(三角与数列)严玲

编号：1 编制人：蒋保香 备课组长签名：白银仓 年级组长签名：黄桂芝 上课时间： 班级： 学习小组： 学生姓名： 小组编号： 教师评价：【学习目标】1、回顾三角的和差倍角公式及其正弦定理、余弦定理；2、回顾等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式；1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，3cos 5B =． （1）求b 的值； （2）求sinC 的值．2．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA（1）确定角C 的大小； （2）若c=，且△ABC 的面积为，求a+b 的值．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3624,18a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值．4．已知等差数列{}n a 中， 389,29a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 的表达式； （2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求100T 的值．5．某种产品的广告费支出 x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y 30 4060 50 70参考数据555221221111145,13500,1380,ni ii i i i i ni i i ii x y nx yx y x y b xnx∧=====-⎛⎫====⎪⎝⎭-∑∑∑∑∑（1）求线性回归方程；（2）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？。

＞教研在线数学教学通讯激发学生数学学习潜能的思考严玲江苏省泰兴市第三高级中学225401［摘要］在高中数学教学中激发学生的潜能能使学生在思考、探究中变得敢于质疑和创新.教师应在新的教学理念的引领下积极营造出和谐的课堂氛围，使学生在探究、变式、拓展中获得潜能的激发并获得数学学习的稳步提升.［关键词］潜能;教学观点;氛围；质疑;变化拓展发展学生的潜能是素质教育的一个重要目标，《高中数学课程标准》在发展学生学习能动性上做出了具体的要求,笔者结合自身的教学实践简要谈谈激发学生潜能的几点做法.卩在新的教学观点与模式中激发学生潜能传统教学理念下的知识传递已经不符合现代教学的理念,作为学生学习合作伙伴的教师应准确定位自身的角色担当并与学生形成互动学习、讨论的课堂研究模式，使学生充分感受到学习的平等与快乐并与教师更好地共享认知与探究的快乐.这种教学模式的改变首先需要教师及时改变观念作为支撑，将“教师教、学生学”的模式转变成教师引领下的学生实践，使学生不断展露自身的能力并获得思维的激活与发展.其次需要的是师生双方的共同合作与进步.教师与学生在课堂活动中的相互交流、探讨促使师生双方的潜能都得到了充分的发挥与发展.学生在教师的启发与引导中不断大胆创新和实践,在充分的自主探索与交流互动中更好地掌握数学基本知识与技能.教师在学生新的生成下不断调整教学实施与思路，在学生的不断进步中发展自身的教学素养与课堂调控能力.案例探究:平面内"条宜线可将平面最多分成多少部分？笔者首先将学生分成由四位学生组成的学习小组,引导各小组学生在合作学习中获得自己的发现:从一条宜线开始找规律，增加一条线时会多出1个交点,平面也因此被多分成2个部分，即2+2个部分；再增加一条线时会发现多出2个交点，平面也因此被多分成3个部分，即(2+2)+3=7个部分.学生在探索与合作学习中很快发现，平面因为每次多出m个交点而被多分成m+1个部分.所以，一般来说,“条直线最多可分平面的个数是：2+2+3+4+…+n=l+1+2+3+…+re=u n(n+n合作交流的教学方法以2及教师适时的引导对于学生学习潜能的激发是相当有利的.觀E和谐氛围中激发学生潜能适宜学生发展的条件必然包含和谐的学习氛围这一内容，学生在愉快、轻松的氛围中往往更能发挥自身的主动性与创造性,将有意识与无意识统一起来并因此释放出巨大的学习潜能.因此,教师在师生交流互动中一定要展现出自己亲切、自然的教态，使学生在朴实、民主的教风与生动、活泼的课堂上敞开自己的心胸,与教师形成轻松互动的局面并真正做到敢想、敢说、敢做.教师恰当的语言评价是营造和谐学习氛围的先决条件.教师面对学生的思维成果应尽量用简单、恰当的措辞加以肯定或褒奖,面对学生的不足应尽量委婉地道出不足,使学生在这种恰当的评价中树立成功者的“自我意向”并建作者简介:严玲(1979-),本科学历，中学一级教师，从事数学学科教学与研究,2015年获泰兴市高中数学教师基本功技能比赛一等奖、泰兴市高中数学学科综合一等奖.32>2019年8冃(下旬)删勰5立学习自信.不仅如此，教师在平时也应尽量做到以亲切的态度与话语示人,多用激励性的话语鼓励学生、启迪学生,使学生尽量感受到教师对他的关注与呵护并因此激发出主动学习的心理动因.心理学家一直认为赞扬和鼓励是鼓舞勇气和提升信心的强心针.教师在课堂教学中,应及时给予学习困难的学生一些理解、耐心与帮助，使学生在教师的信任和期待中逐渐驱散学习中的自卑和不安,逐步建立学习信心的同时逐渐发挥出自己的潜能并最终获得最大限度的发展.另外,学生在学习中产生的“创新火花”也是教师应该注意保护并及时鼓励的，这是学生创造欲望的具体体现,很多有创意的想象或独特的观点都会因为学生“创新火花”的燃起而生成.教师的鼓励与保护能给学生带来喜悦和自信并使其对问题展开更加大胆的思考和探索.学生创新潜能得到唤醒的同时也会激发出远大的创新志向并最终实现自我价值.总之,学生的求知欲、创新意向与行动只有在轻松、和谐的氛围中才会得到有力的激发.教师面对学生的创新，即便是微不足道的发现，也应及时表达出鼓励和赞赏，使学生在感受到教师热情鼓舞的同时树立学习的自信.只有这样,学生才会表现出超出一般经验的想象力与创造力并因此产生更多的创新见解.卩在探究质疑中激发学生潜能善于思考、敢于质疑是最为宝贵的学习品质.学生敢于提出疑难问题能使其注意力更加集中，学习兴趣也会表现得更加浓厚，思维与智力发展也会更加明显.教师在教学中可以做到以下两点并因此促成学生有疑可质:第一，有意设置困惑并因此刺激学生产生质疑.比如,一些学生在思考问题时往往会感觉思维受到了束缚而无法突破;一些学生会在百思不得其解之时感觉厌倦困顿;一些学生会各持己见且无法形成统一而正确的观点;一些学生会因为旧知识的影响而无法进行知识的迁移.因此，教师可以在教学的重点、难点处设疑，引导学生在内容与内容的过渡这一关键之处获得点拨并因此产生新的灵感.这需要教师敏锐的洞察力进行支撑并及时捕捉学生心灵的信息,在关键点上及时而巧妙地设置疑问并因此提升学生的学习兴趣、探究能力和解决问题的能力，这是激发学生潜能的具体体现.第二，刺激学生质疑的主动性.教师在教学中应教会学生发现问题的方法并同时不断强化其提问的意识,加强学生对关键词的特别注意和引导.具体来讲，教师在新课的讲解中应引导、鼓励学生进行追问;在实验探究中应引导、鼓励学生进行探究；在知识总结时引导、鼓励学生进行反思与追问.总之，教学各个环节应能带给教师不同的视角，教师应站在不同的视角上对学生进行不同方式的引导和鼓励，使学生能够逐渐养成主动提问的意识和习惯.卩在变化拓展中激发学生潜能对知识形成深刻的理解始终是创新的前提，勤奋的思考是创新的基石.对概念、性质、定理、公式的逻辑推理与论证都需要思维的萌动、展开和收放，因此,教师首先应促成学生对知识的充分理解并使其展开总结、反思、回顾、推广和拓展，使学生在透彻的理解中获得规律.比如,笔者在研究抛物线的性质上就进行了以下设计：性质1:已知抛物线於=勿久及其焦点F,过於直线/与抛物线交于点4(勿』1)和点B(*2,y2),则yi72=-p2,%许2=4~p2.4此题的证明过程无须宜接道出，教师在具体教学中可以首先引导学生进行以下思考：思考题:已知抛物线於=加及其焦点F,过於直线Z与抛物线交于点4%,刃)和点B(x2,y2),当直线Z的倾斜角分别是45。

