四川省成都市2012一诊文科数学试卷及答案详解

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{,}A a b=，{,,}B b c d=，则A B=（）A、{}bB、{,,}b c d C、{,,}a c d D、{,,,}a b c d2、7(1)x+的展开式中2x的系数是（）A、21B、28C、35D、423、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A、101B、808C、1212D、20124、函数(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（）5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A B6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b=成立的充分条件是（）A 、||||a b =且//a bB 、a b =-C 、//a bD 、2a b =8、若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A 、12B 、26C 、28D 、339、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。

D CAE B2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R p =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、212、复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（ ）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于04、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、5155、函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2012年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•四川）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（）A．{b} B．{b，c，d} C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项．解答：解：由题意A={a，b}，B={b，c，d}，∴A∪B={a，b，c，d}故选D．点评：本题考查并集及其运算，是集合中的基本计算题，解题的关键是理解并能熟练进行求并的计算．2．（5分）（2012•四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（）A．21 B．28 C．35 D．42考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是=21故选A点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键3．（5分）（2012•四川）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．解答：解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N 为=808故选B．点评：本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．4．（5分）（2012•四川）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．解答：解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题．5．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．点评：本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．6．（5分）（2012•四川）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且B．C．D．考点：充分条件；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，A选项和C选项中和可能反向，B选项不符合λ＞0．故选D．点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．8．（5分）（2012•四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A．12 B．26 C．28 D．33考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值．解答：解：作出约束条件，所示的平面区域，作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大由可得C（4，4），此时z=28故选C点评：本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是，明确目标函数的几何意义9．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE==，AP==，AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，cos∠AOP=，∠AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为，故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．28条B．32条C．36条D．48条考点：排列、组合及简单计数问题；抛物线的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，然后进行排列．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，先排a，b，有种，c有种，所以表示抛物线的曲线共有，又因为当b=±2时，b2都等于4，所以重复的抛物线有种，所以不同的抛物线有﹣=32条．故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法，要能熟练运用．12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，{a n}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（）A．0B．7C．14 D．21考点：数列与函数的综合．专题：计算题；压轴题．分析：根据f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，可得f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，构造函数g（x）=f （x）﹣2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，从而g（a4）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2+…+a7的值．解答：解：∵f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，∴f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，令g（x）=f（x）﹣2∴g（x）关于（3，0）对称∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0∴g（a4）为g（x）与x轴的交点因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3∴a1+a2+…+a7=7a4=21，故选D．点评：本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，需要一定的基本功．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（4分）（2012•四川）函数的定义域是（﹣∞，）．（用区间表示）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：结合函数的表达式可得不等式1﹣2x＞0的解集即为所求．解答：解：∵1﹣2x＞0∴x＜∴函数的定义域为（﹣∞，）故答案为（﹣∞，）点评：本题主要考查了根据函数的解析式求函数的定义域，属常考题，较易．解题的关键是根据函数的解析式得出1﹣2x＞0的解集即为所求！14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．15．（4分）（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m 与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16．（4分）（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有①④．（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①将a2﹣b2=1，分解变形为（a+1）（a﹣1）=b2，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞b，去掉绝对值，将a3﹣b3=1分解变形为（a﹣1）（a2+1+a）=b3，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a ＜1，从而命题④正确．解答：解：①若a2﹣b2=1，则a2﹣1=b2，即（a+1）（a﹣1）=b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b ＜a+1，即a﹣b＜1，①正确；②若，可取a=7，b=，则a﹣b＞1，∴②错误；③若，则可取a=9，b=4，而|a﹣b|=5＞1，∴③错误；④由|a3﹣b3|=1，若a＞b＞0，则a3﹣b3=1，即a3﹣1=b3，即（a﹣1）（a2+1+a）=b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1若0＜a＜b，则b3﹣a3=1，即b3﹣1=a3，即（b﹣1）（b2+1+b）=a3，∵b2+1+b＞a2，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1∴|a﹣b|＜1，∴④正确．故答案为①④．点评：本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（Ⅱ）利用相互独立事件的概率公式，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则∴；（Ⅱ）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么P（D）==．点评：本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件的概念与计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．18．（12分）（2012•四川）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求sin2α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f （x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sin cos﹣=（1+cosx）﹣sinx﹣=cos（x+）．∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，∴cos（α+）=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）=1﹣2=1﹣=．点评：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解．解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）．