高二数学直线与圆锥曲线同步测试2

直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点； 结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围． 结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。

高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。

1.从球外一点引球的切线，那么()A.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个大圆B.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个小圆C.只可以引两条切线，两切点的连线过球心D.只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】依据球的切线性质知B正确.【答案】 B2.球的半径R=6，过球外一点P作球的切线长为8，那么P 点到球面上恣意一点Q的最短距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】设点P到球心的距离为d，那么d=62+82=10.PQ的最短距离为10-6=4.【答案】 B3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2-1-4所示，那么截面图能够是()图2-1-4A.①③B.②③C.①④③D.①②③【解析】依据截面的位置不同，可失掉的截面外形能够是①②③，但不能够为④，应选D.【答案】 D4.三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=2r，那么球的体积与三棱锥体积之比是()A. B.2C.3D.4【解析】如下图，由题意知OA=OB=OS=r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥=43r313122r2r=4.【答案】 D二、填空题5.假定三棱锥的三个正面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是________.【解析】三棱锥的三个正面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，那么有(2R)2=(3)2+(3)2+(3)2=9，外接球的外表积为S=4.【答案】 96.如图2-1-5所示，球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，那么球O的体积等于________. 图2-1-5【解析】∵DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDA=A，BC平面ABD，BCDB，那么DC的中点即为球心O.又DA=AB=BC=3，AC=6，DC=3，球O的体积V球=43(32)3=92.【答案】 92查字典数学网小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有所协助。

圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. 2B. 12 C. 2 D.14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对8．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。

高二数学同步测试：圆锥曲线综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ） A ．π22 B ．π C ．π)21(+ D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y x D ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________．12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）y P O x A B18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （）（），作两条直线分别交抛物线于A （），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222b y a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）yPO xAB∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-a y a x ． 又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m mm且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22mm m --， ∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当时， 又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为由，相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知即221020p y y p y y +=-+,所以, 故y y y 1202+=- 设直线AB 的斜率为,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及a x ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-b y a a x ， 又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。

高二数学直线与圆锥曲线试题1.已知集合（1）若，求的概率；（2）若，求的概率.【答案】（1） (2)【解析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.试题解析：（1）设为事件，，即，即.则基本事件有：共个，其中满足的基本事件有个，所以.故的概率为.(2)设为事件，因为，则基本事件为如图四边形区域，事件包括的区域为其中的阴影部分.所以，故的概率为.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，设直线方程是，代入拋物线方程，运用韦达定理，结合拋物线方程，即可得证；（2）运用拋物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值；（3）求出的中点坐标，以及的长，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：即可得证.试题解析：(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以y y＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝ (定值).(3)设AB的中点为M(x0，y)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3.已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为原点.①求证：；②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得，的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.试题解析：(1) ，所以，又，解得，，所以椭圆的方程为（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率，的方程为，联立方程消去得，，又，，②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得，，，而由得，即. 