平平面面向向量量㊁㊁三三角角函函数数㊁㊁解解三三角角形形㊁㊁数数列列 跟跟踪踪训训练练ʏ河南省商丘市实验中学马春林一、选择题1.已知角θ的终边在直线y=-22x 上,则8s i n2θ-1c o sθ等于()㊂A.6B.6或12C.-6或12D.-6或-122.已知әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b c o s C,b-ac-a= s i n A+s i n Cs i n B,则әA B C是()㊂A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知等比数列{a n}中,a2=3,a5=81,b n=l o g3a n,数列{b n}的前n项和为T n,则T8=()㊂A.36B.28C.45D.324.已知在әA B C中,3s i n A,3,4c o s B 成等差数列,3c o s A+4s i n B=l o g66,则角C 的大小为()㊂A.5π6B.π2C.π6D.π6或5π65.已知向量a=(c o s2α,s i nα),b=(1, 2s i nα-1),αɪπ2,π,若a㊃b=25,则t a nα+π4的值为()㊂A.23B.13C.27D.176.已知α,β为锐角,且3c o sα(s i nβ+1) =2s i nα-12c o sα,c o s5π2-α-c o sα-3π=6s i nπ-βs i nπ2+α,则s i nβs i nα等于()A.3105B.2109C.109D.1067.在әA B C中,点P满足B Pң=3P Cң,过点P的直线与A B,A C所在的直线分别交于点M,N,若A Mң=λA Bң,A Nң=μA Cң(λ> 0,μ>0),则λ+μ的最小值为()㊂A.22+1B.32+1C.32D.528.已知G是әA B C的重心,A Gң=λ㊃A Bң+μA Cң(λ,μɪR),若øA=120ʎ,A Bң㊃A Cң=-2,则|A Gң|的最小值是()㊂A.33B.22C.23D.349.已知әA B C是边长为2的等边三角形,且A Eң=E Bң,A Dң=2D Cң,则B Dң㊃C Eң= ()㊂A.-3B.-2C.-1D.310.定义一种运算:a⊗b=a,aɤb,b,a>b,令f(x)=(c o s2x+s i n x)⊗54,且xɪ0,π2,则函数y=f x-π2+34的最大值是()㊂A.54B.74C.2D.311.已知әA B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且s i n2(B+C)=s i n2B+ s i n2C+s i n B s i n C,a=6,则当әA B C的面积最大时,әA B C的周长L等于()㊂A.6+23B.26+3C.6+22D6+23212.已知函数f(x)=s i n(ωx+φ)ω>0,|φ|ɤπ2,x=-π4为f(x)的零点, x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36内单调,则ω的最大值为()㊂A.11B.9C.7D.513.若M是边长为2的正六边形A B C-D E F内及边界上一动点,则A Bң㊃A Mң的最大值与最小值之差为()㊂A.2B.4C.6D.814.已知f(x)=2s i n2ωx+π3-1(ω>0),给出下列结论:①若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1-x2|m i n=π,则ω=1;②存在ωɪ(0,2),使得f(x)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于y轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4124,4724;④若f(x)在-π6,π4上单调递增,则ω的取值范围为0,23㊂其中,所有正确结论的编号是()㊂A.①②B.②③C.①③D.②④二㊁填空题15.已知向量a=(1,3),向量b为单位向量,且a㊃b=1,则2b-a与2b的夹角为㊂16.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-n a2n+a n+1a n=0(n=1,2, 3, ),则数列{a n}的通项公式是㊂17.已知数列a n c o s nπ3的前n项和为S n,S2017=5710,S2018=4030,若数列{a n}为等差数列,则S2019=㊂18.若s i n3θ-c o s3θ>c o s5θ-s i n5θ7,且θɪ(0,2π),则θ的取值范围是㊂19.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1 =a2=1,平面内三个不共线的向量O Aң,O Bң, O Cң,满足O Cң=(a n-1+a n+1)O Aң+(1-a n)㊃O Bң,nȡ2,nɪN*,若A,B,C在同一条直线上,则S2018=㊂20.已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+1n,若对于任意的nɪN*,a n<λ2+2λ恒成立,则实数λ的取值范围是㊂21.已知首项为正数的等比数列{a n}的公比为q,曲线C n:a n x2+a n+1y2=1,则下列叙述正确的为㊂①q=1,C n为圆;②q=-1,C n的离心率为2;③q>1,C n的离心率为1-1q;④q<0,C n为共渐近线的双曲线㊂22.在әA B C中,A C=6,B C=7,c o s A =15,O是әA B C的内心,若O Pң=x O Aң+ y O Bң,其中0ɤxɤ1,0ɤyɤ1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为㊂23.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n>0,2S n=a2n+a n,若不等式2S n+9ȡ(-1)n k a n对任意的nɪN*恒成立,则k的取值范围是㊂24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7<0,S8>0,则a5a4的取值范围是㊂三㊁解答题25.设递增数列{a n}满足a1=1,a1,a2, a5成等比数列,且对任意的nɪN*,函数f(x)=a n+2-a n+1-(a n-a n+1)c o s x-a n s i n x满足f(π)=0㊂(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,b n= 1S n,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<2㊂26.在平面直角坐标系x O y中,已知点A-12,0,B32,0,锐角α的终边与单位圆O交于点P㊂(1)当A Pң㊃B Pң=-14时,求α的值㊂(2)试问:在x轴上是否存在定点M,使得|A Pң|=12|M Pң|恒成立若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由㊂27.在әA B C中,a,b,c分别为内角A,B ,C 的对边,且2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C ㊂(1)求A 的大小;(2)在锐角әA B C 中,若a =3,求b +c 的取值范围㊂28.已知函数f (x )的图像是由函数g (x )=c o s x 的图像经如下变换得到:先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π2个单位长度㊂(1)求函数f (x )的解析式,并求其图像的对称轴方程㊂(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β㊂①求实数m 的取值范围;②请用含m 的式子表示c o s (α-β)㊂29.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=11,且a 2,a 5,a 6成等比数列㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n|,求S n ㊂30.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.某地区森林原有木材存量为a ,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ,设a n 为n 年后该地区森林木材的存量㊂(1)求a n 的表达式㊂(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于79a ,如果b =1972a ,那么该地区今后会发生水土流失吗若会,需要经过多少年?(参考数据:l g 2ʈ0.3)32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0,记{b n }的前n 项和为T n ,若T n ɤλb n 对任意的n ɪN *恒成立,求λ的取值范围㊂33.已知向量m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6㊂(1)求A 的值,以及函数图像的对称轴方程和对称中心;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求y =g (x )在0,5π24上的值域㊂参考答案:一㊁选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B 13.D 14.D 二㊁填空题15.π3 16.a n =1n 17.666 18.π4,5π419.2 20.(-ɕ,-3]ɣ[1,+ɕ) 21.①③④ 22.106323.[-7,7.25] 24.(-ɕ,-1)三㊁解答题25.