人教A版高中数学必修第二册学案：6.2.1 向量的加法运算

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第6章6.2 6.2.1向量的加法运算含解析6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点）3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）1。

教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法,给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养。

有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航班,因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再从香港到拉萨．问题:这两次位移之和是什么?1．向量加法的定义(1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2）对于零向量与任意向量a,规定0＋a＝a ＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b，则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量错误!＝a＋b.[提示]不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．3．｜a＋b|与｜a|、|b｜之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤｜a｜＋|b｜,当且仅当a，b方向相同时等号成立．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(）(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．（)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()（4)|a｜＋|b｜＞｜a＋b|. （)［答案]（1）√（2)×(3）×（4）×2。

6.2.1 向量的加法运算教学设计（人教A版）教材分析：本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.教学目标与核心素养：课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.教学重难点：重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.课前准备：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则ABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →， 所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |.若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.4．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →.. 【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →.(2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形．题型四 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】 船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20， 所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ， 方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.6.2.1 向量的加法运算1.向量加法概念 例1 例2 例3 例42.三角形和平行四边形法则3. 向量a +b 与非零向量 a ，b 的模及方向的关系教学反思：本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。

6.2 向量的加法运算1..理解向量加法的意义；2.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；3.理解向量的运算律；4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。

1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。

1．向量加法的定义定义：求 的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a ，规定 ． 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝平行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB →，AD →为邻边作▱ABCD ，则对角线上的向量 ＝a ＋b .3.向量的运算律交换律 结合律a ＋b ＝(a ＋b )＋c ＝一、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？1.已知向量和，如图在平面内任取一点O ，作==,，则向量叫做和的和，记作+．即=+=+。

求 的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 口诀： 。

思考2：某物体受到F 1，F 2作用，则该物体所受合力怎么求？2.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a 和b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．+=【口诀】思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？注：向量的加法运算结果还是向量。

对于零向量与任一向量a ．我们规定 。

例1.如图，已知向量a 和b ，求作向量b a +。

探究1：如果向量和共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量+吗？探究2：结合例1，探索|||,||,|+之间的关系。

第六章平面向量及其应用6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形 B .矩形 C .正方形 D .平行四边形,四边形ABCD 是以AB ,AD 为邻边的平行四边形. 2.在边长为1的正方形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于 ( )A.0B.1C.√2D.3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.3.(多选题)已知向量a ∥b ,且|a |≠|b |,则向量a +b 的方向可能( ) A.与向量a 的方向相同 B.与向量a 的方向相反 C.与向量b 的方向相同 D.与向量b 的方向相反a ∥b ,且|a |≠|b |,∴a 与b 共线,它们的和的方向可能与a 同向或反向,与b 同向或反向. 4.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.0 B.BE⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.CF ⃗⃗⃗⃗⃗CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.5.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA⃗⃗⃗⃗⃗ C.PC⃗⃗⃗⃗⃗ D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC⃗⃗⃗⃗⃗ . 6.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)0由平行四边形法则可知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(4)AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 7.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .°P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC ,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量加法的平行四边形法则可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°. 8.是否存在a ,b ,使|a +b |=|a |=|b |?请画出图形说明.,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OA=OB=OC ,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.9.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?图,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3 km .关键能力提升练10.(2021广东模拟)在正六边形ABCDEF 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AF ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BE⃗⃗⃗⃗⃗ C.CD⃗⃗⃗⃗⃗ D.0,连接AD ,BE ,设AD 与BE 交于O 点,则BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故选D .11.(多选题)设a =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列选项正确的有( ) A.a ∥b B.a +b =a C.a +b =b D.|a +b |<|a |+|b |a =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又b 为任一非零向量,∴A,C 正确.12.如图所示,在矩形ABCD 中,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则|a +b +c |= .√3+b +c =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .如图,延长BC 至点E ,使CE=BC ,连接DE ,∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE AD.∴四边形ACED 是平行四边形.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴|a +b +c |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3. 13.如图所示,一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地,然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km 到达C 地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°≈0.6).AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |;两次位移的和指的是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt △ABC 中,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+6002=1 000(km),其中∠BAC ≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向约为北偏东72°.学科素养创新练14.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 是平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,知四边形ABCD 为菱形. 又cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=60°. ∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.。

