2019高考总复习优化设计1轮理科数学人教B课时规范练53 用样本估计总体(附答案)

课时规范练30等比数列及其前n项和基础巩固组1.已知等比数列{a n}满足a1=错误！未找到引用源。

,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

2.在正项等比数列{a n}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.错误！未找到引用源。

B.9错误！未找到引用源。

C.±9错误！未找到引用源。

D.353.(2017安徽黄山二模,理3)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N+),则S5=()A.31B.42C.37D.474.设首项为1,公比为错误！未找到引用源。

的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n5.(2017全国Ⅲ,理9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.86.(2017辽宁鞍山一模,理4)已知数列{a n}满足错误！未找到引用源。

=a n-1·a n+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=()A.84B.63C.42 D7.设数列{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.8.(2017北京,理10)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则错误！未找到引用源。

=.9.(2017江苏,9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=错误！未找到引用源。

,S6=错误！未找到引用源。

,则a8=.10.(2017安徽池州模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.综合提升组11.(2017四川广元二诊,理6)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n都有a n=错误！未找到引用源。

课时规范练49双曲线基础巩固组1.已知双曲线x2a2−y23=1(a>0)的离心率为2,则a=()A.2B.62C.52D.12.(2017山西实验中学3月模拟,理4)过双曲线x2-y2b=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E,O为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则b=()A.12B.3 C.2 D.333.(2017河南濮阳一模,理11)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π3,则双曲线离心率的取值范围是() A.(1,3) B.(1,6) C.(1,23) D.(3,33)4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29−y213=1 B.x213−y29=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=15.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.(2017石家庄二中模拟,理7)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为()A.3+12B.2+12C.3+1D.2+17.已知双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24−y212=1 B.x212−y24=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=18.(2017安徽淮南一模)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.102,+∞C.1,102D.1,52〚导学号21500574〛9.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为.10.已知方程x2m+n −y23m-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.11.(2017江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线x2 a −y23=1的右焦点,则双曲线的离心率为.综合提升组12.(2017河南郑州一中质检一,理11)已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则OM·ON的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关13.(2017河南南阳一模,理10)已知F2,F1是双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A.3B.3C.2D.2〚导学号21500575〛14.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.创新应用组16.(2017河北石家庄二中模拟,理11)已知直线l1与双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为()A.1+52B.1+52C.1+32D.1+32〚导学号21500576〛参考答案课时规范练49双曲线1.D由已知得 a2+3a=2,且a>0,解得a=1,故选D.2.D由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,∴双曲线的一条渐近线的斜率为33,∴b=33,故选D.3.A由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c2a -1=b4a,∴|AB|=2b 2a.∵过焦点F 1且垂直于x 轴的弦为AB ,∠AF 2B<π3, ∴tan ∠AF 2F 1=b 2a2c < 33,e=c a >1. ∴c 2-a 22ac <33,12e-12e<33. 解得e ∈(1, 3),故选A . 4.D 由题意知,双曲线x 2a−y 2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y 2=3相切, 所以2 b a1+ a2= 3,解得b 2=3a 2. 又因为c 2=a 2+b 2=4, 所以a 2=1,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 2-y 23=1.5.A 由条件知F 1(- ,0),F 2( ∴MF 1 =(- 3-x 0,-y 0),MF 2 =( 3-x 0,-y 0),∴MF 1 ·MF 2 =x 02+y 02-3<0.①又x 022−y 02=1,∴x 02=2y 02+2.代入①得y 02<13,∴- 33<y 0< 33.6.C 由题意k AB =-ba ,∴直线l 的方程为y=a b (x+c ),AB 的中点坐标为 a 2,b2 . ∴b2=a b a2+c ,化简整理得b 2=a 2+2ac ,即c 2-2ac-2a 2=0,e 2-2e-2=0,解得e=1+ 3,e=1- 3(舍去),故选C .7.D∵双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.∴双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.8.C由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤102a,由e=ca >1可得1<e≤102,故选C.9.由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=ba x平行,∴ba=1,即c2-a2a=1.解得e2=2,故答案为2.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.11.2抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线x2a −y23=1的右焦点为(2,0),即有c=2+3=2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e=c|a|=2.故答案为2.12.A取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),∴OM·ON=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴OM·ON=4-1=3.故选A.13.C由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=ab x,则点F2到渐近线的距离为a2+b2=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A, ∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.14.23该双曲线的右准线方程为x=10=31010,两条渐近线方程为y=±33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四边形F1PF2Q的面积S=210×3010=23.15.y=±22x抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a-y2b=1, x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a=p,所以b 2a =12.所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x.16.B解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,y M),由x12a-y12b=1, x22a-y22b=1,得(x1-x2)(x1+x2)a-(y1-y2)(y1+y2)b=0,又y1-y2x1-x2=k l1=-1k l2=c-by M, x1+x2=2b,y1+y2=2y M,代入上式得a2=bc,即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=1+52.解法二:设M(b,d),则k OM=db ,则由双曲线中点弦的斜率公式k AB·k OM=b2a,得k AB=b3a d,∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,∴k l2=k MF=db-c,k AB·k l2=-1,即b 3a2d ·db-c=-1,化简得bc=a2.∴c2-a2·c=a2,e4-e2-1=0,e=1+52.。

课时规范练59古典概型与几何概型基础巩固组1.(2017山西晋中模拟)5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

2.10张奖券中只有3张有奖,5人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

3.向等腰直角三角形ABC(其中AC=BC)内任意投一点M,则AM小于AC的概率为()A.错误！未找到引用源。

B.1-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

4.如图,阴影部分由曲线f(x)=sin 错误！未找到引用源。

x(0≤x≤2)与以点(1,0)为圆心,1为半径的半圆围成,现向半圆内随机投掷一点,恰好落在阴影部分内的概率为()A.错误！未找到引用源。

-1B.错误！未找到引用源。

C.1-错误！未找到引用源。

D.1-错误！未找到引用源。

〚导学号5.某同学有6本工具书,其中语文1本、英语2本、数学3本,现在他把这6本书放到书架上排成一排,则同学科工具书都排在一起的概率是()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

6.(2017河南洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7.(2017福建龙岩一模)在区间[0,π]上随机取一个x,则y=sin x的值在0到错误！未找到引用源。