所以为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.4. 已知椭圆：，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上，，求线段的长.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由已知，动点到点，的距离之和为，且，根据椭圆的定义求出曲线的方程;(2)两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为,分别联立直线AB 与曲线和,得出点A,B 的坐标,根据两点间的距离公式求出弦长即可. 试题解析: （1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，故椭圆的方程为.（2）解：两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若，则直线CD 的斜率为_____． 【答案】 【解析】，可得，可设设D （m ，n ），即有，即为，即有k BD •k CD ==﹣，由即有．故答案为．【点睛】本题考查椭圆的方程的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，对学生运算能力要求较高.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】设右焦点F（c，0），将直线方程代入椭圆方程可得，可得由可得，即有化简为，由，即有，由故答案为．7. AB为过椭圆的中心的弦，F（C,0）为一个焦点，则的最大面积是( ) A．ab B．bc C．ac D．【答案】B【解析】△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为 h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为 h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选B．8.已知中心在原点的椭圆，右焦点，且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．【答案】(1);(2) .【解析】（1）根据题目条件右焦点，且过代入椭圆方程即可（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为，联立直线与椭圆方程解得消去参量即可求出轨迹，注意取值范围解析：(1)设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即=3，∴椭圆方程为=1．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则y="2x+b" 且=1得，∴，即x=，y=，两式消掉b得 y=x．又弦的中点在椭圆内部，所以故平行弦中点轨迹方程为：y=x（）．9.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得，由可求得，从而，从而可得，从而可得三角形面积的最大值。

直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x ty t=+︒⎧⎨=︒⎩(t为参数)的倾斜角是( )．A．20° B．70°C．110° D．160°2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．A＋1 B．＋1)C．6．＋13直线23,1x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．A．1 B．10 D．4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长是( )．A．16 B．3 C．163D．3165直线12,2112x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是2的直线l的参数方程为__________．7已知直线l经过点P(1，-，倾斜角为π3，求直线l与直线l′：y＝x－的交点Q与点P的距离|PQ|.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20y t ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°. 又α∈[0，π)，∴α＝70°. 2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为1=1,2=52x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t－5⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝＋1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x得到21=4122t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0. 设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|163. 故弦AB 的长为163. 5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程， 得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |，|PB |∴|PA |·|PB |4.6答案：=61=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)∵cos =2α，∴1sin =2α.∴=621=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)．7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l ′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P (1，-，倾斜角为π3， ∴l的参数方程为π=1cos ,3π=sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)，即1=1,2=2x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)．代入y ＝x－1=1+22t t -- 解得t ＝4＋即t＝4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝|PQ |，∴|PQ |＝4＋8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解： (1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l的参数方程为=121=12x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． (2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得 (1)2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4，∴k ＝2(k ＝－1舍去)． 【答案】 C2．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．【答案】 B3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )【导学号：15460053】A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5【解析】 ∵抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.【答案】 A4．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1【解析】 C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合， ∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2>n 2.