趣味数学书籍，上海教育出版社1.《趣味算术》蒋声陈瑞琛编2.《趣味代数》蒋声陈瑞琛编3.《趣味几何》蒋声陈瑞琛编4.《趣味代数（续）》蒋声陈瑞琛编5.《趣味立体几何》蒋声陈瑞琛编6.《趣味解析几何》蒋声陈瑞琛编020——《数学精品库》，民主与建设出版社1.《决策致胜思维训练》郑应文著2.《难题精解思维训练》王志雄汪启泰余文竑詹方玮著3.《平面几何思维训练》余文竑詹方玮著4.《数学宫趣游》王志雄著5.《数学竞赛题的背景》王志雄汪启泰著6.《组合几何思维训练》林常著7.《诺贝尔奖中的数学方法》高鸿桢等著（缺）021——由一些数学专家写的小册子，上海教育出版社1.《初等数论100例》柯召孙琦编著2.《复数计算与几何证题》常庚哲编著3.《运动群》张远达编著022——《数学奥林匹克命题人讲座》，上海科技教育出版社1.《解析几何》陆洪文著（缺）2.《代数函数与多项式》施咸亮著（缺）3.《函数迭代与函数方程》王伟叶熊斌著（缺）4.《代数不等式》陈计季潮丞著（缺）5.《重心坐标与平面几何》曹纲叶中豪著（缺）6.《初等数论》冯志刚著7.《集合与对应》单壿著8.《数列与数学归纳法》单壿著9.《组合问题》刘培杰，张永芹著著（缺）10.《图论·组合几何》任韩田廷彦著（缺）11.《向量与立体几何》唐立华著（缺）12.《复数·三角函数》邵嘉林著（缺）023——反例相关书籍1.《初中数学中的反例》朱锡华编2.《高中数学中的反例》马克杰编3.《从反面考虑问题反例·反证·反推及其他》严镇军陈吉范编4.《代数中的反例》胡崇慧编5.《高等代数的265个反例》李玉文编著6.《高等数学中的反例》朱勇编7.《数学分析中的问题和反例》汪林编8.《数学分析中的反例》王俊青编著9.《分析中的反例》（美）盖尔鲍姆（美）奥姆斯特德著高枚译10.《实分析中的反例》汪林编11.《实变函数论中的反例》程庆汪远征编著12.《泛函分析中的反例》汪林编13.《概率统计中的反例》张文忠但冰如编14.《概率论与数理统计中的反例》陈俊雅王秀花编著15.《概率统计中的反例》张尚志刘锦萼编著16.《概率论中的反例》张朝金编17.《图论的例和反例》（美）卡波边柯（美）莫鲁卓著聂祖安译18.《拓扑空间中的反例》汪林杨富春编著19.《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜编著024——精品书系第一批，哈尔滨工业大学出版社1．《最新世界各国数学奥林匹克中的平面几何试题》刘培杰主编2．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解上》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编3．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解下》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编4．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷上》刘培杰主编5．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷下》刘培杰主编（缺）6．《历届CMO中国数学奥林匹克试题集 1986-2009》刘培杰主编7．《历届IMO试题集》刘培杰主编8．《全国大学生数学夏令营数学竞赛试题及解答》许以超陆柱家编著9．《历届PTN美国大学生数学竞赛试题集 1938-2007》冯贝叶许康侯晋川等编译10．《历届俄罗斯大学生数学竞赛试题及解答》（即将出版）11．《数学奥林匹克与数学文化第1辑》刘培杰主编12．《数学奥林匹克与数学文化第2辑文化卷》刘培杰主编13．《数学奥林匹克与数学文化第2辑竞赛卷》刘培杰主编14．《数学奥林匹克与数学文化第3辑竞赛卷》刘培杰主编（即将出版）15．《500个最新世界著名数学智力趣题》刘培杰马国选主编16．《400个最新世界著名数学最值问题》刘培杰主编17．《500个世界著名数学征解问题》冯贝叶编译18．《400个中国最佳初等数学征解老问题》刘培杰主编（缺）19．《500个世界著名几何名题及1000个著名几何定理》（即将出版）20．《从毕达哥拉斯到怀尔斯》刘培杰主编21．《从迪利克雷到维斯卡尔迪》刘培杰主编22．《从哥德巴赫到陈景润中国解析数论群英谱》刘培杰主编23．《从庞加莱到佩雷尔曼》刘培杰主编（即将出版）24．《精神的圣徒别样的人生：60位中国数学家成长的历程》刘培杰主编25．《数学我爱你大数学家的故事》（美）吕塔·赖默尔维尔贝特·赖默尔著26．《俄罗斯平面几何问题集原书第6版》波拉索洛夫编著025——精品书系第二批，哈尔滨工业大学出版社1.《初等数学研究Ⅰ》甘志国著—数学·统计学系列2.《初等数学研究Ⅱ 上》甘志国著—数学·统计学系列3.《初等数学研究Ⅱ 下》甘志国著—数学·统计学系列4.《数学眼光透视》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书5.《数学思想领悟》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书6.《数学应用展观》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书7.