之间的概率为()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

课时规范练53用样本估计总体基础巩固组1.(2019湖南娄底一模,5)学校医务室对本校高一1 000名新生的视力环境举行跟踪调查,随机抽取了100名学生的体检表,得到的频率漫衍直方图如下,若直方图的后四组的频率成等差数列,则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为( )A.600B.390C.610D.5102.(2019江苏徐州模仿,6)甲、乙两人在雷同条件下,射击5次,命中环数如下:根据以上数据估计()A.甲比乙的射击技术稳定B.乙比甲的射击技术稳定C.两人没有区别D.两人区别不大3.(2019四川德阳高三一诊,7)将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知( )A.甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D.乙队得分的中位数是38.54.当5个正整数从小到大分列时,其中位数为4,若这5个数的唯一众数为6,则这5个数的均值不可能为( )A.3.6B.3.8C.4D.4.25.如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次)的条形统计图,其中上面部分数据破坏导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是5,则凭据统计图,无法确定下列哪一选项中的数值( )A.3球以下(含3球)的人数B.4球以下(含4球)的人数C.5球以下(含5球)的人数D.6球以下(含6球)的人数6.(2019吉林长春质检,4)某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位:℃)数据,绘制如下折线图:那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.已知数据x1,x2,…,x10,2的平均值为2,方差为1,则数据x1,x2,…,x10相对于原数据()A.一样稳定B.变得比较稳定C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断8.(2019四川成都二模,6)若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2.现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数为,方差为s2,则( )A.x=5,s2>2B.x=5,s2<2C.x>5,s2<2D.x>5,s2>29.在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到1 mm)作为样本,并绘制了如图所示的频率漫衍直方图,由图可知,样本中棉花纤维的长度大于225 mm的频数是.10.(2019福建福州质检,14)若6个数的标准差为2,平均数为1,则这6个数的平方和为.11.一组样本数据按从小到大的顺序排列为:-1,0,4,x,y,14,已知这组数据的平均数与中位数均为5,则其方差为.12.长春市统计局对某公司月收入在1 000~4 000元内的职工举行一次统计,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包罗左端点,不包罗右端点,如第一组表示职工月收入在区间[1 000,1 500)内,单位:元).(1)请估计该公司的职工月收入在[1 000,2 000)内的概率;(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.13.(2019全国2,文19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产环境,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数漫衍表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:√74≈8.602.综合提升组14.(2019黑龙江大庆联考,8)x1,x2,x3,…,x2n 是一组已知统计数据,其中n∈N*,令s(x)=(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x -x2n)2,当x=( )时,s(x)取到最小值A.x nB.∑i=12n x iC.12n ∑i=12nx i D.√x 1·x 2·…·x 2n 2n15.(2019河南新乡二模,8)已知一组数据丢失了此中一个,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,则丢失数据的所有可能值的和为( )A.6B.8C.12D.14(a12+a22+a32+a42+ 16.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差s2=15a52-20),则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为.17.某市有甲、乙两位航模运动员到场了国家队集训,现分别从他们在集训期间参加的若干次预赛成绩(单位:分)中随机抽取8次,记录如下:甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)画出甲、乙两位学生结果的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;(2)现要从中派一人到场国际角逐,从平均成绩和方差的角度思量,你认为派哪位学生参加合适?请阐明来由.创新应用组18.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜刮次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2018年9月到2019年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变革的走势图.凭据该走势图,下列结论正确的是( )A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜刮指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜刮指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值19.(2019四川泸州诊断(二),19)今年年初,习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场,为发展增动力,为互助添活力,壮大中华民族经济两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生互助,社会保障和大众资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极相应习主席的招呼,在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量(单位:吨),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,2 80),[280,300]分组的频率漫衍直方图如图所示.(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数;(2)在年平均销售量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在[250,260),[260,280),[280,300]的农贸市场中应各抽取多少家?(3)在(2)的条件下,再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,求恰有1家在[240,260)组的概率.参考答案课时规范练53用样本估计总体1.C 由题图知,第一组3人,第二组7人,第三组27人,后四构成等差数列,和为90,故频数依次为27,24,21,18,视力在4.8以下的频率为0.61,故高一新生中视力在4.8以下的人数为610人.故选C.2.A甲、乙两人射击5次,命中环数的平均数分别为x1=9.8+9.9+10.1+10+10.25=10,x2=9.4+10.3+10.8+9.7+9.85=10,甲、乙两人射击5次,命中环数的方差分别为s12=(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)25=0.02,s22=(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)25=0.244,因为,所以甲比乙的射击技能稳固,故选A.3.D A.甲队得分的众数是33和35,所以该选项是错误的;B.甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率分别为,所以甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率不相称,所以该选项是错误的;C.甲队得分的极差为51-24=27,乙队得分的极差为52-22=30,所以甲、乙两队得分的极差不相称,所以该选项是错误的;D.乙队得分的中位数是=38.5,以是该选项是准确的.故选D.4.A 设五个数从小到大为a1,a2,a3,a4,a5,依题意得a3=4,a4=a5=6,a1,a2是1,2,3中两个差别的数,符合题意的五个数可能有三种情形“1,2,4,6,6”,“1,3,4,6,6”,“2,3,4,6,6”,其平均数分别为3.8,4,4.2.均值不可能为3.6,故选A.5.C 因为共有35人,而中位数应该是第18个数,所以第18个数是5,从题图中看出第四个柱状图的范围在6以上,所以投4个球的有7人.可得3球以下(含3球)的人数为10人,4球以下(含4球)的人数为10+7=17(人),6球以下(含6球)的人数为35-1=34(人).故只有5球以下(含5球)的人数无法确定,故选C.6.D 由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值(单位:℃)数据,绘制出的折线图,知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相干,故A正确;在B中,由图可知整年中,2月的最髙气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值中,7月至8月呈上升趋向,故D错误,故选D. 7.C 由题可得=2,所以x1+x2+…+x10=20,所以平均值为2,由=1得=1.1>1,以是变得不稳固,故选C.8.B ∵某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,此时这9个数的平均数为,方差为s2,=5,s2=<2.故选B.9.235因为长度大于225 mm的频率为(0.004 4+0.005 0)×50=0.47,所以长度大于225 mm的频数是0.47×500=235.10.30设这6个数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6.因为6个数的平均值为1,所以x1+x2+x3+x4+x5+x66=1,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=6,由标准差公式可得4=16[(x1-1)2+(x2-1)2+(x3-1)2+(x4-1)2+(x5-1)2+(x6-1)2],24=x12-2x1+1+x22-2x2+1+x32-2x3+1+x42-2x4+1+x52-2x5+1+x62-2x6+1, 所以18=x12+x22+x32+x42+x52+x62-2(x1+x2+x3+x4+x5+x6),所以,x12+x22+x32+x42+x52+x62=18+2×6=30.11.743 ∵-1,0,4,x ,y ,14的中位数为5,∴4+x 2=5,∴x=6,∴这组数据的平均数是-1+0+4+6+y+146=5,即y=7,可得这组数据的方差是16(36+25+1+1+4+81)=743,故答案为743.12.解 (1)职工月收入在[1 000,2 000)内的概率为(0.000 2+0.000 4)×500=0.3. (2)凭据条件可知,从左至右小矩形的面积分别是0.1,0.2,0.25,0.25,0.15,0.05,因此,中位数的估计值为2 000+=2 400;平均数的估计值为1 250×0.1+1 750×0.2+2 250×0.25+2 750×0.25+3 250×0.15+3 750×0.05=2 400.综上可知,中位数和平均数的估计值都是2 400.13.解 (1)根据产值增长率频数漫衍表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s 2=1100∑i=15n i (y i -y )2 =1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.14.C ∵s (x )=(x-x 1)2+(x-x 2)2+…+(x-x 2n )2=2nx 2-2(x 1+x 2+…+x 2n )x+x 12+x 22+…+x 2n 2,∴当x=x 1+x 2+…+x 2n 2n 时,s (x )有最小值,故选C .15.C 设丢失的数据为x,则7个数据的平均数为,众数是3.由题意知,这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,若x≤3,则中位数为3,此时平均数=3,解得x=-10;若3<x<5,则中位数为x,此时+3=2x,解得x=4;若x≥5,则中位数为5,此时+3=2×5,解得x=18.综上,丢失数据的所有可能的取值为-10,4,18,三数之和为12.故选C.16.5或-3 设样本数据的平均数为a ,则方差s 2=15∑i=15(a i -a )2=15∑i=15(a i 2-2aa i +a 2)=15(∑i=15a i 2-2a ∑i=15a i +5a 2)=15(∑i=15a i 2-2a×5a+5a 2)=15(∑i=15a i 2-5a 2). 结合s 2=15(a 12+a 22+a 32+a 42+a 52-20)可得5a 2=20,所以a=±2,即样本数据a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的平均数为2或-2,则样本数据2a 1+1,2a 2+1,2a 3+1,2a 4+1,2a 5+1的平均数为2×2+1=5或2×(-2)+1=-3.17.解 (1)茎叶图如下:所以学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲到场比力符合,理由如下: x 甲=18(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85, x 乙=18(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,s 甲2=18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93-85)2]=35.5,[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为,所以甲的结果比较稳定,派甲到场比力符合.18.D 凭据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变革,A错;这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B错;从网民对该关键词的搜刮指数来看,去年10月份的搜索指数的稳定性小于11月份的搜刮指数的稳定性,所以去年10月份的方差大于11月份的方差,C错;从网民对该关键词的搜刮指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值,D正确.故选D.19.解(1)由直方图的性质得:(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,解方程得x=0.007 5,∴直方图中x=0.007 5.年平均销售量的众数是220+2402=230,∵(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,∴年平均销售量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5, 解得a=224,∴年平均销售量的中位数为224.(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有0.012 5×20×100=25家,年平均销售量为[240,260)的农贸市场有0.007 5×20×100=15家,年平均销售量为[260,280)的农贸市场有0.005×20×100=10家,年平均销售量为[280,300)的农贸市场有0.002 5×20×100=5家,∴抽取比例为,∴年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3家,年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2家,年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1家,故年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.(3)由(2)知年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,基本事件总数n=C62=15,恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数m=C31C31=9,所以恰有1家在[240,260)组的概率为915=35.。

§9.2 用样本估计总体考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n 个数据的p %分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理 1．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的____________，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是________(即最大值)． 2．平均数、中位数和众数(1)平均数：x ＝ ．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最 的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数 的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3．方差和标准差 (1)方差：s 2＝或1n ∑i ＝1n x 2i －x 2.(2)标准差：s ＝ .4．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出________对应的数字特征即可．(2)对于分层抽样的情况，我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m 个数，分别为x 1，x 2，…，x m ，平均数为x ，方差为s 2；第二层有n 个数，分别为y 1，y 2，…，y n ，平均数为y ，方差为t 2.则x ＝1m ∑i ＝1m x i ，s 2＝1m ∑i ＝1m (x i －x )2，y ＝1n ∑i ＝1n y i ，t 2＝1n ∑i ＝1n(y i －y )2.如果记样本均值为a ，样本方差为b 2，则可以算出 a ＝1m ＋n (∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1n y i )＝m x ＋n y m ＋n，b 2＝m [s 2＋(x －a )2]＋n [t 2＋(y －a )2]m ＋n＝1m ＋n ⎣⎡⎦⎤(ms 2＋nt 2)＋mn m ＋n (x －y )2.常用结论1．若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x ＋a . 2．数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．3．若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( ) (2)方差与标准差具有相同的单位．( )(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( ) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) 教材改编题1．若数据x 1，x 2，…，x 9的方差为2，则数据2x 1，2x 2，…，2x 9的方差为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的80%分位数为( )A ．88.5B ．89C ．91D ．89.53．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．题型一 样本的数字特征和百分位数的估计例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、25%分位数分别为( ) A ．92,85 B ．92,88 C ．95,88D ．96,85延伸探究 本例中，70%分位数是多少？________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：396275268225168166176173188168141157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是() A．极差B．中位数C．众数D．平均数听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华计算一组n个数据第p百分位数的步骤跟踪训练1(1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的75%分位数为()A．102 B．103 C．109.5 D．116(2)(多选)冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会．自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则()A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差题型二总体集中趋势的估计例2为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数．若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练2(2022·哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值及众数、中位数；(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中用分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三总体离散程度的估计例3(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下．旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s21＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3(2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