(1)因为f (x )=a n +2-a n +1-(a n -a n +1)c o s x -a n s i n x ,所以f (π)=a n +2-a n +1+a n -a n +1=0,即2a n +1=a n +a n +2,故{a n }是以1为首项的等差数列㊂设数列{a n }的公差为d ,则d >0㊂因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1a 5,即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),又a 1=1,解得d =2,所以a n =2n -1㊂(2)由(1)可得S n =(a 1+a n )n 2=n 2,所以b n =1n2,因此T 1=b 1=1<2㊂又因为当n ȡ4时,1n 2<1n (n -1)=1n -1-1n ,所以T n =b 1+b 2+b 3+ +b n =112+122+132+ +1n 2<112+11ˑ2+12ˑ3+ +1n n -1 =1+1-12+ +1n -1-1n =2-1n<2㊂综上所述,T n <2㊂26.(1)由题意知P (c o s α,s i n α),则A P ң=c o s α+12,s i n α ,B P ң=c o s α-32,s i n α㊂所以A P ң㊃B Pң=c o s α+12㊃c o s α-32+s i n 2α=c o s 2α-c o s α-34+s i n 2α=14-c o s α=-14,即c o s α=12㊂又因为α为锐角,所以α=π3㊂(2)存在㊂设M (m ,0),则M P ң=(c o s α-m ,s i n α)㊂所以|A P ң|2=c o s α+122+s i n 2α=1+c o s α+14=c o s α+54;|M P ң|2=(c o s α-m )2+s i n 2α=1-2m c o s α+m 2㊂因为|A P ң|=12|M P ң|,所以c o s α+54=14(1-2m c o s α+m 2),即1+m 2c o s α+1-m 24=0对任意的αɪ0,π2 恒成立,所以1+m 2=0,1-m24=0,解得m =-2,即点M 的横坐标为-2㊂27.(1)在әA B C 中,因为B =π-A +C,所以2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C =2s i n A c o s C +2c o s A s i n C -s i n C ⇒2c o s A s i n C =s i n C ㊂又因为s i n C ʂ0,所以c o s A =12,故A =π3㊂(2)在锐角әA B C 中,a =3,由(1)知A =π3,B +C =2π3㊂由正弦定理得a s i n A =332=2,b +c =2s i n B +2s i n C =2s i n B +2s i n B +π3=3s i n B +3c o s B =23s i n B +π6 ㊂因为B ɪ0,π2 ,C =2π3-B ɪ0,π2,所以B ɪπ6,π2 ,B +π6ɪπ3,2π3 ,s i n B +π6 ɪ32,1,所以b +c =23㊃s i n B +π6 ɪ(3,23]㊂28.(1)将g (x )=c o s x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y =2c o s x 的图像,再将y =2c o s x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y =2c o s x -π2的图像,故f (x )=2s i n x ㊂所以函数f (x )=2s i n x 图像的对称轴方程为x =k π+π2,k ɪZ ㊂(2)①f (x )+g (x )=2s i n x +c o s x =5s i n (x +φ),其中s i n φ=15,c o s φ=25㊂依题意,s i n (x +φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1时成立,故m 的取值范围是(-5,5)㊂②因为α,β是方程5s i n (x +φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以s i n (α+φ)=m5,s i n (β+φ)=m5㊂当1<m <5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m <1时,α+β=23π2-φ ,即α-β=3π-2(β+φ)㊂所以c o s (α-β)=-c o s 2(β+φ)=2s i n 2(β+φ)-1=2m 52-1=2m 2-55㊂29.(1)设{a n }的公差为d (d ʂ0),由题意得a 25=a 2a 6,即(a 1+4d )2=(a 1+d )㊃(a 1+5d ),化简得2a 1d +11d 2=0,又因为a 1=11,所以d =-2或d =0(舍去),所以a n =-2n +13㊂(2)由(1)知,当n ɤ6时,a n >0;当n ȡ7时,a n <0㊂当n ɤ6时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =n a 1+n (n -1)2=12n -n 2;当n ȡ7时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 6-(a 7+a 8+ +a n )=2S 6-S n =72-(12n -n 2)=n 2-12n +72㊂综上可得,S n =12n -n 2,n ɤ6,n 2-12n +72,n ȡ7㊂30.(1)因为2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *,所以2S n =n a n +1-13n 3-n 2-23n =n a n +1-n (n +1)(n +2)3㊂所以当n ȡ2时,2S n -1=(n -1)a n -(n -1)n (n +1)3㊂故2a n =2S n -2S n -1=n a n +1-(n -1)㊃a n -n (n +1)⇒a n +1n +1-a nn=1㊂所以数列a nn是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,故a nn=1+1ˑ(n -1)=n ,所以a n =n 2(n ȡ2)㊂当n =1时,上式显然成立㊂综上可得,a n =n 2(n ɪN *)㊂(2)由(1)知,a n =n 2(n ɪN *)㊂当n =1时,1a 1=1<74,即原不等式成立㊂当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,即原不等式也成立㊂当n ȡ3时,因为n 2>(n -1)(n +1),所以1n2<1(n -1)(n +1)=121n -1-1n +1㊂所以1a 1+1a 2+ +1a n=112+122+ +1n2<1+11ˑ3+12ˑ4+ +1(n -2)n +1(n -1)(n +1)=1+1211-13 +1212-14 + +121n -2-1n+121n -1-1n +1 =1+121-13+12- 14+ +1n -2-1n +1n -1-1n +1 =1+121+12-1n -1n +1=74+12㊃-1n -1n +1 <74㊂所以当n ȡ3时,原不等式成立㊂综上可得,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.(1)设第一年森林的木材存量为a 1,第n 年后森林的木材存量为a n ,所以a 1=a 1+14-b =54a -b ,a 2=54a 1-b =54 2a -54+1b ,a 3=54a 2-b =54 3a -54 2+54+1 b , ,a n=54 na -54 n -1+54 n -2+ +1b =54 na -454 n-1b ,n ɪN *㊂(2)依题意可知,当b =1972a 时,由a n <79a ,得54n a -454n-1ˑ1972a <79a ,化简得54 n>5,所以n >l g 5l g 5-2l g 2=1-l g 21-3l g 2ʈ7㊂故该地区今后会发生水土流失,需要经过8年㊂32.(1)当n =1时,4(a 1+a 2)=3a 1-9,又a 1=-94,故4a 2=-a 1-9=94-9=-274⇒a 2=-2716㊂当n ȡ2时,由4S n +1=3S n -9,得4S n =3S n -1-9,所以4S n +1-4S n =4a n +1=3a n ,得a 2=34a 1=-2716ʂ0,所以a n ʂ0,故a n +1a n=34㊂又因为a 2a 1=34,所以{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列㊂所以a n =-94㊃34n -1=-3㊃34n㊂(2)由3b n +n -4 a n =0,得b n =-n -43a n =(n -4)34n㊂所以T n =(-3)ˑ34+(-2)ˑ342+(-1)ˑ343+0ˑ344+ +(n -4)ˑ34n㊂所以34T n =(-3)ˑ342+(-2)ˑ34 3+(-1)ˑ34 4+0ˑ34 5+ +(n -4)34 n +1㊂所以14T n =T n -34T n =(-3)ˑ34+342+343+344+ +34n-(n -4)34n +1=-94+9161-34 n -11-34-(n -4)34n +1=-n34n +1㊂所以T n=-4n34n +1㊂由T n ɤλb n 恒成立,得-4n 34n +1ɤλ(n -4)34n恒成立,即λ(n -4)+3n ȡ0恒成立㊂当n =4时,不等式恒成立;当n <4时,λɤ-3n n -4=-3-12n -4,得λɤ1;当n >4时,λȡ-3n n -4=-3-12n -4,得λȡ-3㊂综上可得,-3ɤλɤ1㊂所以λ的取值范围是[-3,1]㊂33.(1)因为m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),所以f (x )=m ㊃n =3A s i n x c o s x +A 2c o s 2x =A s i n 2x +π6㊂由函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6⇒A =6㊂由2x +π6=π2+k π,k ɪZ ⇒x =π6+k π2,k ɪZ ,即对称轴方程为x =π6+k π2,k ɪZ ㊂当2x +π6=k π时,y =0,即对称中心为-π12+k π2,0,k ɪZ ㊂(2)由(1)知函数f (x )=6s i n 2x +π6㊂将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变,得到g (x )=6s i n 4x +π3㊂因为x ɪ0,5π24,所以4x +π3ɪπ3,7π6 ,所以s i n 4x +π3 ɪ-12,1 ,所以g (x )ɪ[-3,6]㊂所以g (x )的值域为[-3,6]㊂(责任编辑 王福华)。

