高中数学必修4三角函数常考题型：正切函数的性质与图像

《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。

用数学语言表示为：对于一个锐角α，tanα ＝对边／邻边。

在单位圆中，正切函数可以定义为：tanα ＝ y ／ x ，其中（x，y）是角α终边上的一点，且x ≠ 0 。

二、正切函数的定义域正切函数的定义域为{x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k ∈ Z} 。

这是因为当 x ＝kπ ＋π/2 时，角α的终边在 y 轴上，此时邻边 x ＝0 ，正切函数的定义式tanα ＝ y ／ x 无意义。

三、正切函数的周期正切函数是周期函数，其最小正周期为π。

即tan(α ＋π) ＝tanα ，对于任意α ∈ R 且α ≠ kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 都成立。

四、正切函数的奇偶性正切函数是奇函数，即tan(α) ＝tanα 。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

我们通过分析正切函数的周期性和定义域，可以逐步绘制出正切函数的图像。

首先，在一个周期内，例如在区间（π/2，π/2）内，正切函数是单调递增的。

当α从π/2 趋近于π/2 时，tanα 的值从负无穷大趋近于正无穷大。

然后，考虑整个定义域，由于正切函数的周期为π，我们可以通过将区间（π/2，π/2）的图像向左或向右平移π的整数倍，得到整个定义域内的图像。

正切函数的图像具有以下特点：1、它是由无数条不连续的曲线组成，这些不连续点就是 x ＝kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 。

