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信号与系统 第2章 连续时间信号的时域分析

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第二章 信号与系统的时域分析

第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t

x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，

信号与系统第二章第一讲

信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统

vR (t )
C


vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才

Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
6 / 59
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。

信号与线性系统分析第2章

信号与线性系统分析第2章
t r ( Pmt m Pm1t m1 P 0的特征根） 1t P 0 )(有r重为
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )

f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：

信号与系统-第2章

信号与系统-第2章

f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.

第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析

第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析

第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )

信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)

信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)

n
rzi (t) Azikekt k 1
（b）
r(k zi
)
(0
)
r(k) (0 )
k 0,1,L ,(n 1)
系数Azik可直接由 r(k) (0 ) 来确定。
例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程
d2 dt 2
r(t)
5
d dt
r(t)
6r(t)
e(t)
起始状态 r(0 ) 1,r(0 ) ，2激励信号
(t)
2
p3
5
2p p2
5
p
3
e(t)
2
d3 dt3
vo
(t)
5
d2 dt 2
vo
(t)
5
d dt
vo
(t)
3vo
(t)
2
d dt
e(t)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；
（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
§2.3 微分方程的经典解法 r(t) rh (t) rp (t)
r(0 ) r(0 ) 1
（4）由 0状态确定待定系数
r(t) A1et A2e2t 0.5e3t
rr((00))
A1 A1
A2 0.5 1 2A2 1.5
3
A1 A2
5.5 5
全响应 r(t) 5.5et 5e2t 0.5e3t ,t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
r(t) 0 u(t) r(0 ) r(0 )
代入
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)

第2章信号与系统的时域分析

第2章信号与系统的时域分析

f 1 ( )
2012-8-10


f 2 ( t ) dt f 2 ( )


f 1 ( t ) dt 0
30
性质4 卷积时移连续信号与系统的时域分析 第2章
2012-8-10
31
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：
若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
n 1
( n 1 )!
2
( t ), ,
t
2
( t ), t ( t ), ( t ), ( t ),
n
2
d (t ) d (t ) d (t ) , , , , 2 n 2012-8-10 dt dt dt
3
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
,
f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) y ( t t1 t 2 )
式中，t1和t2为实常数。
(2.2-21)
2012-8-10
32
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K
性质3 卷积的微分和积分
证
2012-8-10
27
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律， 可得
2012-8-10
28
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(3) 因为
2012-8-10
29
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
同理，可将f2(t)表示为

第二章 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析

19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型

一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20

信号与系统 第2章(3-5)

信号与系统 第2章(3-5)

X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1

信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析

信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析
f (t) Kf1(t)
36
2.4 信号的运算
3. 信号的反褶、时移、尺度变换
（1）反褶运算
f (t) f (t) 以 t = 0为轴反褶
f(t) 1
f(-t) 1
-1
1
（2）时移运算
f (t) f (t t0 )
t -1
1
t
t0>0时，f(t)在 t 轴上整体右移
t0<0时，f(t)在 t 轴上整体左移 37
15
2.2 常用连续时间信号
5. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t
)
t 0
t0 t0
(2.2 9)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
(2.2 10)
R(t)
R(t–t0)
1
1
0
1
t
0
t0
t0+1 t
16
2.3 奇异信号
1. 单位斜变信号 2. 单位阶跃信号 3. 单位冲激信号 4. 冲激偶信号 重点：阶跃信号和冲激信号 难点：冲激信号
A
Aet ( 0)
Aet ( 0)
0
t
8
2.2 常用连续时间信号
常见的指数信号是单边指数衰减信号，其表达式为
f
(t)
Ae t
t0
(2.2 2)
0
t0
式中， >0。其波形如下图所示：
1
通常将τ称为指数信 号的时间常数 ，表示
指数信号的衰减速度， 具有时间量纲。
重要特性：指数信号的微分或积分，仍然是指数信号。
28

《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析

《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
由起始状态Y(0-)≠0 所产生的响应。
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1

信号与系统第二章

信号与系统第二章

§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。

信号与系统(教案) 第二章

信号与系统(教案) 第二章

二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下6个步骤： Step1：换元。画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)。 Step2：翻转。将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻 180°，得 到f2(-τ)波形。 4
信号与系统
2.2
卷积积分
Step3:平移。给定t值,将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
1.奇异信号
单位冲激信号 (t), 单位阶跃信号 (t).
2.正弦信号
也称为虚指数信号。 f (t ) A cos( t ) A [e j (t ) e j (t ) ] 2
式 中A、和分 别 为 正 弦 信 号 的 振 幅 角 频 率 和 初 相 。 、 f ( t )是 周 期 信 号 ， 其 周 期 2 T＝
1 0
f 1(t)
2
t
14
信号与系统 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分 2.2 卷积积分