【新教材】8.5.3 平面与平面平行教学设计（人教A版）第2课时平面与平面平行的性质在平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面平行关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的平行关系有一个整体的认知，线线平行、线面平行、面面平行是可以相互转化的.课程目标1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面平行的性质定理.难点：平面和平面平行的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本141-142页，思考并完成以下问题1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?2、满足什么条件时两个平面平行？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?答案:平行.探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】证明见解析【解析】如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证：AB=CD.证明： 因为AB//CD，所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β，所以BD//AC.因此四边形ABCD是平行四边形.所以AB=CD解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.跟踪训练一1、如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.【答案】证明见解析【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE ⊄平面ABC,AB ⊂平面ABC,所以DE ∥平面ABC,同理EF ∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF ∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF ∥MC.题型二 平行关系的综合应用例2 如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q 分别是BC,C 1D 1,AD 1,BD 的中点.(1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1;(2)求PQ 的长;(3)求证:EF ∥平面BB 1D 1D.【答案】（1）见解析（2 a. (3)见解析.【解析】(1)法一 如图,连接AC,CD 1.因为P,Q 分别是AD 1,AC 的中点,所以PQ ∥CD 1又PQ ⊄平面DCC 1D 1,CD 1⊂平面DCC 1D 1,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.法二 取AD 的中点G,连接PG,GQ,则有PG ∥DD 1,GQ ∥DC,且PG∩GQ=G,所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ=12D 1 a. (3)法一 取B 1D 1的中点O 1,连接FO 1,BO 1,则有FO 112B 1C 1. 又BE 12B 1C 1,所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形,所以EF ∥BO 1,又EF ⊄平面BB 1D 1D,BO 1⊂平面BB 1D 1D,所以EF ∥平面BB 1D 1D.法二 取B 1C 1的中点E 1,连接EE 1,FE 1,则有FE 1∥B 1D 1,EE 1∥BB 1,且FE 1∩EE 1=E 1,所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D.又EF ⊂平面EE 1F,所以EF ∥平面BB 1D 1D.解题技巧 (空间平行关系的注意事项)直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.跟踪训练二1、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ 与平面PAO 平行?【答案】证明见解析【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,点M 在AA 1上,平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1=BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M.假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1=AP,可得AP ∥D 1M,所以BQ ∥D 1M ∥AP.因为P 为DD 1的中点, 所以M 为AA 1的中点,Q 为CC 1的中点, 故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本142页练习4题，143页习题8.5的剩余题.直线与直线平行，直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系捋顺.。

6.2.1 向量的加法运算『A 基础达标』1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB→＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 35．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( )A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________．8．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是________．9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状：(1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.『B 能力提升』11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( )A ．|AB →＋CD →|>|AB →|B ．|AB →＋CD →|≥|CD →|C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →|D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|12．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝______.13．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋CA →|＝|BC →|；③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.14．如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．『C 拓展探究』15．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？——★ 参*考*答*案 ★——『A 基础达标』1．『『解 析』』选A.因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.2．『『解 析』』选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →.3．『『解 析』』选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B.4.『『解 析』』选B.由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．『『解 析』』选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．『『解 析』』原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.『『答 案』』AC →7．『『解 析』』在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形，又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1，所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.『『答 案』』18．『『解 析』』因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．『『答 案』』①③9．解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .因为∠AOB ＝60°，所以AB ＝|OA →|＝3.所以在Rt △BDC 中，CD ＝332. 所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 『B 能力提升』11．『『解 析』』选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．『『解 析』』因为P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.因此∠ACB ＝120°.『『答 案』』120°13．『『解 析』』①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.『『答 案』』①②③14．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量，所以点B 在以点A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，|OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.『C 拓展探究』15．解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)，|OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。

【新教材】8.5.2 直线与平面平行教学设计（人教A版）第1课时直线与平面平行的判定在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

课程目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.难点：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入问题1.观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？【答案】平行.问题2.请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗？【答案】平行，有.问题3.根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本135-137页，思考并完成以下问题1、直线与平面平行的判定定理是什么？2、怎样用符号语言表示直线与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的判断定理的理解例1下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内,则a∥α②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行④若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点⑤平行于同一平面的两直线可以相交A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①a⊄α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是()A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β【答案】D.【解析】A,B,C错;在D中,α∥β,a⊂α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.题型二直线与平面平行的判断定理的应用例2 在空间四边形ABCD中,E，F分别是AB，AD的中点,求证:EF∥平面BCD.【答案】证明见解析【解析】∵AE=EB,AF=FB,∴EF∥BD.EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD.∴EF∥平面BCD解题技巧：(判定定理应用的注意事项)(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.跟踪训练二OB,E,F分别为BC,OC的中点.求证:DE∥平面AOC.1.如图,已知OA,OB,OC交于点O,AD12【答案】证明见解析【解析】证明在△OBC中,因为E,F分别为BC,OC的中点,OB,所以FE12OB,所以FE AD.又因为AD12所以四边形ADEF是平行四边形.所以DE∥AF.又因为AF⊂平面AOC,DE⊄平面AOC.所以DE∥平面AOC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本139页练习1、2、3题，143页习题8.5的4、5、6题.本节课，从内容上来说，学生基本掌握判定定理，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.从方法上来说，通过本节课判定定理的学习，学生理解证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了，让学生初步感知空间问题可以转化为平面问题解决.。

