专题2.4函数图象与方程-3年高考2年模拟1年预测(理)(解析版)

第四章三角函数专题 2三角恒等变换（文科）【三年高考】1. 【 2017 课标1，文11】△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin B sin A(sin C cosC ) 0 ，a=2，c=2，则 C=ππππA．B．C． D ．12643【答案】 B2.【 2017 浙江， 13】已知△ ABC， AB=AC=4 ，BC=2．点 D 为 AB 延伸线上一点， BD=2，连接 CD，则△ BDC 的面积是 ______， cos∠ BDC =_______．1510【答案】,【分析】取BC 中点 E， DC 中点 F ，由题意：AE BC , BF CD ，△ABE中，cos ABC BE1cos DBC1115 AB，,sin DBC1，44164S△BCD1BD BC sin DBC15 ．又22cos DBC12sin 2DBF1,sin DBF10，44cos BDC sin DBF10 ，4综上可得，△ BCD 面积为15，cos BDC10 ．243. 【 2017 课标 3，文 15】△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 C=60 °，b= 6 ，c=3，则 A=_________.【答案】 75°b cb sin C 632，联合 b c，即2可【分析】由题意：sin Csin B sin B c32得B 45，则 A 180 B C75 .4. 【 2017课标 II ，文16】ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,若2bc cosB a cosC ccos A ,则B【答案】3【分析】由正弦定理可得2sin B cos B sin A cosC sin C cos A sin( A C ) sin B cos B 1πB3 25. 【 2017 天津，文 15】在△ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a, b, c .已知a sin A 4bsin B ，ac5( a2b2c2 ) .（ I ）求cos A的值；（ II ）求sin(2 B A)的值 .【分析】（Ⅰ）由 a sin A 4bsin B ，及a b，得 a2b .由ac5( a2b2c2 ) ，sin A sin B2c2a25ac5及余弦定理，得 cos Ab52bc ac. 56． 【 2016 高考新课标 1 文数】 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c.已知a5 , c 2 , cos A2）,则 b= （3（A ）2（B ） 3（C ）2（D ）3【答案】 D【分析】由余弦定理得5b 2 4 2 b2 2 ,解得 b3 （ b1 舍去） ,应选 D.337. 【 2016 高考山东文数】△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ，c ，已知22sin A) ,则 A=（）b = c,a = 2b (1- （ A ）3π（ B ） π（ C ） π（ D ）π4346【答案】 C【分析】因为 b = c,所以由余弦定理得：a 2b 2c 2 2bc cos2b 2 2b 2 cos2b 2 1 cos，又因为 a 2 2b 2 1 sin ，所以 cos sin，因为 cos0 ，所以 tan1，因为0,，所以，应选 C.48．【 2016 高考北京文数】在 △ABC 中，A 2， a3c ，则 b =_________.c3【答案】 1sin A asin21【分析】由正弦定理知3 ，所以 sin C3，所以sin Cc3，则 C26B26，所以 bc ，即b1．36c9．【 2016 高考浙江文数】 在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b+c=2 acosB ．（Ⅰ）证明： A=2B ；（Ⅱ）若 cos B= 2，求 cos C 的值．310.【2015高考广东，文】设 C 的内角，，C 的对边分别为a，b ，c．若 a 2 ，5c 2 33，且 b c ，则 b （）， cos2A ．3B ．2C．2 2D．3【答案】 B【分析】由余弦定理得：a2b2c22bc cos ，所以22b2233，即 b26b 80 ，解得：b 2 或 b 4 ，因为 b c ，2 32 b 22所以 b 2 ，应选B．11.【 2015 高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后抵达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度CD_________m.DCB A【答案】 100 6 .【分析】在ABC 中，CAB 300， ACB750300450，依据正弦定理知，BC AB，sin BAC sin ACB即 BCAB60012 ，所以sin BAC300sin ACB222CD BC tan DBC3100 6 ，故应填300 23100 6 .12.【 2015 高考新课标1，文 17】已知a,b, c分别是ABC 内角 A, B, C 的对边，sin 2 B 2sin Asin C .（I ）若a b，求cos B;（ II ）若B90 ，且 a2,求ABC 的面积.【分析】（ I ）由题设及正弦定理可得b2 = 2ac .又 a = b ，可得 b = 2c , a = 2c,由余弦定理可得cos B = a2 + c2 - b2= 1 .2ac4（ II ）由 (1) 知b2= 2ac .因为B = 90°，由勾股定理得a2 + c2 = b2.故 a2 +c2 = 2ac ，得c = a = 2 .所以 D ABC的面积为 1.【两年模拟】1. 【黑龙江、吉林两省八校2017 届高三上学期期中】在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为，若ac ab，则角 C 等于（）b a cA ．B ．4C．D．368【答案】 A【分析】a c a b2b22ab cosCa2b2c21，应选b aa c2abCc23A.2.且【河北省保定市，2017 届高三二模】设的内角，则面积的最大值为（，，所对的边分别为），，，A.8B.9C.16D.21【答案】 B【分析】由三角形的面积公式：，当且仅当时等号建立.则面积的最大值为9.本题选择B选项.3. 【 2017 届陕西省渭南市高三二质检】已知ABC 的三边长为a,b,c ，知足直线ax by2c0 与圆x2y2 4 相离，则ABC 是（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上状况都有可能【答案】 C4.【福建省泉州市 2017 届高三二质检】在梯形ABCD中，AB / /CD, AB 1, AC2, BD 2 3,ACD 600则 AD() ,A.2B.7C.19D.13 63【答案】 B【分析】在ABC 中，由余弦定理得：BC 2AB2AC 22AB ACcos60 ，解得BC 3 ，所以AC2AB 2BC2，故 BC AB ，在 RT BCD 中，CD BD2BC 2123 3 ，在ACD 中，由余弦定理AD2AC 2CD 22AC CDcos607，所以AD7．5.【 2017 年高考广西名校第一次摸底考试】在ABC 中，已知 tan A 1, cos B 3 10，210若ABC 最长边为10，则最短边长为（）A．2B．3C．5D．22【答案】 A6. 【 2017 广东佛山二模】某沿海四个城市 A 、 B、C、D的地点如下图，此中ABC60，BCD135，AB80nmile， BC40303nmile ，CD250 6nmile .此刻有一艘轮船从 A 出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船因为天气原由收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是__________nmile．【答案】 100【分析】在三角形ABC中，AC28024022804030 3cos6007500AC50330 3,所以sin ACB 80sin6004，5035sin ACD sin3πACB23472cos ACD 2 ，42551010AD25022502250325062AD 501473503 36，设10收到指令时该轮船到城市 C 的距离是x，则50 2502 x 250 23502 250 6233 3x100.2 503 502 503 350 37. 【 2017 安徽马鞍山三模】在锐角ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且 c b sinCsinB a sinA sinB ．若 c2 3 ，则 a 2b 2 的取值范围是 ___．