三角函数与数列作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期■三角函数的值域及其周期性有它的独特之处，针对这一特点每年都设置有不同的高考试题，常见的考查形式是直接考查，在2012年的高考试题中则以数列为背景考查了这两个性质，难度比较大.■一般地，解答三角函数与数列交汇的试题的思路是根据三角函数的周期性确定数列的特点，进而利用数列的相关知识求解.■■ 数列{an}的通项公式an=ncos■+1，前n项和为Sn，则S2012=_____.破解思路本题的设问启发考生，这个数列必定是一个特殊的数列，于是要集中精力发现这个特殊性，为此必须列出一定数量的项，通过观察发现其特点. 根据通项公式计算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根据三角函数的周期性可知该数列中奇数项都等于1，偶数项a2n=2n×（-1）n+1. 进一步求和发现a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根据通项公式的特点，可以判断这个特性可以推广，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 进而求出S2012.经典答案由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.■ 设an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A. 25B. 50C. 75D. 100破解思路根据正弦函数值的特点，可知当00. 当25■，所以■·sin■>■·sin■，即an-k+an+k>0，这样的数成对出现，所以当250，当500. 即S1，S2，…，S100全都是正数.■图1经典答案对于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都为正数. 当26≤k≤49时，令■=α，则■=kα，其终边两两关于x轴对称，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■·sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此时00，又00，从而当k=26，27，…，49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于k从51到100的情况同上，可知Sk都是正数. 综上，答案选D.■已知数列{an}（n∈N？鄢）满足：a1=1，an+1-sin2θ·an=cos2θ·cos2nθ，其中θ∈0，■.（1）当θ=■时，求{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sin■+cos■（n∈N？鄢，n≥2），且b1=1，求证：对于？坌n∈N？鄢，1≤bn≤■恒成立.。