信号与系统第2章 信号的时域分析(5学时)

信号与系统第2章 信号的时域分析(5学时)

一、典型普通信号
3. 指数类信号 — 复指数信号
x(t ) A e s j 0， t R
st
x(t ) Aet e j0t Aet cos0 t jAet sin 0 t
et cos 0t
0
et sin 0t
0
t
实部
t
虚部
一、典型普通信号

x (t ) ' (t t )dt x ' (t )
0 0
二、奇异信号
(4)、卷积特性
x( t ) '( t ) x '( t)
(5)、与冲激信号的关系
d (t ) ' (t ) dt
(t ) ' ( )d

t
总结：四种奇异信号具有微积分关

e
t
1 1 (t 1) dt 2 2e
(4)( t3 2 t 2 3) (t 2)
解： (t 2t 3) (t 2) (2 2 2 3) (t 2) 19 (t 2) （筛选特性）
3 2 3 2
注 意
0 / 2 p 3 / 8
1)x1[k] = cos(kp/6)
x1[k] k
0
2)x2[k] = cos(k/6)
x2[k] k
0
3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
x3(t), x3[k]
1
0 1
1
t
二、基本离散时间序列
3．复指数序列 x[k ] Ae( j0 ) k Aek e j0k Ar k e j0k
3. 斜坡信号

信号与系统第二章习题答案

信号与系统第二章习题答案

(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
h (t ) = C1e −2t + C2 e t ε (t )
对上式求一阶、二阶导数，得
(
)
h ' (t ) = − 2C1e −2t + C 2e t ε (t ) + C1e −2t + C2 e t δ (t )
(
)
(
t
)
h '' (t ) = 4C1e −2 t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt
将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到：
⑾
对⑾式求导，得到：
⑿
再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为：
64
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt
⑼
再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为：
2
d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt
⑽
对⑹式求一阶导，得到：
di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dt

第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件

第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
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0

Sa(t )dt

2

Sa(t )dt
10
2.2
常用连续信号
4. 复指数信号
如果指数信号的指数因子为复数，则称为复指数信号， 其表达式为
f (t ) Kest Ke( j )t Ke t cos t jKe t sin t
复指数信号概括了多种情况，可以利用复指数信号来 描述各种基本信号，如直流信号 ( 0, 0) 、指数信 号 ( 0, 0) 、正弦或余弦信号 ( 0, 0) ， 以及增长或衰减的正弦与余弦信号 ( 0, 0) 。
第2章 连续时间信号的时域分析
2.1 信号的分类 2.2 常用连续时间信号 2.3 阶跃信号和冲激信号 2.4 信号的运算 2.5 信号的分解 2.6 MATLAB的操作界面及连续信号的表示
1
2.1
信号的分类
对于各种信号，可以从不同角度进行分类。
1、确定性信号与随机性信号
对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应，这样的 信号称为确定性信号。不可预知的信号称为随机信号。
20
1


2.3
阶跃信号和冲激信号
（b）用三角脉冲取极限定义

2
δ(t)

1
0
(1)
2
2

t
t
t 1 (t ) lim (1 )[u (t ) u (t )] 0
21
2.3
阶跃信号和冲激信号
、幅度连续 取样信号：时间不连续 离散信号 、幅度也不连续 数字信号：时间不连续
3
2.1
信号的分类
4、因果信号与非因果信号 将 t 0 接入系统的信号（即在 t 0 时为零的信 号），称为因果信号。反之，若 t 0 时不等于零的信 号，则称为非因果信号。 5、一维（1-D）信号与多维（M-D）信号 如果信号只有一个独立的自变量， 这个信号就是 一维信号，而如果信号的自变量不止一个，就是多维信 号。
6
2.2
常用连续信号

2. 正弦信号
正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 2，统称为 正弦信号，一般写作
f (t ) A sin( t )
A f( t) T


2
t
7
2.2
常用连续信号
在信号与系统分析中，经常要遇到单边指数衰减的正 弦信号，其表达式为
t Ae sin t f (t ) 0
i(t ) (t )
1 0