【答案】20,24【分析】依据正弦定理，边角互化后可得c b c b a abc 2 b 2 a 2ab ，a 2b 2c 21 C，又依据正弦定理，cosC2ab，解得 32abc4 ，所以 a 4sinA, b4sin 2A ，所以sinAsin2 sinC33Aa 2b 2 16sin 2 A16sin 2 2A3142 A1 cos2Acos1 316 16316 816 8cos 2 A22cos2Asin2 A223，因为ABC 是锐角三角形，所以 A, , 2 A2 , 4，所以6 233 3cos 2 A1,1 8cos2 A20,24 ，故填： 20,24 .，那么 16 3328. 【贵州省遵义市 2017 届高三上学期第一次联考（期中） 】某中学举行升旗仪式，在坡度为 15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和 60°，量的看台坡脚A 点到 E 点在水平线上的射影B 点的距离为 10cm ，则旗杆的高 CD 的长是__________m ．【答案】 10 3 3【分析】由题意得DEA45， ADE30AE sin 45AB所以AD2所以sin 30cos15CD AD sin 60210sin 6010(33)cos(4530 )9. 【安徽师范大学隶属中学2017 届高三上学期期中】已知a,b,c分别是ABC 角 A, B,C 的对边，知足 ac sin A4sin C4c sin A .（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）ABC 的外接圆为圆 O （ O 在ABC 内部）,SOBC3, b c 4 ,判断ABC 的3形状 ,并说明原由 .【分析】（I ）由正弦定理可知 , sin Aa,sin C c, 则2R2Rac sin A 4sin C4c sin A a2c4c4ac ,c 0, a2c 4c 4ac a2 4 4a20 ,可得 a 2 .a 2（ II ）记BC中点为D, SOBC1BCOD OD3，故BOC120 ,圆 O 的半径为2323由正弦公式可知 sin A a3,故A60 ,由余弦定理可r,2r23知 , a2b2c22bc cos A ,由上可得 4b2c2bc ,又 b c 4 ,则 b c 2 ,故 ABC 为等边三角形 .10. 【2017河北五邑三模】如图，在ABC 中， B，角A的均分线 AD 交BC于点 D，4设 BAD,sin5. 5（1）求sinC；（2）若BABC·28，求AC的长 .【分析】（1）∵0,， sin51，∴ cos1sin 22，2555则 sin BAC sin22sin cos212 4 ，555∴ cos BAC2cos212413，55∴sinC sin42sin22cos22sin223247 2 422252510．（ 2）由正弦定理，得AB BC，即ABBC，∴ AB72BC，又sinC sin BAC7248105BABC·28 ，∴AB BC228 ，由上两式解得BC 4 2，又由AC BC2sinB sin BAC得 AC BC，∴ AC 5 ．242511. 【 2016 届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知ABC 的三内角A, B,C所对边长分别是a, b, c，若 sin B sin A3a c，则角 B 的大小为（）sin C a bA ．B．2 C．633 5D．6【答案】 D【分析】由 sin B sin A3a c 得 b a3a c,即b2a2 c 2 2 3ac ,故sin C a b c a bcos B3， B5，故应选 D.2612. 【 2016 届福建厦门双十中学高三下热身考】在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c .若 a cos A b sin A ，且 B，则 sin A sin C 的最大值是（）2A ．2B ．9 C ． 1 78D ．8【答案】 B【分析】a b b, sin B cos AsinA ，因为B，所以sin A cos A sin B22BA ，所以2sin A sin C sin Asin A Bsin A sin2 2Asin A cos2 A ，所以sin A sin C sin A21时，sin A B2sin 2A sin A1 2 sin A1 9，所以 sin A4849 sin A sin C 的最大值是.813. 【 2016届海南省农垦中学高三考前押题】 在 ABC中，A60 BC 10 D是 AB，，边上的一点， CD2 ， BCD 的面积为 1，则 AC 的长为（ ）A. 23B.33 2 3C.D.33【答案】 D14. 【 2016 届广西贵宾高中高三5 月模拟】如图，平面四边形ABCD 中，AB5, AD 2 2, CD3, CBD 300, BCD 1200 ，则 ADC 的面积 S 为_____________ ．【答案】332【分析】在BCD 中，由正弦定理得：BDCDsin3 3 3 ，在sinBCD2 CBD12ABD 中，由余弦定理得：2222 25AD 2 BD 2 AB 232，所以 ADB 450．因cos ADB2 2 2 32AD BD2为CBD300 , BCD 1200 ，所以CDB300 ．因为sin ADCsin 450 30062 ．所以4S1AD CD sin ADC1 2 2 36 42 33 ．故答案为 33 .222215. 【 2016 届宁夏银川二中高三 5 月适应性训练 】设 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，设 S 为△ ABC 的面积，知足 S3 ( a 2 c 2 b 2 ) .4（ 1）求 B ；（ 2）若 b3，设 A x ，（ ） ，求函数 yf (x)的分析式和最大值 .y ( 3-1 )a 2c【分析】（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得13 ac sin B42ac cos B ，2tan B3，又 B (0， ) ，所以 B3（ 2）由（ 1）知 B，△ABC 的内角和 A B C ，又A0， C0得0 A2，33由正弦定理，知 absin A3sin x 2sin x ， cb sin C 2sin(2x) ，sin Bsinsin B33所以 y （3-1）a 2c（2 3-1）sin x 4sin(2x) 23sin x 2 3cos x 2 6 sin( x)(0 x 2 )343当 x4 ，即 x时， y 获得最大值 2 6 .24【一年原创真展望】1. 已知锐角 △ ABC 的外接圆半径为3BC ，且 AB3，AC 4，则 BC （）3A ．37B ． 6C ． 5D ．13【答案】 DBC2R ，所以 sin ABC 3．因为 A 为锐角，所以 A【分析】因为3 ，于是sin A2R2BC 232 42 23 4cos13，所以BC13，应选 D ．3【当选原由】 本题主要考察正弦定理与余弦定理，意在考察学生转变能力、 运算求解能力． 本题难度适中，出题比较基础,应选本题 .2. 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2ab sin C3( b 2 c 2a 2 ) ．若 a13 ， c 3 ，则 △ ABC 的面积为（ ）A ． 3B ．3 3C ． 23D ． 3 32【答案】 B【当选原由】本题考察余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题切合高考的要求, 难度适中，应选本题 .3. 在△ABC中，a ，b ，分别为内角A，B，C 的对边，且a23b23c223bcsin A ，c则 C 的值为（）A ．3B ．C．4D．3 6【答案】 B【分析】由余弦定理得a2b2c22bccos A 3b23c223bc sin A，即b2c2bc( 3sin A cos A) ，即b2c22sin( A)，由基本不等式及三角函数的值bc6域可得，b2c22sin( A)2，故 2sin( A) 2 ，且 b c ，得 A，2bc66 6 2即 A3，故 C6．应选 B.【当选原由】本题考察余弦定理，基本不等式，两角差的正弦公式等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考小题目综合化的要求 ,应选本题 .4. △ABC中，sin A2sin B cosC0 ，3b c ，则tan A的值是()3B．23C.343A ．3D．33【答案】 A【分析】sin A2sin B cosC0 ，a2b cosC 0 ，a2b a2b2c20 ，2ab2a2b2c20 .因为 tan2 A11，cos2 Acos A b2c2a23b2c26b232A13 2bc4bc 4 3b2，所以 tan，则 tan A．应选233A．【当选原由】本题考察正、余弦定理，解三角形等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考题型，应选本题.5．平面四边形ABCD 中， AB 2, BC 4, CD 5, DA 3, 则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ________．【答案】230【当选原由】本本小题主要考察余弦定理、三角形面积公式、两角和余弦公式等基础知识，意在考察剖析问题的能力、基本运算能力．本题考察比较综合，难度适中，切合高考题型，应选本题 .。