2、图像在每个周期内都是单调递增的。

3、图像的渐近线为 x ＝kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 。

六、正切函数的单调性正切函数在每个周期内都是单调递增的。

即在区间（kπ π/2，kπ ＋π/2），k ∈ Z 内，正切函数单调递增。

需要注意的是，不能说正切函数在整个定义域内单调递增，因为它的定义域是不连续的。

正切函数的值域是 R ，即正切函数可以取到任意实数。

这是因为在每个周期内，它从负无穷大递增到正无穷大。

正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】要点一：正切函数的图象 正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2π）的图象.要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2． 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=． 【典型例题】类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1lg(tan )y x =；（2）y =．【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．【答案】（1）,,442k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）（2）,,,2332k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ） 【解析】 （1）要使1lg(tan )y x =有意义，必须满足()2tan 0tan 1x k k Z x x ππ⎧≠+∈⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即()2()2()4x k k Z k x k k Z x k k Z πππππππ⎧≠+∈⎪⎪⎪<<+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩， ∴函数1lg(tan )y x =的定义域为,,442xk k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫∈+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．（2）要使y=2()3x k x k x k k Z πππππ⎧⎪≠⎪⎪≠+⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴函数y =,,,2332x k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．举一反三：【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()23f x x ππ=+ （1）求f （x ）的最小正周期．（2）求f （x ）的定义域和单调区间． （3）求方程()f x =【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程()f x =【答案】（1）2；（2）定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ；（3）{x ｜x =2k ，k ∈Z}．【解析】（1）对于函数()tan()23f x x ππ=+，它的周期等于22T ππ==．（2）令232x k ππππ+≠+，求得123x k ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；令2232k x k ππππππ-<+<+，求得12523k x k -<<+， 可得函数的单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ． （3）由方程()tan()23f x x ππ=+=，可得233x k ππππ+=+， 求得x =2k ，故方程的解集为{x ｜x =2k ，k ∈Z}．类型二：正切函数的图象 例2．函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象是下图中的（ ）【答案】A【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．由函数周期212T ππ==，排除选项B 、D ．将23x π=代入函数式中，12tan tan 00233ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭．故函数图象与x 轴的一个交点为2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ．【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法． 举一反三：【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是（ ）【答案】C【解析】∵sin , 02cos |tan |sin , 23sin , 2x x y x x x x x x πππππ⎧≤<⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪<<⎪⎩，∴函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是C ． 故选C ．类型三：正切函数的周期性 例3．求下列函数的周期（1）y=3tan(2x+3π) （2）y=7tan(3x －6π) 【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+3π)=3tan(2x+3π+π)= 3tan[2（x+2π）+3π]=f(x+2π). ∴周期为2π.（2）f(x)= y=7tan(3x －6π)=7tan(3x －6π+π)=7 tan[31（x+3π）－6π]=f(x+3π)∴周期为3π.举一反三：【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =．【答案】（1）是（2）是（3）不是 【解析】 （1）22()tan tan ()()f x x x f x ππ==+=+∴函数2tan y x =是周期函数，最小正周期是π．（2）()|tan ||tan()|()f x x x f x ππ==+=+∴|tan |y x =是周期函数，最小正周期是π．（3）由图象知，函数不是周期函数类型四：正切函数的单调性例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3f x x π=-．（1）求f （x ）的定义域与单调区间（2）比较()2f π与()8f π-的大小．【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f （x ）的定义域与单调区间． （2）根据函数的解析式，求得()2f π与()8f π-的值，可得()2f π与()8f π-的大小．【答案】（1）定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈，单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+；（2）()()28f f ππ<-【解析】（1）由函数()3tan(2)3f x x π=-，可得232x k πππ-≠+，求得5212k x ππ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈．令2232k x k πππππ-<-<+，求得5212212k k x ππππ-<<+， 故函数的单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+．（2）2()3tan 23f ππ==-1tan73()3tan()3tan()336812431tan 3f ππππππ+-=-=-+=-⋅=-=+-， ∴()()28f f ππ<-．【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小． 举一反三：【变式1】求函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间．【解析】11tan tan 2424y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1()2242k x k k Z πππππ-<-<+∈． 得32222k x k ππππ-<<+，k ∈Z ．∴函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为32,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例3】 【变式2】求函数|tan(2-)|3y x =π的单调增区间.【答案】5,26212k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭【巩固练习】 1．函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数4．当22x ππ-<<时，函数y=tan |x|的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定6．函数1tan y x =（44x ππ-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）A ．[―1，1]B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）C ．（－∞，1]D ．[－1，+∞）7．（2017 广东惠州月考）直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A ．2πB ．2πC ．πD ．与a 值有关 8．（2015秋 重庆期中）对于函数f (x )=tan 2x ，下列选项中正确的是（ ）A ．f （x ）在(,)24ππ-上是递增的B ．f （x ）在定义域上单调递增C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的所有对称中心为(,0)4k π9．函数5tan 3x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是________。

授课内容 正切函数的图像、性质教学内容知识梳理一、周期性由诱导公式()tan tan ,,,2x x x R x k k Z πππ+=∈≠+∈知，正切函数是周期函数，周期是_________，最小正周期是_________。

【例1】已知函数)0(cos 2>⋅-=n x n m y 的最大值是23，最小值是21-，求函数[]x n m y )24(tan +=的最小正周期。

二、奇偶性与对称性由诱导公式()tan tan ,,,2x x x R x k k Z ππ-=-∈≠+∈知，正切函数是_________函数， 正切函数的图像为中心对称图形，其对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πk ()Z k ∈.【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）tan 44y x x ππ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭ （2）4tan 2y x x x =+【例3】求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan 3πx y 的对称中心的坐标。

三、单调性正切函数在区间_________内是增函数.【例4】求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的单调区间。

随堂巩固：1、 求函数3tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调区间.2、（1）求函数()3tan 64x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期和单调递减区间； （2）试比较()f π与32f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小.专题精讲四、最值正切函数x y tan =的定义域是_________，值域是_________.【例5】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 的值。