设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC 内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．（12分）（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．（12分）（2012•四川）如图，动点M与两定点A（﹣1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则k MA=，k MB=∵直线MA、MB的斜率之积为4，∴∴4x2﹣y2﹣4=0又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1综上点M的轨迹方程为4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）（Ⅱ）直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣4=0①∴△=16m2+48＞0当1或﹣1是方程①的根时，m的值为1或﹣1，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标分别为（x Q，y Q），（x R，y R），∵|PQ|＜|PR|，∴x R=，x Q=，∴==∵m＞0且m≠1∴，且≠4∴，且∴的取值范围是（1，）∪（，3）点评：本题以斜率为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性．22．（14分）（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．圆锥曲线的综合；导数在最大值、最小值问题中的应用．考点：综合题；压轴题．专题：分析：（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n+1，即知，a n≥2n+1对所有n成立，当a=3，n≥1时，a n=3n=（1+2）n≥1+=2n+1，当n=0时，a n=2n+1，由此可得a的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：＞．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为，∴∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n+1 即知，a n≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=1得到a≥3当a=3，n≥1时，a n=3n=（1+2）n≥1+=2n+1当n=0时，a n=2n+1∴a=3时，对所有n都有成立∴a的最小值为3；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，下面证明：＞首先证明：当0＜x＜1时，设函数g（x）=6x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=18x（x﹣）当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=＞0∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，∴由0＜a ＜1知0＜a k ＜1，因此，从而=＞6（a+a 2+…+a n ）==点评： 本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．。

数学试卷 第1页（共6页）数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么球的表面积公式(+)()()P A B P A P B =+24πS R =如果事件A 、B 相互独立,那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 34π3V R =在n 次重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则A B =（ ）A . {}bB . {,,}b c dC . {,,}a c dD . {,,,}a b c d 2. 7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A . 21B . 28C . 35D . 423. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A . 101B . 808C . 1 212D . 2 0124. 函数(0,1)x y a a a a =->≠且的图象可能是 （ ）A .B .C .D .5. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连结EC 、ED ,则sin CED ∠=（ ）A .B .C .D . 6. 下列命题正确的是（ ）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C . 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行7. 设a 、b 都是非零向量.下列四个条件中,使||||=a ba b 成立的充分条件是 （ ）A . ||||=a b 且∥a bB . =-a bC . ∥a bD . 2=a b8. 若变量,x y 满足约束条件3,212,212,0,0,x y x y x y x y --⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≥≤≤≥≥则34z x y =+的最大值是（ ）A . 12B . 26C . 28D . 33 9. 已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =（）A .B .C . 4D . 10. 如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A .R B . π4RC . RD . π3R11. 方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ）A . 28条B . 32条C . 36条D . 48条 12. 设函数3()(3)1f x x x =-+-,{}n a 是公差不为0的等差数列,12()()f a f a ++⋅⋅⋅+7()14f a =,则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A . 0B . 7C . 14D . 21--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共6页）数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.函数()f x =的定义域是_________.（用区间表示）14. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是_________.15. 椭圆22215x y a +=（a 为定值,且a ）的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_________.16. 设,a b 为正实数.现有下列命题：①若221a b -=,则1a b -<；②若111b a-=,则1a b -<；③若1=,则||1a b -<；④若33||1a b -=,则||1a b -<.其中的真命题有_________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值；（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.18.（本小题满分12分） 已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()f α=求sin 2α的值.19.（本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,常数0λ>,且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >,100λ=.当n 为何值时,数列1{lg}na 的前n 项和最大？21.（本小题满分12分）如图,动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成MAB ∆,且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q 、R ,且||||PQ PR <,求||||PR PQ 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -++≥成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a ＜＜时,比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小,并说明理由.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(供文科考生使用)如果事件,A B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的表面积公式24π,S R =其中R 表示球的半径; 球的体积公式34π,3V R =其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}{},,,,A a b B b c d ==,则A B =U ( )A.{}bB.{},,b c dC.{},,a c dD.{},,,a b c d2.()71x +的展开式中2x 的系数是( )A.21B.28C.35D.423.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲,乙,丙,丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人,若在甲,乙,丙,丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1212D.2012 4.函数()01x y a a a a =->≠且的图象可能是( )5.如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连结,EC ED ,则sin CED∠=( )6.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行.7.设,a b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||=a b a b 成立的充分条件是( ) A.||||=a b 且P a b B.=-a b C.P a b D.2=a b8.若变量,x y 满足约束条件32122120,0x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩,则34z x y =+的最大值是( )A.12B.26C.28D.339.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点()02,M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =( )A. B. C.4 D. 10.如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O的直径CD 作与平面α成45︒角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=︒,则,A P 两点间的球面距离为( )A.RB.π4RC.RD.π3R11.方程22ay b x c =+中的{},,2,0,1,2,3a b c ∈-,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )A.28条B.32条C.36条D.48条12.设函数()(){}331,n f x x x a =-+-是公差不为0的等差数列,()()()12714,f a f a f a ++⋅⋅⋅+=则127a a a ++⋅⋅⋅+=( )A.0B.7C.14D.21 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.