关于三角数列的求和问题
杨立;杨家璧
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1994(000)004
【摘要】三角数列的求和问题,在中学里没有专题研究它的求法,但在高考中,在进一步学习高等数学时又需要这方面的知识,下面列举一些三角数列有限项求和的方法.1 利用棣莫佛公式,恰当地引人复数的三
【总页数】2页(P20-21)
【作者】杨立;杨家璧
【作者单位】重庆53中;重庆53中 630000;630000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.高中数学中数列求和问题的探究--兼述备战高考复习数列的方法 [J], 钱军
2.等差数列、等比数列的交错求和问题 [J], 陈彦彦;梁玉鑫;吴康
3.与三角有关的数列求和问题解法探析 [J], 徐产^阜
4.关于等差数列、等比数列交错求和问题的思考 [J], 黄雪
5.三角数列求和问题初探 [J], 张英杰
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高二年级数学备课组工作计划高二年级数学备课组工作计划一、指导思想本学期高二数学备课组以发展教育的理念为指导，以提高教学质量为目标，以优化课堂教学为中心，团结合作，加强教师教育教学理论学习，更新教学观念，落实教学常规，结合新教材的特点，全面提高学生的数学能力，尤其是提高创新意识和实践能力，为社会培养创造型人才。

二、工作目标1、抓好集体备课，全组人员精诚团结，互相学习，取长补短，力争使我们高二数学备课组成为一个优秀集体；2、每周三上午为集体备课的时间，分工合作、加强研讨，统一学导案，统一教学进度，又根据本班的学情进行复备；3、树立终生学习的意识，建立自己的教育博客，鼓励各位教师就自己在教学中的经验、体会或教训及时总结；4、积极参与学校教学资源库的建设。

三、学情分析-6班均属普通班，学习情况一般，学生学习自觉性差，自我控制能力弱。

因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性。

班级存在的最大问题就是学生的计算能力太差，学生不喜欢写解题过程，嫌麻烦，只注重思路。

因此，在今后的教学中，重点在于培养学生的计算能力，规范学生的解题，要进一步提高其思维能力。

1班尽管算是学校的重点班，基础相对好些，但从过去一学年的情况看，学生的学习成绩情况也不尽人意，自我提高能力有待加强。

四、具体工作和措施1、认真学习新课程标准和钻研教材教法，把握教材的广度、深度和难度；2、课堂教学要多些师生互动，活跃课堂气氛，教学中要注重渗透数学思想和数学双基教学，把握进度：期中考前上好必修2和必修3，期中考后完成好部分选修内容的教学；??3、贯彻落实教学常规，坚持作业全收全改，在作业中写好激励性评语；4、做好月考的评价工作。

除了期中和期末的考试，每月还统一进行一次阶段测试；5、激发数学学习兴趣、树立信心，培养钻研精神，抓好补差、培优（利用晚修及课外辅导）；6、查漏补缺、严把质量关，做好每单元考试卷的测练评单元卷由备课组成员轮流负责，做到侧重知识点的覆盖，难度控制；检查学生课后练习及每一章课后习题的完成情况；7、学习《现代教育技术》，掌握多媒体课件的制作；8、继续认真开展经常听课交流，认真评课,增强备课组凝聚力，发挥人才优势，坚持集体备课，统一教学进度，实施资源共享；9．加强尖子生的培养和后进生的转化工作。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