第2讲用样本估计总体[考纲解读] 1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点．(重点)2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．3．会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(难点)4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题．1.作频率分布直方图的步骤2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的□01中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着□02样本容量的增加，作图时所分的组数增加，□03组距减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．3.茎叶图(1)茎叶图的概念：统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．(2)茎叶图的优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况．4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征样本数据频率分布直方图优点与缺点众数出现次数□01最多的数据取最高的小长方形底边□02中点的横坐标 通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数将数据按大小依次排列，处在最□03中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积□04相等的分界线与x 轴交点的横坐标是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之□05和 平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低方差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，标准差： s ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]. (3)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．1.概念辨析(1)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()(2)从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．()(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.小题热身(1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数答案 B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91.5和91.5 B．91.5和92C.91和91.5 D．92和92答案 A解析由茎叶图可知，这组数据的中位数是12×(91＋92)＝91.5，平均数是18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.(3)港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h 的频率分别为( )A.300 0.25 B ．300 0.35 C.60 0.25 D ．60 0.35答案 B解析 由频率分布直方图，得在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为0.3×1000＝300，行驶速度超过90 km/h 的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.(4)(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________． 答案 53解析 这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.题型一 样本数字特征的计算及应用1.(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A.中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差答案 A解析 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.2.(2019·长沙二模)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 100，它们的平均数为x －，方差为s 2；其中扫码支付使用的人数分别为3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数为x －′，方差为s ′2，则x －′，s ′2分别为( )A.3x －＋2,3s 2＋2 B ．3x －，3s 2 C.3x －＋2,9s 2 D ．3x －＋2,9s 2＋2答案 C解析 根据题意，数据x 1，x 2，…x 100的平均数为x －，方差为s 2；则x －＝1100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)，s 2＝1100[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 100－x －)2]，若3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x 100＋2的平均数为x －′，则x －′＝1100[(3x 1＋2)＋(3x 2＋2)＋…＋(3x 100＋2)]＝3x －＋2，方差s ′2＝1100[(3x 1＋2－3x －－2)2＋(3x 2＋2－3x －－2)2＋…＋(3x 100＋2－3x －－2)2]＝9s 2.3.一组数据1,10,5,2，x,2，且2<x <5，若该数据的众数是中位数的23倍，则该数据的方差为________．答案 9解析 根据题意知，该组数据的众数是2， 则中位数是2÷23＝3，把这组数据从小到大排列为1,2,2，x,5,10， 则2＋x2＝3，解得x ＝4，所以这组数据的平均数为x －＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4， 方差为s 2＝16×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n)－n x －2]或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．(3)平均数、方差的公式推广①若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .见举例说明2.②数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.a.数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2；b.数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.见举例说明2.1.(2019·六安模拟)某样本中共有5个个体，其中4个值分别为0,1,2,3，第5个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.2B.65 C. 2 D.305答案 A解析 设第5个值为x ，则由题意，得15×(0＋1＋2＋3＋x )＝1，解得x ＝－1，所以样本方差s 2＝15×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案 0.98解析 x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.题型二 扇形图、折线图1.(2020·株洲市高三摸底)某市2019年12个月的PM2.5的平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )A.第一季度 B ．第二季度 C.第三季度 D ．第四季度答案 B解析 根据图中数据，知第一季度的数据是72.15,43.96,93.13；第二季度的数据是66.5,55.25,58.67；第三季度的数据是59.16,38.67,51.6；第四季度的数据是82.09,104.6,168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5的平均浓度指数方差最小．故选B.2.(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案 A解析设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A.(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)“科技引领，布局未来”，科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元．我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入(单位：十亿元)用如图中的条形图表示，研发投入占营收比用如图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是()A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研发投入数量相比2015年至2016年增量小C.该企业连续12年研发投入逐年增加D.该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加答案 D解析由题图可知，该企业在2008年至2009年、2013年至2014年和2016年至2017年研发投入占营收比是下降的，所以D错误．故选D.题型三茎叶图及其应用1.(2019·郑州三模)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是()0223 41x y 9920 1C．16 D．18答案 A解析因为总体的中位数为12，所以10＋x＋10＋y2＝12，即x＋y＝4，所以总体的平均数为110×(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使总体的标准差最小，只要(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2最小．因为(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2≥2×10＋x－11.4＋10＋y－11.422＝0.72，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以4x＋2y＝12.故选A.2.某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430 ,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407 ,410,412,415,416,422,430.(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解(1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差.1.茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．2.茎叶图的应用茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．1．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩(单位：环)如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为( )A.2 B ．4 C ．6 D ．8答案 A解析 根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即15×(87＋89＋90＋91＋93)＝15×(88＋89＋90＋91＋90＋x )，解得x ＝2，所以平均数为x －＝90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)，所以甲成绩的方差为s 2＝15×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.故选A.2．如图茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则x ，y 的值分别为( )答案 A解析 由已知，甲组数据的众数是124，则x ＝4，即甲组数据的中位数为124.所以16×(116＋116＋125＋120＋y ＋128＋134)＝124，解得y ＝5.故选A.题型四频率分布直方图角度1求频率或频数1.党的十九大报告指出：“脱贫攻坚战取得决定性进展，六千多万贫困人口稳定脱贫，贫困发生率从百分之十点二下降到百分之四以下．”2019年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3000户家庭的2019年所得年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万的家庭大约为()A.900户B．600户C．300户D．150户答案 A解析由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3000＝900.角度2求数字特征2.某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机，已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损)．利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.4岁B．32.4岁C．33.4岁D．36.4岁答案 A解析由频率分布直方图可知[20,25)的频率为0.1，[25,30)的频率为0.3，[30,35)的频率为0.35，因为0.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位数x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故选A.3.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1.频率分布直方图的性质(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．见举例说明1.(2)各小长方形的面积之和等于1.2.频率分布直方图中的众数、中位数与平均数(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．见举例说明3.1.(2019·湘潭三模)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩分数分成如下6组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，并绘制频率分布直方图如图所示，若已知不低于140分的人数为110，则n的值是()A.800 B．900C．1200 D．1000答案 D解析由频率分布直方图的性质，得10×(0.031＋0.020＋0.016×2＋m＋0.006)＝1，解得m＝0.011，∵不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，∴n＝1100.11＝1000.2.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125] 频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图．(2)质量指标值的样本平均数为x－＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.组基础关1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()A．14 B．15C．16 D．17答案 B解析由频数分布表可知，样本中数据在[20,40)上的频率为4＋530＝0.3，又因为样本数据在[20,60)上的频率为0.8，所以样本在[40,60)内的频率为0.8－0.3＝0.5，数据个数为30×0.5＝15.2.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：甲乙丙丁平均成绩x－86898985 方差s2 2.1 3.5 2.1 5.6A.甲B．乙C．丙D．丁答案 C解析丙平均成绩高，方差s2小(稳定)，故最佳人选是丙.3.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案 C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.解法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.4.(2019·钦州模拟)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]，则样本的中位数在()A．第三组B．第四组C．第五组D．第六组答案 B解析由图可得，前四组的频率为(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.1×2＝8，故中位数落在第四组，所以B正确.5.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝6.25，x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106≈11.67.显然x －A <x －B .又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.6.(2019·合肥一模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.90后从事运营岗位的人数比80前从事互联网行业的人数多D.互联网行业中90后从事技术岗位的人数比80后从事技术岗位的人数多解析 对于A ，由饼状图可知互联网行业从业人员中90后占了56%，故A 正确．对于B ，由条形图可知互联网行业中从事技术岗位的人数占总人数的比例为39.6%，故B 正确．对于C ，由两图数据可计算出整个互联网行业从事运营岗位的90后占56%×17%＝9.52%，大于互联网行业中的80前总人数，故C 正确．对于D ，因为80后从事技术岗位的人数所占比例不清楚，所以互联网行业中从事技术岗位的90后人数不一定比80后的人数多，故D 错误．故选D.7.(2020·重庆名校联盟调研)在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A.28 B ．40 C ．56 D ．60答案 D解析 设该小矩形的面积为x,9个小矩形的总面积为1，则其他8个小矩形的面积和为52x ，所以x ＋52x ＝1，所以x ＝27，所以该组的频数为27×210＝60.8.(2020·贵阳模拟)某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改善．教育督导一年后，分别随机抽查了初中(用A 表示)与小学(用B 表示)各10所学校，得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所示，则从茎叶图可得出正确的信息为(80分及以上为优秀)( )①初中得分与小学得分的优秀率相同 ②初中得分与小学得分的中位数相同 ③初中得分的方差比小学得分的方差大 ④初中得分与小学得分的平均值相同A.①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析从茎叶图可知抽查的初中得分的优秀率为310×100%＝30%，小学得分的优秀率为310×100%＝30%，故①正确；初中得分的中位数为75.5，小学得分的中位数为72.5，故②不正确；从茎叶图可知初中得分比小学得分分散，所以初中得分的方差比小学得分的方差大，故③正确；初中得分的平均值为75.7，小学得分的平均值为75，故④不正确．所以正确的信息为①③，故选B.9.已知一组数据x1，x2，…，x n的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n ＋b(a>0)的方差为8，则a的值为________．答案 2解析根据方差的性质，知a2×2＝8，解得a＝2.10.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为________．答案 3解析由频率分布直方图，知5×(0.01＋0.02＋a＋0.04＋0.04＋0.06)＝1，解得a＝0.03，即使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生人数之比为4∶3∶1，则从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为38×8＝3.组能力关1.某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A.20,2 B ．24,4 C ．25,2 D ．25,4答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，所以[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)的人数一样，都是2.故选C.2.(2019·葫芦岛一模)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{a n }，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A.12,13 B ．13,13 C ．13,12 D ．12,14答案 B解析 依题意a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6×2)，解得a 1＝4，所以此样本的平均数为S 1010＝13，中位数为a 5＋a 62＝13.3.(2019·马鞍山模拟)某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图1的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图2，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a ＋b 的值为( )A.0.144B ．0.152C ．0.76D ．0.076答案 B解析 由题意得2(c ＋d )×5＝2×12100＝0.24，∴a ＋b ＝1－0.245＝0.152. 4.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．解 (1)根据题意可知：x －甲＝15×(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x －乙＝15×(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，所以m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15×[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15×[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，因为x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.组 素养关(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 企业数 [－0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80)7(1)。