专题2.4 物体动态平衡【考纲解读与考频分析】物体平衡为考纲II级考点，动态平衡以其变化多，能力要求高成为高考高频考点。

【高频考点定位】：动态平衡考点一：动态平衡【3年真题链接】1．〔2019全国理综I卷19〕如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。

一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。

另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。

现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。

M始终保持静止，如此在此过程中〔〕A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【参考答案】BD【命题意图】此题考查动态平衡与其相关知识点。

【解题思路】用水平向左的拉力缓慢拉动N，水平拉力一定逐渐增大，细绳对N的拉力一定一直增大，由于定滑轮两侧细绳中拉力相等，所以M所受细绳的拉力大小一定一直增大，选项A错误B正确；由于题述没有给出M、N的质量关系，所以M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，选项C错误D正确。

【方法归纳】解答此题也可设出用水平向左的拉力缓慢拉动N后细绳与竖直方向的夹角，分析受力列出解析式，得出细绳的拉力随细绳与竖直方向的夹角表达式，进展讨论。

2.(2017·全国理综I 卷·21)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定。

其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N 。

初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α()2πα>，现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM 由竖直被拉到水平的过程中〔 〕A.MN 上的张力逐渐增大B. MN 上的张力先增大后减小C. OM 上的张力逐渐增大D. OM 上的张力先增大后减小【参考答案】.A.D【命题意图】 此题考查物体的动态平衡与其相关的知识点。