《数学建模导引》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书8.《数学方法溯源》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书9.《数学史话览胜》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书10.《博弈论精粹》刘培杰执行主编11.《初等数论难题集第1卷》刘培杰主编12.《多项式和无理数》冯贝叶著—数学·统计学系列13.《数学奥林匹克不等式研究》杨学枝著—数学·统计学系列14.《解析不等式新论》张小明，褚玉明著—数学·统计学系列15.《模糊数据统计学》王忠玉吴柏林著—数学·统计学系列16.《三角形的五心》贺功保叶美雄编著17.《中国初等数学研究 2009卷第1辑》杨学枝主编18.《高等数学试题精选与答题技巧》杨克劭主编19.《运筹学试题精选与答题技巧》徐永仁主编20.《空间解析几何及其应用》徐阳，杨兴云编著026——精品书系第三批，哈尔滨工业大学出版社1.《中考数学专题总复习》陈晓莉主编2.《中考几何综合拔高题解法精粹》李双臻李春艳编著3.《数学奥林匹克超级题库初中卷上》刘培杰数学工作室编著（缺）4.《新编中学数学解题方法全书初中版上》刘培杰主编5.《新编中学数学解题方法全书高中版上》刘培杰主编6.《新编中学数学解题方法全书高中版中》刘培杰主编7.《新编中学数学解题方法全书高中版下 1》刘培杰主编8.《新编中学数学解题方法全书高中版下 2》刘培杰主编9.《新编中学数学解题方法全书高考真题卷》张广民王世堑主编（缺）10.《新编中学数学解题方法全书高考复习卷》张永辉主编（缺）11.《最新全国及各省市高考数学试卷解法研究及点拨评析》邵德彪主编12.《高考数学真题分类解读第1册》刘松丽张坯东杨婷婷等本册主编13.《高考数学真题分类解读第2册》高考真题研究组编14.《高考数学真题分类解读第3册》阎丽红孙宏宇牟晓永等本册主编15.《高考数学真题分类解读第4册》王小波董亮本册主编16.《高考数学真题分类解读第5册》高考真题研究组编17.《向量法巧解数学高考题》赵南平编著18.《高考数学的理论与实践》高慧明著19.《中学数学解题方法》吕凤祥主编20.《中学数学方法论》鲍曼主编027——《当代数学园地》，科学出版社出版1.《Kac-Moody代数导引》万哲先著2.《哈密顿系统的指标理论及其应用》龙以明著3.《分形-美的科学复动力系统图形化》（德）派特根（德）P.H.里希特著井竹君章祥荪译4.《哈密顿系统与时滞微分方程的周期解》刘正荣李继彬著5.《群类论》郭文彬著6.《代数几何码》冯贵良吴新文著7.《正规形理论及其应用》李伟固著8.《测度值分枝过程引论》赵学雷著9.《完备李代数》孟道骥朱林生姜翠波著028——《通俗数学名著译丛》，上海教育出版社出版1.《数学：新的黄金时代》2.《数论妙趣：数学女王的盛情款待》3.《数学娱乐问题》4.《数学趣闻集锦》上、下册5.《数学与联想》6.《计算出人意料：从开普勒到托姆的时间图景》7.《当代数学为了人类心智的荣耀》8.《近代欧氏几何学》9.《站在巨人的肩膀上》10.《无穷之旅：关于无穷大的文化史》11.《数：科学的语言》12.《20世纪数学的五大指导理论》13.《数学**与欣赏》14.《数学旅行家：漫游数王国》15.《蚁迹寻踪及其他数学探索》16.《圆锥曲线的几何性质》17.《拓扑实验》18.《数学*国界：国际数学联盟的历史》19.《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》20.《稳操胜券》上、下册21.《现代世界中的数学》22.《**：自然规律支配偶然性》23.《解决问题的策略》24.《东西数学物语》25.《黎曼博士的零点》26.《奇妙而有趣的几何》27.《虚数的故事》28.《悭悭宇宙：自然界里的形态和造型》029——《走进教育数学丛书》，科学出版社1.《数学的神韵》李尚志著（缺）2.《数学不了情》谈祥柏著（缺）3.《微积分快餐》林群著4.《走进教育数学》沈文选著5.《数学解题策略》朱华伟钱展望著（缺）6.《绕来绕去的向量法》（缺）7.《直来直去的微积分》张景中著（缺）8.《一线串通的初等数学》张景中著9.《几何新方法和新体系》张景中著10.《从数学竞赛到竞赛数学》朱华伟编030——关于匈牙利奥林匹克数学竞赛的几本书，后两本是台湾出的繁体字书：1.《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译2.《匈牙利数学问题详解第1册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《匈牙利数学问题详解第2册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）031——原新知识出版社出版的一些老书，书目如下：1.《平面几何作图题解法中的讨论》金品编著2.《上海市1956-57年中学生数学竞赛习题汇编》中国数学会上海分会中学数学研究委员会编3.《什么是非欧几何》吴宗初著4.《数学试题汇集·附解法》（苏）沙赫诺（Шахно.К.У.）编著赵越李伯尘译5.《同解方程》程志国编6.《统计平均数》邹依仁编著7.《因式分解及其应用》郁李编8.