课时规范练53用样本估计总体基础巩固组1.一组数据分别为12,16,20,23,20,15,28,23,则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.232.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是()A.甲B.乙C.丙D.丁3.(2017广西南宁一模,理3)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测,如图是根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图,样本数据分8组,分别为[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],则样本的中位数在()A.第3组B.第4组C.第5组D.第6组4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为()A.2B.3C.4D.5 〚导学号21500581〛5.在某次测量中得到的甲样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若乙样本数据恰好是甲样本每个数据都减5后所得数据,则甲、乙两个样本的下列数字特征对应相同的是()A.平均数B.标准差C.众数D.中位数6.若数据x1,x2,…,x n的平均数为,方差为s2,则2x1+3,2x2+3,…,2x n+3的平均数和方差分别为()A.和s2B.2+3和4s2C.2+3和s2D.2+3和4s2+12s+97.(2017辽宁大连一模)某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,那么学号为31号到50号同学的平均成绩为.8.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩在[16,18]的学生人数是.9.某市运动会期间30名志愿者年龄数据如下表:(1)求这30名志愿者年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这30名志愿者年龄的茎叶图;(3)求这30名志愿者年龄的方差.〚导学号21500582〛综合提升组10.若一组数据2,4,6,8的中位数、方差分别为m,n,且ma+nb=1(a>0,b>0),则的最小值为()A.6+2B.4+3C.9+4D.2011.已知样本(x1,x2,…,x n)的平均数为,样本(y1,y2,…,y m)的平均数为),若样本(x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为()A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定12.(2017山西晋中一模,理13)设样本数据x1,x2,…,x2 017的方差是4,若y i=2x i-1(i=1,2,…,2 017),则y1,y2,…,y2 017的方差为.13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.〚导学号21500583〛创新应用组14.某学校随机抽取20个班,调查各班有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以5为组距将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是()15.(2017河北邯郸一模)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算后,若学生成绩小于m分建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中t的值;(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩.(精确到0.01)〚导学号21500584〛参考答案课时规范练53用样本估计总体1.B把该组数据按从小到大的顺序排列如下:12,15,16,20,20,23,23,28,排在中间的两个数是20,20,故这组数据的中位数为=20.故选B.2.C由题目表格中数据可知,丙的平均环数最高,且方差最小,说明丙的技术稳定,且成绩好,故选C.3.B由题图可得,前第四组的频率为(0.037 5+0.062 5+0.075+0.1)×2=0.55,则其频数为40×0.55=22,且第四组的频数为40×0.1×2=8,即中位数落在第4组,故选B.4.B依题意可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=1,则a=0.03.所以身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生人数比例为3∶2∶1.所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为×18=3.5.B设样本甲中的数据为x i(i=1,2,…,6),则样本乙中的数据为y i=x i-5(i=1,2,…,6),则样本乙中的众数、平均数和中位数与甲中的众数、平均数和中位数都相差5,只有标准差没有发生变化,故选B.6.B原数据乘2加上3得到一组新数据,则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数、方差分别是2+3和4s2.7.95设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,则92×50=90×30+20x,解得x=95,故答案为95.8.54成绩在[16,18]的学生人数所占比例为,所以成绩在[16,18]的学生人数为120×=54.9.解 (1)众数为19,极差为21.(2)茎叶图如图.(3)年龄的平均数为=29,故这30名志愿者年龄的方差为[(19-29)2×7+2×(21-29)2+3×(28-29)2+4×(30-29)2+(31-29)2×5+(32-29)2×3+(40-29)2×6]=.10.D∵数据2,4,6,8的中位数是5,方差是(9+1+1+9)=5,∴m=5,n=5.∴ma+nb=5a+5b=1(a>0,b>0).∴(5a+5b)=5≥20(当且仅当a=b时等号成立),故选D.11.A由题意知样本(x1,…,x n,y1,…,y m)的平均数为.又=α+(1-α),即α=,1-α=.因为0<α<,所以0<,即2n<m+n,所以n<m,故选A.12.16根据题意,设样本数据x1,x2,…,x2 017的平均数为,又由其方差为4,则[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x2 017-)2]=4.对于数据y i=2x i-1(i=1,2,…,2 017),其平均数(y1+y2+…+y2 017)=[(2x1-1)+(2x2-1)+…+(2x2 017-1)]=2-1,其方差[(y1-)2+(y2-)2+(y3-)2+…+(y2 017-)2]=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x2 017-)2]=16,故答案为16.13.解 (1)依题意,得10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分).(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,数学成绩在[60,70)的人数为:100×0.4×=20,数学成绩在[70,80)的人数为:100×0.3×=40,数学成绩在[80,90)的人数为:100×0.2×=25,所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100-5-20-40-25=10.14.A由组距可知选项C,D不对;由茎叶图可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,故第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相等,可排除B.故选A.15.解 (1)根据频率分布直方图,得0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)为使80%以上的学生选择理科,则0.15+0.2+0.3<0.8<0.15+0.2+0.3+0.2,故满足条件的m值为2.(3)当m=4时,≈4.93,估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.93分.。

