3D数学基础第10章3D中的方位与角位移课件
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三角三维坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中,三角和三维坐标是两个重要的概念。
三角是指由三条边和三个角组成的图形,它是几何学中的基础概念之一。
而三维坐标则是指在三维空间中用三个坐标轴来表示一个点的位置。
三角的性质和特点在几何学中具有广泛的应用。
它们帮助我们研究各种图形的形状、大小和相似性质,以及解决与角度、距离和面积相关的问题。
三角还是计算机图形学和建筑设计等领域中不可或缺的基础知识。
与此同时,三维坐标的概念在空间几何学中起着重要的作用。
它提供了一种描述和表示空间中点的有效方式,使得我们可以准确地定位和测量物体的位置和方向。
通过三维坐标系统,我们可以进行精确的计算和分析,进而解决各种与空间相关的问题。
在本文中,我们将对三角和三维坐标进行详细的介绍和分析。
首先,我们将探讨三角的定义、性质和基本概念,包括角度、边长和面积等。
然后,我们将介绍三维坐标系,并详细讨论其基本原理和应用。
进一步,我们将总结三角和三维坐标的关系,并探讨它们在实际生活中的应用和意义。
通过本文的学习,读者将能够对三角和三维坐标有更深入的理解,并了解它们在数学和实践中的重要性。
无论是在学术研究、工程设计还是日常生活中,掌握这些知识都将为我们的思维和问题解决能力提供强大的支持。
让我们一起深入研究和探索三角和三维坐标的奥秘吧!1.2文章结构文章结构主要分为三个部分:引言、正文和结论。
在引言中,我们首先概述了本文要介绍的主要内容:三角和三维坐标。
三角是一种基本的几何概念,具有特定的定义和性质。
而三维坐标系则是一种数学工具,用来描述和定位三维空间中的点和物体。
接着,我们简要介绍了整篇文章的结构,即分为引言、正文和结论三个部分。
引言主要是对文章的主题和目的进行说明,正文则是对三角和三维坐标系统的详细介绍和解释,结论部分总结了三角和三维坐标的关系,并探讨了它们的应用和意义。
文章的目的是通过对三角和三维坐标的介绍,使读者对这两个概念有一个更全面、深入的了解。
初中数学知识归纳立体几何体的位置关系在初中数学中,学生们需要学习和掌握立体几何体的位置关系。
立体几何体的位置关系涉及到几何体之间的相对位置以及它们之间的交点和交线等概念。
本文将对初中数学中涉及到立体几何体的位置关系进行归纳总结。
1. 三维坐标系及坐标点的表示方法在研究立体几何体的位置关系之前,我们首先需要了解三维坐标系及其上的坐标点表示方法。
三维坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成,分别为x轴、y轴和z轴。
坐标点的表示方法为P(x, y, z),其中x表示点在x轴上的坐标值,y表示点在y轴上的坐标值,z表示点在z轴上的坐标值。
2. 点、直线、平面以及它们的位置关系在立体几何体中,点、直线和平面是最基本的元素。
点表示物体的位置,直线由无数个点组成,平面则由无数个直线组成。
它们之间存在着一些重要的位置关系,如下所述:2.1 点和直线的位置关系一个点可以与直线相关联有三种情况:在直线上、在线的延长线上或线外。
一个点如果在某直线上,则称该点在直线上;如果在直线的延长线上,则称该点在线的延长线上;如果既不在直线上,也不在线的延长线上,则称该点在线外。
2.2 点和平面的位置关系一个点可以与平面相关联有三种情况:在平面上、在平面的延长线上或平面外。
一个点如果在某平面上,则称该点在平面上;如果在平面的延长线上,则称该点在平面的延长线上;如果既不在平面上,也不在平面的延长线上,则称该点在平面外。
2.3 直线和直线的位置关系两条直线之间的位置关系主要有以下几种情况:相交、平行和重合。
如果两条直线有且仅有一个交点,则称它们相交;如果两条直线永远不会相交,则称它们平行;如果两条直线完全重合,则称它们重合。
2.4 直线和平面的位置关系直线与平面之间的位置关系主要有以下几种情况:相交、平行和重合。