【解题思路】将重物向右上方缓慢拉起，物体处于动态平衡状态，可利用物体平衡条件或力的分解画出动态图分析。

专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质A 组一、选择题1.(2019山东临沂月考)y=√x -12x-log 2(4-x 2)的定义域是( ) A.(-2,0)∪(1,2) B.(-2,0]∪(1,2) C.(-2,0)∪[1,2) D.[-2,0]∪[1,2]答案 C 要使函数有意义,则{x -12x≥0,x ≠0,4-x 2>0,解得x ∈(-2,0)∪[1,2),即函数的定义域是(-2,0)∪[1,2).2.(2019课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=2x 32x +2-x在[-6,6]的图象大致为( )答案 B 设f(x)=2x 32x +2-x (x ∈[-6,6]),则f(-x)=2(-x)32-x+2x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时, f(-1)=-45<0,排除选项D;当x=4时, f(4)=12816+116≈7.97,排除选项A.故选B.3.(2018河南濮阳二模)若f(x)={2x -3,x >0,g(x),x <0是奇函数,则f(g(-2))的值为( )A.52B.-52C.1D.-1答案C∵f(x)={2x-3,x>0,g(x),x<0是奇函数,∴x<0时,g(x)=-12x+3,∴g(-2)=-12-2+3=-1,f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=-12-1+3=1.故选C.4.(2019江西南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则()A.f(2)>f(3)B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)D.f(3)>f(6)答案D∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(-x+4)=f(x+4),∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称,∴f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,∴f(5)>f(6),∴f(3)>f(6).5.(2019吉林长春质检)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A.y=e x+e-xB.y=ln(|x|+1)C.y=sinx|x|D.y=x-1x答案D选项A,B显然是偶函数,排除;选项C是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数,不符合题意;选项D中,y=x-1x 是奇函数,且y=x和y=-1x在(0,+∞)上均为增函数,所以y=x-1x在(0,+∞)上为增函数,所以选项D正确.6.(2018湖南益阳、湘潭调研)函数f(x)=x1-x2的图象大致是()答案B易知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)=-x1-(-x)2=-x1-x2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=x1-x2>0,排除D;当x∈(1,+∞)时,f(x)=x1-x2<0,排除A,C.故选B.7.(2019四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上单调递减,设a=f(-2.8),b=f(-1.6),c=f(0.5),则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b答案D∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).∵-0.8<-0.5<-0.4,且f(x)在[-1,0]上单调递减,∴a>c>b,∴选D.8.(2019安徽阜阳模拟)给定函数①y=x12,②y=lo g12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④答案B①y=x12在(0,1)上递增;②∵t=x+1在(0,1)上递增,且0<12<1,∴y=lo g12(x+1)在(0,1)上递减;③结合图象知y=|x-1|在(0,1)上递减;④∵u=x+1在(0,1)上递增,且2>1,∴y=2x+1在(0,1)上递增.∴在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是②③.9.(2019湖南衡阳八中月考)设函数f(x)=4x23|x|,则函数f(x)的图象大致为()答案A观察解析式发现,x是以平方、绝对值的形式出现的,所以f(x)为偶函数,排除B.当x>0时,f(x)=4x23x ,当x趋于+∞时,f(x)趋于0,排除C.因为f(2)=4×2232=169<2,D中f(2)>2,所以D错误,所以选A.10.(2019云南昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(-∞,0)上是减函数, f(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式xg(x)≤0的解集是()A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-4]∪[-2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)答案C画出函数的大致图象,如图所示.则xg(x)≤0⇔{x≥0,g(x)≤0或{x≤0,g(x)≥0,数形结合,xg(x)≤0的解集为(-∞,-4]∪[-2,+∞).11.(2019河北成安模拟)定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值为()A.-1B.1C.6D.12答案C当-2≤x≤1时,f(x)=x-2;当1<x≤2时,f(x)=x3-2.又∵y=x-2,y=x3-2在R上都为增函数,f(x)在x=1处连续,∴f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.12.(2019江西南昌一模)设函数f(x)={(12)|x-a|,x<a+1,-|x+1|-a,x≥a+1,若f(x)的最大值不超过1,则实数a的取值范围是()A.[-32,+∞) B.(-32,+∞)C.[-54,0)D.[-32,-54]答案 A ①当x<a+1时, f(x)=(12)|x -a|在(-∞,a)上递增,在[a,a+1)上递减, f(x)在x=a 处取得最大值1;②当x ≥a+1时, f(x)=-|x+1|-a.若a+1≥-1,即a ≥-2,则f(x)递减,由已知可得-|a+2|-a ≤1,解得a ≥-32; 若a+1<-1,即a<-2时,则f(x)在x=-1处取得最大值-a,由已知可得-a ≤1,所以a ∈⌀. 综上,a 的取值范围是[-32,+∞). 二、填空题13.(2019河南、河北重点高中联考)函数f(x)=√4-4x +ln(x+4)的定义域为 . 答案 (-4,1]解析 要使f(x)有意义,需有{4-4x≥0,x +4>0,解得-4<x ≤1,即函数的定义域为(-4,1]. 14.(2019河北石家庄模拟)已知f(x)={(13)x,x ≤0,log 3x,x >0,则f (f (19))= .答案 9解析 ∵f (19)=log 319=-2, ∴f (f (19))=f(-2)=(13)-2=9.15.(2018广东惠州模拟)已知f(x)=x+1x -1, f(a)=2,则f(-a)= . 答案 -4解析 因为f(x)=x+1x -1,所以f(a)=a+1a -1=2,所以a+1a =3,所以f(-a)=-a-1a -1=-(a +1a)-1=-3-1=-4. 16.(2019陕西西安模拟)已知函数f(x)=log a (8-ax)(a>0,且a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案(1,83)解析 ①当a>1时, f(x)>1等价于8-ax>a 在[1,2]上恒成立,即a<(8x+1)min=83, 所以1<a<83. ②当0<a<1时, f(x)>1等价于0<8-ax<a 在[1,2]上恒成立, 即a>(8x+1)max且a<(8x )min,解得a>4且a<4,所以不存在. 综上,a 的取值范围是(1,83). B 组一、选择题1.(2019河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是( )A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<-1或x>1}答案 A ∵奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(1)=0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增, f(-1)=0,∴当-1<x<0或x>1时, f(x)>0;当x<-1或0<x<1时, f(x)<0,∴f(x-1)>0即-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2,∴选A.2.(2019福建福州模拟)设函数f(x)={0,x ≤0,2x -2-x ,x >0,则满足f(x 2-2)>f(x)的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞) C.(-∞,-√2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(√2,+∞)答案 C 当x>0时, f(x)递增,所以f(x)>f(0)=0;当x ≤0时, f(x)=0.若 f(x 2-2)>f(x),则x 2-2>x,且x 2-2>0,解得x>2或x<-√2,所以选C.3.(2019安徽蚌埠模拟)已知单调函数f(x)对任意的x ∈R 都有f[f(x)-2x ]=6,则f(2)=( ) A.2 B.4C.6D.8答案C设t=f(x)-2x,则f(t)=6,f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,∵f(x)是单调函数,f(2)=22+2=6,∴t=2,即f(x)=2x+2,f(2)=4+2=6,∴选C.若f(1)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围是4.(2019江西南昌一模)设函数f(x)={2|x-a|,x≤1,x+1,x>1,()A.[-1,2)B.[-1,0]C.[1,2]D.[1,+∞)答案C f(x)={2|x-a|,x≤1,若x>1,则f(x)=x+1>2,易知f(x)=2|x-a|在(a,+∞)上递增,在(-∞,a)上递x+1,x>1,减.若a<1,则f(x)在x=a处取得最小值,不符合题意;若a≥1,则要使f(x)在x=1处取得最小值,只需2a-1≤2,解得a≤2,∴1≤a≤2.综上,a的取值范围是[1,2],故选C.5.(2019广东惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为()A.(2,+∞)B.(0,1)∪(2,+∞)2C.(0,√2)∪(√2,+∞) D.(√2,+∞)2答案B因为f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,.所以选所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<-1⇔x>2或0<x<12B.6.(2019广东潮州模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()答案D设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,则z=b(1+10.4%)x,所以y=zb=(1+10.4%)x,其为底数大于1的指数函数,所以选D.7.(2019山东济宁模拟)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln1π,b=(lnπ)2,c=ln√π,则()A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(c)>f(b)>f(a)答案C由题可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,|a|=lnπ>1,b=(lnπ)2>|a|,0<c=ln π2<|a|,∴f(c)>f(|a|)>f(b),又由已知得f(a)=f(|a|),∴f(c)>f(a)>f(b).∴选C.8.(2019福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+e x-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.(-∞1√e) B.(-∞,√e)C.(1√e+∞) D.(√e,+∞)答案B原命题等价于当x<0时,f(x)与g(-x)的图象有交点,即方程e x-12-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,令m(x)=e x-12-ln(-x+a),显然m(x)在(-∞,0)上为增函数.当a>0时,只需m(0)=e0-12-ln a>0,解得0<a<√e;当a≤0时,x趋于-∞,m(x)<0,x趋于a,m(x)>0,即m(x)=0在(-∞,a)上有解.综上,实数a的取值范围是(-∞,√e).9.(2019海南阶段测试)已知函数f(x)=2 017x +log 2 017(√x 2+1+x)-2 017-x +3,则关于x 的不等式f(1-2x)+f(x)>6的解集为( ) A.(-∞,1) B .(1,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)答案 A ∵y 1=2 017x -2 017-x 是奇函数,y 2=log 2 017(√x 2+1+x)为奇函数,∴函数g(x)= 2 017x -2 017-x +log 2 017(√x 2+1+x)为奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增,∴f(1-2x)+f(x)>6即g(1-2x)+3+g(x)+3>6,即g(x)>g(2x-1),∴x>2x-1,x<1,∴f(1-2x)+f(x)>6的解集为(-∞,1).10.(2019河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=ln22,b=ln33,c=ln55,则f(a),f(b), f(c)的大小关系(用大于号连接)为( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(b)>f(c)>f(a)C. f(a)>f(b)>f(c)D. f(a)>f(c)>f(b)答案 A ∵f(x)是R 上的奇函数, f(x+2e)=-f(x), ∴f(x+2e)=f(-x),∴f(x)的图象关于直线x=e 对称, ∵f(x)在[e,2e]上为减函数, ∴f(x)在[0,e]上为增函数, 又易知0<c<a<b<e, ∴f(b)>f(a)>f(c).11.(2019四川师大附中模拟)设函数f(x)的定义域为D,且f(x)满足条件:若存在[a,b]⊆D(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称f(x)为“优美函数”.若函数f(x)=log 2(4x +t)为“优美函数”,则t 的取值范围是( ) A.(14,+∞) B.(0,1) C.(0,12) D.(0,14)答案 D ∵f(x)=log 2(4x +t)是定义域上的增函数, ∴若函数为“优美函数”,则f(x)=x 有两个不相等的实根, 即log 2(4x +t)=x 有两个不相等的实根,整理得4x +t=2x , ∴(2x )2-2x +t=0有两个不相等的实根. ∵2x >0,令λ=2x (λ>0),∴λ2-λ+t=0有两个不相等的正实根,∴{Δ=1-4t >0,t >0,解得0<t<14, 即t ∈(0,14). 12.(2019河南郑州一模)若函数y=|√|x|-1x 2|在{x|1≤|x|≤4,x ∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=( ) A.3116B.2C.94D.114答案 A 令|x|=t,则1≤t ≤4,y= √t -1t 2, 易知y=√t -1t 2在[1,4]上递增,所以最小值为1-1=0,最大值为2-116=3116, 即m=0,M=3116,所以M-m=3116. 二、填空题13.(2019广东珠海模拟)定义在R 上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f (12)=0,则不等式f(lo g 19x)>0的解集为 .答案{x |0<x <13或1<x <3}解析 由已知可得, f (-12)=-f (12)=0, f(x)在(-∞,0)上单调递增.∴f(lo g 19x)>f (12)或f(0)>f(lo g 19x)>f (-12),∴lo g19x>12或-12<lo g19x<0,解得0<x<13或1<x<3.∴原不等式的解集为{x|0<x<13或1<x<3}.14.(2019山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(2)=f(0),其中正确命题的序号是(请把正确命题的序号全部写出来).答案①②③④解析f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立,令x=y=0,则f(0)=0.令x+y=0,则y=-x,所以f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)在[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2),f(x+4)=f(x),所以周期T=4,即f(x)为周期函数.由f(x+2)=-f(x)得f(-x+2)=-f(-x),又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x),所以函数图象关于直线x=1对称.因为f(x)在[0,1]上为增函数,且关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上为减函数.在f(x+2)=-f(x)中,令x=0,得 f(2)=-f(0)=f(0).15.(2019山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如表:时间t60 100 180 种植成本Q 116 84 116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系:Q=at+b,Q=at 2+bt+c,Q=a ·b t ,Q=a ·log b t.利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ;(2)最低种植成本是 (元/100 kg).答案 (1)120 (2)80解析 根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at 2+bt+c,且其图象开口向上,对称轴t=-b 2a =60+1802=120,将表中数据代入函数关系式得{3 600a +60b +c =116,10 000a +100b +c =84,32 400a +180b +c =116,解得{b =-2.4,c =224,a =0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80(元/100 kg).16.(2019河南郑州模拟)若a>1,设函数f(x)=a x +x-4的零点为m,函数g(x)=log a x+x-4的零点为n,则1m +1n 的最小值为 .答案 1解析 设F(x)=a x ,G(x)=log a x,h(x)=4-x,则h(x)与F(x),G(x)的图象的交点A,B 的横坐标分别为m,n(m>0,n>0). 因为F(x)与G(x)的图象关于直线y=x 对称,所以A,B 两点关于直线y=x 对称.又因为y=x 和h(x)=4-x 的图象交点的横坐标为2,所以m+n=4.又m>0,n>0,所以1m +1n =(1m +1n )·m+n 4=14(2+n m +m n )≥14(2+2√n m ×m n )=1.当且仅当n m =m n ,即m=n=2时等号成立.所以1m +1n 的最小值为1.。