题目 6.2.1向量的加法运算课标要求在探究向量的运算性质时，与实数的运算性质进行了类比数的运算，学生能够理解向量的线性运算，运算的原理、方法、规律，理解平面向量的线性运算的概念。

提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

核心素养目标1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。

2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力。

3. 通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

教学重点两个向量的的概念及其几何意义,向量加法的运算律。

教学难点数形结合求向量的和。

教学策略 1.探究与发现2.自主练习与指导教具准备多媒体课件，班班通，教材教学方法启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。

学习方法从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。

教学过程环节一：复习回顾，温故知新教师活动：提出问题，引导、检查学生学习情况1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？学生活动：回顾上节课学习过的内容，思考问题并举手回答活动意图说明：通过复习上节所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

环节二：知识探究（一）：向量的三角形法则教师活动：思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作bABaOA==,，则向量OB叫做a和b的和，记作ba+．即OBABOAba=+=+。

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

向量加法的三角形法则：第一个向量的终点和第二个向量的起点连在一起，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量叫做两个向量的和向量。

【口诀】首尾相连首尾连。

学生活动：回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题通过思考，浏览教材，总结向量加法的三角形法则的定义理解口诀的含义并熟背口诀活动意图说明：通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

6.2.1向量的加法运算（分层作业）（必做题+选做题）【必做题】一、单选题 1．（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）AB BC CD ++=（ ） A ．AD B ．DAC ．BDD ．DB【分析】由向量的加法法则求解 【详解】AB BC CD AC CD AD ++=+= 2022·高一课时练习）若在△ABC 中，AB a =，BC b =，且1a b ==，2a b +=，则△ABC 的形状是（ ） A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．等腰直角三角形【分析】直接求出2AC AB BC a b =+=+=，即可判断【详解】由于1AB a ==，1BC b ==|，2AC AB BC a b =+=+=，所以高一课时练习）在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可； 【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4．（2022·全国·高一假期作业）向量()()AB PB BO BM OP ++++化简后等于（ ） A ．BC B ．ABC ．ACD ．AM【答案】D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】()()()()AB PB BO BM OP AB BM PB BO OP AM ++++=++++= 故选：D5．（2022·全国·高一专题练习）在四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．平行四边形a ，b 互为相反向量，已知3b =，则下列结论正确的是（ ） A ．a b = B ．a b +为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．3a =【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反，所以a b =-，故A 错误；0a b +=，故B 错误；a 与b 方向相反，故C 错误；3a b ==，故正确.故选：D.7．（2022·高一课时练习）在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，则向量AB AD AC ++的长度等于（ ） A ．4 B ．23C ．3D ．2【分析】根据向量的加法运算法化简2AB AD AC AC ++=，根据矩形的特征可求对角线3,1AB BC ==可得2AC =,又因为=C AB A A D +,故2AB AD AC AC ++=，故=4AB AD AC ++， 故选:A8．（2022·高一课前预习）正方形ABCD 的边长为，则AB AD +为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．22【答案】B根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 又因为正方形ABCD 的边长为所以212AB A AD C +==，故选：B.2022秋·重庆江北·高一字水中学校考阶段练习）点在ABC 内部，满足230PA PB PC ++=，则:ABCAPCSS为（ ）A ．2:1B ．3:2C ．3:1D ．5:3:ABCAPCSS的值、BC 的中点因为PA PD DA =+，PC PD DC PD DA =+=-，所以，2PA PC PD +=， 同理可得2PB PC PE +=，因为()2302PA PB PC PA PC PB PC ++==+++， 所以，240PD PE +=，所以，2PD PE =-， 所以，点P 为线段DE 上靠近点E 的三等分点， 32CDE PCD S =△△，46ABC CDE PCD S S S ==△△△，APC PCDS S △，因此，6:231::ABCAPCS S==.故选：C.二、多选题10．（2022·高一课时练习）（多选）已知||23,||2a b ==，向量a 与b 的夹角为30°，则以向量a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）A ．