高一寒假第2讲与数列的第一次亲密接触教师版目标班第2讲与数列的第一次亲密接触满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的知识切片<教师备案>本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究．本讲内容较多，下讲内容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡．数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量．不过有些时候，表示的会比较不一般．比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202它的数列，各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容．（斐波那契数列有视频，可结合视频说明）考点1：数列的定义与分类 1．数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，，，，，需要注意的：① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那2.1数列的认识知识点睛么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}na 的第n 项． 2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列．<教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1经典精讲【例1】⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30；③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8；④数列：5，5，5，5，5；⑤数列：100，90，80，70，60，50，…．⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿＿＿③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿⑶给出下面的数表序列：其中表(123)n n=，，，有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，21n-，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【解析】⑴①递增数列无穷数列②递增数列有穷数列③摆动数列有穷数列④常数列有穷数列⑤递减数列无穷数列⑵①13．此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和．②20，24．此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24．③65根据数列的规律每一项为21n ．④9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9．<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．＿＿9100；②3 2．按规律填空：①176 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个 1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．2．①101278910-，所以应该填1；②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为384768，，所以应该填483867，考点2：数列的通项公式与递推公式 数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点．⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列知识点睛 10865443221O n a n2，4n1 2 3 … k … na 2 4 6 … 2k… 列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示． <教师备案>图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示．数列更多的是用下面两种方法来表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}na 的第1项（或前几项），且任意一项na 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列3，4，5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项na 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项na 与n 之间的关系可用一个函数关系()nf n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2na n n =+∈N 来表示． <教师备案>理解数列的通项公式：① 数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N或它的有限子集{}12n ，，，为定义域的函数的表达式；② 如果知道了数列的通项公式，那么依次用12n ，，，去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．③ 数列的通项公式形式不是惟一的，如111111---，，，，，，，它可以写成(1)n n a=-，也可以写成cos πn a n =或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，，为偶数.． ④ 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样．有穷数列一定有通项公式．无穷数列不一定有．比如由全体质数组成的数列2357，，，，，目前就没有通项公式．前面提过的斐波那契数列的递推公式：121a a ==，()112n n n a a a n n +-=+∈N ≥，，通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子．高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式⑵已知数列{}na 满足11a =，11n n n a a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______．⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______． ⑷（目标班专用）（2019西城二模理14）我们可以利用数列{}na 的递推公式2,,nnn n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【解析】 ⑴ ①(1)nn a =-或cos πn a n =（可以不讲）或11nn a n -⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数． ②()112nn a +-=或01n n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数； ③1(1)n n+-⋅；④1(101)9n-；（观察分子觉得分子可能为13579，，，，，从而得到分母为38152435，，，，）经典精讲⑥2nnn a=；（观察分母得分母都为2k，将分母整理为2481632，，，，，得到规律）．212233a a ==；323142a a==；434255aa ==；545163aa ==．可以推断21nan =+； 21213a a =+=；32217aa =+=；415a=；531a=．可以推断21n n a =-．101023a=．2412633a a a a ====，同时2525a=，因此242528aa +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=项． 【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析．① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，na 是否有最大、最小值？② 111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，na 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，na 是否有最大、最小值？④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，na 是否有最大、最小值？⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}na 的通项公式是2610na n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，na 最小？② 数列{}na 的通项公式是()23.61na n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，na 最小？【解析】⑴ ① 2nna =，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列．② 12n na =，最大值为首项12，没有最小值，该数列为单调递减数列．③ 12n na =-，最小值为12-，没有最大值，该数列为单调递增数列．④()1112n n na +=-⋅，最大值为12，最小值为14-，该数列不是单调数列．⑵ ①3n =时，na 最小为1． 该数列无最大值．②4n =时，na 最小为1.16．该数列无最大值．【点评】引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0的整数．【拓展】若25na n n λ=-+，当且仅当3n =时na 有最小值，问λ的取值范围． 【解析】 函数2()5f x x x λ=-+的对称轴为2x λ=，故3x =离2λ最近，即3222λλ-<-且3422λλ-<-，解得57λ<<． 数列函数定义域考点3：数列的前n 项和nS数列{}na 的前n 项和用nS 来表示，如果nS 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121nn nSa a a a -=++++．于是有1112nn n S n aS S n -=⎧=⎨-⎩，，≥1121n n n S S n a S n --⎧=⎨=⎩，≥，<教师备案>等差等比数列的前n 项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列{}na ：5na =的前n 项和．或者求数列111nan n =-+的前10项的和等．如果有学生问斐波那契数列的前n 项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且1221n n a aa a ++++=-．后面的例题主要是练习给定nS 的通项公式求na ，要注意1nn n aS S -=-只对2n ≥成立，用nS 求na时，1n =必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊．知识点睛经典精讲前n 项和减第1【铺垫】⑴已知数列{}na 的前n 项和3nS n =，则1a =______，3a =_____，通项na =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n +=，则1a =_____，6a =______．【解析】⑴113a S ==；3323a S S =-=；2n ≥时，13nnn a S S -=-=，故对*n ∈N ，有3na =．【例4】 ⑴已知数列{}na 的前n 项和29n S n n =-，则其通项na =＿＿；若它的第k 项满足 58ka <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21nnS =-，则其通项n a =______；满足2013ka <的最大正整数k 为______． 【解析】⑴ 210n -；8．118a S ==-；2n ≥时，1210nn n aS S n -=-=-，对1n =也满足；由52108k <-<得：1592k <<，故8k =．111a S ==；2n ≥时，112n nn n aS S --=-=，对1n =也满足；故12n na-=；122013k k a -=<，由101121024201320482=<<=知，满足不等式的最大的k 为11．1．已知数列{}na 的前n 项和22nSn n =+-，求na ．【解析】 当1n =，110a S ==2．已知数列{}na 的前n 项和2nnS=，求na ．【解析】112a S ==；111222n n n nn n aS S ---=-=-=，故12122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥．【点评】强调利用前n 项和求通项的时候，对首项要单独处理．2.2等差数列基本量计算<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．考点4：等差数列的概念知识点睛定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．<教师备案>先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数．再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由． 【解析】 ①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}na ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-．<教师备案>通项公式的推导： 我们可以说明第二项与第一项相差d ，第三项与第一项相差2d ，第n 项与第一项相差()1n d -，所以()11n a a n d =+-．还可以用叠加法求其通项公式． 叠加法：将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d-，故()11naa n d=+-．