§2.4二次函数与幂函数Ａ组基础题组1.(2021陕西模拟)若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c2.(2021浙江乐清白象中学模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()A. B.1 C. D.23.(2022杭州学军中学其次次月考文,2,5分)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()4.(2021安徽芜湖质检)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定5.(2021辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-166.(2021四川,9,5分)假如函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.7.(2022超级中学原创猜测卷三,7,5分)已知关于x的方程|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,2)8.(2022超级中学原创猜测卷八,11,6分)若函数f(x)=且b=f(f(f(0))),则b= ;若y=是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数a的值是.9.(2021杭州二模文,12,6分)设函数f(x)=其中c>0,则函数f(x)的零点为;若f(x)的值域是,则c的取值范围是.10.(2022杭州学军中学其次次月考文,13,4分)已知二次函数f(x)=-x2+x,其定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n](m<n),则m-n= .11.(2022杭州学军中学其次次月考,20,15分)已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具单调性;(2)当a=时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)题的函数g(t)是否有最值?若有,恳求出;若没有,请说明理由.12.(2021浙江宁波十校联考,20)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c,且a≠0),f(1)=0,且存在实数m使得f(m)=-a.(1)求证:①b≥0;②f(m+3)>0;(2)函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴的两个交点间的距离记为d,求d的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷二,19,15分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函数y=为奇函数,求g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)在[-1,1]上的最小值h(a);(2)若a=2,当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值与最小值之差总不大于3,求实数b的取值范围.B组提升题组1.若(x-3<(1+2x,则x的取值范围是( )A. B.{x|x<-4}C. D.{x|x>-4}2.(2021诸暨一模文,5,5分)函数f(x)=xα+1,若f(x)在区间[a,b](0<a<b)内的值域为[3,6],则f(x)在[-b,-a]内的最大值与最小值之和为( )A.-9B.-7C.-5D.9或-53.(2021杭州高级中学月考,4)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定4.(2021浙江舟山模拟,6)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③5.(2021浙江冲刺卷三,5)若函数f(x)=x2+m|x-2|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是( )A.[-4,0]B.[-2,0]C.[0,4]D.[0,2]6.(2021陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上7.(2021镇海中学5月模拟,9,6分)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.8.(2021福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.9.(2022温州高三上学期返校联考文,20,15分)设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a)的表达式;(2)若f(x)在闭区间[m,n]上单调递增,且{y|y=f(x),m≤x≤n}=[m,n],求a的取值范围.10.(2022温州高三上学期返校联考,18,15分)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)上的增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,求u的取值范围.11.(2021浙江测试卷,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时,证明:x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<. 12.(2021浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷一,20,15分)已知函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)当a=0时,若对任意的m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,求实数t的取值范围.Ａ组基础题组1.B 依据幂函数的性质及图象知选B.2.C ∵f(x)=k·xα是幂函数,∴k=1.又f(x)的图象过点,∴=,∴α=,∴k+α=1+=.故选C.3.D 在A、B、C中,由y=的图象知a>0,而y=ax2+a=a(x2+1)的图象过定点(0,a)且对称轴为直线x=0,故A、B、C均错.再推断可知D对.4.A 由f(0)>0得c>0.∵函数f(x)=x2+x+c图象的对称轴是x=-,∴-1<p<0,∴0<p+1<1,再由二次函数的图象知f(p+1)>0,故选A.5.B 令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)·x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.6.B 当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-≤,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)<g(2)=16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m>2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2,所以mn≤18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m>2.故(mn)max=18.故选B.7.A 依据题意,k>0,|x-k|=k等价于|x-k|2=,即x2-x+k2=0,因此,|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根等价于方程x2-x+k2=0在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,记f(x)=x2-x+k2,依据二次函数的图象与性质,得解得0<k≤1,故选A.8.答案1;1或3解析由分段函数f(x)可得b=f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.由于y=在(0,+∞)上是减函数,则a2-4a-1<0,解得2-<a<2+,由于a为整数,则a=0,1,2,3,4.检验:只有当a=1,3时,函数y=x-4为偶函数.故a的值为1或3.9.答案-1和0;0<c≤4解析解方程f(x)=0,得x=-1或x=0.由图可知,若f(x)的值域是,则c的取值范围是0<c≤4.10.答案-4解析分对称轴x=1在区间[m,n]内,在区间[m,n]左侧和在区间[m,n]右侧三种状况争辩.11.解析(1)由题知-2<-<2,解得a>或a<-.(2)当a=时,f(x)=x2-x-3=(x-1)2-,g(t)=(3)当t≥1时,g(t)≥-;当0<t<1时,g(t)=-;当t≤0时,g(t)≥-.综上,g(t)有最小值-,无最大值.12.解析(1)证明:①由于f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0,c<0,且a+c=-b.由于存在实数m使得f(m)=-a,即存在实数m,使am2+bm+c+a=0成立,所以Δ=b2-4a(a+c)≥0,即b2+4ab=b(4a+b)≥0.(2分)由于4a+b=3a+a+b=3a-c>0,所以b≥0.(4分)②由题意可知f(x)=0的两根为1,,所以可设f(x)=a(x-1),其中a>0,<0.(5分)由于f(m)=-a,所以a(m-1)=-a,即(m-1)=-1<0,所以必有<m<1.(6分)由于a+c=-b≤0,a>0,c<0,所以+1=-≤0,即≤-1,又由于a>b=-a-c,所以>-2,所以-2<≤-1,(7分)所以m+3>3+>3-2=1,结合图象可知f(m+3)>f(1)=0,即f(m+3)>0成立.(8分)(2)由(1)可知-2<≤-1.令g(x)=f(x)+bx=0,即ax2+2bx+c=0,记函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴必有两个交点分别(x1,0),(x2,0),则d=|x1-x2|,x1+x2=-,x1x2=,(10分)d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=-=4=4+2+其中-2<≤-1.(12分)所以4≤d2<12,又d>0,所以2≤d<2.(15分)13.解析(1)由于函数y==为奇函数,所以b=1,函数g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)=x2-2ax+2.函数g(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=a,所以分三种状况争辩:①当a>1时,g(x)在[-1,1]上单调递减,故[g(x)]min=g(1)=3-2a;②当-1≤a≤1,且a≠0时,g(x)在[-1,1]上先减后增,故[g(x)]min=g(a)=2-a2;③当a<-1时,g(x)在[-1,1]上单调递增,故[g(x)]min=g(-1)=3+2a.综上,函数g(x)在[-1,1]上的最小值h(a)=(2)由题意可知,f(x)=2x2+bx+c=2+c-,设f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值分别为M,m,当≥1,即|b|≥4时,M-m=|f(1)-f(-1)|=|2b|≥8,与题意不符;当<1,即|b|<4时,M必为f(1),f(-1)中的较大者,所以M=2+|b|+c,而m=c-,所以M-m=2+|b|+c-=2+|b|+≤3,整理得b2+8|b|-8≤0,解得|b|≤2-4,所以4-2≤b≤2-4,即实数b的取值范围为[4-2,2-4].B组提升题组1.A 奇函数f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)内均为减函数,且x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,所以x-3>1+2x>0或1+2x<x-3<0,或所以x<-4或-<x<3.2.D 当α∈时,函数g(x)=xα均是奇函数,g(x)=xα在[a,b]上的值域是[2,5],则g(x)=xα在[-b,-a]上的值域是[-5,-2],所以f(x)在[-b,-a]上的值域是[-4,-1],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于-5;当α=2时,函数f(x)是偶函数,则f(x)在[-b,-a]上的值域是[3,6],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于9,故选D.3.A f(x)=ax2+2ax+4=a(x+1)2+4-a,其图象的对称轴为x=-1,由于0<a<3,所以x1+x2=1-a>-2,又由于抛物线开口向上,所以结合图象可知f(x1)<f(x2).4.D 设f(x)=xα,∵f(x)的图象经过点,∴=,∴α=,即f(x)=,又P(x1,y1),Q(x2,y2)是f(x)=图象上的两点,且0<x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴x2f(x2)>x1f(x1).∵k OP>k OQ,∴>,故②③是正确的,选D.5.A 由题意得f(x)=由条件知f(x)在[0,2)和[2,+∞)上都是增函数,∴解得-4≤m≤0.6.A 由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由①②得代入③中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.7.答案(-∞,0]∪[2,+∞);0≤a≤1解析当a=1时,f(x)≥1⇔≥2,可得x2-2x+1≥1,解得不等式的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).若函数的定义域为R,则不等式≥1恒成立,等价于x2-2ax+a≥0恒成立,只需Δ=4a2-4a≤0,解得a∈[0,1]. 8.答案9解析依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故p+q=9.9.解析(1)当-≤0,即a≥-时,g(a)=f(0)=a2+3a;当-≥2,即a≤-时,g(a)=f(2)=a2+7a+6;当0<-<2,即-<a<-时,g(a)=f=2a-.综上,g(a)=(2)∵f(x)在[m,n]上递增,∴即方程f(x)=x在上有两个不相等的实数根,设F(x)=f(x)-x,则F(x)=x2+2ax+a2+3a,则则-≤a<0.故a的取值范围为-≤a<0.10.解析(1)由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1,又由于当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,所以f(3)=9+3b+c≤0,所以9+c-3(c+1)≤0,即c≥3;由f(x)是区间[2,+∞)上的增函数可知-=≤2,所以c≤3,所以c=3,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.(2)由(1)可知|f(x)|=|(x-1)(x-3)|=|(x-2)2-1|,设|f(m)|=|f(n)|=t,则2-<m<1<n<2,且0<t<1,由|f(m)|=|(m-2)2-1|=t可得(m-2)2=1+t,所以m=2-,由|f(n)|=|(n-2)2-1|=t可得(n-2)2=1-t,所以n=2-,u=m+n=4--.令s=+,则s2=(+)2=2+2,由0<t<1可知,2<s2<4,所以<s<2,所以2<u<4-.故u的取值范围是2<u<4-.11.证明(1)由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)(a>0).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,a>0,所以a(x-x1)(x-x2)>0,故x<f(x).由于x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=(x1-x)[1+a(x-x2)],又x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,于是x1-f(x)>0.从而f(x)<x1.综上,x<f(x)<x1.(2)由题意知x0=-.由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根,所以x1+x2=-,所以x0=-==.由于ax2<1,所以x0<=.12.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故f(x)图象的对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].13.解析(1)当a=0时,有f(x)=x|x|+2x=由于f(-x)=-x|-x|-2x=-(x|x|+2x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易得函数f(x)在R上单调递增.不等式f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对任意的m∈[-2,2]恒成立.令g(m)=mx+x-2,则g(m)可看作关于m的一次函数,所以即解得-2<x<.故实数x的取值范围是-2<x<.(2)易知f(x)=x|x-a|+2x=若x≥a,当对称轴x=≤a,即a≥-2时,函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;若x<a,当对称轴x=≥a,即a≤2时,函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递增.则当-2≤a≤2时,函数f(x)在R上单调递增,所以函数y=f(x)-at不行能有三个不同的零点,即此时实数t的取值范围为⌀.只需要争辩a∈(2,4]的情形:若x≥a,对称轴x=<a,则函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增,此时函数f(x)的值域为[f(a),+∞),即[2a,+∞).若x<a,对称轴x=<a,则①函数f(x)在区间上单调递增,此时函数f(x)的值域为;②函数f(x)在区间上单调递减,此时函数f(x)的值域为.由于存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,则ta∈,即存在a∈(2,4],使得t∈.而当a∈(2,4]时,函数y=为单调递增函数,所以实数t的取值范围为.。