函数()f x =________(用区间表示)14.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,,M N 分别是棱1,CD CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是________ 15.椭圆22215x y a +=(a 为定值,且a >)的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点,,A B FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________ 16.设,a b 为正实数.现有下列命题:①若221a b -=,则1a b -<;②若111b a-=,则1a b -<;③若|1=,则||1a b -<;④若33||1a b -=,则||1a b -<. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.EDCBAαP O D C B AD 1C 1B 1A 1NMDCBA18.(本小题12分)已知函数()21cos sin cos 2222x x x f x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域; (2)若()f α=,求sin 2α的值.19.(本小题12分)如图,在三棱锥P ABC -中,90,60,,APB PAB AB BC CA ∠=︒∠=︒==点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小;(2)求二面角B AP C --的大小.20.(本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,常数0λ>,且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设10,100a λ>=,当n 为何值时,数列1{lg }na 的前n 项和最大?21.(本小题12分)如图,动点M 与两定点()()1,0,1,0A B -构成M AB ∆,且直线,MA MB 的斜率之积为4,设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线()0y x m m =+>与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点,Q R ,且||||PQ PR <,求||||PR PQ 的取值范围.21.(本小题14分)已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.(1)用a 和n 表示; (2)求对所有n 都有()()111f n nf n n -≥++成立的a 的最小值; (3)当01a <<时,比较()()()()()()11112242f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与()()()()11601f f n f f -+⋅-的大小,并说明理由.OPCBA1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B = （ ）A 、{}bB 、{,,}b c dC 、{,,}a c dD 、{,,,}a b c d [答案]D[解析]集合A 中包含a,b 两个元素，集合B 中包含b,c,d 三个元素，共有a,b,c,d 四个元素，所以}{d c b a B A 、、、=[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识. 2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、42 [答案]A[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

成都市数学考试试题与答案(doc 10页)成都市2012届一诊数学含答案一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.(1) 某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭.现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为(A)70 户（B)17 户（C)56 户（D)25户(2) 复数z=(1-2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(A) (B)(C) (D)(8) 设电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数的图象如图所示，则(A) (B)(C) (D)(9) 已知函数，，当x=a时，取得最小值b，则函数的图象为(10) 设正方体的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z>0),则下列结论中错误的是(A) EF//平面DPQ(B) 二面角P—EF—Q所成角的最大值为(C) 三棱锥P—EFQ的体积与y的变化有关，与x、z的变化无关(D) 异面直线EQ和AD1所成角的大小与的变化无关(11) 已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足，且在区间[0，2]上是增函数，有下列命题：①函数f(x)的图象关于直线对称;②函数f(x)的单调递增区间为；③函数f(x)在区间（-2012,2012)上恰有1006个极值点；④若关于x的方程f(x)—m=0在区间[-8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.其中真命题的个数有(A)1个（B)2个（C)3个（D)4个(12) 设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A，B)::，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素.记满足的集合对(A，B)的总个数为m，满足的集合对(A，B)的总个数为n，则的值为(A) (B) (C) (D)第II卷(非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.答案填在答题卡上.(13) 的值为.____________(14) 若函数在点处连续，则实数a=_________.(15) 已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB丄平面BCD，BC丄CD，若AB= 6，AC=,CD=，则B、C两点在此球面上的球面距离是____________.(16) 已知函数在[a,b]上连续，定义；其中表示f()在D上的最小值，表示f(x)在D上的最大值.若存在最小正整数k使得对任意的成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”.有下列命题：①若，则；②若，则③为[1，2]上的1阶收缩函数；④为[1，4]上的5阶收缩函数.其中你认为正确的所有命题的序号为__________________.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分）已知函数的周期为，其中.(I)求的值及函数f(x)的单调递增区间；(I I)在中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b,c若a=，c=2，f(A)=，求b的值.(18) (本小题满分12分）如图甲，是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F.将沿ED翻折，使平面AED 丄平面BCDE，连结AB,AC ,AG,形成如图乙的几何体.(I)求证:BC丄平面ATG(II)求二面角B—AE—D的大小.19 (本小题满分12分）某社区为丰富居民的业余文化生活，准备召开一次趣味运动会.在“射击气球”这项比赛活动中,制定的比赛规则如下：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的5个气球，每次射击一个气球；若这5次射击中，④、⑤号气球都被击中，且①、②、③号气球至少有1个被击中，则此人获奖;否则不获奖.已知甲每次射击击中气球的概率都为，且各次射击结果互不影响.(I)求甲在比赛中获奖的概率；(I I)设甲在5次射击中击中气球的总个数为随机变量，求的分布列及数学期望(20) (本小题满分12分）已知函数.(I)若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围；(II)记，且，求实数m 的最大值.(21) (本小题满分12分）巳知各项均为正数的等差数列前三项的和为27，且满足.数列{b n}的前n项和为S n，且对一切正整数n,点(n，S n)都在函数的图象上.(I) 求数列和的通项公式；(II)设，求数列的前n项和；(III)设，若对恒成立,试证明：(22) (本小题满分14分）已知函数.(I)当m =-1时,求函数的单调区间；(II)已知（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使成立，证明：2m+e+l<0;(III)证明：.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（供文科考生使用）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ?g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R p =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =U （ ）A 、{}bB 、{,,}b c dC 、{,,}a c dD 、{,,,}a b c d [答案]D[解析]集合A 中包含a,b 两个元素，集合B 中包含b,c,d 三个元素，共有a,b,c,d 四个元素，所以}{d c b a B A 、、、=Y[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识.2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、42 [答案]A[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =kk x C 7，令k=2，则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