随堂巩固：1、 求函数21sin cos cos x x y x-=，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.2、 求函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域.五、正切函数的图像正切曲线是被相互平行的直线_________所隔开的无穷多支曲线组成的.【例6】（1）作出函数2tan +=x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 的简图； （2）作出下列函数的图像，并判断它们的周期性：x y tan =，x y tan =作业布置1、关于正切函数x y tan =，下列判断不正确的是（ ）A. 是奇函数B.在定义域内无最大值和最小值C.在整个定义域上是增加的D.平行于x 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等2、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan x y π的最小正周期是（ ）A.4B. π4C.π2D.23、已知()⎪⎭⎫⎝⎛+=2sin πx x f ，()⎪⎭⎫⎝⎛-=2cos πx x g ，则()x f 的图像（） A.与()x g 的图像相同B.与()x g 的图像关于y 轴对称C.是由()x g 的图像向左平移2π个单位得到的D.是由()x g 的图像向右平移2π个单位得到的 4、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的定义域是_________5、求函数x x x y 2cos cos sin 1⋅-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 的最大值和最小值。

正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。

能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。

思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。

题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。

正切函数的图像与性质一、正切函数的定义及其应用例1、(1)已知点P(-2a,3a)(a≠0)是角x终边上的一点,求tan x；(2)已知点P-是角α终边上的一点，且tan α=-,求x的值。

变式练习1、若角α的终边上有一点P(2x,x+4)，且tan α=1，则sin α=.2、比较cos 1，sin 1，tan 1的大小关系。

二、正切函数的图像及其应用例2、求函数的定义域。

例3、设函数，且，求函数的值域。

例4、作出下列函数的图像，并说明各自的周期性：（1）y=tan|x|, （2）y=|tan x|变式练习1、求函数f(x)=的定义域。

2、求函数的定义域。

3、函数f(x)=2x-tan x在-上的图像大致为()4、若tan-≤1 则x的取值范围是.三、正切函数的诱导公式及应用(1)tan(2π+α)=; (2)tan(-α)= ;(3)tan(2π-α)= ; (4)tan(π-α)= ;(5)tan(π+α)=; (6)tan= ;(7)tan=.例5、计算:.(1)sin 1 590°·cos(-1 830°)+tan 1 395°·tan(-1 200°); (2)(- )-例6、(1)已知cos,且|φ|<,则tan φ=;(2)已知tan-,则tan=.变式练习1、(1)若tan--=-5,则tan等于()A.5B.-5C.25D.与α的值有关2、化简求值:（1）(- )-(- ). （2）(°-)(-°)(°)(-°)(°)(--°)（3）() (-) (-)(-) (-) (-); (4)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).3、比较大小:（1）tan 2,tan 3,tan 4；（2）tan 1 519°与tan 1 493°课后作业1.函数f(x)=tan-,x∈R的最小正周期为()A.B.πC.2πD.4π2.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈-内的大致图像,那么由a到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③3.不等式tan x>a在x∈-上恒成立,则a的取值范围为()A.a>1B.a≤1C.a<-1D.a≤-14.若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是.5、已知tan(π+α)+()=2,则tan(π-α)=()A.2B.-2C.1D.-16.tan-=.7.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)=.8.log4+log9-=.9.设tan=a,求---的值.10、判断函数f(x)=lg-的奇偶性.。

第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 .学科-网 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象．【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1， ∴⎩⎨⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围． （1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.9．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的对称轴是()ππ212k x k =+∈Z 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．学！科网16．若函数f(x)＝tan2x－a tan x(|x|≤π4)的最小值为－6，求实数a的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较()πf与1 2 3 4 9 10 11 12 13 CCDCCACAB1．【答案】C【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ． 2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ．3．【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--，由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ， 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误； 由ππ232k x +=，得ππ,64k x k =-+∈Z ，即()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 正确，故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，∴y min ＝1＋a ＝－6， ∴a ＝－7.③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 17．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<， ∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：学科！网（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。

正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解](1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解](1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan1，tan2，tan3的大小．解：因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)． 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan2<tan3<tan1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解](1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为错误!，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． 【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan1. 即－tan1≤tan x ≤tan1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。