《有趣的算术题》（苏）巴梁克（Г.Б.Поляк）编盛帆译9.《整式与分式》郁李编10.《整数四则和分数四则》刘永政著11.《正定理和逆定理》（苏）格拉施坦（И.С.Градштейн）著许梅译12.《中学课程中的无理方程》（苏）吉布什（И.А.Гибш）著管承仲译13.《中学数学课外活动》张运钧编著032——《中学数学奥林匹克丛书》，北京师范学院出版社1.《立体几何向量及其变换》何裕新孙维刚著2.《平面几何及变换》梅向明主编唐大昌等编写3.《代数恒等变形》梅向明主编4.《初等数论初中册》梅向明主编5.《北京市中学生数学竞赛试题解析》梅向明主编6.《数学奥林匹克解题研究初中册》梅向明主编7.《数学奥林匹克解题研究高中册》周春荔等编8.《组合基础》周沛耕张宁生著9.《初等数论高中册》米道生吴建平编写033——《数理化竞赛丛书》数学部分，科学普及出版社1．《北京市中学数学竞赛题解 1956-1964》北京市数学会编2．《全国中学数学竞赛题解 1978》全国数学竞赛委员会编3．《美国及国际数学竞赛题解 1976-1978》（美）格雷特编中国科学院应用数学研究推广办公室译4．《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译5．《北京市中学数学竞赛题解 1956-1979》北京市数学会6．《全国中学数学竞赛题解 1979》科学普及出版社编034——《数学奥林匹克题库》，新蕾出版社1.《美国中学生数学竞赛题解 1》（缺）2.《美国中学生数学竞赛题解 2》3.《国际中学生数学竞赛题解》4.《中国中学生数学竞赛题解 1》（缺）5.《中国中学生数学竞赛题解 2》（缺）6.《加拿大中学生数学竞赛题解》7.《苏联中学生数学竞赛题解》035——《中学数学》丛书，湖北省暨武汉市数学会组织编写、湖北人民出版社1.《代数解题引导》杨挥陈传理编2.《初等几何解题引导》江志著3.《三角解题引导》车新发编4.《解析几何解题引导》刘佛清张硕才编5.《国际数学竞赛试题讲解Ⅰ》江仁俊编6.《国际数学竞赛试题讲解Ⅱ》江仁俊等编036——《数学圈丛书》，湖南科技出版社1.《数学圈》1 【美】H.W.伊佛斯2.《数学圈》2 【美】H.W.伊佛斯3.《数学圈》3 【美】H.W.伊佛斯4.《数学爵士乐》【美】爱德华.伯格、迈克尔.斯塔伯德5.《素数的音乐》【英】马科斯.杜.索托伊6.《无法解出的方程》【美】马里奥.利维奥7.《数学家读报》【美】约翰·艾伦·保罗斯037——一套数学竞赛书籍，上海科学技术出版社1.《初中数学竞赛妙题巧解》常庚哲编2.《初中数学竞赛辅导讲座》严镇军等编3.《高中数学竞赛辅导讲座》常庚哲等编4.《中、美历届数学竞赛试题精解》刘鸿坤等编038——国外数学奥林匹克俱乐部丛书，湖北教育出版社1.《美国数学邀请赛试题解答与评注》朱华伟编译2.《俄国青少年数学俱乐部》苏淳朱华伟译039——《国内外数学竞赛题解》，陕西师范大学图书馆编辑组编写《国内外数学竞赛题解》上、中、下三册040——开明出版社出版由中国数学奥林匹克委员会编译的两本书，书目如下：1.《环球城市数学竞赛问题与解答第1册》2.《环球城市数学竞赛问题与解答第2册》041——数学奥林匹克试题集锦，华东师范大学出版社，IMO中国国家集训队教练组编写1.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2003》2003年IMO中国国家集训队教练组编2.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2004》2004年IMO中国国家集训队教练组，选拔考试命题组编3.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2005》2005中国国家集训队教练组、选拔考试命题组编4.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2006》2006年IMO中国国家集训队教练组编5.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2007》2007年IMO中国国家集训队教练组编6.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2008》2008年IMO中国国家集训队教练组编（缺）7.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2009》2009年IMO中国国家集训队教练组编（缺）042——国外、国际数学竞赛试题方面的书籍1.《奥林匹克数学竞赛题集》（苏）罗什柯夫等编著张兴烈刘承明译2.《波兰数学竞赛题解 1-27届》（波）耶·勃罗夫金（波）斯·斯特拉谢维奇著朱尧辰译3.《初中中外数学竞赛集锦》刘鸿坤编著4.《第26届国际数学奥林匹克》中国数学会普及工作委员会编5.《第一届至第二十二届国际中学生数学竞赛题解 1959-1981》杨森茂陈圣德编译6.《国际奥林匹克数学竞赛题及解答 1978-1986》中国科协青少年工作部中国数学会编译7.《国际数学奥林匹克 1-20届》江苏师范学院数学系编译8.《国际数学竞赛题解》（德）H.D.霍恩舒赫编潘振亚等译9.《国际数学竞赛选载》江西省中小学教材编写组编10.