课时标准练 53用样本估计总体根底稳固组1.(2021福建龙岩 4 月模拟 ,4)党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩.2021 年至 2021 年 4 年间 ,累计脱贫 5 564 万人 ,2021 年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3 000户家庭的2021 年所有的年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如下图,数据 (单位 :千元 )的分组依次为 [20,40),[40,60),[60,80),[80,100], 那么年收入不超过 6 万的家庭大约为()A.900 户B.600 户C.300 户D.150 户2.(2021湖南长郡中学一模,7)某赛季甲、乙两名篮球运发动各13 场比赛得分情况用茎叶图表示如图.根据上图 ,对这两名运发动的成绩进行比拟,以下四个结论中,不正确的选项是 ()A. 甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差B.甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数C.甲运发动的得分平均值大于乙运发动的得分平均值D.甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定3.(2021四川成都考前模拟,3)某教育局为了解“跑团〞每月跑步的平均里程,收集并整理了至 2021 年 11 月期间“跑团〞每月跑步的平均里程(单位 :公里 )的数据 ,绘制了下面的折线图2021 年.1 月根据折线图 ,以下结论正确的选项是()A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程顶峰期大致在8、9 月D.1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月 ,波动性更小 ,变化比拟平稳4.(2021山东、湖北冲刺二,3)当 5 个正整数从小到大排列时,其中位数为4,假设这6,那么这 5 个数的均值不可能为 ()5 个数的唯一众数为A.3 .65.(2021内蒙古呼和浩特一模,8)如图为某班35 名学生的投篮成绩面局部数据破损导致数据不完全.该班学生投篮成绩的中位数是哪一选项中的数值()(每人投一次 )的条形统计图,其中上5,那么根据统计图,无法确定以下A.3 球以下 (含 3 球 )的人数B.4 球以下 (含 4 球 )的人数C.5 球以下 (含 5 球 )的人数D.6 球以下 (含 6 球 )的人数6.(2021四省名校大三,6)某校李老本学期任高一 A 班、 B 班两个班数学教学,两个班都有50 名学生 ,下反映的是两个班在本学期 5 次数学中的班平均分比,根据表信息,以下不正确的是()A. A 班的数学成平均水平好于 B 班B.B班的数学成没有 A 班定C.下次 B 班的数学平均分高于 A 班D.在第一次考中 ,A、 B 两个班平均分78 分7.(2021四川达州四模,10)数据x1,x2,⋯,x10,2的平均2,方差1,数据x1,x2,⋯,x10相于原数据() A. 一定 B. 得比定C.得比不定D.定性不可以判断8.(2021江西景德盟校考二,4)某7个数的平均数4,方差 2,参加一个新数据4,此8 个数的平均数2,方差 s , ()A. = 4,s2= 2B. = 4,s2> 2C. = 4,s2 <2D. > 4,s2< 29.(2021山春季高考,24)在一批棉花中随机抽了500 根棉花的度并制了如所示的率分布直方,由可知 ,本中棉花的度大于是.(精确到 1 mm) 作本225 mm 的数,10.(2021广莞考前冲刺,13)本x1,x2,x3,⋯ ,x n的方差 s2= 2,本2x1 + 1,2x2+ 1,2x3+ 1,⋯ ,2x n+ 1 的方差.11.(2021河南天一大考三,15)一本数据按从小到大的序排列: -1,0,4,x,y,14,数据的平均数与中位数均 5,其方差.12.(2021北大附中五模,18)春市局某公司月收入在1 000~4000 元内的工行一次,并根据所得数据画出本的率分布直方 (每个分包括左端点 ,不包括右端点 ,如第一表示工月收入在区[1 000,1 500) 内 ,位 : 元 ).(1)估公司的工月收入在[1 000,2 000) 内的概率 ;(2)根据率分布直方估本数据的中位数和平均数.综合提升组13.(2021宁夏川一中三模,4)甲、乙两数据如茎叶所示,假设它的中位数相同,平均数也相同 ,中的 m,n 的比 =()A. B.14.(2021湖南衡阳二模,4)本x1,x2,⋯,x n的平均数x;本 y1,y2,⋯ ,y m的平均数 y(x≠y),假设本x1,x2,⋯ ,x n,y1,y2,⋯ ,y m的平均数 z=ax+ (1-a)y,其中 0<a<, n,m(n,m∈N* )的大小关系()A. n=mB. n≥ mC.n<mD.n>m15.(2021安徽太和中学一模,16)本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差 s2=-20),本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+ 1 的平均数.16.(2021新疆吾自治区二模,19)某市有甲、乙两位航模运参加了国家集,分从他在集期参加的假设干次成中随机抽取8 次 ,如下 :甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)画出甲、乙两位学生成的茎叶,指出学生乙成的中位数;(2)要从中派一人参加国比,从平均成和方差的角度考,你派哪位学生参加适宜?明理由 .创新应用组17.(2021云南昆明二模,4)“搜索指数〞是网民通搜索引擎,以每天搜索关的次数基所得到的指 .“搜索指数〞越大 ,表示网民关的搜索次数越多,关相关的信息关注度也越高 .下是 2021 年 9 月到 2021 年 2 月半年中 ,某个关的搜索指数化的走.根据走 ,以下正确的选项是()A. 半年中 ,网民关相关的信息关注度呈周期性化B.半年中 ,网民关相关的信息关注度不断减弱C.从网民关的搜索指数来看,去年 10 月份的方差小于11 月份的方差D.从网民关的搜索指数来看,去年 12 月份的平均大于今年 1 月份的平均18.(2021河北衡水模三,19)“日行一万步 ,健康你一生〞的养生念已深入人心,由于研究性学的需要 ,某大学生收集了“微信运〞中特定甲、乙两个班n 名成一天行走的步数,然后采用分抽的方法按照[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 分抽取了20 名成的步数,并制了如下尚不完整的茎叶(位 :千步 ):甲、乙两班行走步数的平均都是44千步 .(1) 求 x,y 的 ;(2) ①假设 n= 100,求甲、乙两个班②假设估中一天行走步数少于100 名成中行走步数在40 千步的人数比于[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各的人数[40,50) 千步的人数少12 人 ,求 n 的 .;课时标准练 53 用样本估计总体1.A 由 率分布直方 可得年收入不超 6 万的家庭的概率 (0.005+ 0.01)×20= 0.3,所以年收入不 超 6 万的家庭数大 3 000×0.3= 900( ),故 A .2.D 由茎叶 知甲的极差 47-18=29,乙的极差是33-17=16,A 正确 ;甲中位数是 30,乙中位数是26,B 正确 ;甲均 29 ,乙均 25,C 正确 ;只有 D 不正确 ,甲的方差大于乙的方差 , 是乙成定 ,故 D.3.D 由折 知 ,月跑步平均里程的中位数 5 月份 的里程数 ;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程顶峰期大致在9、 10 月份 ,故 A,B,C ,故 D. 4.A 五个数从小到大 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ,依 意得 a 3= 4,a 4=a 5= 6,a 1 ,a 2 是 1,2,3 中两个不同的数 ,符合 意的五个数可能有三种情形:“1,2,4,6,6〞,“1,3,4,6,6〞,“2,3,4,6,6〞,其平均数分 3.8,4,4.2.均 不可 能 3.6,故 A . 5.C 因 共有 35 人,而中位数 是第 18 个数 ,所以第 18 个数是 5,从 中看出第四个柱状 的 范 在 6 以上 ,所以投 4 个球的有 7 人.可得 3 球以下 (含 3 球 )的人数 10 人 ,4 球以下 (含 4 球 )的人数10+ 7= 17(人 ),6 球以下 (含 6 球 )的人数 35-1= 34(人 ).故只有 5 球以下 (含 5 球 )的人数无法确定 ,故 C.6.C A 班的 5 次数学 平均分分 81,78,81,80,85,5 次的平均分(81+78+ 81+ 80+ 85)= 81,B班的 5 次数学 平均分分 75,80,76,85,80,5 次的平均分(75+ 80+ 76+ 85+ 80)= 79.2,A 班的数学平均分好于 B 班 ,A 正确 ;由于 A 班的成 都在 80 分附近 ,而 B 班的平均分 化很大 ,所以A 班成 定些 ,B 正确 ; 下次考 A,B 班的平均分不能 料 ,所以 C;在第一次考 中 ,平均分=78分,D 正确 .故 C.7.C由 可得 :⋯ = 2,所以 x 1+x 2 + ⋯ +x 10= 20,所以平均2,由- - ⋯---- ⋯ -= 1 得= 1.1>1,所以 得不 定 ,故 C.8.C根据 意有2-< 2,故 C.= 4,而 s =9.235 因 度大于225 mm 的 率 (0.004 4+ 0.005 0)×50= 0.47,所以 度大于 225 mm 的 数是 ×500= 235.10.82由 意 , 本数据 x 1,x 2,x 3,⋯,x n 的方差 s 2= 2, 本 2x 1+ 1,2x 2 +1,2x 3+ 1,⋯,2x n + 1 的方差 , = 2 22×s = 2 ×2= 8. -11∵-1,0,4,x,y,14 的中位数 5, = 5, ∴ ∴ = 5,即 y= 7,x= 6, 数据的平均数是 可得 数据的方差是 (36+ 25+ 1+ 1+ 4+ 81)= ,故答案12.解 (1) 工月收入在 [1 000,2 000) 内的概率 (0.000 2+ 0.000 4)×500= 0.3.(2)根据条件可知 ,从左至右小矩形的面 分 是 0.1,0.2,0.25,0.25,0.15,0.05,因此 ,中位数的估2 000+ = 2 400;平均数的估 1 250×0.1+ 1 750×0.2+ 2 250×0.25+2 750×0.25+3250×0.15+ 3 750×0.05= 2 400.上可知 ,中位数和平均数的估 都是2 400.13.A由 意得 ,甲 数据 :24,29,30 +m,42;乙 数据 :25,20+n ,31,33,42,∴甲、乙两 数据的中位数分、 31,且甲、乙两 数的平均数分甲乙由 意得解得,故 A.14.C由 意得z=(nx+my )=x+1-y,∴a=∵0<a< ,∴0< ,∴n<m.故 C.15.5 或 -3 本数据的平均数a, 方差s2=--2aa i+a 2)=- 2a a i+ 5a2) =-2a×5a+ 5a2)=-5a2).结合 s2=-20)可得 5a2= 20,∴a= ±2,即样本数据2 或 -2,那么样本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+1 的平均数为2×2+ 1= 5 或16.解(1)茎叶图如下:a1,a2 ,a3,a4,a5的平均数为2×(- 2)+1=- 3.∴学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比拟适宜,理由如下 :甲(70×2+ 80×4+ 90×2+ 9+ 8+ 8+ 4+ 2+ 1+ 5+ 3)= 85,乙(70×1+ 80×4+ 90×3+ 5+ 3+ 5+ 2+ 5)=85,甲[(78 -85)2+ (79- 85)2+ (81-85)2+ (82-85)2+ (84-85)2+ (88-85)2+ (95-85)2 + (93-85) 2]= 35.5,乙[(75 -85)2+ (80- 85)2+ (80-85)2+ (83-85)2+ (85-85)2+ (90-85)2+ (92-85)2 + (95-85) 2]= 41,因为甲乙甲乙 ,∴甲的成绩比拟稳定 ,派甲参加比拟适宜 .17.D根据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A 错;这半年中 ,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 10 月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性,所以去年 10 月份的方差大于11 月份的方差,C 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 ,D 正确 .应选 D.18.解(1)因为甲班的平均值为44,所以甲(26+ 32+ 42+ 40+x+ 45+ 46+ 48+ 50+ 52+ 53)= 44,解得 x=6.同理 ,因为乙班平均值为44,所以乙(26+ 34+ 30+y+ 41+ 42+ 46+ 50+ 52+ 57+ 58)= 44,解得 y=4.(2)①因为抽样比为,且抽取的20 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为2,3,8,7,所以甲、乙两个班级100 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为10,15,40,35.②该团队中一天行走步数少于40 千步的频率为,处于 [40,50) 千步的频率为,那么估计该团队中一天行走步数少于40 千步的人数与处于 [40,50) 千步的人数的频率之差为又因为该团队中一天行走步数少于40 千步的人数比处于 [40,50) 千步的人数少 12 人 ,所以 n= 12,解得 n= 80.。