∵m >1，n >0，∴m >n . ∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ，∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝(m 2－1)(n 2＋1)mn ＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2n 2＝(n 2＋1)2(n 2＋2)n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2>1＝1. 【答案】 A5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若FA ＝2FB ，则k 等于( )A.13 B ．23 C ．23D ．223【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4.①∵FA ＝x 1＋p 2＝x 1＋2，FB ＝x 2＋p2＝x 2＋2， 且FA ＝2FB ，∴x 1＝2x 2＋2.② 由①②得x 2＝1，∴B (1,22)， 代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223. 【答案】 D 二、填空题6．若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________.【导学号：15460054】【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x ，得到10y 2＋2my ＋m 2－9＝0， 令Δ＝0，解得m ＝±10. 【答案】 ±107．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. ∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴|AB |＝423，∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB |＝42－423＝823. 【答案】8238．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．如图2-5-1所示，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .图2-5-1(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 10．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5.∵－52≤m ≤52， ∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.1．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 【解析】 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)， 所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值， 此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 故选D. 【答案】 D2．过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y ＋13＝0B ．5x ＋3y ＋13＝0C ．5x －3y －13＝0D ．5x ＋3y －13＝0【解析】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x 21＋6y 21＝30，5x 22＋6y 22＝30，两式作差可得5(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－6(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，① 又弦的中点为(2，－1)， 可得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，② 将②代入①式可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53，故直线的方程为y ＋1＝53(x －2)， 化为一般式为5x －3y －13＝0，故选C. 【答案】 C3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________.【导学号：15460055】【解析】 法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋t )2＝1，整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. ∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0， ∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－8t5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴AB ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025.当t ＝0时，AB 最大，即AB 最大值＝4105.法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y ＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎪⎫－255，－255， 故AB ＝4105. 【答案】41054．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB→＝8，求k 的值． 【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1， 解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433， 解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)， 所以AC →·DB →＋AD →·CB→＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝±2.。

2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2][答案] B[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b )应在双曲线上或内部，即y 2≤x 2－1，∴b 2≤3，∴－3≤b ≤ 3.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则|AB |的值为( ) A.837 B.163 C.83 D.1637 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1,0)，过F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)y 2＝4x 得关于x 的一元二次方程3x 2－10x ＋3＝0.①设交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点．则x 1x 2是①的两根．有x 1＋x 2＝103.|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2 [答案] B[解析] 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得 6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22.∴θ＝π4或34π.