《国内外高中数学竞赛汇编》杭州市第一中学高中数学教研组编11.《基辅数学奥林匹克试题集》（苏）维申斯基等编著刘鸿坤等译12.《加拿大美国历届中学生数学竞赛题解》福建师范大学数学系资料室编译13.《历届奥林匹克数学竞赛试题分析》闫建平编14.《美国历届数学竞赛题解 1950-1972》梁伟强编15.《美国中学数学竞赛试题及题解》朱鉴清编译16.《普特南数学竞赛 1938-1980》刘裔宏译17.《苏联中学数学竞赛题汇编》（苏）别尔尼克编仁毅志译18.《1981年国内外数学竞赛题解选集》顾可敬编19.《通用数学竞赛100题附：第27届国际数学奥林匹克试题》张运筹刘一宏左宗琰编译20.《最新国外数学竞赛分类题解》王连笑编著21.《国际数学奥林匹克30年为迎接1990年第31届IMO在我国举办》梅向明主编。
西部数学邀请赛试题求最值问题
西部数学邀请赛试题求最值问题
问题描述
•给定一组数列或函数，求其最大值或最小值。
相关问题
1.离散数列的最大值和最小值问题
–在给定的离散数列中，如何找到最大值和最小值？
–如何用编程语言实现对离散数列的最大值和最小值的求解？
2.连续函数的最大值和最小值问题
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–有哪些常用的数学方法可以帮助我们解决连续函数的最值问题？
3.多元函数的最大值和最小值问题
–对于多元函数，如何求解其最大值和最小值？
–如何利用微积分中的极值判定定理解决多元函数的最值问题？
4.最值问题在实际应用中的意义和应用场景
–最大值和最小值问题在生活、工程和科学中的应用有哪些？
–如何利用最值问题来解决实际应用中的优化问题？
5.优化算法和工具在最值问题中的应用
–有哪些常见的优化算法可以用来求解最值问题？
–是否有一些专门解决最值问题的工具或软件？
解释说明
•最值问题是数学中的基础问题，求解最值问题可以帮助我们找到某个数列、函数或系统的最优解或最不优解。
•在实际应用中，最值问题常常涉及到优化、极值、约束条件等内容，可以通过数学建模和优化算法来求解。
•对于不同类型的最值问题，可以采用不同的求解方法和工具，例如在离散数列中可以用遍历法，而在连续函数中可以用导数和极
值判定定理。
以上是关于“西部数学邀请赛试题求最值问题”的相关问题和解
释说明。
通过对最值问题的研究和探讨，我们可以更好地理解和应用
数学知识。
第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为 52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184⨯-=（分）．再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ⨯+=一个三位数． ①因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当2a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即 22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小． 所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。
中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当12221x x x ⋯====，2324402x x x ⋯====时，2221240x x x ⋯+++取得最小值，即 222222221811122294B ⋯⋯=+++++++=个个．故494A B +=．26.1.11*** 从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求”的最小值．解析 当4n =时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当5n =时，设1a ，2a ，…，5a 是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则1a ，2a ，…，5a 中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是1a ，2a ，…，5a 中必定有一个数是5．若1a ，2a ，…，5a 中含1，则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数，矛盾．若1a ，2a ，…，5a 中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n 的最小值为5．26.1.12*** 把1，2，…，30这30个数分成k 个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求k 的最小值．解析 首先，考虑数6，19，30，因为6+19＝25，6+30＝26，19+30＝27，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是k ≥3．