课时规范练53《素养分级练》P331基础巩固组1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4答案:C解析:100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为40100=0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.50%C.10%D.30%答案:B解析:“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,设甲不输为事件A,甲胜为事件B,甲、乙下成和棋为事件C,故P(A)=P(B)+P(C),∴P(C)=P(A)-P(B)=90%-40%=50%.3.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.23答案:C解析:从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种,故所求概率为615=25,故选C.4.(多选)(2023·江苏苏州外国语学校模拟)某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班,供学生们选择,记事件Ω1=“只选择甲兴趣班”,Ω2=“至少选择一个兴趣班”,Ω3=“至多选择一个兴趣班”,Ω4=“一个兴趣班都不选”,则()A.Ω1与Ω3是互斥事件B.Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件C.Ω2与Ω3不是互斥事件D.Ω3与Ω4是互斥事件答案:BC解析:事件Ω2包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,选择甲乙两种兴趣班;Ω3包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,两种兴趣班都不选择.所以Ω1与Ω3不是互斥事件,故A错误;Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件,故B正确;Ω2与Ω3不是互斥事件,故C正确;Ω3与Ω4不是互斥事件,故D错误.故选BC.5.(2022·四川攀枝花三模)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五;梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.如图,在十位档拨一颗上珠和两颗下珠,个位档拨四颗下珠,则表示数字74.若在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字小于560的概率为()A.18B.524C.14D.724答案:C解析:在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,共有C41C42=4×4×32×1=24种不同情况.表示的数字小于560包括56,65,155,506,516,551,共6种情况,所以所表示的数字小于560的概率为624=14.6.(2022·河北张家口三模)用0,1,2,3组成无重复数字的三位数,这个三位数是偶数的概率为.答案:59解析:组成无重复数字的三位数共有C31A32=18个,当0做个位时有A32=6个,当2做个位时有C21C21=4个,故三位数是偶数的概率等于6+418=59.综合提升组7.(2022·广东广州三模)春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满80元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有5名顾客都领取一件礼品,则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是()A.140243B.40243C.2081D.4081答案:D解析:先考虑恰有3人领取的礼品种类相同,先从5人中选取3人有C 53=10种,再从三类礼品中领取一件有C 31=3,另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有2×2=4种,按照分步乘法计数原理可得10×3×4=120种,又总情况有35=243种,故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是120243=4081. 8.有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是( )A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 答案:C解析:当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生,即A 错误;当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生,即B 错误;记“至少取到1个红球”为事件A ,“至少取到1个蓝球”为事件B ,“至多取到1个红球”为事件C ,“至多取到1个蓝球”为事件D ,故P (A )=C 32+C 31C 21C 52=910,P (B )=C 22+C 31C 21C 52=710,P (C )=C 22+C 31C 21C 52=710,P (D )=C 32+C 31C 21C 52=910,显然P (A )>P (B ),P (C )<P (D ),即C 正确,D 错误.9.致敬百年,读书筑梦,某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩,党史网络知识竞赛”活动,并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.规定:成绩在[80,100]内为优秀,成绩低于60分为不及格.(1)求a 的值,并用样本估算总体,能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求;(2)若样本中成绩优秀的男生为5人,现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,求其中至少有1份是男生的概率.解:(1)由频率分布直方图得(0.004+a+0.011+0.036+0.023+0.014+a )×10=1,解得a=0.006,成绩不及格的频率为(0.004+0.006+0.011)×10=0.21, ∴“成绩不及格”的概率估计值为21%, ∵21%>20%,∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求.(2)(方法1)由(1)可知样本中成绩优秀有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,其中至少有1份是男生”,则P (A )=C 51C 152+C 52C 151+C 53C 203=137228,∴所求概率为137228.(方法2)由(1)可知样本中成绩优秀的有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份,其中至少有1份是男生”,则A =“从样本的优秀答卷中随机选取3份,全是女生”,则P (A )=C 153C 203=91228,∴P (A )=1-P (A )=137228,∴所求概率为137228. 创新应用组10.(2022·湖南湘潭三模)写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61,将被乘数89计入上行,乘数61计入右行,然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5 429.类比此法画出354×472的表格,若从表内的18个数字(含相同的数字,表周边数据不算在内)中任取2个数字,则它们之和大于10的概率为( )A.251 B.8153C.10153D.451答案:D解析:画出354×472的表格,如图所示,则从18个数字中任取2个,共有C 182种不同的取法,其中6与8各2个,3与5各1个,从中任取2个,它们之和大于10的取法为(3,8),(5,6),(5,8),(6,8),(6,6),(8,8),故所求概率为1×2+1×2+1×2+2×2+2C 182=12153=451.。

课时规范练3等式性质与不等式性质基础巩固组1.(2021河南郑州高三月考)已知实数a,b满足a<b,则下列关系式一定成立的是()A.a2<b2B.ln(b-a)>0C.1 a >1bD.2a<2b2.(2021广东高三二模)已知a,b∈R,且满足ab<0,a+b>0,a>b,则()A.1a <1bB.ba+ab>0C.a2>b2D.a<|b|3.(2021辽宁锦州高三期中)已知a>b,c>d,则下列关系式正确的是()A.ac+bd>ad+bcB.ac+bd<ad+bcC.ac>bdD.ac<bd4.(2021山西临汾一中高三期中)已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]5.(2021浙江湖州高三月考)已知a,b,c∈(0,+∞),若ca+b <ab+c<bc+a,则有()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a6.(2021天津高三一模)已知x>0,y>0,ln yx >lg xy,则()A.1x >1yB.sin y>sin xC.y x <xyD.eyx>10xy7.(2021广东实验中学高三模拟)已知正数x,y,z满足x ln y=y e z=zx,则x,y,z的大小关系为()A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.z>y>x8.(多选)(2021山东潍坊高三二模)下列说法正确的是()A.若a<b<0,则a|a|<b|b|B.若a>0,b>0,c>0,则ab <a+cb+cC.若a>0,b>0,则a+ba +4ab≥4D.若a>0,b ∈R ,则a ≥2b-b2a9.(多选)(2021广东惠州高三模拟)已知a>b>0,且a 3-b 3=3(a-b ),则以下结论正确的是( ) A.a>1 B.ab<1 C.a+b>2D.log a b+log b a>2综合提升组10.(2021湖南师大附中高三期中)已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则8x ·14y的取值范围是()A.[4,128]B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1 024]11.已知a ,b ∈R ,则“|a-b|>|b|”是“b a<12”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.(多选)(2021山东济宁高三期末)若1≤x ≤3≤y ≤5,则 ( )A.4≤x+y ≤8B.x+y+1x +16y 的最小值为10 C.-2≤x-y ≤0 D.x+1y y+4x的最小值为913.(2021湖北荆门高三期中)正实数a ,b ,c 满足1a+1b=1,1a+b +1c=1,则实数c 的取值范围是 .创新应用组14.(2021湖南岳阳高三期中)已知2<x<4,-3<y<-1,则xx -2y 的取值范围是( ) A.110,14 B.14,23 C.15,1D.23,215.(多选)(2021江苏镇江高三月考)已知a ,b 均为正数,且a-b=1,则( ) A.2a -2b >1B.a 3-b 3<1C.4a −1b ≤1D.2log2a-log2b<2课时规范练3 等式性质与不等式性质1.D 解析:对于A,a=-3,b=2满足a<b ,但是a 2=9,b 2=4,所以a 2>b 2,故A 错误;对于B,a=1,b=32满足a<b ,但是b-a=12,所以ln(b-a )<0,故B 错误;对于C,a=-3,b=2满足a<b ,但是1a =-13,1b =12,所以1a <1b ,故C 错误;对于D,因为函数y=2x 在R 上单调递增,且a<b ,所以2a <2b ,故D 正确.故选D .2.C 解析:因为ab<0,a>b ,所以a>0,b<0,1a >0,1b <0,故A 不正确;b a <0,a b <0,则b a +ab <0,故B 不正确;又a+b>0,即a>-b>0,所以a 2>(-b )2,即a 2>b 2,故C 正确;由a>-b>0得a>|b|,故D 不正确.故选C .3.A 解析:∵a>b ,c>d ,∴ac+bd-(ad+bc )=(a-b )(c-d )>0,故A 正确,B 错误;对于C,当b=0,c<0时,ac<0,bd=0,故C 错误;对于D,当a>b>0,c>d>0时,ac>bd ,故D 错误.故选A . 4.D 解析:令3a-2b=m (a+b )+n (a-b )(m ,n ∈R ),则{m +n =3,m -n =-2,解得{m =12,n =52.又因为1≤a+b ≤5,-1≤a-b ≤3,所以12≤12(a+b )≤52,-52≤52(a-b )≤152,故-2≤3a-2b ≤10.5.A 解析:由c a+b <a b+c <b c+a 可得c a+b +1<a b+c +1<b c+a +1,即a+b+c a+b <a+b+c b+c <a+b+cc+a ,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c 可得a>c ,由b+c>c+a 可得b>a ,于是有c<a<b.6.A 解析:∵ln y x >lg xy ,∴ln y-ln x>lg x-lg y ,∴ln y+lg y>ln x+lg x ,∴y>x>0(函数y=ln x+lg x 为增函数).对于A,y>x>0⇒1x >1y ,故正确;对于B,取y=π,x=π2,sin y=0<sin x=1,故错误;对于C,取y=2,x=1,显然不成立,故错误;对于D,假设e yx >10x y 成立,则ln e y x >ln 10x y ,即y x>xy ln10,可得y 2>x 2ln 10,而当y>x>0时,不能一定有y 2>x 2ln 10,故不成立.故选A .7.A 解析:由x ln y=zx ,得z=ln y ,即y=e z ,令f (z )=e z -z (z>0),则f'(z )=e z -1>0,所以函数f (z )在(0,+∞)上单调递增,所以f (z )>f (0)=e 0-0=1,所以e z>z ,即y>z.由y e z=zx ,得e z ·e z=zx ,即x=e 2z z ,所以x-y=e 2zz -e z =e 2z -ze zz=e z (e z -z )z>0,所以x>y.综上,x>y>z ,故选A .8.ACD 解析:对于A,由a<b<0,得a|a|=-a 2,b|b|=-b 2,且a 2>b 2,则-a 2<-b 2,即a|a|<b|b|,正确;对于B,a+c b+c −ab =ab+bc -ab -ac b (b+c )=c (b -a )b (b+c ),显然当b<a 时,a b >a+cb+c ,错误;对于C,由a>0,b>0,则a+ba +4ab=a2+a2+ba+4ab≥4√a2·a2·ba·4ab4=4,当且仅当a2=ba=4ab,即a=b=2时,等号成立,正确;对于D,a>0,b∈R,而(a-b)2≥0,即a2≥2ab-b2,故a≥2b-b 2a,正确.故选ACD.9.AB解析:由立方差公式可得a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=3(a-b),则a2+ab+b2=3,又a>b>0,∴a2+a2+a2>a2+ab+b2=3,即a2>1,a>1,故A正确;∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2>2ab,则a2+ab+b2>3ab,即ab<1,故B正确;∵(a+b)2=a2+2ab+b2=3+ab<4,∴a+b<2,故C错误;∵a>1,ab<1,∴0<b<1,则log a b<0,log b a<0,则log a b+log b a<0,故D错误.10.C解析:8x·14y=23x-2y.设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y(m,n∈R),则有{m-n=3,m+n=-2,解得{m=12,n=-52.故3x-2y=12(x+y)+52(x-y).因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以3x-2y=12(x+y)+52(x-y)∈[2,8].因为y=2x在R上单调递增,所以z=23x-2y∈[4,256],故选C.11.C解析:由|a-b|>|b|得a2+b2-2ab>b2,∴a(a-2b)>0,∴a-2ba >0,∴1-2ba>0,∴ba<12.反之,也成立.故“|a-b|>|b|”是“ba<12”的充要条件,故选C.12.AB解析:因为1≤x≤3≤y≤5,所以4≤x+y≤8,-4≤x-y≤0,故A正确,C错误;因为x+y+1x +16y=x+1x+y+16y≥2√x·1x+2√y·16y=10,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以x+y+1x +16y的最小值为10,故B正确;因为x+1yy+4x=xy+4xy+5≥2√4+5=9,当且仅当xy=2时,等号成立,但1≤x≤3≤y≤5,xy取不到2,所以x+1y y+4x的最小值不是9,故D错误.故选AB.13.1,43解析:因为正实数a,b,c满足1a+1b=1,1a+b+1c=1,所以c>1.又(a+b)1a+1b=2+ba +ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以a+b≥4,则0<1a+b≤14,即0<1-1c ≤14,解得1<c≤43.14.B解析:xx-2y =11-2y x,由已知得2<-2y<6,所以24<-2yx<62,即12<-2yx<3,所以32<1-2yx<4,所以14<11-2y x<23,故选B.15.AC 解析:对于A,因为a-b=1,所以2a -2b =2b+1-2b =2b (2-1)=2b >1,故A 正确;对于B,a 3-b 3=(a-b )(a 2+ab+b 2)=a 2+ab+b 2=(b+1)2+(b+1)b+b 2=3b 2+3b+1>1,故B 错误;对于C,4a −1b =4a −1b(a-b )=4+1-a b −4b a =5-a b +4b a ≤5-2√a b ·4b a =1,当且仅当a b =4ba ,且a-b=1,即a=2,b=1时,等号成立,故C 正确;对于D,2log 2a-log 2b=log 2a 2-log 2b=log 2a 2b =log 2(b+1)2b=log 2b+1b +2≥log 24=2,当且仅当b=1b ,即b=1时,等号成立,故D错误.故选AC .。