10B ．C ．2D ．22BC【分析】设,AD b AB a ==，过点，得到3,1AF DF ==，进而求得【详解】设,AD b AB a ==．则30AD ,DE AB ⊥于点E ，则AE ，可得DB AF BD ⊥于点F ，则AF ，所以2AO AF =+11．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．向量PA 与PC 可能平行B ．点P 在线段EF 上C ．:2:1PE PF =D ．::1:2:3PAB PAC PBC S S S =△△△【分析】根据平面向量线性运算化简230PA PB PC ++=得到2PE PF =-，即可判断的三等分点得到12PABABCSS =，13PACABCSS =，16PBCABCSS =，然后得到::3:2:1PABPACPBCSSS=，即可判断D 选项.【详解】因为230PA PB PC ++=，所以()2240PA PC PB PC PE PF +++=+=，即2PE PF =-，所以点12PABABCS S =，12PAC PBCABC S SS +=，又点的三等分点，12PACSPE h =⋅⋅，12PBCSPF h =⋅⋅，所以2PACPBCS S=，则13PACABCSS =，16PBCABCSS =，所以111::::3:2:126PABPACPBCSS S==，故D 错. 故选：BC.三、填空题12．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）化简：CA BA DC BD --+=________． 2CD【分析】依据向量加法法则去求解即可.【详解】+++2CA BA DC BD CA AB CD BD CB BD CD CD --+=+=+= 故答案为：2CD .2022秋·上海长宁·高一校考期中）在边长为2的正方形ABCD 中，AC CB DB +-=______. 2【分析】由向量运算可求解.【详解】2AC CB DB AB BD AD +-=+==. 故答案为：2.2022秋·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）在平行四边形BC CA AB ++=______．【答案】0【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解：0BC CA AB BA AB ++=+= 故答案为：015．（2022秋·浙江嘉兴·高一校考期中）AB BC +的化简结果是 ______ ． 【答案】AC【分析】根据向量加法法则计算即可 【详解】AB BC +=AC .故答案为：AC16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD //BC ，则OA ＋BC ＋AB ＝________.【答案】OC【分析】利用向量的加法运算即得. 【详解】OA ＋BC ＋=++=OA BC O AB AB C . 故答案为：OC .17．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.（1）AB AD +=____________； （2）AC CD DO ++=________； （3）AB AD CD ++=_______； （4）AC BA DA ++=_________.【答案】 AC AO AD 0 【分析】根据向量加法法则计算．【详解】（1）由平行四边形法则，AB AD AC +=；（2）由向量加法的三角形法则，AC CD DO AD DO AO ++=+=； （3）由向量加法法则得，AB AD CD AC CD AD ++=+=；（4）由向量加法法则得，0AC BA DA BA AC BC D A A D ++=++=+=． 故答案为：AC ；AO ；AD ；0．18．（2022·全国·高一专题练习）若C 是线段AB 的中点，则AC ＋BC ＝________. 【答案】0【分析】根据相反向量的加法可求解. 【详解】△C 是线段AB 的中点，△AC ＝CB .△AC 与BC 方向相反，模相等．△0AC BC +=. 故答案为：0四、解答题19．（2022·高一课时练习）化简 (1)OA BC AB CD DO ++++； (2)EF DE FA ++ . 【答案】(1)0 (2)DA【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可.【详解】（1）OA BC AB CD DO ++++=()OA AB BC CD DO ++++=0 （2）EF DE FA ++=（)DE EF FA ++=DA .20．（2022·高一课时练习）如图，请在图中直接标出：(1)AB ＋BC ．(2)AB ＋BC ＋CD ＋DE ．【答案】(1)(2)【分析】根据向量加法法则进行计算.【详解】（1）AB BC AC，如图所示：（2）AB＋BC＋CD＋DE AE，如图所示：21．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，△AOB＝△BOC＝120°，|OA|＝|OB|＝|OC |，求OA＋OB＋OC.【答案】0【分析】根据向量加法法则的几何意义，即可得到答案； 【详解】如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA OB OD +=由||||OA OB =，△AOB ＝120°， 知△BOD ＝60°，||||OB OD =， 又△COB ＝120°，且||||OB OC =， 0OD OC ∴+=，0OA OB OC ∴++=.22．（2022·高一课时练习）如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．【答案】证明见解析【分析】由题图，根据向量的加减法则有DA CB =，OC CB OB +=，OB BA OA +=，再将b c a +-进行化简，即可证结论.【详解】由题图有：DA CB =，OC CB OB +=，OB BA OA +=，所以b c a DA AB CB OC AB OB AB OB B C A O OA +-=+=+-+===--，得证. 23．（2022·高一课时练习）在ABCD 中，求BC DC BA DA +++．【答案】0【分析】由平面向量的相等向量与相反向量的定义化简可得. 【详解】记,AB a AD b ==，则,,,BC b DC a BA a DA b ===-=- 所以0BC DC BA DA b a a b +++=+--=24．（2022·高一课时练习）如图，已知,a b，求作a b+.(1)；(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解.【详解】（1）在平面内任取一点O，如图所示作,,==则OB a bOA a AB b=+.