另一方面，可以把1，2，…，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件： 1A ={3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24）， 2A ={1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}， 3A ={2，10，12，20，22，28，30}，由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证1A 、2A 、3A 满足题设条件．26.1.13*** 从{1，2，3，…，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？ 解析 首先，对于任意自然数女，k ，{k ，1k +，2k +，…，7k +}中至多取2个，使得它们的差不为质数．事实上，只需考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3组：{}5A =，B ={1，3，6，8），C ={2，4，7）．集合B 或C 中任意两数之差均为质数，故B 、C 中最多只能取一个．若5取出，则B 中1或6可取出．对于1，5，C 中不能取出数了；对于5，6，C 中也不能再取出数了．若5不取出，则B 、C 中最多各取一个，至多为2个．综上所述，{k ，1k +，2k +，…，7k +}中至多取2个，它们的差不为质数．从而{1，2，3，…，2000}中至多可取500个．又对于4，4×2，…，4×500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数． 因此，最多可取500个数满足要求．26.1.14**** 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？ 解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360︒，于是，经过忌次分割后，可得（k +1）个多边形，这些多边形的内角和为（()1360k +⨯︒． 因为这（1k +）个多边形中有34个62边形．它们的内角和为 ()346221803460180⨯-⨯︒=⨯⨯︒，其余多边形有()13433k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()33180k -⨯︒．所以()()1360346018033180k k +⨯︒⨯⨯︒+-⨯︒≥，解得k ≥2005． 当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）．评注 我们也是先估计k （剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具． 26.1.15*** 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？ 解析 首先，易知每位学生至多答对了4道题．事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾．若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l 、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+1>1000人．若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少有：3000÷3＝1000人．下面的例子说明1000人是可能的． 答对下列问题的人数各有100人：（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）． 综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛．26.1.16*** 一座大楼有4部电梯．每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层）．对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？解析 设大楼有n 层，则楼层对有()12n n -，每部电梯停3层，有3232⨯=个层次，所以()1432n n -⨯≥． 所以5n ≤．当5n =时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5），（2．4，5），（3，4，5），（1，2，3）． 综上所述，大楼至多有5层．26.1.17**** 10个学生参加n 个课外小组．每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6． 解析 设10个学生为1S ，2S …，10S ，n 个课外小组为1G ，2G …，n G ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加1G 、2G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数之和不小于3×10＝30．另一方面。