成都市2012届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至4页,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷(选择题，共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+ P(B)如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A • B) =P(A) • P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生A次的概率其中R表示球的半径一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.⑴某小区有125户高收入家庭、280户中等收人家庭、95户低收入家庭.现采用分层抽样的方法从中抽取100户,对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收人家庭中应抽选出的户数为(A)70 户（B)17 户（C） 56 户 (D) 25户(2)已知和y=3x-3互为反函数，则常数m的值为:(A)1 (B)-1 (C). (D)(3)函数的值域为A 0+）(B)（l,9] （C)(0,] （D)[,1](4)若首项为1的等比数列的前3项和为3，则公比q为（A)-2 (B)1 (C)-2 或 1 (D)2 或－1(5)已知向量i与j不共线,且，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是(A)m+n=1 (B)m+n=-1 (c)mn=1. (D)mn=-1(6)若展开式的各项系数和为，常数项是(A) -7 (B)7 （C)（D）(7)“0<m<1”是“关于x的方程与有两个异号实数根”的:(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件(8)设电流强度I（安)随时间t(秒)变化的函数的图象如图所示，则（A）（B)（C）（D）(9)已知函数，当且仅当x＝a时，f(x)取得最小值则函数的图象为(10)设直三梭柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB=AC=2，动点E、F在侧棱CC1上,动点P、Q分别碰AB1，BB1上,若EF==1，CE=x, BQ=y,BP=z,其中x,y,z>0,则下列结论中错误的是.(A)EF//平面 BPQ（B)二面角P-EF-Q所成角的最大值为（C）三棱锥P－EFQ的体积与y的变化有关，与x,z成的变化无关（D）若D为线澳BC的中点，则异面直线EQ和AD所成角的大小与x,y,z的变化无关(11)已知定义在R上的奇函数f(x)满足，且时，,则下列说法正确的是(A)f(3)=1(B)函数f(x)在[-6,— 2]上是增函数(C)函数f(x)关于直线x=4对称(D)若关于X的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为－8，则-定有(12)设集合S＝{1,2,3,4,5,6}，定义集合组(A，B)：，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且集合B中最小的元素不小于A中最大的元素.若满足AUB＝S,,则称这样的集合组（A，B)为“完美集合组”.在所有集合组(A，B)中任取一组，则恰好取得"完美集合组”的概举为（A）（B) (C)（D）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡上.(13) 的值为_________(14) 不等式的解集为________.（15）已知点A、B、C、D在同一个球面上,AB丄平面BCD,BC丄BD，若AB=1;BC=2,BD=3，则此球的表面积是_______.(16)若函数f(x)满足丨在定义域D内存在实数x0，使得成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.有下列函数：其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分）已知函数的周期为，其中.(I)求的值及函数f(x)的单调递增区间；(II)在中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，求b的值.(18)(本小题满分12分）如图甲，是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F.将ΔAED沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，连结AB、AC、AG形成如图乙的几何体.(I)求证:BC丄平面(II)求二面角B—AE—D的大小.."(19)(本小题满分12分)某社区为丰富居民的业余文化生活，准备召并一次趣味运动会.在“射击气球”这项比赛活动中，制定的比赛规则如下8每人只参加一场比赛，每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的5个气球，每次射击一个气球；若这5次射击中，④、⑤号气球都被击中，且①、②、③号气球至少有1个被击中，则此人获奖；否则不获奖.已知甲每次射击击中气球的概率都为2/3.，且各次击结果互不影响.(I)求甲在比赛中获奖的概率；（II）求甲至少击中了其中3个气球但没有获奖的概率.（20）(本小题满分12分).已知函数(I)若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围（II）设函数f(x)在[0，1]上的最小值为g(m)，求g(m)的解析式及g(m)=1时实数m的值.(21)（小题满分12分.）已知等差数列{an}中,公差d>0,a2=9，且a1a3=65..数列前n项和满足2Sn=3n+1-3(n∈Nn)(I)求数列{an}和{bn}的通项公式；(II)设，求数列{cn)的前n项和Tn（III）设，若对恒成立，求的取值范围.（22)(本小题满分14分）设函数，记f(x)的导函数是.(I)当a=—1,b=c=-1时，求函数f(x)的单调区间；(II)当,时,若函数f(x)的两个极值点满足，求b的取值范围；(III)若令，记h(x)在[-1,1]上的最大值为H,当时，证明：.。

2012 年一般高等学校招生全国一致考试（四川卷）数学（供文科考生使用）参照公式：假如事件互斥，那么P(A + B) = P( A) + P(B)假如事件互相独立，那么P (A ?B) P( A) P( B)假如事件 A 在一次中生的概率是p ，那么在 n 次独立重复中事件 A 恰巧生 k 次的概率P (k ) = C k p k (1- p)n - k(k = 0,1,2,⋯, n)n n 球的表面公式2S = 4p R此中 R 表示球的半径球的体公式43V =p R3此中 R 表示球的半径第一部分（选择题共60分）注意事：1、必使用2B 笔将答案涂在机卡上目的地点上。

2、本部分共12 小，每小 5 分，共 60 分。

一、：每小出的四个中，只有一是切合目要求的。

1、会合A{ a, b} ， B {b, c, d} ，A B（）A、{ b}B、{b, c, d}C、{ a, c, d}D、{ a,b,c,d}[答案 ]D[分析 ]会合 A 中包括 a,b 两个元素，会合 B 中包括 b,c,d 三个元素，共有a,b,c,d 四个元素，所以 A B{ a、 b、 c、 d}[点 ]本旨在考会合的并集运算，会合属于高中数学入知，考出度不大，要点是掌握好本的基知 .2、(1 x)7的睁开式中x2的系数是（）A、21B、 28C、35D、42[答案 ]A[分析 ]二式(1 x)7睁开式的通公式T k 1=C7k x k，令k=2， T3 C 72、x 2 x 2的系数为 C7221[点 ]高考二睁开式型度不大，要获得部分分，第一需要熟掌握二睁开式的通公式，其次需要化考生的算能力.3、交通管理部认识机（称）某新法的知状况，甲、乙、丙、丁四个社区做分抽。

假四个社区的人数N ，此中甲社区有96 人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取的人数分12,21,25,43 ，四个社区的人数 N（）A、101B、 808C、 1212D、 2012[答案 ]B[分析 ]N= 962196 96 439612258081212[评论 ]解决分层抽样问题，要点是求出抽样比，此类问题难点要注意能否需要剔除个体 .4、函数 ya x a( a0, a 1) 的图象可能是（）[答案 ]C[分析 ]采纳特别值考证法. 函数 ya xa( a 0, a 1) 恒过（ 1,0），只有 C 选项切合 .[评论 ]函数大概图像问题，解决方法多样，此中特别值考证、清除法比较常用，且简单易用.5、如图，正方形 ABCD1，延伸BA 至 E ，使 AE1，连结 ECED则 sinCED的边长为、（）DC3101055B 、C 、D 、A 、10101510[答案 ]BEAB[分析 ] AE 1，正方形的边长也为 1 EDAE222ADEC （ EA225 AB ）CBCD1222310cosCEDEDEC -CD2 ED EC10sinCED1 cos 2CED1010[评论 ]注意恒等式 22α的的范围决定其正余弦值的正负状况.sin α +cos α =1的使用，需要用 6、以下命题正确的选项是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行[答案 ]C[分析 ]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能订交，所以 A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面能够平行，也能够垂直；故 D 错；应选项C正确 .[评论 ]本题旨在观察立体几何的线、面地点关系及线面的判断和性质，需要娴熟掌握课本基础知识的定义、定理及公式 .7、设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使a b成立的充足条件是（）| a ||b |A、| a | | b |且a // bB、a bC、a // bD、a 2b[答案 ]Da b[分析 ]若使成立，则 a与 b方向同样，选项中只有D能保证，应选 D.| a || b |[评论 ]本题观察的是向量相等条件模相等且方向同样.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为 0 且方向随意 .x y3,x 2 y12,8、若变量x, y 知足拘束条件2x y 12 ，则z3x 4 y 的最大值是（）x0y 0A、 12B、26C、 28D、33[答案 ]C[分析 ]目标函数z 3x 4 y 能够变形为y 3xz，做函数y3 x 的平行线，444当其经过点B（ 4,4）时截距最大时，即 z 有最大值为z 3x 4 y =3 4 4 428 .[评论 ]解决线性规划题目的惯例步骤：一列（列出拘束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.9、已知抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点O ，而且经过点 M (2, y0 ) 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（四川卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =UA.{}bB.{,,}b c dC.{,,}a c dD.{,,,}a b c d 2.7(1)x +的展开式中2x 的系数是A ．21B ．28C ．35D ．42 3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为A ．101B ．808C ．1212D ．2021 4.函数x y a a =-（0a >，1a ≠）的图象可能是5.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC ，ED ，则sin CED ∠=6.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行ABCDED.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7.设a r ，b r 都是非零向量，下列四个条件中，使a ba b=r rr r 成立的充分条件是A.a =-r b rB.a r ∥b rC.2a =r b rD.a r ∥b r 且a =r b r8.若变量x ，y 满足约束条件321221200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是A ．12B ．26C ．28D ．33 9.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =A.22B.23C.4D.25 10.如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45o 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ，则A ，P 两点间的球面距离为 A.2arccos 4R B.4R π C.3arccos R D.3Rπ11.方程22ay b x c =+中的a ，b ，{2,0,1,2,3}c ∈-，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有A.28条B.32条C.36条D.48条12.设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，12()()f a f a ++L 7()14f a +=，则127a a a +++=LA ．0B ．7C ．14D ．21二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13.函数()f x =的定义域是 .（用区间表示）14.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是CD ，1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是 .15.椭圆22215x y a +=（a为定值，且a >F ，直线x m =椭圆相交于点A ，B ，当FAB ∆的周长最大值是12，则该椭圆的离心率是 . 16.设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<； ②若111b a-=，则1a b -<；1=，则1a b -<； ④若331a b -=，则1a b -<.其中的真命题有 .（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.18.（本小题满分12分）已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o ，60PAB ∠=o ，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小.ABCP20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且12n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }na 的前n 项和最大？ 21.（本小题满分12分）如图，动点M 到两定点(1,0)A -，(1,0)B 构成MAB ∆，且直线MA ，MB 的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y x m =+（0m >）与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++---L 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⨯-的大小，并说明理由.xyoABM。