（2）在平面内任取一点A，如图所示作,,AB a BC b ==则AC a b =+.【选做题】一、单选题 1．（2022秋·新疆伊犁·高一统考期末）在正六边形ABCDEF 中，点G 是线段DE 的中点，则FG =（ ）A ．5163AC DB -B ．2133AC DB -C ．5166AC DB -D ．2136AC DB - 由已知得，1233BA BM MA BD CA =+=+，111221223336FG FD DG AC DG AC BA AC BD CA AC DB ⎛⎫=+=+=+=++=- ⎪⎝⎭. 故选：D.,a b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ A ．//a b ，且a 与b 方向相同 B ．,a b 是共线向量且方向相反 C ．a b = D ．,a b 无论什么关系均可【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.【详解】当两个非零向量,a b 不共线时，a b +的方向与,a b 的方向都不相同，且a b a b +<+；当两个非零向量,a b 同向时， a b +的方向与,a b 的方向都相同，且a b a b +=+；当两个非零向量,a b 反向时且a b <，a b +的方向与b 的方向相同，且a b b a +=-， 所以对于非零向量,a b ，且a b a b +=+，则//a b ，且a 与b 方向相同高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．0AB BA +=；B ．若a 、b 非零向量且||||a b a b +=-，则a b ⊥；C ．若||||a b =且//a b ，则a b =；D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=. 【答案】B【分析】注意到零向量的符号应当是0，可知A 错误；对于B ：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明0a b ⋅=，可得B 正确；考虑到a b =-的情况，得到C 错误；考虑到0a =，0b ≠，可知D 错误.【详解】0AB BA +=左边是向量的加法，结果是零向量，用0表示，故A 错误； 由a 、b 非零向量且||||a b a b +=-， 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+， 即0a b ⋅=，所以a b ⊥，故B 正确； 当a b =-时也有||||a b =且//a b ，故C 错误；若0a =，0b ≠，不存在实数λ，使得b a λ=，故D 错误． 故选：B ．4．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A B ．2 C D 【答案】D→()→→5．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若O 是ABC 垂心，6A ∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12 B C D D ()cos 2sin C BAB AC m AD DO B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到3cos cos 3sin 2C B m B +=⋅C 化为cos 中，sin sin 0B C ≠，sin cos C AB C BAC +2sin m C AO =，cos 2sin C BAB AC m AO B+=⋅， ，AO AD DO =+， ()cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos 2sin C B AB AB AC AB m AD DO AB B⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos 22cos sin Bc bc A m AD AB m b A c B+=⋅⋅=⋅⋅ 6A π=，所以2cos cos 33sin sin 2C B c bc mbc C B += 3cos sin 2B C 3【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．二、多选题6．（2022·高一单元测试）在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ）A ．AB BC CA += B ．()12AG AB AC =+ C ．0AF BD CE ++= D ．0GA GB GC ++=为ABC 的重心，因为AB BC AC CA →+=≠，故A ()AB AC AD AG →→+=≠, 故因为()102AF BD CE AB BC CA ++=++=, 故C 正确；因为211322GA GB GC AB AC BA BC →→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎣0AB BA BC CB AC CA →→→→→→→⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭, 故D 正确故选：CD2022·高一单元测试）设是OAB 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）A ．2155OP OA OB =+B ．2455OP OA OB =+C ．2155OP OA AB =+D ．2455OP OA AB =+【答案】AC【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可. 【详解】对于A ：如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；：因为21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+，在OAB内部，故成立；：因为24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+，如下图所示，可知P在OAB外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，选项中的向量关系式要根据AB AO OB=+进行化简三、填空题8．（2022·全国·高一专题练习）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若PA PB PC PD PGλ+++=，则实数λ=______.【答案】4【分析】先由G为正方形ABCD的中心，可知G为AC、BD的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果.