故选B. 4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，若y 0∈[1,2]，则|PF |的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤14，1B.⎣⎡⎦⎤54，2C ．[1,2]D ．[2,3][答案] B[解析] ∵y 0∈[1,2]，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤14，1，由定义|PF |＝1＋x 0∈⎣⎡⎦⎤54，2.故选B.5．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是() A ．－5<m <5 B ．m <－5，或m > 5C ．m < 5D ．－5<m < 5[答案] D[解析] 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，得m 2<5，∴－5<m < 5.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，43)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－43，－13)[答案] C[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，两式相减得14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0y 1－y 2x 1－x 2＝－14(x 1＋x 2)12(y 1＋y 2)＝k ∴－x 02y 0＝1，又y 0＝x 0＋1 ∴x 0＝－23，y 0＝13. 7．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[答案] D[解析] 双曲线焦点在y 轴上，离心率e ＝2，∴圆心在y 轴上，半径R ＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D.10[答案] C[解析] 由已知，直线方程为x ＋y －a ＝0，两渐近线为x a ±y b ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0bx －ay ＝0得x B ＝a 2a ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －a ＝0bx ＋ay ＝0得x C ＝a 2a －b . ∵AB →＝12BC →，∴2(x B －x A )＝x C －x B ， ∴3x B ＝2x A ＋x C ，∴3a 2a ＋b ＝a 2a －b＋2a ，解得b ＝2a ， ∴c 2＝a 2＋b 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 故选C.9．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定[答案] C[解析] ∵e 1＝a 2－b 2a，e 2＝a 2＋b 2a， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b 2a 22<1.∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1·e 2)<0.故选C.10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A.54B.52C.32D.54[答案] B [解析] 椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54. ∴双曲线的离心率为e ′＝52.故选B. 二、填空题 11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值等于______． [答案] 4 [解析] 由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0与F 2(2,0)重合，∴p 2＝2，∴p ＝4. 12．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案] x 2＝12y[解析] ∵抛物线x 2＝ay (a >0)的准线方程为y ＝－a 4，∴a 4＋3＝6，∴a ＝12， ∴抛物线方程为x 2＝12y .13．双曲线x 2－y 2＝9被直线x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．[答案] 4335 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝9x －2y ＋1＝0，3y 2－4y －8＝0 y 1·y 2＝－83，y 1＋y 2＝43. l ＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝5·169＋323 ＝4335. 14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案] 2[解析] 把抛物线方程改写为x 2＝1a(y ＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点， ∴1a＝4， ∴抛物线x 2＝4(y ＋1)与x 轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2. 三、解答题15．直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线y 2＝12x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求线段AB 的长．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)(22－4×14)＝15. 16．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．[解析] 过椭圆焦点F (1,0)的直线l 垂直于x 轴时，可知此时△AOB 的面积等于22. 当l 不垂直x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．因为|OF |是定值1，所以△AOB 的面积可以用12×1×|y 1－y 2|(其中y 1，y 2是A ，B 的纵坐标)来计算． 将y ＝kx －k 代入x 22＋y 2＝1，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －k 2＝0. 由根与系数的关系可得(y 1－y 2)2＝8k 4＋8k 2(2k 2＋1)2 ＝2－2(2k 2－1)2<2. 可以看出|y 1－y 2|<2，此时△AOB 的面积小于22，所以直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1. 17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0. 于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O 为原点)(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， 即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而 x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0. 解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．。