2
1
(1) 0 t

t
0
2
t
18
2.3
阶跃信号和冲激信号
(t )
（i） (t ) 的定义方法 （1）用表达式定义
(t ) 0 (t 0) (t )dt 1
（1） 0 t
(t )又称 这种定义方式是狄拉克提出来的，因此， 为狄拉克（Dirac）函数。 (t t0 ) 同理可以定义 (t t0 ) ，即 （1） (t t ) 0 (t t )
4
2.2
常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。 1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t ) Ae t
f (t )
Ae t ( 0)
A
Ae t ( 0)
Ae t ( 0)
0
t
5
2.2
常用连续信号
常见的指数信号是单边指数衰减信号，其表达式为
t t 0 Ae f (t ) t0 0 >0。其波形如下图所示： 式中，
例： (t t0 )u (t 2t0 )dt u(t 2t0 ) t t

0


j t j t e [ ( t ) ( t t )]d t e 0
t 0
e j t
t t0
1 e j t0
(t ) (t ) （2） (t ) 是偶函数，即 t 0 t 0 u(t ) （3） ( )d 1 t 0
2、周期信号与非周期信号
在规则信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓
周期信号就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无
终的信号。时间上不满足周而复始特性的信号称为非周
期信号。
2
2.1
信号的分类
3、连续时间信号与离散时间信号
如果在所讨论的时间间隔内，对于任意时间 值（除若干不连续点外），都可给出确定的函数 值，这样的信号称为连续时间信号。 在时间的离散点上信号才有值与之对应，其 它时间无定义，这样的信号称为离散时间信号。
t
t
t
因为 f1 (t ) Eu(t ),

2
f 2 (t ) Eu (t ), 2


所以，矩形脉冲G(t)可表示为
G(t ) f1 (t ) f 2 (t ) E[u(t ) u(t )] 2 2
16
2.3
1 0
阶跃信号和冲激信号
f1 (t ) f 2 (t )
S E=1V
＋ －
C
vc (t )
-
vc (t ) 1
1
0
t 0
u(t )
如果开关S在t = t0 时闭合， 则电容上的电压为u（t - t0) 。 u（t - t0）波形如下图所示：
u（t- t0 ）
t0
t
14
2.3
阶跃信号和冲激信号
u(t)与R(t)的关系：
dR(t ) u(t ) dt
17
2.3
阶跃信号和冲激信号
2. 单位冲激信号
我们先从物理概念上理解如何产生冲激函数 (t )
S E=1V
＋
i(t)
－
例：图中假设S、E、C都是理
C=1F
想元件（内阻为0），当 t = 0时 S闭合，求回路电流i（t）。
dvC (t ) i(t ) C dt
2
vc (t )

i(t)
0
d u (t t0 ) (t t0 ) dt
24
2.3
阶跃信号和冲激信号
3. 冲激偶信号 冲激信号的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极 性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 ' (t ) 表示。 s (t ) (t ) 1

0
（1）

0
d s (t ) dt 1 2
例 2 ： f(t)

1 t
1
0 t

1
1
0 t
1
f (t ) t[u (t ) u (t 1)]
例3：利用阶跃信号来表示“符号函数”（signum）
sgn(t)
1 0 -1 t
1 t 0 2u (t ) 1 sgn(t ) 1 t 0
或：
1 u (t ) [sgn( t ) 1] 2
0 (t t0 )dt 1
0
0
t0
t
19
2.3
阶跃信号和冲激信号
(2) 用极限定义
(t ) 。 我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义
例如:（a）用矩形脉冲取极限定义

2
δ( t )

1
0
(1)
4 2
4
2
t
t
(t ) lim [u(t ) u(t )] 0 2 2
11
2.2
常用连续信号
5. 单位斜变信号 斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t ) t , (t 0)
R(t) 1 0 1 t
R(t t0 ) t t0 , (t t0 )
R(t–t0)
1 0 t0 t
t0+1
12
2.3
阶跃信号和冲激信号
R(t )

t
u ( )d
u(t)的性质：单边特性，即：
t 0 0 f (t )u(t ) f (t ) t 0
某些脉冲信号可以用阶跃信号来表示。
15
2.3
阶跃信号和冲激信号
f1 (t ) f 2 (t )
例1：G(t )
E
E

2
2

2
E
2
f (t ) Kf (t )
28
2.4
信号的运算
3. 信号的反褶、时移、尺度变换 （1）反褶运算
f (t ) f (t )
f(t) 1
以 t = 0为轴反褶 f(-t) 1
-1
1
t
-1
1
t
（2）时移运算
f (t ) f (t t0 )
t0>0时，f(t)在 t 轴上整体右移 t0<0时，f(t)在 t 轴上整体左移

t
0
0
' (t )
t
0 12

t
0
t
25
2.3
阶跃信号和冲激信号
冲激偶的性质 （1）冲激偶是奇函数，即
'( t ) '(t )
(2) （3）
f (t ) '(t ) f (0) '(t ) f '(0) (t )



' (t ) f (t )dt f ' (0)