【详解】因为G为正方形ABCD的中心，所以G为正方形AC、BD的中点，又点P为正方形ABCD所在平面外一点，利用向量的加法法则知2PA PC PG+=，2PB PD PG+=，因此4PA PB PC PD PG+++=，即4λ=.故答案为：49．（2022·全国·高一专题练习）ABC 是正三角形，给出下列等式： ①AB BC BC CA +=+； ②AC CB BA BC +=+； ③AB AC CA CB +=+；④AB BC AC CB BA CA ++=++．其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号) 【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. AB BC AC +=，BC CA BA +=，AC BA =，①AC CB AB +=，如下图所示，以BA 、BC 为邻边作平行四边形由平面向量加法的平行四边形法则可得BA BC BD +=，显然AB BD ≠，②为邻边作平行四边形ABEC ，则AB AC AE +=， 为邻边作平行四边形ACBF ，则CA CB CF +=. 由图可知，AE CF =，即AB AC CA CB +=+，③正确；2AB BC AC AC ++=，2CB BA CA CA ++=，因为AC CA =，④故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.10．（2022·高一课时练习）在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CFFD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．【分析】本题首先可根据题意得出23BEAD 、14DF AB =，然后将AC AE AF λμ=+转化23AB AD λμ⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD =+列出算式，最后通过计算即可【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC =，3CF FD ，所以2233BE BC AD ，1144DF DC AB ， 则23AEAB BE ABAD ，14AF AD DF ADAB ， 故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为AC AB AD =+，114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，μ=故答案为：1310. 高一课时练习）如图，已知ABC 的面积为14cm的点，且::2:1AD DB BE EC ==，AE CD ，交于点P ，则APC △的面积为 _____2cm .【答案】4【分析】以AB a BC b ==，，建立一组基底向量，再利用点线的性质表示出,DP AP ，建立二元一次方程，再采用间接法，根据ABC ABP CBP S S ∆∆--求出答案，属于难题【详解】设AB a BC b ==，，以a ，b 为一组基底，则2133AE a b DC a b =+=+，.E 与点D P C ，，分别共线，λ和μ，使2133AP AE a b DP DC a b λλλμμμ==+==+.△2133AP AD DP a b μμ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，213323λμλμ=+=，，解得6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， ()244148cm S S ==⨯==，35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=-+，则实数λ的取值范围为______14则由13DP DC DE DE DM λλ=+=-+可知,P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==-=++-,可知λ重合时,由,,P C E 共线可知113λ-+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，M ，两点，且1143AM AB AC =+，2152AN AB AC =+，则ABM ∆与ABN ∆的面积之比为_______.【分析】设14AP AB =，13AQ AC =，则AM AP AQ =+，根据考查向量加法的平行四边法||13||AQ AC =，设14AP AB =，13AQ AC =，则AM AP AQ =+，连接过点C ，点Q 作AB 的垂线，垂足分别为点D ，点E 由向量加法的平行四边形法则可知//MQ AB12ABM ABQ S S AB QE ∆∆==⨯ 又12ABC S ∆=1212ABMABC S S ∆∆=AQ QE CD AC= ∴||13||ABM ABC S AQ S AC ∆∆== 同理可得12ABN ABC S S ∆∆= 2S . 故答案为：2四、解答题14．（2022·高一课时练习）（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++；（2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++． ）0；（2）0. 线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果. 【详解】（1）令m OA OB OC OD OE =++++，若将m 顺时针旋转,,,,OA OB OC OD OE 都顺时针旋转72︒，如下图：向量,,,,OA OB OC OD OE 在旋转后对应位置为,,,,OE OA OB OC OD ，所以，旋转后向量的和为OE OA OB OC OD m ++++=，即m 顺时针旋转等仍是m ，故0m =.）设12n a OA OA OA =+++，将a 顺时针旋转2n π，等价于将12,,,n OA OA OA 都顺时针2π， 同理，旋转后向量的和为12n OA OA OA a +++=，即a 顺时针旋转2nπ后所得向量相等仍是a ，故0a =. 15．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知ABC 内一点P 满足AP AB AC λμ=+，若PAB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，PAC △的面积与ABC 的面积之比为1:4，求实数λμ，的值.【答案】14λ=,13μ= 【分析】因为AP AB AC λμ=+，又由平行四边形法则有向量AP AM AN =+，所以AM AB λ=，AN AC μ=，只需求出即可。