课时规范练51算法初步基础巩固组1.如图,若依次输入的x分别为错误！未找到引用源。

,相应输出的y分别为y1,y2,则y1,y2的大小关系是()A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.无法确定(第1题图)(第2题图)2.(2017全国Ⅰ,理8)如图的程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+23.(2017河南新乡二模,理5)执行如图所示的程序框图,输出S的值为()A.-错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.-错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

4.(2017河南六市联考二模,理8)阅读算法框图,如果输出的函数值在区间[1,8]上,那么输入的实数x的取值范围是()A.[0,2)B.[2,7]C.[2,4]D.[0,7]5.执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.36.(2017山西晋中一模,理5)执行如图的程序框图,则输出K的值为()A.98B.99C.100 D(第5题图)(第6题图)7.为了在运行如图所示的程序之后得到结果y=16,则键盘输入的x应该是()A.±5B.5C.-5D.08.(2017山东,理6)执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x 的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0 〚导学号9.(2017河南焦作二模,理6改编)执行如图所示的程序框图,若输入m=4,t=3,则输出y=.10.运行如图所示的程序,当输入a,b的值分别为2,3时,最后输出的m的值为.综合提升组11.(2017北京东城区二模,理6)我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的n=5,v=1,x=2,则程序框图计算的是()A.25+24+23+22+2+1B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1D.24+23+22+2+112.如图,当输入x=-5,y=15时,图中程序运行后输出的结果为()A.3;33B.33;3C.-17;7D.7;-1713.(2017河北保定二模,理7)某地区出租车收费办法如下:不超过2千米收7元;超过2千米时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每千米收2.6元(其他因素不考虑),计算收费标准的程序框图如图所示,则①处应填()A.y=2.0x+2.2B.y=0.6x+2.8C.y=2.6x+2.0D.y=2.6x+2.814.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为.创新应用组15.(2017山西晋中二模,理7)执行如图程序框图,已知输出的s∈[0,4],若输入的t∈[m,n],则实数n-m的最大值为()A.1B.2C.3D.4参考答案课时规范练51算法初步1.C由程序框图可知,当输入的x为错误！未找到引用源。

