平面薄片的重心

1第八章 重积分习题全解习题 8－11． 利用二重积分定义证明：（1）d Dσσ=⎰⎰ （ 其中σ是D 的面积）；（2）(,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰ （k 为常数）； 2．证明性质8 中（1）设积分域D 关于x 轴对称,1D 表示D 中0y ≥的部分, （i)若(,)f x y 是y 的奇函数,即(,)(,),f x y f x y -=-则(,)0Df x y d σ=⎰⎰；（ii)若(,)f x y 是y 的偶函数,即(,)(,),f x y f x y -=则1(,)d 2(,)d DD f x y f x y =⎰⎰⎰⎰σσ。

证：由积分域D 关于x 轴对称,1D 表示D 中0y ≥的部分,则积分与如图8-1所示。

则()()(,)d d (,)d b x ax Df x y x f x y y -=⎰⎰⎰⎰ϕϕσ若(,)(,),f x y f x y -=-则()()(,)d d (,)d 0d 0b x bax aDf x y x f x y y x -===⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕσ 若(,)(,),f x y f x y -=则1()()()(,)d d (,)d 2d (,)d 2(,)d b x b x ax aDD f x y x f x y y x f x y y f x y -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕσσ。

3．设12231()D I x y d σ=+⎰⎰，其中1D 是矩形闭区域：11,22x y -≤≤-≤≤；又22232()D I x y d σ=+⎰⎰，其中2D 是矩形闭区域：01,02x y ≤≤≤≤．试用二重积分的对称性质表示1I 与2I 之间的关系． 解：1222322312()4()4D D I x y d x y d I σσ=+=+=⎰⎰⎰⎰ 4．设D 是由1,1x y x y +=-=及0x =所围成的三角D1D ()y x =ϕ()y x =-ϕb axyO图8-1图8-22形，根据二重积分的对称性计算二重积分d .Dy σ⎰⎰解：画出积分区域D 的草图8-2，可见D 对称于x 轴，而被积函数(,)f x y y =对y 是奇函数，因此d 0Dy σ=⎰⎰。

二重积分应用1、定积分的元素法就如第六章中所述，许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理，这个元素法也可以推广到二重积分，如果所求的某个量对于闭区域来说具有可加性，并且在闭区域内取任意小区域σd时，相应的部分可以用σdx,在σd内，，,(来表示，其中yf)yx这个σd,(成为总量的元素。

f)yx2、曲面的面积的投影,函数在D上具有连续的偏导数，我们要计算曲面的面积A。

γσcos d dA =),(),(11cos 22y x f y x f y x ++=γ.既得：σd y x f y x f dA y x ),(),(122++=dxdyy x f y x f A d y x D),(),(122++=∫∫3、在xoy 平面内有n 个质点，它们分别位于：，，……上，质量分别为：，，……),(11y x ),(22y x ),(33y x ),(n n y x 1m 2m 3m n m法向量的方向余弦则该质点系的重心坐标为：∑∑====n i ini iiymx mMM x 11∑∑====n i ini iixmy mMM y 11∑==ni iiyx mM1∑==ni iixy mM1称作该质点对于y 轴和x 轴的静矩。

若其面密度为：),(y x ρ对X 轴和Y 轴的静矩元素为：σρd y x y dM x ),(=σρd y x x dM y ),(=重心坐标为：∫∫∫∫==DDyd y x d y x x MM x σρσρ),(),(∫∫∫∫==DD xd y x d y x y MM y σρσρ),(),(4、 形心如果薄片是均匀的，即其线密度是常数，则这时的重心坐标为：∫∫==Dyxd AMM x σ1∫∫==Dx yd AM M y σ1把均匀薄片的重心，称作这个平面薄片所占平面图形的行心。