高二理科数学圆锥曲线同步测试试题考试时间：120分钟学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1、已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M的垂直平分线与直线2F M相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 2、设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3、已知P(x 0,y 0)是椭圆2=1上的一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,若12PF PF ⋅<0,则x 0的取值范围是（ ）ABC4、左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆则该椭圆的离心率为（ ）AC5、已知椭圆C 的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，C 的长轴长为2a ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点.）A．a6、已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1B ．2C ．3D ．627、设斜率为22的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．12 C ．22 D ．138、过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ）A ．2211510x y +=B ．221225100x y +=C ．2211015x y +=D ．221100225x y +=9、已知1F ？2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆 10、已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以为直径的圆内切于菱形，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．11、椭圆221128x y +=与曲线()22108812x y k k k -=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．长轴长相等12、设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a +=+>，则点P的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13、若动点P到两点()()1,0,2,0A B的距离之比为22，则点P的运动轨迹方程为__________.14、已知曲线1:2C y x-=与曲线222:4C x yλ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________15、已知曲线C到两定点()()2020M N-，、，距离乘积为常数16的动点P的轨迹，以下结论正确的是_________.（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C与x轴有且只有两个交点；（3）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（4）MPN∆的面积不大于8.16、已知P为椭圆22143x y+=上一动点，EF为圆()22:11N x y-+=的任意一条直径，那么PE PF⋅的最大值为______.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17、设椭圆的焦点在轴上.（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.18、已知长度为4的线段的两个端点,A B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3BP PA，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于点M，N两点，连接MN，求DMN∆的面积的最大值.19、O 为坐标原点，长轴长为4（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC 的面积？20、的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线与椭圆C 交于A 、B 两点，290AF B ∠=，M 为椭圆C 上任意一点，的最大值为16. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的上顶点N 作两条不同的直线，分别交椭圆C 于另一点P 和Q （异于N ），若直线NP 、NQ 的斜率之和为6，证明直线PQ 恒过定点，并求出定点的坐标.21、在平面直角标系xOy 中，且（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.22、在平面直角坐标系中，N 为圆C ：22(1)16x y ++=上的一动点，点D （1,0），点M 是DN 的中点，点P 在线段CN 上，且0MP DN ⋅=. （Ⅰ）求动点P 表示的曲线E 的方程；（Ⅱ）若曲线E 与x 轴的交点为,A B ，当动点P 与A ，B 不重合时，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；参考答案一、单项选择1、【答案】B 【解析】 因为线段1F M的垂直平分线与直线2F M相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==，因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线.故选：B 2、【答案】D【解析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论. 【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-， 又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，也是实系数方程20x px q ++=的根，所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D. 3、【答案】A【解析】将原问题转化为椭圆与圆的交点问题，求得临界值，然后求解x 0的取值范围即可.详解：如图，设以Ox 2+y 2=3与椭圆交于A ，B 两点.4得要使12PF PF ⋅<0，则点P 在A 、B 之间，∴x 0A ．【点睛】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题．4、【答案】A【解析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知121OMF PF F∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.详解：如图，设直线1PF与圆2224cx y+=相切于点M，连接OM，则2cOM=，椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，2PF x⊥轴，∴22=PbPF ya=，∴21222bPF a PF aa=-=-，1OM PF⊥，2PF x⊥轴，∴121OMF PF F∽，∴121OM OFPF PF=，即2222ac cbbaa=-，解得33cea==，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5、【答案】D【解析】根据题意，利用椭圆的定义进行转化求解.详解：依题意可设椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，连接2AF，如图所示.由题意，113AF F B=，则14AB F B=，又214520BF AB F B==，得215BF F B=，由椭圆定义得12162BF BF F B a+==，则113F B a=，所以1AF a=，故212AF a AF a=-=.