12四川(文)1.(2012四川,文1)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( ).A.{b}B.{b,c,d}C.{a,c,d}D.{a,b,c,d}D A∪B={a,b}∪{b,c,d}={a,b,c,d},故选D.2.(2012四川,文2)(1+x)7的展开式中x2的系数是( ).A.21B.28C.35D.42A因为含x2项是二项式展开式中的第三项T3=27C x2=21x2,所以x2的系数是21,故选A.3.(2012四川,文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( ).A.101B.808C.1212D.2012B四个社区抽取的总人数为12+21+25+43=101,由分层抽样可知,9612=101N,解得N=808.故选B.4.(2012四川,文4)函数y=a x-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( ).C当a>1时,y=a x是增函数,-a<-1,则函数y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴下方,故选项A不正确;y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=a x是减函数,y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项C正确;若0<a<1,则-1<-a<0,y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确.5.(2012四川,文5)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则si n∠CED=( ).A31010B1010C510D515B因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=π4.又因为在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC55cos∠BEC255于是sin∠CED=sinπBEC4∠⎛⎫-⎪⎝⎭=sinπ4cos∠BEC-cosπ4si n∠BEC222552 2551010故选B.6.(2012四川,文6)下列命题正确的是( ).A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行C若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项A 错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B 不正确;如图,平面α∩β=b ,a ∥α,a ∥β,过直线a 作平面ε∩α=c ,过直线a 作平面γ∩β=d ,∵a ∥α,∴a ∥c ,∵a ∥β,∴a ∥d ,∴d ∥c ,∵c ⊂α,d ⊄α,∴d ∥α,又∵d ⊂β,∴d ∥b ,∴a ∥b ,选项C 正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D 不正确. 7.(2012四川,文7)设a ,b 都是非零向量.下列四个条件中,使a |a |=b |b |成立的充分条件是( ).A .|a |=|b |且a ∥bB .a =-bC .a ∥bD .a =2bD 若a |a |=b |b |,则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量,所以a 与b 应共线同向,故选D .8.(2012四川,文8)若变量x ,y 满足约束条件x y 3,x 2y 12,2x y 12,x 0,y 0,-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩则z =3x +4y 的最大值是( ). A .12B .26C .28D .33C 作出可行域如图五边形OABCD 边界及其内部,作直线l 0:3x +4y =0,平移直线l 0经可行域内点B 时,z 取最大值.由x 2y 12,2x y 12,+=⎧⎨+=⎩得B (4,4),于是z max =3×4+4×4=28,故选C .9.(2012四川,文9)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦3,则|OM |=( A .2B .3C .4 D .5B 由抛物线定义知,p 2+2=3,所以p =2,抛物线方程为y 2=4x .因为点M (2,y 0)在此抛物线上,所以20y =8,于是|OM 204y +3故选B .10.(2012四川,文10)如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点∠BOP =60°,则A ,P 两点间的球面距离为( ). A .R 24B .R 4πC .R 33D .R 3πA 过点A 作AH ⊥平面BCD .∵平面BCD 与底面所成角为45°,AO ⊥平面α,在交线上,点B 与平面α的距离最大,为4.∴点H 在OB 上,且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ,垂足为M ,连接AM ,在等腰直角三角形AOH中,AH =OH 2.在Rt △HOM 中,∠HOP =60°,∴HM =OH 24R .在Rt △AHM 中,AM 4R ,∴sin ∠AOM =44∴cos ∠AOM 4∴∠AOP =4∴A ,P 两点间的球面距离为R 411.(2012四川,文11)方程ay =b 2x 2+c 中的a ,b ,c ∈{-2,0,1,2,3},且a ,b ,c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ). A .28条 B .32条 C .36条 D .48条B 因为a ,b 不能为0,先安排a ,b ,有24A 种,c 有13C 种,所以表示的抛物线共有2143A C =36(条).又因为当b =±2时,b 2都为4,所以重复的抛物线有1122C C =4(条).所以这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有36-4=32(条).故选B .12.(2012四川,文12)设函数f (x )=(x -3)3+x -1,{a n }是公差不为0的等差数列,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7=( ). A .0 B .7 C .14 D .21D 由f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14知,(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+(a 1+a 2+…+a 7)-7=14.因为{a n }是公差不为0的等差数列,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=0.因为(a 1-3)3+(a 7-3)3=[(a 1-3)+(a 7-3)][(a 1-3)2+(a 7-3)2-(a 1-3)(a 7-3)]=2(a 4-3)2217713(a 3)-(a 3)(a 3)24⎧⎫⎪⎪⎡⎤--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭=2(a 4-3)22177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 令222177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=M 1>0, 同理(a 2-3)3+(a 6-3)3=2(a 4-3)22266133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 2, (a 3-3)3+(a 5-3)3=2(a 4-3)22355333a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 3, (a 4-3)3=(a 4-3)(a 4-3)2,其中M 2>0,M 3>0,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=(a 4-3)M 1+(a 4-3)M 2+(a 4-3)M 3+(a 4-3)(a 4-3)2+7(a 4-3) =(a 4-3)[M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7]=0,因为M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7>0恒成立,所以a 4-3=0,a 4=3,而a 1+a 2+…+a 7=7a 4=21.故选D . 13.(2012四川,文13)函数f (x.(用区间表示)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∵1-2x >0,∴x <12,∴f (x )的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.14.(2012四川,文14)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .90° 如图所示,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D -xyz ,设正方体的棱长为2,则1M A =(2,-1,2),D N =(0,2,1),于是1M A ·D N=0,故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.15.(2012四川,文15)椭圆22x a+2y 5=1(a 为定值,且a 5的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A ,B ,△FAB 的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .23如图所示,设椭圆右焦点为F 1,AB 与x 轴交于点H ,则|AF |=2a -|AF 1|,△ABF 的周长为2|AF |+2|AH |=2(2a -|AF 1|+|AH |),∵△AF 1H 为直角三角形,∴|AF 1|>|AH |,仅当|AF 1|=|AH |,即F 1与H 重合时,△AFB 的周长最大,即最大周长为2(|AF |+|AF 1|)=4a =12,∴a =3,而b 5∴c =2,离心率e =c a=23.16.(2012四川,文16)设a ,b 为正实数.