第二章函数概念与基本初等函数专题4 函数图象与方程（文科）【三年高考】1.【2017课标1，文8】函数错误！未找到引用源。

的部分图像大致为【答案】C【解析】由题意知，函数错误！未找到引用源。

为奇函数，故排除B；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，排除D；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，排除A．故选C．2. 【2017课标3，文7】函数错误！未找到引用源。

的部分图像大致为（）【答案】D3.【2017江苏，14】设错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

且周期为1的函数，在区间错误！未找到引用源。

上,错误！未找到引用源。

其中集合错误！未找到引用源。

，则方程错误！未找到引用源。

的解的个数是▲.【答案】8【解析】由于错误！未找到引用源。

，则需考虑错误！未找到引用源。

的情况，在此范围内，错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

时，设错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

互质，若错误！未找到引用源。

，则由错误！未找到引用源。

，可设错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

互质，因此错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

不可能与每个周期内错误！未找到引用源。

对应的部分相等，只需考虑错误！未找到引用源。

与每个周期错误！未找到引用源。

的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外错误！未找到引用源。

其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期错误！未找到引用源。

的部分，且错误！未找到引用源。

处错误！未找到引用源。

，则在错误！未找到引用源。

附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8个.4.【2016高考新课标1卷】函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D5．【2016高考浙江文数】函数y=sin x2的图象是（）【答案】D【解析】因为错误！未找到引用源。