【点睛】本题考查椭圆的定义和标准方程，属基础题，关键是利用椭圆的定义进行转化.6、【答案】B【解析】分析：设()()()112200,,,,,A x yB x y M x y，利用“点差法”可得24y bx=直线OM的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan1,tan41tanπαθαθα+=-=±-，又2tan4y bxα==，由2214314bb+=-，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,A x yB x y M x y，则22112222221414x ybx yb⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()1212121224x x x x y y y yb-+-++=，00122121,04x yy yx x b-=-∴-=-，即24y bx=，设直线OM的倾斜角为α，则解得22b=，即 B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力. 对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.7、【答案】A【解析】故选C．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l是过原点的直线，且其以2a 得8、【答案】A∴焦点坐标为：0），（0），，∴椭圆的半焦距a2-b2=5a2=15，b2=10∴椭圆的标准方程为2211510x y +=，故选A ．考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质． 点评：常见题型，围绕a,b,c 布列方程组． 9、【答案】B【解析】根据椭圆的定义即可得解； 详解：解：对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题． 10、【答案】D 【解析】菱形ABCD 一边AD 所在直线方程为，即bx+ay ？ab=0，由题意,坐标原点O 到AD 的距离， 整理可得,即：，解得： (舍去)， ∴椭圆的离心率.本题选择D 选项. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 11、【答案】A 【解析】分析两个曲线的方程，分别求出对应的,,a b c 即可得答案.详解：因为椭圆方程为221128x y +=，所以23,22,2a b c ===，焦点在x 轴上， 曲线()2218812x y k k k -=<--，因为8k <，所以80,120k k ->-<， 曲线方程可写为()22+18812x y k k k =<--，128k k ->-，所以曲线为焦点在 y 轴上的椭圆，a 12 k ,b 8 k , c 2 ，所以焦距相等.故选：A 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及椭圆简单的几何性质的应用，属于基础题. 12、【答案】Da 9 2 a 9 6【解析】详解：当 a 0 时，由均值不等式的结论有： aa ，当且仅当 a 3时等号成立.当a9 a6时，点P的轨迹表示线段F1F2,a 当9 a6F1F2时，点 P 的轨迹表示以 F1F2 为焦点的椭圆,本题选择 D 选项.点睛：椭圆定义中的常数必须大于 F1F2 ，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等 号能否取得”. 二、填空题13、【答案】 x2 y2 2【解析】设点 P x, y ，则 PA x 12 y2 ， PB x 22 y2 ，PA x 12 y22PB 所以 x 22 y2 2 ，化简得 x2 y2 2 .故答案为： x2 y2 2 .14、【答案】C 【解析】 【分析】y 2, y 0 利用绝对值的几何意义，由 x y 2 可得 x y 2 y 2, y 0 ，曲线 x y 2 与方程 x2 y2 4 的曲线必相交于 0, 2 ，为了使曲线 C1 与双曲线 C2 恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将 x y 2 代入方程 y2 x2 4 ，整理可得答案第 7 页，总 16 页1 y2 4 y 4 4 0，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出 y 0 时的情形. 【详解】y 2, y 0x 双曲线 C1 的方程为y 2 y 2, y 0 ，所以，曲线 C1 的图象与曲线 C2 的图象必相交于点 0, 2 ，为了使曲线 C1 与曲线 C2 恰好有两个公共点，将 x y 2 代入方程 y2 x2 4 ，整理可得 1 y2 4 y 4 4 0.①当 1时， y 2 满足题意；②当 1时，由于曲线 C1 与曲线 C2 恰好有两个公共点， 162 16 1 1 16 0 ，且 2 是方程 1 y2 4 y 4 4 0的根， 4 10则 1 ，解得 1 1. 所以，当 y ≥ 0 时， 1 1.根据对称性可知，当 y 0 时，可求得 1 1.因此，实数 的取值范围是1,1 .故选：C. 15、【答案】（2）【解析】设出 P 点坐标，根据 P 到 M , N 两点距离乘积为16 列方程，化简后求得曲线 C的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号. 【详解】设 P x, y ， 由 于 P 到 M , N 两 点 距 离 乘 积 为 16 ， 所 以 x 22 y2 x 22 y2 16 ①. 对于（1），将 0, 0 代入①式左边得 22 22 4 16 ，故曲线 C 不过原点，（1）错误.对 于 （ 2 ）， 对 ① 式 令 y 0 得 x 2 x 2 x2 4 16 ， 由 于 x2 0 ， 所 以 x2 4 16, x 2 5 ，所以曲线 C 与 x 轴有两个交点 2 5, 0 .（2）正确.答案第 8 页，总 16 页对于（4），由于（2）正确，所以 M , P, N 不一定能围成三角形，故（4）错误.对于（3），将 x, y 代入①得 x 22 y2 x 22 y2 16 ，故曲线 C 关于 x 轴对称.将 x, y 代入①得 x 22 y2 x 22 y2 16 ，故曲线 C 关于 y 轴对称.故（3）错误. 综上所述，正确结论的序号为（2）. 故填：（2） 【点睛】 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查曲线的对 称性，属于中档题. 16、【答案】8【解析】先根据向量的数量积恒等式化简向量的数量积，再根据椭圆上点到点 N 距离的范围即可求出结果. 详解：解：因为： PE PF NE NP NF NP 2 NE NF NP NE NF NP NE NF cos 0 NP 2 1 NP 2 .又因为 N 为椭圆的右焦点，∴ NP a c,a c 1,3，∴ PE PF 0,8.故答案为：8. 【点睛】 本题考查向量数量积以及椭圆上点到定点取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题17、【答案】（1）；（2）详见解析.试题分析：（1）由椭圆的焦距为 ，可得 ，又由，从而可以建立关于的方程，即可解得 ，因此椭圆 的方程为；（2）根据题意，可设，条件中关于 的约束只有及 在椭圆上，因此需从即为出发点建立 ， 满足的关系式，由题意可得直线 的斜率，直线 的斜率，答案第 9 页，总 16 页故直线 的方程为，当 时，即点 的坐标为,故直线 的斜率为，因此点 在椭圆 上，可得，即点 在直线试题解析：（1）∵焦距为 1，∴，∴，化简得 上.，又由 ，故椭圆 的方程为；（2）设，其中，由题设知 ，则直线 的斜率，直线 的斜率，故直线 的方程为，当 时，即点 的坐标为,∴直线 的斜率为，∵，∴，化简得将上式代入椭圆 的方程，由于在第一象限，解得上.考点：1.椭圆的标准方程；2.两直线的位置关系.【解析】，即点 在直线18、【答案】（1） x2 y2 1；（2） 27 .98【解析】 【分析】（1）设动点 P 和点 A ， B 的坐标，利用向量数乘关系结合| AB | 4 容易求得方程；| DM | （2）联立直线与曲线方程， 利用弦长公式可得1 k218k 1 9k2| ，DN|18 k1 k 2 92SDMN 则1| 2DM|| DN|162(k 1 ) k829(k21 k2)k，设1 kt ，则 t2 ，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）设 P x, y , A m,0 , B 0, n .BP 3PA ，答案第 10 页，总 16 页x, y nm x, yx 3m 3x3m3x,3y，即 yn3y.m 4 3x n 4 y . 