现有下列命题: ①若a 2-b 2=1,则a -b <1; ②若1b-1a=1,则a -b <1;③若a b 1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) ①④ ①a 2=b 2+1,∵b 2>0,∴a 2>1,故a >1,而a -b =1a b+,∵a >1,b >0,∴a +b >1,∴1a b+<1,∴①正确;②1b-1a=1,∵当b =23,a =2时,满足1b-1a=32-12=1,而此时a -b >1,∴②不正确;③∵a ,b 为正实数,且a b 1.不妨设a >b ,则a -b a b a b a b a b 1>1,∴a -b a b 1,∴③不正确;④∵a ,b 是正实数,不妨设a >b ,∴a 3-b 3=(a -b )(a 2+b 2+ab ),∴a -b =3322a ba ab b-++=221a ab b++,∵a 3=1+b 3>1,∴a 2>1,∴a 2+ab +b 2>1,则0<221a ab b++<1,∴a -b =221a ab b++<1,即|a -b |<1.同理,设a <b ,也能得到|a -b |<1的结论,故④正确.17.(2012四川,文17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1-P (C )=1-110·p =4950.解得p =15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ,那么 P (D )=23110C ×21110⎛⎫- ⎪⎝⎭+31110⎛⎫- ⎪⎝⎭=9721 =243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.18.(2012四川,文18)已知函数f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域;(2)若f (α10求sin 2α的值.解:(1)由已知,f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12=1(1+cos x )-12sin x -122x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以f (x )的最小正周期为2π,值域为22⎡⎢⎣⎦.(2)由(1)知,f (α2α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10所以cos α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=35.所以sin 2α=-cos 2α2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos 2α4π⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1-2cos 2α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=1-1825=725.19.(2012四川,文19)如图,在三棱锥P -ABC 中,∠APB =90°,∠PAB =60°,AB =BC =CA ,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角B -AP -C 的大小.解法一:(1)如图,连结OC .由已知,∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.设AB 的中点为D ,连结PD ,CD . 因为AB =BC =C A ,所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°,∠PAB =60°, 所以△PAD 为等边三角形.不妨设PA =2,则OD =1,OP AB =4.所以CD =OC在Rt △OCP 中,tan ∠OCP =O P O C13故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为13(2)过D 作DE ⊥AP 于E ,连结CE .由已知可得,CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知,CE ⊥PA .所以∠CEDB -AP -C 的平面角. 由(1)知,DE 在Rt △CDE 中,tan ∠CED =C D D E2.故二面角B -AP -C 的大小为arctan 2. 解法二:(1)设AB 的中点为D ,连结CD .因为O 在AB 上,且O 为P 在平面ABC 上的射影, 所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥AB ,且PO ⊥CD . 由AB =BC =CA ,知CD ⊥AB . 设E 为AC 中点,则EO ∥CD ,从而OE ⊥PO ,OE ⊥AB .如图,以O 为坐标原点,OB ,OE ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设PA =2,由已知可得,AB =4,OA =OD =1,OP CD =所以O (0,0,0),A (-1,0,0),C (1,0),P (0,0所以C P =(-1,-而O P =(0,0为平面ABC 的一个法向量. 设α为直线PC 与平面ABC,则sin α=C P |C P||O P|4故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为4(2)由(1)有,AP=(1,0,AC =(2,0).设平面APC 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则n ,n A P A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇔n 0,n 0A P A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇔111111(x ,y ,z )(1,0,(x ,y ,z )(2,0)0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 从而1111x z 0,2x y 0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取x 1则y 1=1,z 1=1, 所以n 1,1).设二面角B -AP -C 的平面角为β,易知β为锐角. 而面ABP 的一个法向量为m =(0,1,0),则cos β=n m |n||m |⋅5故二面角B -AP -C 的大小为520.(2012四川,文20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a 1>0,λ=100.当n 为何值时,数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大? 解:(1)取n =1,得λ21a =2S 1=2a 1,a 1(λa 1-2)=0.若a 1=0,则S n =0.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=0-0=0, 所以a n =0(n ≥1). 若a 1≠0,则a 1=2λ.当n ≥2时,2a n =2λ+S n ,2a n -1=2λ+S n -1,两式相减得2a n -2a n -1=a n ,所以a n =2a n -1(n ≥2),从而数列{a n }是等比数列, 所以a n =a 1·2n -1=2λ·2n -1=n2λ.综上,当a 1=0时,a n =0; 当a 1≠0时,a n =n2λ.(2)当a 1>0且λ=100时,令b n =lg n1a , 由(1)有,b n =lg n1002=2-n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-lg 2). b 1>b 2>…>b 6=lg 61002=lg 10064>lg 1=0,当n ≥7时,b n ≤b 7=lg 71002=lg 100128<lg 1=0,故数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大.21.(2012四川,文21)如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (1,0)构成△MAB ,且直线MA ,MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =x +m (m >0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围.解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),当x =-1时,直线MA 的斜率不存在;当x =1时,直线MB 的斜率不存在. 于是x ≠1且x ≠-1.此时,MA 的斜率为y x 1+,MB 的斜率为y x 1-.由题意,有y x 1+·y x 1-=4,化简可得4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠1且x ≠-1). (2)由22y x m ,4x y 40=+⎧⎨--=⎩消去y ,可得3x 2-2mx -m 2-4=0.(*)对于方程(*),其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0, 而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m >0)可知,m >0,且m ≠1. 设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ), 则x Q ,x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ |<|PR |, 所以|x Q |<|x R |,x Q3x R3所以|PR ||PQ |=R Qx x=11,2,所以1<13,且153≠, 所以1<|PR ||PQ |=R Qx x <3,且|PR ||PQ |=R Qx 5x 3≠.综上所述,|PR ||PQ |的取值范围是551,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃.22.(2012四川,文22)已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线y =-x 2+na2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)用a 和n 表示f (n ); (2)求对所有n 都有f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的a 的最小值;(3)当0<a <1时,比较1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )与6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+的大小,并说明理由.解:(1)由已知得,交点A的坐标为0⎫⎪⎪⎭.对y =-x 2+12a n 求导得y '=-2x ,则抛物线在点A 处的切线方程为yx -⎝, 即y+a n . 则f (n )=a n .(2)由(1)知f (n )=a n , 则f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的充要条件是a n ≥2n +1.即知a n ≥2n +1对所有n 成立. 特别地,取n =1得到a ≥3.当a =3,n ≥1时,a n =3n =(1+2)n =1+1n C ·2+…≥2n +1. 当n =0时,a n =2n +1. 故a =3时,f (n)-1n f (n )1n 1≥++对所有自然数n 均成立.所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )=a k . 下面证明:1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )>6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.首先证明:当0<x <1时,21x x->6x .设函数g (x )=6x (x 2-x )+1,0<x <1. 则g '(x )=18x 2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭.当0<x <23时,g '(x )<0;当23<x <1时,g '(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min =g 23⎛⎫ ⎪⎝⎭=19>0.