知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11na an d -=+．经典精讲知识点睛 首公等差数列【例6】 ⑴已知等差数列{}na 的通项公式为73na n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______．⑶等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______．⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项na =_______．【解析】 ⑴ 3-，4．∵73nan=-，∴1734a =-=，21a=，故3d =-（也可直接由通项公式看出）；公差734d =-=，故10331264n -=+=，再写两项即得第5项为19()37111519，，，，． 也可以先写出通项公式41n a n =-，于是1034261=⨯-为第26项；519a=．⑷ 解法一：设{}na 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a=-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410nan =-．经典精讲<教师备案>例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成1()nadn a d =+-，故na 是关于n 的一次函数（在0d ≠时），从这个角度出发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即n 前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式．具体见下面的练习． 准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战5分钟”多练多算．【挑战5分钟】 ⑴已知43na n =-，则d =______．⑵已知1001na n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则na =______．⑷已知512a d ==-，，则na =______．⑸已知4132a d ==，，则na =______．⑹已知315122a d ==-，，则na =_____． ⑺等差数列34575，，，，的项数为______．⑻等差数列42026-，，，，的项数为_______．⑼等差数列3032013-，，，，的项数为______．⑽等差数列110824--，，，，的项数为______．【解析】 ⑴3-；⑵100；⑶31n -；na 等于3n 加上某数，由12a =知，31nan =-．⑷211n -+；2nan λ=-+，则51a=知11λ=．⑸112n +；12nan λ=+，4231a λλ=+=⇒=．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}na ，首项为1a ，公差为d ，通项为na ，前n项和为nS ．前n 项和n S 的公式：⑴()12nn n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n na d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122nnn a a n n S na d +-==+ <教师备案>相信大家对高斯小时候算13100++++的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前n 项和公式怎么求呢，类似的推导如下：若等差数列{}na 的公差为d ，nS 为数列{}na 前n项和，可以用倒序相加法求和．倒序相加法：[]1231111()(2)(1)n n S a a a a a a d a d a n d =++++=+++++++-知识点睛项首等差数列第公把项的顺序反过来：两式相加得11112()()()()n n n n n Sa a a a a a a a =++++++++， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．<教师备案>从函数角度看等差数列的前n 项和公式：将前n 项和公式整理成2122n d d Sn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故0d ≠时，n S 是关于n 的常数项为0的二次函数，从函数的角度看n S 知，当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开．由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差d 的值，如29n Sn n =-⇒2d =；22n S n n =-+，则4d =-； 若n S 是n 的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例22n S n n =++，则na 不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为2的等差数列．如果n S 的表达式不含常数项，则{}na 是等差数列．所以由前n 项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足．经典精讲【铺垫】⑴等差数列371179，，，，的各项的和为_______．⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________． ⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________． ⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______． ⑷（2019辽宁文14）设n S 为等差数列{}na 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑸（目标班专用）（2019丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5⑵ 11；∵1(1)(1)4215422n n n n n Sa n d n --=+=+⨯=，有4(1)1540n n n +--=，即231540n n +-=，(14)(11)0n n +-=，∴11n =或14n =-（舍去）． 119a S ==；由32d =⇒6d =，故63n a n =+．（也可求出1n n n a S S -=-求和）．⑷ 15；316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，∴91815a a d =+=．⑸（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为k 的数有1k -个：和为2：()1,1、和为3：()1,2、()2,1、和为4：()1,3、()2,2，()3,1，和为5：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，即和小于等于11的数有55个，从而第60项的和为12，前几项依次为：(111)(210)(39)(48)(57)，，，，，，，，，，……， 因此第60项为()5,7．<教师备案>学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量1a d ，，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算2.3 等差数列性质初步 O 123456654321求出来．不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加．如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质．考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x y A +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）：⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n nS n a -=-．知识点睛 下标对应项中<教师备案>对于性质⑴可以举简单的例子，353a d ==，，求6a ，可以先求1a ，再由1a 和d 求6a ，也可以引入性质⑴求解．对于⑵，可以由一些简单的例子1423a a a a +=+之类的得出猜想，然后进行证明．对于性质⑶，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑．<教师备案>这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质⑵⑶⑷的简单证明如下：同理可得()122m n aa a m n d +=++-，∵p q m n +=+，∴p q m n a a a a +=+．∴n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；这条性质是⑵的推论，性质⑵是等差数列题目中经常出现的．【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______． 经典精讲项【解析】 ⑴ A ；由等差数列性质1得1952a a a +=，所以55a =；【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ．⑵（2019全国卷Ⅱ6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________． 【解析】 ⑴①4；((424242a -+==；②200；1802202002a +==． ⑵C ；由34512a a a ++=，得44a =， 所以 12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==． ⑸16；468101281205a a a a a a ++++==，故824a =．<教师备案>本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质．【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不经过点O 的直线上的三点A B C 、、满足32008OB a OA a OC =+，则2010S =_________．【解析】 1005A 、B 、C 三点共线，则由32008320081OB a OA a OC a a =+⇒+=． 又∵{}na 为等差数列 【演练1】 写出下列数列{}n a 的通项n a ：【演练2】 数列{}n a ：111234，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【解析】 1()1n af n n ==+，n a 有最大值12，没有最小值． 【演练3】 已知数列{}na 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______． 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件1138720a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解出3d =-，11a =， 解法二：84420(8)12d a a =-=---=- ∴3d =-，138a d +=-，∴11a =．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为nS ，若515S =，则24a a += ． 【解析】 ⑴120法一：实战演练法二：∵3824a a +=，∴1103824a a a a +=+=，()11010101202a a S +==．⑵ 6；【演练5】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当nS 取最小值时n 的值． 【解析】 设该数列的公差为d ，由等差数列的性质46526a a a +==-，53a ∴=-，111a =-， ()5143118d a a =-=---=，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值．【演练6】 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列 第2列 第3列 (1)1 2 3 (2)2 4 6 (3)3 6 9 … … … … … …那么位于表中的第n 行、第1n +列的数是 ．第n 行第1列的数为n ，第n 行的数构成公差为n 的等差数列，故第n 行，第1n +列的数为2(11)n n n nn ++-=+． 1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则na =___________． 2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________．3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a 谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192……的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列： 4，7，10，16，28，52，100，196……再把每个数都除以10，最后得到：令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个天文单位）有着一定的联系．水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星…计算0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6 …概念要点回顾距离提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离．当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程．1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．第 28 页。

