反常二重积分
一、无界区域上的二重积分
与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．
定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，
且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限
图1
都存在且取相同的值，则称反常二重积分
收敛于，即
=
=
否则，称发散．
对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．
1．
==
或
=
=
2．
D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σ
C
D
d y x f ),(C C D D ⎰⎰σ
→C
C D D
D d y x f ),(lim
I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(⎰⎰σ
→C
C D D
D d y x f ),(lim
I ⎰⎰σ
D
d y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx M
c b a
M ),(lim
⎰⎰
+∞
→dy
y x f dx c
b a
),(⎰
⎰+∞⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy b
a
M c
M ),(lim
⎰⎰
+∞
→dx
y x f dy b
a
c
),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D
=
=
或
=
=
3．
=
=
或
=
=
也可在极坐标系下计算
=
=
定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.
定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且
()),(,0y x g y x f ≤≤.那么
(1)当⎰⎰D
dxdy y x g ),(收敛时,
⎰⎰D
dxdy y x f ),(收敛;
(2)当⎰⎰D
dxdy y x f ),(发散时,
⎰⎰D
dxdy y x g ),(发散.
推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α
)
(),(22
y x c y x f +≤
(c 是常数),如果 α>2,
⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx N
c M a
M N ),(lim ⎰⎰+∞
→+∞→dy
y x f dx c
a
),(⎰
⎰+∞+∞⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy M a
N c
N M ),(lim ⎰⎰+∞
→+∞
→dx
y x f dy a
c
),(⎰
⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dy
y x f dx M M
N N
N M ),(lim ⎰
⎰
--+∞
→+∞
→dy
y x f dx ),(⎰
⎰+∞∞
-+∞
∞
-⎰⎰
D
dxdy
y x f ),(dx
y x f dy N N
M
M
M N ),(lim ⎰
⎰
--+∞
→+∞
→dx
y x f dy ),(⎰
⎰+∞∞
-+∞
∞
-⎰⎰D
dxdy
y x f ),(rdr
r r f d R
R )sin ,cos (lim
020
θθθ⎰⎰
π+∞
→rdr
r r f d )sin ,cos (0
20
θθθ⎰
⎰+∞π
则反常二重积分⎰⎰D
dxdy y x f ),(收敛;
(2)当22y x +足够大时, α
)
(),(22
y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,
则反常二重积分⎰⎰D
dxdy y x f ),(发散.
例1 设=，计算
解 方法一
方法二
例2 计算二重积分
，其中D 是由曲线在
第一象限所围成的区域．
分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：
= 图8.26
D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(1
22dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M y
x 0
arctan arctan lim +∞
→=4)2()(arctan lim 2
22
π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 20
202211
11)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0
arctan arctan y
x 4)2(2
2π=π=⎰⎰-D
y
dxdy xe 2
,42x y =2
9x y =y x }0,23|
),{(+∞≤≤≤≤=y y
x y y x D ⎰⎰-D
y
dxdy
xe
2
dx
xe dy y y
y 2
23
-∞
+⎰
⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2
)9141(21