所以,当0<x <1时,g (x )>0,即得21x x->6x .由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *), 因此k2k1a a->6a k ,从而1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )=21a a-+241a a-+…+n2n1a a->6(a +a 2+…+a n )=6·n 1a a1a+--=6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试四川卷文科数学1.设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝( ). A ．{b } B ．{b ，c ，d } C ．{a ，c ，d } D ．{a ，b ，c ，d }D A ∪B ＝{a ，b }∪{b ，c ，d }＝{a ，b ，c ，d }，故选D ． 2.(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ). A ．21 B ．28 C ．35 D ．42A 因为含x 2项是二项式展开式中的第三项T 3＝27C x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21，故选A ．3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ). A ．101 B ．808 C ．1212 D ．2012 B 四个社区抽取的总人数为12＋21＋25＋43＝101，由分层抽样可知，9612＝101N ，解得N ＝808.故选B ．4.函数y ＝a x ﹣a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( ).C 当a >1时，y ＝a x 是增函数，﹣a <﹣1，则函数y ＝a x ﹣a 的图象与y 轴的交点在x 轴下方，故选项A 不正确;y ＝a x ﹣a 的图象与x 轴的交点是(1，0)，故选项B 不正确;当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，y ＝a x ﹣a 的图象与x 轴的交点是(1，0)，故选项C 正确;若0<a <1，则﹣1<﹣a <0，y ＝a x ﹣a 的图象与y 轴的交点在x 轴上方，故选项D 不正确.5.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ).A BC D B 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.又因为在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC cos ∠BEC 于是sin ∠CED ＝sin πBEC 4∠⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin π4cos ∠BEC ﹣cos π4sin ∠BEC.故选B ．6.下列命题正确的是( ).A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 C若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项A 错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B 不正确;如图，平面α∩β＝b ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作平面ε∩α＝c ，过直线a 作平面γ∩β＝d ，∵a ∥α，∴a ∥c ，∵a ∥β，∴a ∥d ，∴d ∥c ，∵c ⊂α，d ⊄α，∴d ∥α，又∵d ⊂β，∴d ∥b ，∴a ∥b ，选项C 正确;若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D 不正确. 7.设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ).A ．|a|＝|b|且a ∥bB ．a ＝﹣bC ．a ∥bD ．a ＝2bD 若a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D ．8.若变量x ，y 满足约束条件x y 3,x 2y 12,2x y 12,x 0,y 0,-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩则z ＝3x ＋4y 的最大值是( ). A ．12 B ．26 C ．28 D ．33C 作出可行域如图五边形OABCD 边界及其内部，作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值.由x 2y 12,2x y 12,+=⎧⎨+=⎩得B(4，4)，于是z max ＝3×4＋4×4＝28，故选C ．9.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( ). A ．B ．C ．4D ．B 由抛物线定义知，p 2＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x.因为点M(2，y 0)在此抛物线上，所以20y ＝8，于是|OM|故选B ．10.如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足∠BOP ＝60°，则A ，P 两点间的球面距离为( ).A ．RB ．R 4πC ．RD ．R 3πA 过点A 作AH ⊥平面BCD ．∵平面BCD 与底面所成角为45°，AO ⊥平面α，在交线上，点B 与平面α的距离最大，为4.∴点H 在OB 上，且∠AOB ＝45°.过点H 作HM ⊥OP ，垂足为M ，连接AM ，在等腰直角三角形AOH 中，AH ＝OH 在Rt △HOM 中，∠HOP ＝60°，∴HM ＝在Rt△AHM 中，AM R ，∴sin ∠AOM ＝4R，∴cos ∠AOM∴∠AOP ＝∴A ，P 两点间的球面距离为R11.方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{﹣2，0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( ). A ．28条 B ．32条 C ．36条 D ．48条B 因为a ，b 不能为0，先安排a ，b ，有24A 种，c 有13C 种，所以表示的抛物线共有2143A C ＝36(条).又因为当b ＝±2时，b 2都为4，所以重复的抛物线有1122C C ＝4(条).所以这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有36﹣4＝32(条).故选B ．12.设函数f(x)＝(x ﹣3)3＋x ﹣1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ). A ．0 B ．7 C ．14 D ．21D 由f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝14知，(a 1﹣3)3＋(a 2﹣3)3＋…＋(a 7﹣3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)﹣7＝14.因为{a n }是公差不为0的等差数列，所以(a 1﹣3)3＋(a 2﹣3)3＋…＋(a 7﹣3)3＋7(a 4﹣3)＝0.因为(a 1﹣3)3＋(a 7﹣3)3＝[(a 1﹣3)＋(a 7﹣3)][(a 1﹣3)2＋(a 7﹣3)2﹣(a 1﹣3)(a 7﹣3)]＝2(a 4﹣3)2217713(a 3)-(a 3)(a 3)24⎧⎫⎪⎪⎡⎤--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭＝2(a 4﹣3)22177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令222177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝M 1>0，同理(a 2﹣3)3＋(a 6﹣3)3＝2(a 4﹣3)22266133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝(a 4﹣3)·M 2， (a 3﹣3)3＋(a 5﹣3)3＝2(a 4﹣3)22355333aa (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝(a 4﹣3)·M 3， (a 4﹣3)3＝(a 4﹣3)(a 4﹣3)2，其中M 2>0，M 3>0，所以(a 1﹣3)3＋(a 2﹣3)3＋…＋(a 7﹣3)3＋7(a 4﹣3)＝(a 4﹣3)M 1＋(a 4﹣3)M 2＋(a 4﹣3)M 3＋(a 4﹣3)(a 4﹣3)2＋7(a 4﹣3) ＝(a 4﹣3)[M 1＋M 2＋M 3＋(a 4﹣3)2＋7]＝0，因为M 1＋M 2＋M 3＋(a 4﹣3)2＋7>0恒成立，所以a 4﹣3＝0，a 4＝3，而a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21.故选D ．13.函数f(x)的定义域是__________.(用区间表示) 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∵1﹣2x>0，∴x<12，∴f(x)的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 14.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是__________.90° 如图所示，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D ﹣xyz ，设正方体的棱长为2，则1MA ＝(2，﹣1，2)，DN ＝(0，2，1)，于是1MA ·DN ＝0，故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.15.椭圆22x a ＋2y 5＝1(a 为定值，且的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________.23如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF|＝2a ﹣|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a ﹣|AF 1|＋|AH|)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|>|AH|，仅当|AF 1|＝|AH|，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF 1|)＝4a ＝12，∴a ＝3，而b ∴c ＝2，离心率e ＝c a＝23.16.设a ，b 为正实数.现有下列命题： ①若a 2﹣b 2＝1，则a ﹣b<1; ②若1b﹣1a＝1，则a ﹣b<1;③若＝1，则|a ﹣b|<1; ④若|a 3﹣b 3|＝1，则|a ﹣b|<1.其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)①④ ①a 2＝b 2＋1，∵b 2>0，∴a 2>1，故a>1，而a ﹣b ＝1a b+，∵a>1，b>0，∴a ＋b>1，∴1a b+<1，∴①正确;②1b﹣1a＝1，∵当b ＝23，a ＝2时，满足1b﹣1a＝32﹣12＝1，而此时a ﹣b>1，∴②不正确;③∵a ，b为正实数，且＝1.不妨设a>b ，则a ﹣b ＝1>1，∴a ﹣b ，∴③不正确;④∵a ，b 是正实数，不妨设a>b ，∴a 3﹣b 3＝(a ﹣b)(a 2＋b 2＋ab)，∴a ﹣b ＝3322a b a ab b -++＝221a ab b ++，∵a 3＝1＋b 3>1，∴a 2>1，∴a 2＋ab ＋b 2>1，则0<221a ab b ++<1，∴a ﹣b ＝221a ab b ++<1，即|a ﹣b|<1.同理，设a<b ，也能得到|a ﹣b|<1的结论，故④正确. 17.