第九节函数模型及应用A组基础题组1.某工厂八年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图所示,则下列说法中正确的是()①前三年总产量增长速度越来越慢;②前三年总产量增长速度越来越快;③第三年后,这种产品年产量保持不变;④第三年后,这种产品停止生产.A.①③B.①④C.②③D.②④2.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%3.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油4.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,那么()A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5 mD.人追不上汽车,其间距最少为7 m5.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.-16.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.7.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=-(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.8.(2014山东德州一模)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?9.(2015湖北四校联考,20)某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450.通过市场分析,每件商品售价定为500元,且该厂生产的商品当年能全部售完.(1)求出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)求年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.B组提升题组10.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高11.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元12.(2015浙江五校第一次联考)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.13.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)14.(2016山东德州期中)某厂家举行大型的促销活动,经市场分析,某产品的促销费用为x万元时,销售量P万件满足P=3-(其中0≤x≤a,a为正的常数).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品P万件需投入成本(10+2P)万元,产品的销售价格定为万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?答案全解全析A组基础题组1.D由题图知,前三年产品总产量与时间的函数图象越来越陡,说明总产量增长的速度越来越快;三年后总产量与时间的函数图象平行于横轴,说明该产品不再生产了,故选D.2.C设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,得40 lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,由100.007 5≈1.017,得1+x≈1.017,所以x约是1.7%.3.D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.D设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值,为7(m).5.D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.6.答案24解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24(小时).7.答案 4解析L=-=-(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.8.解析(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k 1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券等稳健型产品为x万元,则投资股票等风险型产品为(20-x)万元.则收益y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20).令t=(0≤t≤2),则y=+t=-(t-2)2+3,所以当t=2,即x=16时,收益最大,最大收益为3万元.9.解析(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得当0<x<80时,L(x)=0.05×1 000x-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=0.05×1 000x-51x-+1 450-250=1 200-.所以L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,所以当x=60时,L(x)取得最大值950.当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.B组提升题组10.A设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.11.B设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N*),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每套房月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.12.答案16解析当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,ae-bt=a,则e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min.13.答案解析过点P作PN⊥BC于N,连接AN,则∠PAN=θ,如图.设PN=x m,由∠BCM=30°,得CN=x m.在直角△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40x+625,故tan2θ====.当=时,tan2θ取最大值,即当x=时,tan θ取最大值.14.解析(1)由题知,该产品的销售价为2×万元/万件,销售量为P万件,促销费用与成本之和为(10+2P+x)万元,∴y=2××P-10-2P-x=10+2P-x,又∵P=3-(其中0≤x≤a,a为正的常数),∴y=16-x-,∴将该产品的利润y万元表示成促销费用x万元的函数为y=16-(0≤x≤a).(2)由(1)知,y=16-,∴y=17-≤17-2=13,当且仅当=x+1,即x=1时取等号,已知0≤x≤a,①若a≥1,则当x=1时,y取得最大值,为13,∴促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;②若0<a<1,∵y=16-,∴y'=,令y'>0,解得-3<x<1,∴y=17-在[0,a]上单调递增,∴当x=a时,函数取得最大值,∴促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.综合①②可得,当a≥1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,当0<a<1时,促销费用投入a 万元时,厂家的利润最大.。

第十章 圆锥曲线 专题3 抛物线（理科）【三年高考】1. 【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A2. 【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,'4AN FF ==，在直角梯形'ANFF 中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，线段FN 的长度：336FN FM NM =+=+=。

3. 【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=.则1221k x x k -+=，12214x x k =.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(,)y yx x .因为21122112112222y y y y y y x x y x x x +-+-=122112211()()222kx x kx x x x x +++-=122121(22)()2k x x x x x -++=22211(22)42k k k k x --⨯+=0=，所以211122y y y x x +=.故A 为线段BM 的中点.4. 【2017浙江，21】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|P A1)2x +=)1(12++k k ，|PQ |= 1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 5.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =,即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.6. 【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=7. 【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的 值为_________.8. 【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y .9. 【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 10.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 11.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.【解析】（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=，C在,)a处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为，C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=或0y a ++=.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.【两年模拟】1. 【2017届湖南省邵阳市高三第二次联考】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =2，则AF 等于( )A.32B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】由题意：M （x 0，2√2）在抛物线上，则8=2px 0，则px 0=4，① 由抛物线的性质可知, 02p DM x =-， 2MA AF = ，则0222332p MA AF MF x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，∵被直线2p x =截得的弦长为√3|MA|，则02p DE x ⎫=+⎪⎭，由MA ME r ==，在Rt △MDE 中， 丨DE 丨2+丨DM 丨2=丨ME 丨2，即2220001432292p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入整理得： 220420x p += ②，由①②，解得：x 0=2，p=2，∴01132p AF x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．2. 【西藏拉萨中学2017届高三月考】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于,M N 两点，若MR l ⊥，垂足为R ，且NRM NMR ∠=∠，则直线MN 的斜率为A. 8±B. 4±C. ±D. 2± 【答案】C【解析】过N 作NQ l ⊥，交l 于Q ， NH MR ⊥，交MR 于H ，抛物线的定义可知： MF MR =丨丨丨丨， NF MQ =丨丨丨丨，由NRM NMR ∠=∠，则MNR 为等腰三角形，∴12MQ RH MH MR ===丨丨丨丨丨丨丨丨，则MN MF NF =+丨丨丨丨丨丨，∴3MN NQ =丨丨丨丨，即3MN MH =丨丨丨丨，则NH MH ==丨丨丨，则tan NH NMR MH ∠==丨丨丨丨NMR α=∠，则直线MN 的斜率tan k α=±=±，故选C.3.【江西省南昌市2017届高三三模】已知直线:l y kx k =-与抛物线C ： 24y x =及其准线分别交于,M N 两点， F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k 等于（ ）A. B. 1± C. D. 2± 【答案】C4. 【四川省雅安市2017届高三三诊】已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 1 D. 1-【答案】C 【解析】设点21(,)4P a a ， 1'2y x =，所以切线方程为： 211()42y a a x a -=-，因为过点A (0,1)-，所以代入得2a =±不妨取2a =，则点P (2,1)，又点B (0,1)且，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，所以22PA PB a -=-=，所以1a =，故1ca= 5.【山西省太原市2017届高三二模】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为A. B. C. - D. 【答案】C【解析】由题意，知()1,0F ，则设直线AB 的的方程为1x my =+，代入抛物线消去x ，得2440y my --=．设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m += ①，124y y =- ②．因为2AF BF =，所以122y y =- ③．联立①②③解得m =AB 的斜率为±，故选C ．6.【福建省莆田2017届高三一模】已知点()00,P x y 是抛物线24y x =上的一个动点， Q 是圆C ： ()()22241x y ++-=上的一个动点，则0x PQ +的最小值为（ ）A. 1B.C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标()2,4C -，半径为1；抛物线的焦点()F 1,0，虚线为抛物线的准线； PM 为点到虚线的距离且1PM x =+，由抛物线的性质可知，PF PM =.故可知01x PQ PQ PF +=+- 11PM PF ≥-+-11PM PF ≥-+- 2CF ≥- 23=-=。

第十章 圆锥曲线 专题1 椭圆（理科）【三年高考】1. 【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==B ． 2. 【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0 ，半径为r a = ，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d a ==，整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=，从而22223c e a == ，椭圆的离心率c e a ===A . 3. 【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）4. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

第二节 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f(x)＝sin 2x ＋bsin x ＋c ，则f(x)的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s(s ＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.x ＝kπ2－π6(k ∈Z)B.x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)C.x ＝kπ2－π12(k ∈Z)D.x ＝kπ2＋π12(k ∈Z)6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f(x)＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x 1)－g(x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2x D.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.15.(2015·福建，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f(x)＋g(x)＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎡⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x)的最小正周期是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6D.⎝⎛⎭⎫π2，π 4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f(π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎡⎦⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f(x)＝sin(x ＋φ)在区间⎝⎛⎭⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A.函数f(x)的最小正周期是2π B.图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g(x)＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x)，b ＝(cos x ，3cos x)，函数f(x)＝a·b ＋32. (1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f(x)＝sin 2x ＋bsin x ＋c ＝－cos 2x 2＋bsin x ＋c ＋12， 其中当b ＝0时，f(x)＝－cos 2x 2＋c ＋12，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.3.A [点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋kπ，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f(x)的零点，x ＝π4为f(x)的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f(x)在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝kπ＋π2得函数的对称轴为x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g(x)＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由|f(x 1)－f(x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z)，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C.] 10.B [将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2kπ≤2x －2π3≤π2＋2kπ，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋kπ，7π12＋kπ，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋kπ，7π12＋kπ，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.] 11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎡⎦⎤38π＋kπ，78π＋kπ(k ∈Z) [f(x)＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2kπ≤2x －π4≤3π2＋2kπ，k ∈Z ，解得：3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ，k ∈Z.] 15.解 法一 (1)将g(x)＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f(x)＝2sin x.从而函数f(x)＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝kπ＋π2(k ∈Z).(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