如果一条直线与平面有且仅有一个交点,则称它们相交;如果直线与平面永远不相交,则称它们平行;如果直线完全在平面上,则称它们重合。
2.5 平面和平面的位置关系两个平面之间的位置关系主要有以下几种情况:相交、平行和重合。
3D中的方位和角位移什么是方位直观地说,我们知道物体的“方位”主要描述的是物体的朝向。
然而“方向”和“方位”并不完全一样。
向量有“方向”但没有“方位”,区别在于,当一个向量指向特定方向时,可以让向量自转(如图10.1所示),但向量(或者说它的方向)却不会有任何变化,因为向量的属性只有“大小”,而没有“厚度”和“宽度”。
然而,当一个物体朝向特定的方向时,让它和上面的向量一样自转,你会发现物体的方位改变了,如图10.2所示:从技术角度来讲,这就说明在3D中,只要用两个数字(例如:极坐标),就能用参数表示一个方向(direction)。
但是,要确定一个方位(orientation),却至少需要需要三个数字。
我们知道不能用绝对坐标来描述物体的位置,要描述物体的位置,必须把物体放置于特定的参考系中。
描述位置实际上就是描述相对于给定参考点(通常是坐标系的原点)的位移。
同样,描述物体方位时,也不能使用绝对量。
与位置只是相对已知点的位移一样,方位是通过与相对已知方位(通常称为"单位"方位或"源"方位)的旋转来描述的。
旋转的量称作角位移。
换句话说,在数学上描述方位就等价于描述角位移。
"方位"和"角位移"的区别就像"点"和"向量"的区别----两个术语都只是在数学上等价而在概念上是不同的。
方位和点主要用来描述一个单一的状态,而角位移和向量描述的是两个状态间的差别。
具体来说,我们用矩阵和四元数来表示"角位移",用欧拉角来表示"方位"。
矩阵形式3D中,描述坐标系中方位的一种方法就是列出这个坐标系的基向量,这些基向量是用其他的坐标系来描述的。
用这些基向量构成一个3x3矩阵,然后就能用矩阵形式来描述方位。
换句话说,能用一个旋转矩阵来描述这两个坐标系之间的相对方位,这个旋转矩阵用于把一个坐标系中的向量转换到另外一个坐标系中,如图10.3所示:我们通过描述一个坐标系到另一个坐标系的旋转(无论采用哪种变换)来确定一个方位。
图形学3D基础DirectX113D数学基础向量矩阵线性变换以⼏何的⽅式描述3D场景中的物体:⼀组三⾓形近似地模拟物体的外表⾯。
为了使得创建的物体移动,我们可以对⼏何物体进⾏变换线性变换(函数)的输⼊输出不⼀定都是3D向量,但是在3D图形学中基本都是。
向量u = (x, y, z) = xi + yj + zk = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)向量i,j,k是标准基向量矩阵的意义⽤于对向量进⾏线性变换:旋转,缩放,投影,镜像,仿射等正交投影降低维度操作,某个⽅向⽤零作为缩放因⼦正交矩阵镜像镜像矩阵切变:坐标轴的扭曲变换将⼀个坐标的乘积加到另⼀个坐标上。
如即取出⼀个坐标,乘以不同的因⼦,再加到另⼀个坐标上,对应3个不同的切变矩阵。
缩放缩放变换的的定义 : S(X,Y,Z) = (Sx.X,Sy.Y,Sz.Z)Sx ,Sy, Sz 是相应⽅向上的缩放单位意义:通过⽐例因⼦对向量的不同分量或相同的分量进⾏缩放应⽤缩放矩阵:向量乘以左乘(向量在左边)⼀个缩放矩阵,从⽽实现向量的缩放旋转转旋:绕轴旋转有通⽤的旋转矩阵也有对应三个轴的旋转矩阵不过,⽤欧拉⾓处理旋转更⽅便更⽅便仿射变换⼀个组合了平移的线性变换,即⼀个线性变换加上平移向量变换。
齐次坐标向量只表⽰⽅向和长度,与位置⽆关,所以平移⼀个向量是⽆意义的;平移只作⽤在点上,⼀起坐标就⽤于同⼀处理点和向量,以第四个坐标分量w来决定所描述的是⼀个点还是⼀个向量。
在齐次坐标中(x,y,z,0)⽤于向量(x,y,z,1)⽤于点点与点相减的值是⼀个向量点与向量相加的值仍然是⼀个点仿射变换就是⼀个线性变换加上⼀个平移向量,从⽽构成⼀个齐次的仿射矩阵平移平移矩阵1 0 0 00 1 0 00 0 1 0x y z 1平移矩阵的逆矩阵1 0 0 00 1 0 00 0 1 0-x-y-z 1组合变换根据矩阵乘法的结合律,将旋转矩阵R,平移矩阵T,缩放矩阵S。