又| AB | 4 ，m2 n2 16 .16x2 16 y2 16从而 9.x2 y2 1曲线 C 的方程为 9.（2）由题意可知，直线 DM 的斜率存在且不为 0,故可设直线 DM 的方程为 y kx 1，由对称性，不妨设 k 0 ， y kx 1由 x29y290，消去y得 (19k 2 )x2 18kx0，| DM | 则1k218k 1 9k2，将式子中的 k0换成1 k| ，得：DN|18 k1 k2 2 9.SDMN1 2| DM || DN |1 18k k 2 1 18 k 2 1 2 1 9k2 k2 9162(k 1 )162(k3 k) 9k 4 82k 2 982 9(k 2k1 k2)，k1 t 设 k ，则 t 2 .故 SDMN 162t 9t2 64162 9t 64t2162 9 6427 89t ，取等条件为64 t t即8 3，k18k即 k 3 ，解得4 3727 时， SDMN 取得最大值 8 .19、【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 9 .432答案第 11 页，总 16 页试题分析：（1）直接根据离心率和长轴长定义得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，根据向量运算和中点坐标公式得到 CD 坐标，计算弦长和点到直线距离，代入面积公式得到答案.详解：（1）根据题意知： 2a 4 ， a 2 ， e c 1 ，故 c 1， b 3 ，故椭圆方程 a2为 x2 y2 1 . 43（2）①若直线 AB 垂直于 x 轴，则 AB 中点在 x 轴上，不妨取点 C 2,0 ，根据 CO2OD 得 D1,0 ，故A 1,3 2 ，B 1,3 2 ，故AB3，SABC1 2ABCD1 33 29 2．②若直线斜率存在，设直线 AB : y kx m ，设 A x1, y1 ， B x2, y2 ， y kx m 联立椭圆得 x2 4y2 3，化简得到 14k2 3x2 8kmx 4m2 30， 判别式 48 3 4k2 m20，即 3 4k 2m20， x1x28km 4k 2 x1x24 m2 3 4k 2 33，AB中点D 4km 4k 2 3,3m 4k 2 3 ，根据CO2OD得到点C 8km 4k 2 3,6m 4k 2 3 ，8km26m2因为点 C 在椭圆上，代入椭圆 4k 2 3 4k 2 3 ，整理得 3 4k 2 4m2 . 143验证满足 ，则 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2 1 k 2 4 3 3 4k 2 m2 1 k 2 3 ，又原点 O 到直线 AB 的距离 d m ，3 4k 2m1 k2所以 S△ABO 1d 2AB3 2，所以S△ ABC 3S△ABO9． 2综上所述： ABC 的面积为 9 . 2答案第 12 页，总 16 页【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，椭圆内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用 能力. 【解析】20、【答案】（1） x2 y2 1，（2）直线 PQ 恒过定点 1, 3 .16 9 试题分析：（1）本题首先可以联立椭圆方程与直线方程求出 A 、B 两点坐标，然后写出 F2 A 与 F2B ，再然后根据 AF2B 90 得出 F2 A F2B 0 ，化简得出 3a 4b ，最后根据 MF1 MF2 的最大值为16 即可求出 a 、 b 的值并写出椭圆 C 的方程；（2）本题可以分为直线 PQ 的斜率存在以及直线 PQ 的斜率不存在两种情况进行分类讨论，当直线 PQ 的斜率存在时，首先可以设出直线 PQ 的方程并与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出 x1 x2 、 x1x2 ，再然后根据直线 NP 、 NQ 的斜率之和为 6 即可求出m k 3，最后根据直线的点斜式方程得出直线 PQ 恒过定点 1, 3 ；当直线 PQ 的斜率不存在时，首先设出直线 PQ 的方程以及 P 和 Q 两点坐标，然后根据椭圆的对称性得出 y1 y2 0 ，再然后根据直线 NP 、 NQ 的斜率之和为 6 即可求出 x0 1以及直线PQ 恒过定点 1, 3 ，最后综合两种情况，即可得出结果. x2详解：（1）联立方程 a2y2 b2 y3b 51，解得 x y 3 54 5ba或 x y 4a 5， 3b 5所以 a 4 ， b 3 ，故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1， 16 9（2）当直线 PQ 的斜率存在时：显然斜率不为 0 ，否则直线 NP 、 NQ 的斜率之和为 0 ，不符合题意，设直线 PQ 的方程为 y kx m k 0, m 3 ， P x1, y1 ， Q x2, y2 ， y kx m联立 x216y2 9，得 1916k 2x232kmx 16m21440，答案第 13 页，总 16 页则x1x232km 9 16k 2，x1x216m2 144 ， 9 16k 2因为直线 NP 、 NQ 的斜率之和为 6 ， N 0,3 ，所以 kx1 m 3 kx2 m 3 2k m 3 x1 x2 6 ，x1x2x1x2代入x1x232km 9 16k 2，x1x216m2 144 ， 9 16k 2即 2km332km 16m2 1446 ，化简得 mk3，故直线 PQ 的方程为 y kx k 3 ，即 y 3 k x 1 ，恒过定点 1, 3 ，当直线 PQ 的斜率不存在时：设直线 PQ 的方程为 x x0 ， P x0, y1 ， Q x0, y2 ，其中 y1 y2 0 ，因为直线 NP 、 NQ 的斜率之和为 6 ， N 0,3 ，所以 y1 3 y2 3x0x0y1 y2 6 x06x0 6 ，解得 x0 1，恒过定点 1, 3 ，综上所述：直线 PQ 恒过定点 1, 3 .【点睛】 本题考查椭圆方程的求法以及椭圆中直线过定点问题，考查向量垂直的相关性质，考查 基本不等式以及韦达定理的灵活应用，考查椭圆与直线相交的相关问题的求解，考查直 线斜率的相关性质，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题. 【解析】21、【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） 1 .44试题分析：（1）由题意可得1 a23 4b21， ec a1b2 a23 ，求出 a, b ，即得椭圆 M2的标准方程；（2）点 A2,0 .设 B x1, y1 ， C x2, y2 ，直线 BC 的方程为 y x mm 2 .把，直线 BC 的方程代入椭圆 M 的方程，结合韦达定理，即求答案.详解：（1）根据题意1 a23 4b2 1，离心率 e c ab2 1 a23 ，解得 a 2 ， b 1，2答案第 14 页，总 16 页所以椭圆 M 的标准方程为： x2 y2 1 . 4（2）点 A2,0 .设 B x1, y1 ， C x2, y2 ，直线 BC 的方程为 y x mm 2 .y xm 由 x2 4 y2，可得 5x2 8mx 4 1m2 1 0 .①x1 ， x2 是方程①的两个根， 64m2 45 4 m2 1 16m2 80 0, 5 m 5 且 m 2 . x1x2 8m 5，x1 x24m2 1 5. k1k2 k1 k2 k1 1 k21 1 x1 m x1 2 1 x2 m x2 2 1 1 x1x2m 22 2 x1 x2 41 4m 221 m2 1 16m 4554 5m 22m2 4m 415 411 4.故k1k2k1k2的所有可能的值为1 4.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查与椭圆有关的定值问题，属于较难的题目.【解析】22、【答案】（Ⅰ） x2 y2 1 ； 43（Ⅱ）证明见解析过程.试题分析：（Ⅰ）根据点 M 是 DN 的中点，又 MP DN 0 ，可知 PM 垂直平分 DN.所以PN PD ，又 PC PN CN ，所以 PC PD 4 .