课时规范练40直线、平面平行的判定与性质基础巩固组1.如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA是四棱锥P-ABCD的高,PA=AB=2,点M,N,E分别是PD,AD,CD的中点.(1)求证:平面MNE∥平面ACP;(2)求四面体A-MBC的体积.〚导学号21500747〛3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D 为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.5.如图,在多面体ABCDE中,平面ABE⊥平面ABCD,△ABE是等边三角形,四边形ABCD是直BC=2,M是EC的中点.角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,AB=AD=12(1)求证:DM∥平面ABE;(2)求三棱锥M-BDE的体积.〚导学号21500748〛综合提升组6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.(1)证明:DE∥平面A1B1C;(2)若AB=2,∠BAC=60°,求三棱锥A1-BDE的体积.〚导学号21500749〛8.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.(1)求证:MN∥平面PDC;(2)求点C到平面PBD的距离.创新应用组9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,E为BC的中点.(1)求证:直线AE∥平面BC1D;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求点E到平面BC1D的距离.10.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=26.(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.〚导学号21500750〛参考答案课时规范练40直线、平面平行的判定与性质1.证法一连接DG,CD,设CD∩GF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HM∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF, 所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.2.(1)证明∵M,N,E分别是PD,AD,CD的中点,∴MN∥PA,又MN⊄平面ACP,∴MN∥平面ACP,同理ME∥平面ACP,又∵MN∩ME=M,∴平面MNE∥平面ACP.(2)解∵PA是四棱锥P-ABCD的高,由MN∥PA知MN是三棱锥M-ABC的高,且MN=12PA=1,∴V A-MBC=V M-ABC=13S△ABC·MN=1 3×12×2×2×1=23.3.解 (1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.4.(1)证明如图1,取BC中点为N,连接MN,C1N,∵M是AB中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴M,N,C1,A1共面.∵BE=3EC,∴E是NC的中点.又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,∴DE∥平面A1MC1.(2)解如图2,当AA1=1时,则AM=1,A1M=,A1C1=∴三棱锥A-MA1C1的体积V A-A1MC1=V C1-A1AM=13×12AM·AA1·A1C1=26.图1图25.(1)证法一取BE的中点O,连接OA,OM,∵O,M分别为线段BE,CE的中点,∴OM=12BC.又AD=12BC,∴OM=AD,又AD∥CB,OM∥CB,∴OM∥AD.∴四边形OMDA为平行四边形,∴DM∥AO,又AO⊂平面ABE,MD⊄平面ABE,∴DM∥平面ABE.证法二取BC的中点N,连接DN,MN(图略),∵M,N分别为线段CE,BC的中点,∴MN∥BE,又BE⊂平面ABE,MN⊄平面ABE,∴MN∥平面ABE,同理可证DN∥平面ABE,MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABE,又DM⊂平面DMN,∴DM∥平面ABE.(2)解法一∵平面ABE⊥平面ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ABE,∵OA⊂平面ABE,∴BC⊥AO,又BE⊥AO,BC∩BE=B,∴AO⊥平面BCE,由(1)知DM=AO=3,DM∥AO,∴DM⊥平面BCE,∴V M-BDE=V D-MBE=13×12×2×2×=233.解法二取AB的中点G,连接EG, ∵△ABE是等边三角形,∴EG⊥AB,∵平面ABE∩平面ABCD=AB,平面ABE⊥平面ABCD,且EG⊂平面ABE, ∴EG⊥平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高,∵M是EC的中点,∴M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,∴V M-BDE=V E-BDC-V M-BDC=12V E-BDC,∴V M-BDE=12×13×12×2×4×3=233.即三棱锥M-BDE的体积为233.6.解方法一:当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1.又因为AF∥A1C1,且AF=34A1C1,所以AF EG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF ∥AG.又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.方法二:当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FG∥AB.又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1.又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面A1ABB1.因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.7.(1)证明如图,取AC的中点F,连接DF,EF,在△AA1C中,点D,F分别是AA1,AC的中点,∴DF∥A1C,同理,得EF∥AB∥A1B1,DF∩EF=F,A1C∩A1B1=A1,∴平面DEF∥平面A1B1C,又DE⊂平面DEF,∴DE∥平面A1B1C.(2)解过点A1作AC的垂线,垂足为H,由题知侧面ACC1A1⊥底面ABC,∴A1H⊥底面ABC,在△AA1C中,∵∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,∴A1H=,∵AB=2,∠BAC=60°,∴BC=2点E是BC的中点,∴BE=3,S△ABE=12AB·BE=12×2×3=3,∵D为AA1的中点,∴V A1-BDE =V A1-ABE-V D-ABE=12V A1-ABE=12×13×A1H×S△ABE=16×3×3=12.8.(1)证明在正三角形ABC中,BM=2.在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.∵∠ADC=120°,∴DM=233,∴BMMD=3.在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=42,∴BNNP =3,∴BNNP=BMMD,∴MN∥PD.又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,∴MN∥平面PDC.(2)解设点C到平面PBD的距离为h.由(1)可知,BD=833,PM=16+4=25,∴S△PBD=12×833×25=8153.∵S△BCD=12×833×2=833,∴由等体积可得13×833×4=13×8153h,∴h=455,∴点C到平面PBD的距离为455.9.(1)证明设BC1的中点为F,连接EF,DF,则EF是△BCC1的中位线,根据已知得EF∥DA,且EF=DA,∴四边形ADFE是平行四边形,∴AE∥DF,∵DF⊂平面BDC1,AE⊄平面BDC1,∴直线AE∥平面BDC1.(2)解由(1)的结论可知直线AE∥平面BDC1,∴点E到平面BDC1的距离等于点A到平面BDC1的距离,设为h.∴V E-BC1D =V A-BC1D=V B-AC1D,∴13S△BC1D·h=13S△AC1D·3,∴13×12×25×3·h=13×12×2×2×3,解得h=255.∴点E到平面BDC1的距离为255.10.解 (1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD,从而平面A'HC⊥平面ABCD.过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故A'H=22,CH=42, 所以cos ∠A'HC=A'H2+CH2-A'C22A'H·CH=2×22×42=12.所以HO=A'H·cos ∠A'HC=则A'O=所以五棱锥A'-BCDFE的体积V=13×62-12×4×4×6=2863.(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=62.证明如下:连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过点O.A'M=62=14A'C,HO=14HC,所以OM∥A'H.又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,所以OM∥平面A'EF.又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,所以BD∥平面A'EF.又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.。

第三节用样本估计总体1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．[注意]茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．4．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)标准差、方差①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. ②方差：标准差的平方s 2s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n是样本容量，x 是样本平均数．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．( ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.( )(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( ) (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√(5)√2.如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93 923．(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：484．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析：5个数的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.1考点一茎叶图(重点保分型考点——师生共研)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．[解题师说]某良种培育基地正在培育一小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下．品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423，423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B ：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406，407,410,412,415,416,422,430.(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论． 解：(1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A 的亩产平均数(或均值)比品种B 高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．考点二频率分布直方图(重点保分型考点——师生共研)(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[学审题](1)分数小于70的频率即为其概率的估计值；(2)由于分数小于40的学生人数已知，因此要求[40,50)内的人数，只要求出小于50的人数或频率即可；(3)“样本中分数不小于70的男女生人数相等”，这是解题的关键，可先计算出分数不小于70的总人数，问题便迎刃而解．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.[解题师说]某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2017年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50，∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，抽取网购金额在(1,2]内的人数为 2424＋16×5＝3(人)，记为：a ，b ，c .抽取网购金额在(4,5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为：A ，B . 则从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )共10种．记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )共6种．∴P (M )＝610＝35，故此2人来自不同群体的概率为35.考点三样本的数字特征(题点多变型考点——追根溯源)样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题.常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与频率分布直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题交汇.[题点全练]角度(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇1．(2018·武昌调研)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．[题型技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．角度(二) 样本的数字特征与茎叶图交汇2.(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为________.解析：由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案：367[题型技法](1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位臵的一个数，或中间两个数的平均数)等．角度(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇4．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.[题型技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[冲关演练]1．(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.答案：1462．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．(2)估计这次语文成绩的平均分x＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为() A．1B．2C．3 D．4解析：选B由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.2．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确，故D错误．3．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7C．10 D．50解析：选D根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.4.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.x甲<x乙，m甲>m乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙解析：选B 由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，∴m 甲＜m 乙； x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x 甲<x 乙．5．(2018·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如图：分组为[11,20)，[20,30)，[30,39]时，所作的频率分布直方图是( )解析：选B 由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B.6．(2018·邢台模拟)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105B.305C. 2 D ．2解析：选D 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.7．(2018·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 018)，则y 1，y 2，…，y 2 018的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 018的方差为12 018[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 018－1－2x ＋1)2]＝4×12 018[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 018－x )2]＝4×4＝16. 答案：168．(2018·广州模拟)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n ＝5＋15＋250.75＝60.答案：609．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)频率分布直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图中各小矩形的总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故用电量落在区间[100,250)内的户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)7010．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，所以方差s2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25.答案：2 5B级——中档题目练通抓牢1.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选B∵x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x甲<x乙．又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A．9 B．10C．11 D．12解析：选B不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本平均数为7，样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.3．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，方差为10.8.则满足进入夏季标志的地区有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C①甲地：因为5个数据的中位数为24，众数为22，所以22至少出现两次，若有一天比22小，则24不可能为中位数，故甲地肯定进入夏季；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 ℃的，故不确定；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃.故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地．故选C.4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝100 9.答案：100 95.甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．解析：根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．答案：甲6．(2018·张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如下图表.(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n＝250.025×10＝100，所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝18100×0.02×10＝0.9，y＝3100×0.015×10＝0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2；第3组：2754×6＝3；第4组：954×6＝1.(3)设第2组的2人为A 1，A 2；第3组的3人为B 1，B 2，B 3；第4组的1人为C 1. 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种，其中恰好没有第3组人的结果为：(A 1，A 2)，(A 1，C 1)，(A 2，C 1)，共3种，所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P ＝315＝15. 7．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n ＝40，从该样本分布在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．解：(1)组距为d ＝5，由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a ＋0.015)＝1，得a ＝0.050. (2)各组中值和相应的频率依次为：所以x ＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40， s 2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，果实重量在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]内的分别有4个和3个，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4和B 1，B 2，B 3，从中任取2个的取法有：A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2， A 3B 3，A 4B 1，A 4B 2，A 4B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共21种取法，其中都是优质果实的取法有B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率P ＝321＝17. C 级——重难题目自主选做1．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示，设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润．(1)求y 关于x 的表达式；(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率． 解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(8－3)x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，(8－3)×19＋(4－3)×(x －19)，x >19，x ∈Z ， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，x ＋76，x >19，x ∈Z.(2)由(1)可知，日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元． 日销售量为20杯时，日利润为96元； 日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20杯的有3天，日销售量为21杯的有2天． 日销售量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，日销售量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况．其中选出的2天日销售量都为21杯的情况只有1种，故所求概率为110.2．在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如下表：(2)从前7场平均分低于6.5分的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率；(3)请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．解：(1)由表中的数据，我们可以分别计算运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为两运动员比赛的成绩及衡量两运动员稳定情况的依据．运动员A的平均分x1＝17×21＝3，方差s21＝17×[(3－3)2＋(2－3)2×4＋(4－3)2＋(6－3)2]＝2；运动员B的平均分x2＝17×28＝4，方差s22＝17×[(1－4)2×2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2＋(4－4)2×2]＝8.从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，前7场比赛，运动员A的成绩优异，而且表现较为稳定．(2)由表可知，平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，分别为A，B，C，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个，分别为D，E.从这5个运动员中任取2个共有10种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有1个运动员平均分不低于5分的有7种情况． 设至少有1个运动员平均分不低于5分为事件A ，则P (A )＝710. (3)尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，运动员A 的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此，预测运动员A 将获得最后的冠军．而运动员B 和C 平均分相同，但运动员C 得分总体呈下降趋势，所以预测运动员C 将获得亚军．(说明：方案不唯一，其他言之有理的方案也给满分)二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由甲组学生成绩的平均数是88，可得17[70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)]＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6.2．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.3.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而。