三角函数的数列解析与应用三角函数是数学中重要的概念，具有广泛的数列解析与应用。

在本文中，我将讨论三角函数的数列解析以及它在实际应用中的具体应用场景。

一、三角函数的数列解析1. 正弦函数的数列解析正弦函数是最基本的三角函数之一，其表示形式为sin(x)，其中x 为自变量。

在数列解析中，可以将正弦函数表示为：an = sin(nθ)其中，an表示第n个数列元素，θ为常数。

2. 余弦函数的数列解析余弦函数是另一个常见的三角函数，其表示形式为cos(x)。

在数列解析中，可以将余弦函数表示为：an = cos(nθ)同样，an表示第n个数列元素，θ为常数。

3. 正切函数的数列解析正切函数是三角函数中的另一个重要分支，其表示形式为tan(x)。

在数列解析中，可以将正切函数表示为：an = tan(nθ)同样，an表示第n个数列元素，θ为常数。

二、三角函数的应用1. 测量与测角三角函数的一个重要应用是测量和测角。

通过正弦、余弦和正切函数，我们可以在实际应用中测量角度或确定未知角度的大小。

例如，当我们需要测量一个不可直接测量的高度时，可以使用三角函数来计算高度。

通过测量一个已知长度的斜边和对应的角度，我们可以使用三角函数关系求解出所需的高度。

2. 谐波分析三角函数还广泛应用于谐波分析中。

谐波分析是对周期信号进行频谱分析的方法，通过将信号分解为多个正弦和余弦函数的叠加，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息。

谐波分析在信号处理、电力系统、音频处理和图像处理等领域中应用广泛。

通过利用三角函数的性质，我们可以对信号中的谐波成分进行数学建模和分析，从而得到有关信号特性的重要信息。

3. 振动和波动三角函数还与振动和波动有着密切关系。

在物理学和工程学中，振动和波动描述了物理系统中的能量传递和传播。

通过将振动和波动现象建模为正弦或余弦函数，我们可以利用三角函数解析这些现象中的复杂性。

例如，当研究弦上的横波传播时，可以使用三角函数描述弦的位移随时间和空间的变化规律。

三角函数有关的书三角函数是高中数学中重要的一部分，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍一些与三角函数有关的书籍，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、《三角函数入门》这本书是初学者学习三角函数的理想选择。

它以简洁明了的语言和图表，介绍了正弦、余弦和正切等基本三角函数的定义和性质。

读者通过学习这本书，能够掌握三角函数的基本概念和计算方法，为进一步学习和应用打下坚实的基础。

二、《高级三角函数应用实例》这本书适合那些已经掌握基本三角函数知识的读者。

它通过大量的实例，展示了三角函数在几何学、物理学和工程学等领域的应用。

读者可以学习到如何利用三角函数解决实际问题，例如测量高楼的高度、计算电路中的电压和电流等。

这本书不仅提供了实例的解题方法，还深入讲解了背后的原理和推导过程，帮助读者理解三角函数在不同领域中的应用原理。

三、《三角函数的秘密》这本书是一本深入探讨三角函数内涵和性质的著作。

作者通过引入复数、极坐标系和级数等数学工具，将三角函数的定义和性质进行了全面而深入的阐述。

读者通过学习这本书，可以更深入地理解三角函数的本质和特点，并且能够掌握一些高级的计算方法和技巧。

这本书对于对数学有较高要求的读者来说，是一本十分有挑战性但又具有深入研究价值的读物。

四、《三角函数的历史与发展》这本书主要介绍了三角函数的历史背景和发展过程。

作者通过对古希腊、古印度等文明中三角函数的起源和研究进行考察，展示了三角函数的发展轨迹。

读者可以了解到三角函数是如何从几何学中衍生出来的，以及在古代航海、天文学等领域中的应用。

这本书不仅是一本数学专著，也是一本关于数学史的有趣读物。

五、《三角函数与计算机图形学》这本书介绍了三角函数在计算机图形学中的应用。

作者通过详细讲解三角函数在图像处理、动画和游戏开发等领域中的作用，帮助读者理解三角函数在计算机图形学中的重要性和实际应用。

这本书不仅适合对计算机图形学感兴趣的读者，也适合对三角函数应用感兴趣的读者。