第3章 交流电路复习

ψ= （ψ−ωt） t = 0 |
ψ : 给出了观察正弦波的起点或参考点。 给出了观察正弦波的起点或参考点。
相位差ϕ ：
两个同频率的正弦量之间的初相位之差。 两个同频率的正弦量之间的初相位之差。 同频率的正弦量之间的初相位之差 如： u
i = Im sin(ω t +ψ 2 )
ϕ = ψ1 −ψ2 > 0
= UmImcosϕ sin ω t +UI sinϕ sin 2ω t
2
uC
_
耗能元件上 的瞬时功率
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间, 在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉, 分被耗能元件消耗掉,另一部分与储 能元件进行能量交换（来回传输） 能元件进行能量交换（来回传输）
(1)有功功率P （平均功率） (1)有功功率 有功功率P 平均功率）
S、P、Q 三者关系： 、 、 三者关系：
S = P +Q
2
2
♣ P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。 都不是正弦量，不能用相量表示。
阻抗三角形、电压三角形、 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同除 得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 将电压三角形的有效值同乘 得到功率三角形 S 2 2 & U = U R + (U L − UC ) U Z U R = U cos ϕ Q & & U +U
L C
& & 根据 U = I [R + j ( X L − X C )]
令 Z = R + j ( X L − XC ) 则 复阻抗 复数形式的 欧姆定律
& & U = IZ
& U U ψu U Z= = = Z ϕ = ψ u −ψ i & Iψ I I i
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角） 、 的大小关系，辐角（阻抗角） 为 u、i 的相位差。 、 的相位差。
ϕ 由电路参数决定。 由电路参数决定。
电路参数与电路性质的关系： 电路参数与电路性质的关系： 与电路性质的关系 当 XL >XC 时， ϕ > 0 ，u 超前 i 当 XL < XC 时 ，ϕ < 0 ， u 滞后 i 当 XL = XC 时 ，ϕ = 0 ， u. i 同相 呈感性 呈容性 呈电阻性
电压的有效值相量
或：
& Um =Ume =Um ψ
jψ
相量的模= 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
注意: 注意:
电压的幅值相量
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i = Imsin (ω t + ψ ) = I m e =
？
jψ
U X = U sin ϕ
ϕ
XL − XC
L
C
Z = R 2 + ( X L − X C )2
R
2
& UR
2
P
R = Z cosϕ X = Z sinϕ
S = P +Q P = S cos ϕ Q = S sin ϕ
单一参数电路中的基本关系
参数 阻抗 基本关系 相量式 相量图
R L
R
u = iR
& & U = IR
u i i O 90° ° u
ϕ
ωt
ωt
电压与电流同相 电压与电流同相 u i u i O
ϕ = ψ1 − ψ 2 = 0
ϕ = ψ1 − ψ 2 = 180°
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: 注意: 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。 与计时起点的选择无关。
ϕ
R
X = XL − XC 阻抗 三角形
R = Z cosϕ X = Z sinϕ
由阻抗三角形： 由阻抗三角形：
Z = R2 + ( X L − XC )2 X L − XC ϕ = arctan R
3. 功率关系
瞬时功率 设：i = Im sin ω t
i
+
R
+
uR _
+
u
_
L C
uL _
+
u = Umsin (ω t + ϕ ) p = u ⋅ i = Um sin (ω t + ϕ ) ⋅ Imsin ω t
A = a + jb = r cosψ + j r sinψ = re = r ψ
jψ
相量: 相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: 设正弦量 u = Umsin ( ω t + ψ ) 相量表示: 相量表示: 相量的模= 相量的模=正弦量的有效值 jψ
& U = Ue
=U ψ
相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
ωt
瞬时值表达式 相量
u = U m sin( ω t + ψ )
必须 小写
& U = U∠ψ
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
复数表示形式 为复数: 设A为复数 为复数 (1) 代数式 =a + jb 代数式A 式中: a = r cos ψ 式中 b
= U m sin( ω t + ψ 1 )
ϕ = (ω t +ψ 1 ) − (ω t +ψ 2 ) u = ψ1 − ψ 2
O
i
u i
若
电压超前电流 电压超前电流ϕ 各种相位关系见下图
ϕ
ωt
电流超前电压 ϕ（或电压滞后电流） 或电压滞后电流） u i u i O
ϕ = ψ1 − ψ2 < 0
ϕ = ψ1 − ψ2 = −90 ° 电流超前电压90°
I=
1 T
∫
T
0
i dt
2
Im 1 T 2 2 有效值必 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 须大写 T U Em 同理： 同理： U = m E= 2 2
3.1.2 周期、频率和角频率 周期、
周期T 周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 f = Hz） （Hz） 频率f 频率f： T 2 π 角频率： 角频率： ω = πf （rad/s） =2 rad/s） T i
注意
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
Z = Z ∠ϕ = R + j ( X L − X C )
U 2 2 = R + ( X L − XC ) 阻抗模： 阻抗模： Z = I XL − XC ω L−1/ωC ϕ = arctan 阻抗角： 阻抗角： =ψu −ψi = arctan R R
O T
ωt
3.1.3 相位、初相位与相位差 相位、
相位： 表示正弦量在任一瞬时的角度。 相位： 表示正弦量在任一瞬时的角度。 相位： 相位：ω t +ψ i = Imsin(ωt + ψ) i 反映正弦量变化的进程。 反映正弦量变化的进程。
ψ O
ωt
初相位： =0时的相角 时的相角。 初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
则 U = IR & & R
& U
jXL -jXC
& UL
_
& UC _
_ +
& & U L = I (j X L ) & & U = I (− jX )
C C
& & & & U = I R + I (j X L ) + I ( − jX C ) 总电压与总电流 的相量关系式 & = I [R + j( X − X )]
1 T P = ∫ pdt T 0 1 T = ∫ [UI cosϕ − UI cos (2 ω t + ϕ )]d t T 0 单位: 单位 W = UI cosϕ cosϕ 称为功率 cosϕ
P 所以 = UI cosϕ
总电压 总电流
因数， 因数，用来衡 量对电源的利 用程度。 用程度。
u 与 i 的夹角
+j
A
r ψ
0
2 2
a
+1
b = r sin ψ
(2) 三角式
r = a + b 复数的模 b ψ = arctan 复数的辐角 a
A = r cos ψ + j r sin ψ = r (cos ψ + jsin ψ)
(3) 指数式 A = r ej ψ (4) 极坐标式 A = r ψ 极坐标式
总电压 总电流
单位： 单位：var
u 与 i 的夹角
电感和电 容与电源 之间的能 量互换
(3) 视在功率 S 电路中总电压与总电流有效值的乘积。 电路中总电压与总电流有效值的乘积。
S = UI = Z I
2
单位： 单位：V·A
称为发电机、 注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备 的容量，可用来衡量发电机、 的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最 大有功功率或最大无功功率。 大有功功率或最大无功功率。
i i 1
i2
ωt
ϕ
O
不同频率的正弦量作比较无意义。 ② 不同频率的正弦量作比较无意义。 交流电路和直流电路的一个重要区别 重要区别就是 ③ 交流电路和直流电路的一个重要区别就是 交流电必须要考虑相位差 相位差。 交流电必须要考虑相位差。