专题2.4 函数的图象1．(2019·湖南长郡中学月考)函数f (x )＝1－x2ex 的图象大致为( )【答案】D【解析】因为f (－x )＝1－x2e －x ≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝1－4e 2＝－3e2<0.排除A ，故选D.2. （2019·河北衡水二中月考）若函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1，0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1，0<b <1 【答案】D【解析】由图象从左向右下降，知0<a <1. 又y ＝f (x )与y 轴的交点(0，1－b )， 所以0<1－b <1，则0<b <1.3．（2019·陕西咸阳一中期中）函数f (x )＝2|x |－x 2的图象大致为( )【答案】C【解析】由题意知，当x ＞0时，f ′(x )＝2xln 2－2x ，当x →0时，2x→1，2x →0，f ′(x )＞0，说明函数f (x )的图象在y 轴右侧开始时是递增的，故排除选项A ，B ，D ，选C.4．（2019·广东韶关一中月考）函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )【答案】B【解析】函数y ＝2xln|x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，A 错；因为f (－x )＝－2xln |x |＝－f (x )，f (x )是奇函数，排除C 项；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，排除D 项，只有B 项适合．5．（2019·山东青岛二中期末）已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )【答案】D【解析】在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.6. （2019·江西上饶一中期末）如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 【答案】C【解析】令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．7．（2019·福建宁德一中期末）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )【答案】A【解析】∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1·sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2＜0，故排除B ，选A.8. （2019·安徽安庆一中月考）若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2 【答案】B【解析】令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x＝0，解得x ＝0或x ＝－ba ，由图象可知，－b a ＞1，又当x ＞－b a时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.9. （2019·浙江衢州一中期末）已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )【答案】B【解析】由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10. （2019·江苏泰州一中期末）如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．【答案】{x |－1＜x ≤1}【解析】令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．11．（2019·北师大实验中学模拟）如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )【答案】D【解析】由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.12．(2019·安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A 、B 两点满足：(1)点A 、B 都在f (x )图象上；(2)点A 、B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“和谐点对”有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．13．（2019·吉林省实验中学模拟）函数f (x )＝x ＋1x的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________．【答案】2【解析】因为f (x )＝x ＋1x ＝1x＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.14．（2019·福建双十中学模拟）设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．【答案】{x |x ≤0或1<x ≤2}【解析】画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f （x ）≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．15．（2019·河北衡水中学模拟）已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 【解析】(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．2.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+ (a >0，且a ≠1)的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 3. (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )【答案】 B【解析】 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项． 当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e ＜12，∴e－1e>1，排除C 选项．故选B.4. (2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )【答案】 D【解析】 令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22， 则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增；f ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递减，结合图象知选D. 5.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x ) D.y ＝ln(2＋x )【答案】B【解析】法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.6. (2018·浙江卷)函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )【答案】D【解析】设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域为R 且关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2(k ∈Z)，故排除选项C.故选D.7．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )【答案】C 【解析】令f (x )＝sin 2x1－cos x，定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确． 又f (1)＝sin 21－cos 1>0，f (π)＝0.选项A ，D 不正确，只有选项C 满足．11。

第二章 函数概念与基本初等函数 专题4 函数图象与方程（文科）【三年高考】1. 【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．故选C ．2. 【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）A BD ．C D 【答案】D3. 【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况，在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n x m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10nm q p = ，则10()n m q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉ ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉ 的部分， 且1x = 处11(lg )1ln10ln10x x '==< ，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8个.4.【2016高考新课标1卷】函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D5．【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）【答案】D【解析】因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即2x π=±时，1max y =，排除B 选项，故选D.6．【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞7．【2016高考上海文科】 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】（1）由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得112x +>，解得{}|01x x <<．（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解．当0a =时，1x =，符合题意；当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-．综上，0a =或14-．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．【2015高考上海，文8】方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】29.【2015高考浙江，文5】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.10. 【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A11.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 . 【答案】12-【解析】在同一直角坐标系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知2112-=⇒-=a a 【2017考试大纲】 函数与方程(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对函数图象与方程这部分的考查，主要以图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中高档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，以选择题、填空题的形式出现，属中高档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理.由于2017年全国卷中考查了函数的图像，预测2018年可能有函数图象与方程的题目出现，热点问题应不回避，高考也有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．同学们在复习时要多加注意，多总结多质疑．【2018年高考考点定位】高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布. 【考点1】作函数图象 【备考知识梳理】（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成. （２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于x 轴上方的图象不变，位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去.()()f a x f a x +=-Þ()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--Þ()y f x =的图象关于(a,0）点对称. ()y f x =的图象关于x 轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象 xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O【规律方法技巧】 画函数图象的方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； (2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【考点针对训练】1. 【四川省成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身考试】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①13216f π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()312f π=；③()322f π=；④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序）【答案】②③④【解析】12f ⎛⎫⎪⎝⎭由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为12 的圆弧长组成，因此13π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；()1f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为1 的圆弧长组成，因此()3π12f =；()2f 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为1,,B D A 半径为1 的圆弧长组成，因此()13π232π142f=⨯⨯⨯=；213f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由如图三段相同弧长组成，圆心角为π6，半径为23 ，因此21π23π33633f ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，因此选②③④ 2. 【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟试卷（二）】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和am (0＜a ＜12)，不考虑树的粗细.先用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u =f （a ）（单位：2m ）的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【考点2】识图与辨图 【备考知识梳理】1．通过分析函数解析式特征，定性研究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象． 2. 根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数． 【规律方法技巧】识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 【考点针对训练】1.【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟】函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】()()()()()()()111111x x x x x xe e ef x f x x e x ex e --+++-====-----,所以()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称，又(),0x f x →+∞→,所以选A.2. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】函数()1cos 1x xe f x x e +=⋅-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】()()()11cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴-- 去掉A,B ；()π0,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭时 所以选C.【考点3】判断方程根的个数有关问题 【备考知识梳理】方程()0f x =的根的个数等价于函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数，若函数()y f x =的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题． 【规律方法技巧】 函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【考点针对训练】1. 【天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考】已知函数()211,1,{42,1,x x f x x x x -+<=-+≥则函数()()22xg x f x =-的零点个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】画出函数()211,1,{42,1,x x f x x x x -+<=-+≥的图像如图，由()()220xg x f x =-=可得()22xf x =，则问题化为函数()211,1,{42,1,x x f x x x x -+<=-+≥与函数1222x xy -==的图像的交点的个数问题。

第三章 导数专题1 导数以及运算、应用（理科）【三年高考】1. 【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e --C.35e -D.1【答案】A2. 【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)xx x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1). 3. 【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

一、选择题1.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞2. 【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）AB Oxy -122CC ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤3.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）（A ）（B ）4.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}5.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD与DA运动，记BOP x∠=．将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()f x，则()y f x=的图像大致为（）(D)(C)(B)(A)xyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxxyπ4π23π4π22π3π4π2π4yx6.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf xx c+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（C）0a<，0b>，0c<（D）0a<，0b<，0c<7.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x xf xx x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x=--，其中b R∈，若函数()()y f x g x=-恰有4个零点，则b的取值范围是( )（A）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（B）7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭（C）70,4⎛⎫⎪⎝⎭（D）7,24⎛⎫⎪⎝⎭8.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵D P CBOAx坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午 的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.9.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．10.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .11. 【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .12.【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.14.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；15.【2015湖南理13】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .16.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.。