课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质
一、基础巩固组
1.
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;
(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.
2.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥
AC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED.
(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离.
〚导学号21500561〛
4.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
(1)求证:AE⊥DA1;
(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.
二、综合提升组
5.
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.
(1)求四棱锥F-ADEC的体积;
(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.
6.如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到
△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.
图(1)
图(2)
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为2,求四面体BCDM的体积.
7.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积.
(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.
〚导学号21500562〛
三、创新应用组
8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.
9.如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=,BF=CF=,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF.
(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;
结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;
结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.
(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.
图(1)
图(2)
〚导学号21500563〛
课时规范练41直线、平面垂直的判定与性质
1.证明 (1)∵ED⊥平面ABCD,
∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.
∵AE=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE,
∴AD=BD.
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.
又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,
∵CM⊂平面CEM,
∴平面CEM⊥平面BDE.
(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,
在△EBA中,∵N为BE的中点,
∴NG∥AB且NG=AB,
又AB∥CD,且AB=2CD,
∴NG∥CD,且NG=CD,
∴四边形CDGN为平行四边形,
∴CN∥DG.
又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.
2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为B1D⊂平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.(1)证明∵AB⊥AC,AB=AC,
∴∠ACB=45°.
∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,
∴∠ACD=45°,∴AD=CD,
∴BC=AC=2AD.
∵AE=2ED,CF=2FB,
∴AE=BF=AD,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
又AB⊥AC,∴AC⊥EF.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.
∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.
∵EF⊂平面PEF,
∴平面PEF⊥平面PAC.
(2)解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,
∴PB=PC,
取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.
设PA=x,连接PG,则PG=,
∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的倍,
2×PG=(1+2)×1,即PG=2,求得x=,
∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,
∵V A-PBC=V P-ABC,S△PBC=2S△ABC,
∴点E到平面PBC的距离为PA=
4.(1)证明连接AD1,BC1(图略).
由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,
又AB∩AD1=A,
∴DA1⊥平面ABC1D1.
∵AE⊂平面ABC1D1,
∴AE⊥DA1.
(2)解所求点G即为点A1,证明如下:
由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,
可得DF⊥平面AHE.
∵AE⊂平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,
即AE⊥平面DFG.
5.解 (1)∵D,E分别是AB,BC边的中点,
∴DE AC,DE⊥BC,DE=1.
依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,
∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,
∵DE⊂平面ACED,
∴平面ACED⊥平面CEF.
作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED,
∵∠CEF=60°,∴FM=,
梯形ACED的面积S=(AC+ED)×EC=(1+2)×2=3.
精品试卷
四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=3
(2)(法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ AC,
∴NQ DE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.
∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,
又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,
∴AC⊥EQ,
∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,
∴DN⊥平面ACF,
又DN⊂平面ADF,
∴平面ADF⊥平面ACF.
(法二)连接BF,∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是边长为2等边三角形.
∵BE=EF,
∴∠EBF=CEF=30°,
∴∠BFC=90°,BF⊥FC.
∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,
∴AC⊥平面BCF.
∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,
又FC∩AC=C,
∴BF⊥平面ACF,又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.
6.(1)证明取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,且MN=CD,又AB∥CD,AB=CD,
∴MN∥AB,MN=AB,
∴四边形ABMN是平行四边形,
∴AN∥BM,
又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD,
由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点,
得△PAD为等边三角形,
∴∠PDA=60°,
又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,
∴CD⊥AD,又AN∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
又CD⊂平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,
则V P-ABCD=Sh=2,又S△BCD=S,四面体BCDM的底面BCD上的高为,
∴四面体BCDM的体积V BCDM=S△BCD Sh=
7.(1)解∵PA⊥底面ABCD,
∴PA为此四棱锥底面上的高.
∴V四棱锥P-ABCD=S正方形ABCD×PA=12×2=
(2)证明连接AC交BD于点O,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=OC.
又AE=EP,∴OE∥PC.
又PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
(3)解不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.
证明如下:∵四边形ABCD是正方形,
∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
∵CE⊂平面PAC,∴BD⊥CE.
8.(1)证明∵PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,
∴PA⊥AB,
又底面ABCD为矩形,
∴AB⊥AD,
又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD,AD=AP,E为PD中点,
∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,
∴PD⊥平面ABE.
(2)解四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,
由已知BD=
==4,
设M为BD中点,
∴AM=2,OM=AP=1,
∴OA=
==3,
∴四棱锥P-ABCD外接球的体积是OA3=36π.
9.(1)证明由题意,点E在底面ABCD的射影在MN上,可设为点P,
同理,点F在底面ABCD的射影在MN上,可设为点Q,
则EP⊥平面ABCD,FQ⊥平面ABCD,
∴平面EMP⊥平面ABCD,平面FNQ⊥平面ABCD,
又MN⊂平面ABCD,MN⊂平面EMP,MN⊂平面FNQ,
由结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个,
得到E,F,M,N四点共面.
(2)解∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,
∴∠EMP=∠FNQ=60°,
∴EP=EM·sin 60°=,
∴三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V ABCDEF-V E-ABCD=23-
(4×2)。