这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设 P(x0 , y0 ) ( y00) ，则x02 4y02 3 1，利用斜率公式，可以证明出 k1 k2 为定值.详解：（Ⅰ）由点 M 是 DN 的中点，又 MP DN 0 ，可知 PM 垂直平分 DN.所以 PN PD ，又 PC PN CN ，所以 PC PD 4 .答案第 15 页，总 16 页由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 C，D 为焦点的椭圆.设椭圆方程为 x2 a2y2 b2 1(ab0) .又 2a 4, 2c 2, 可得 a2 4,b2 3.所以动点 P 表示的曲线 E 的方程为 x2 y2 1 . 43（Ⅱ）证明：易知 A（-2,0），B（2,0）.设 P(x0 , y0 ) ( y0 0) ，则x02 4y02 3 1，即 y02 31x02 4 ，则 k1y0 x0 2， k2y0 x0 2，即 k1 k2y02 x02 4 31x02 4x02 4 3 4( x02x02 44)3 4，∴k1k2为定值3 4．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了斜率的公式，考查了数学运算能力.【解析】答案第 16 页，总 16 页。

卜人入州八九几市潮王学校高二数学同步测试直线与圆锥曲线一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕)11,8(),,2(),1,3(C k B A -三点在同一条直线上，那么k 的值是〔〕A.-6B.-7 C2．有5辆6吨的汽车和4辆4吨的汽车，要运送最多货物，完成这项运输任务的线性目的函数是〔〕 A ．y x z45+=B ．y x z 46+=C ．y x z 65+=D ．y x z 44+=192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-m my m x 一定有〔〕 0632=--y x 绕着它与y 轴的交点逆时针旋转 45的角后，在x 轴上的截距是〔〕A.54B.52C.25D.45 5．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是〔〕023=±yx ,且过点)2,3(,那么此双曲线的一共轭双曲线的方程为〔〕 A.14922=-y x B.12322=-y x C.19422=-y x D.13222=-y x 7．直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，那么三条边长分别为|||,||,|c b a 的三角形〔〕A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在y x 82-=上,且动圆恒与直线02=-y 相切,那么动圆必过定点〔〕A.)0,4(B.)4,0(-C.)0,2(D.)2,0(-9.)23,(ππα∈,直线1l ：0cos 1=+-+b y x α，直线2l ：a y x -++ααcos 1sin0=，1l 与2l 的位置关系是〔〕A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直10．椭圆12222=+by a x 的两个焦点21,F F 三等分它的两条准线间的间隔，那么它的离心率是〔〕A ．32B ．33C ．63D ．66)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,那么式子2121x x y y 的值一定等于〔〕A ．4B ．4-C ．2p D ．p -12．双曲线中心在原点且一个焦点为),0,7(F 直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-那么此双曲线的方程是〔〕A ．14322=-y xB ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 二、填空题〔每一小题4分，一共16分〕13.抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线02=+-y x 上，那么此抛物线方程为__________________.14.如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，那么2b 的值是.l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移一个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为________________.16.给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.假设点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的间隔.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或者17.该学生的解答是否正确？假设正确，请将他的解题根据填在下面空格内，假设不正确，将正确 的结果填在下面空格内._____________________________________________________________________________. 三、解答题〔一共74分〕17.〔本小题总分值是12分〕椭圆的焦点为)1,0(1-F 和)1,0(2F ，直线4=y 是椭圆的一条准线.〔1〕求椭圆的方程； 〔2〕又设P 在此椭圆上，且1||||21=-PF PF ，求21tan PF F ∠的值.18．〔本小题总分值是12分〕圆22:414450C xy x y +--+=，〔1〕假设M 为圆上任一点，(2,3)Q -，求MQ的最大值和最小值；〔2〕求2u x y =-的最大值和最小值；〔3〕求32y vx -=+的最大值. 19．〔本小题总分值是12分〕点)0,2(A 、)6,0(B ，O 为坐标原点.〔1〕假设点C 在线段OB 上，且4π=∠BAC ，求ABC ∆的面积； 〔2〕假设原点O 关于直线AB 的对称点为D ，延长BD 到P ，且||2||BD PD =.直线l ：031088410=-++y ax 经过点P ，求直线l 的倾斜角.20．〔本小题总分值是12分〕如图，F 为抛物线px y 22=的焦点，)2,4(A 为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且||||PF PA +的最小值为8.y〔1〕求该抛物线方程；P〔2〕假设过F 的直线l 交抛物线于M 、N 两点，A 且32||≥MN ，求直线l 倾斜角的取值范围.OF x21．〔此题总分值是14分〕此题一共有2个小题，第1小题 总分值是5分，第2小题总分值是7分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. 〔1〕假设最大拱高h 为6米，那么隧道设计的拱 宽l 是多少？〔2〕假设最大拱高h 不小于6米，那么应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的 土方工程量最最小？ 〔半个椭圆的面积公式为lh S4π=，柱体体积为：底面积乘以高.〕22．〔此题总分值是14分〕此题一共有3个小题，第1小题总分值是4分，第2小题总分值是4分，第 3小题总分值是6分.在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为OAB ∆的直角顶点.||2||OA AB =，且点B 的纵坐标大于零.〔1〕求向量AB 的坐标；〔2〕求圆02622=++-y y x x关于直线OB 对称的圆的方程；〔3〕是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？假设不存在，说明理由：假设存在，求a 的取值范围.直线与圆锥曲线(五)参考答案一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕二、填空题〔每一小题4分，一共16分〕 13．x y 82-=或者y x 82=14．3215．31-16．17||2=PF 三、解答题〔74分〕17．〔1〕13422=+x y ；〔2〕34tan 21=∠PF F 。