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值;(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1﹣P(C )＝1﹣110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么 P(D)＝23110C ×21110⎛⎫- ⎪⎝⎭＋31110⎛⎫- ⎪⎝⎭＝9721?000＝243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.18.已知函数f(x)＝cos 2x 2﹣sin x 2cos x 2﹣12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)sin 2α的值.解：(1)由已知，f(x)＝cos 2x 2﹣sin x 2cos x 2﹣12＝12(1＋cos x)﹣12sin x ﹣12x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以f(x)的最小正周期为2π，值域为⎡⎢⎣⎦.(2)由(1)知，f(α)α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以cos α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝35.所以sin 2α＝﹣cos 2α2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝﹣cos 2α4π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1﹣2cos 2α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1﹣1825＝725.19.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角B ﹣AP ﹣C 的大小.解法一：(1)如图，连结OC ．由已知，∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.设AB 的中点为D ，连结PD ，CD ． 因为AB ＝BC ＝CA ，所以CD ⊥AB ． 因为∠APB ＝90°，∠PAB ＝60°， 所以△PAD 为等边三角形.不妨设PA ＝2，则OD ＝1，OP AB ＝4.所以CD ＝OC在Rt △OCP 中，tan ∠OCP ＝OP OC故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为 (2)过D 作DE ⊥AP 于E ，连结CE.由已知可得，CD ⊥平面PAB ． 根据三垂线定理知，CE ⊥PA ．所以∠CED 为二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角.由(1)知，DE在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝CD DE 2.故二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为arctan 2. 解法二：(1)设AB 的中点为D ，连结CD ．因为O 在AB 上，且O 为P 在平面ABC 上的射影， 所以PO ⊥平面ABC ．所以PO ⊥AB ，且PO ⊥CD ． 由AB ＝BC ＝CA ，知CD ⊥AB ．设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OPCD＝所以O(0，0，0)，A(﹣1，0，0)，C(1，20)，P(0，0所以CP＝(﹣1，﹣，而OP＝(0，0为平面ABC的一个法向量.设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα＝CP?OP|CP||OP|＝故直线PC与平面ABC所成的角的大小为(2)由(1)有，AP＝(1，0，AC ＝(2，0).设平面APC的一个法向量为n ＝(x1，y1，z1)，则n,nAPAC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩⇔n?0,n?0APAC⎧=⎪⎨=⎪⎩⇔111111(x,y,z0,(x,y,z)?(2,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩从而1111x0,2xy0.⎧=⎪⎨+=⎪⎩取x1y1＝1，z1＝1，所以n＝(1，1).设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角.而面ABP的一个法向量为m＝(0，1，0)，则cosβ＝n?m|n||m|故二面角B﹣AP﹣C的大小为20.已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ>0，且λa1a n＝S1＋S n对一切正整数n都成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列n1alg⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和最大?解：(1)取n＝1，得λ21a＝2S1＝2a1，a1(λa1﹣2)＝0.若a1＝0，则S n＝0.当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝0﹣0＝0，所以a n＝0(n≥1).若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n ﹣1＝2λ＋S n ﹣1，两式相减得2a n ﹣2a n ﹣1＝a n ，所以a n ＝2a n ﹣1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2n ﹣1＝2λ·2n ﹣1＝n2λ.综上，当a 1＝0时，a n ＝0; 当a 1≠0时，a n ＝n2λ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg n1a ，由(1)有，b n ＝lg n1002＝2﹣n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为﹣lg 2). b 1>b 2>…>b 6＝lg 61002＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 71002＝lg 100128<lg 1＝0，故数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大.21.如图，动点M 与两定点A(﹣1，0)，B(1，0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y ＝x ＋m(m>0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|<|PR|，求|PR ||PQ |的取值范围.解：(1)设M 的坐标为(x ，y)，当x ＝﹣1时，直线MA 的斜率不存在;当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在. 于是x≠1且x≠﹣1.此时，MA 的斜率为y x 1+，MB 的斜率为y x 1-.由题意，有y x 1+·y x 1-＝4，化简可得4x 2﹣y 2﹣4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2﹣y 2﹣4＝0(x≠1且x≠﹣1).(2)由22y x m,4x y 40=+⎧⎨--=⎩消去y ，可得3x 2﹣2mx ﹣m 2﹣4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(﹣2m)2﹣4×3(﹣m 2﹣4)＝16m 2＋48>0， 而当1或﹣1为方程(*)的根时，m 的值为﹣1或1. 结合题设(m>0)可知，m>0，且m≠1.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ|<|PR|，所以|x Q |<|x R |，x Q，x R.所以|PR ||PQ |＝R Q x x＝1，所以1<1，且153≠， 所以1<|PR ||PQ |＝R Q x x <3，且|PR ||PQ |＝R Q x 5x 3≠.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是551,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃. 22.已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝﹣x 2＋n a 2与x 轴正半轴相交于点A ．设f(n)为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)用a 和n 表示f(n);(2)求对所有n 都有f (n)-1n f (n)1n 1≥++成立的a 的最小值;(3)当0<a<1时，比较1f (1)-f (2)＋1f (2)-f (4)＋…＋1f (n)-f (2n)与6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+的大小，并说明理由. 解：(1)由已知得，交点A的坐标为⎫⎪⎪⎭.对y ＝﹣x 2＋12a n 求导得y'＝﹣2x ，则抛物线在点A 处的切线方程为yx ⎝，即y＋a n .则f(n)＝a n .(2)由(1)知f(n)＝a n ，则f (n)-1n f (n)1n 1≥++成立的充要条件是a n ≥2n ＋1. 即知a n ≥2n ＋1对所有n 成立.特别地，取n ＝1得到a ≥3.当a ＝3，n ≥1时，a n ＝3n ＝(1＋2)n ＝1＋1n C ·2＋…≥2n ＋1.当n ＝0时，a n ＝2n ＋1.故a ＝3时，f (n)-1n f (n)1n 1≥++对所有自然数n 均成立.所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f(k)＝a k .下面证明：1f (1)-f (2)＋1f (2)-f (4)＋…＋1f (n)-f (2n)>6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+. 首先证明：当0<x<1时，21x x ->6x.设函数g(x)＝6x(x 2﹣x)＋1，0<x<1.则g'(x)＝18x 2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当0<x<23时，g'(x)<0;当23<x<1时，g'(x)>0.故g(x)在区间(0，1)上的最小值g(x)min ＝g 23⎛⎫ ⎪⎝⎭＝19>0. 所以，当0<x<1时，g(x)>0，即得21x x ->6x. 由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *)， 因此k 2k1a a ->6a k ，从而1f (1)-f (2)＋1f (2)-f (4)＋…＋1f (n)-f (2n)＝21a a -＋241a a -＋…＋n 2n1a a ->>6(a ＋a 2＋…＋a n )＝6·n 1a a 1a +--＝6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V Rp =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B = （ ）A 、{}bB 、{,,}b c dC 、{,,}a c dD 、{,,,}a b c d 2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、423、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A 、101B 、808C 、1212D 、2012 4、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A、B、C D6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b=成立的充分条件是（）A、||||a b=且//a bB、a b=-C、//a bD、2a b=8、若变量,x y满足约束条件3,212,212x yx yx yxy-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y=+的最大值是（）A、12B、26C、28D、339、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点(2,)M y。