5、 平面薄片的转动惯量在xoy 平面内有n 个质点，它们分别位于：，，……上，质量分别为：，，……),(11y x ),(22y x ),(y x ),(y x m m 3m n m该质点系对于x 轴和y 轴的转动惯量为：i ni i x m y I ∑==12ini i x m y I ∑==12σρd y x y dI x ),(2= σρd y x x dI Y ),(2=6、 平面薄片对质点的吸引力设有一薄片，占有xoy 平面内的闭区域D ，在（x,y ）处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 内连续，现要计算该薄片利用元素法求引力},,{Z Y X F F F F =面积元素σρd y x ),(引力为：2),(r d y x GF σρ=方向为：}0,0,0{a y x n −−−=则引力在三个坐标轴的投影的元素为：r xr d y x G dF x •=2),(σρ ryr d y x G dF y •=2),(σρ ra r d y x G dF z )0(),(2−•=σρ 则可得引力的坐标表达式：r x r d y x G F Dx •=∫∫2),(σρ r y r d y x G F Dy •=∫∫2),(σρ r a r d y x G F Dz −•=∫∫2),(σρ其中：222a y x r ++=7、 附加知识1） 圆的极坐标方程： ① 中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａr ＝2acos θ② 中心在（ａ，π／2），半径为ａ r ＝2asin θ ③ 中心在极点，半径为a r=a2） 圆的参数方程x=acos θ y=asin θ3）θθ2cos 22cos 1=+ θθ2sin 22cos 1=−4） 扇形面积公式：θ221r s =.5） 弧长的公式：θr L =6） 球的体积公式：334r V π=。

物理薄板重心计算公式在物理学中，薄板是一个非常重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。

薄板的重心是一个重要的物理量，它可以帮助我们理解薄板的平衡和运动特性。

在本文中，我们将介绍薄板重心的计算公式，并探讨一些与薄板重心相关的重要概念。

薄板重心的定义。

首先，让我们来了解一下薄板重心的定义。

薄板重心是指薄板上所有质量元素的质心位置。

在平面上，薄板的重心通常可以用一个坐标点来表示，这个坐标点的位置可以帮助我们确定薄板的平衡和运动状态。

薄板重心的计算公式。

薄板重心的计算公式可以根据薄板的形状和密度分布来确定。

对于一个均匀密度的薄板，我们可以使用以下公式来计算其重心位置：\[ x_c = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm} \]\[ y_c = \frac{\int y \cdot dm}{\int dm} \]其中，\( x_c \) 和 \( y_c \) 分别代表薄板重心的横纵坐标，\( x \) 和 \( y \) 分别代表薄板上每个质量元素的横纵坐标，\( dm \) 代表薄板上每个质量元素的质量。

通过对薄板上所有质量元素进行积分，我们可以得到薄板的重心位置。

对于不均匀密度的薄板，我们可以将薄板分割成许多小块，然后分别计算每个小块的重心位置，最后再将所有小块的重心位置加权平均，得到整个薄板的重心位置。

薄板重心的性质。

薄板重心具有一些重要的性质，这些性质对于理解薄板的平衡和运动非常重要。

其中一些重要的性质包括：1. 薄板重心的位置不依赖于薄板的方向。

无论薄板是水平放置还是垂直放置，其重心位置都是不变的。

2. 对于对称形状的薄板，其重心位置通常位于对称轴上。

例如，对于一个矩形薄板，其重心位置通常位于中心点。

3. 薄板的重心位置可以帮助我们确定薄板的平衡状态。

当外力作用在薄板重心位置时，薄板通常处于平衡状态。

薄板重心的应用。

薄板重心的计算公式和性质在物理学和工程学中有着广泛的应用。

导数公式:(tgxY = sec 2 x (ctgx\ = -cscr x (secx)/ = secx・tgx (cscx)' = -cscx-ctgx (a x y = a x \na (log “)‘ = -^一 xina(arcsinx)' = ‘ 「，VI-x 2(arccosL¥)'=——.Vl-x 2(^W=T __基本积分表^ 三角函数的有理式积分：j tgxdx = - ln|cosx| + C J ctgxdx = In |s in x| + C jsec xdx = ln|sec x + tg^ + C J c scxdx = ln|cscx- ctgx\ + C \^-^- = -arctg-+C j 。

+JT a a JJ f -a『仝亠4+cJcr -x* 2a a-x f . JA =arcsin^ + C J 7777 G f —— = [sec 2xdx = tgx + C Jcos* x 」f = fcsc 2 xdx = -ctgx+ C J sin ~ x 」 J secx • tgxdx = secx + CJcscx ・c7gM: = -cscx + C [a x dx=— + C J In a ^shxdx = chx + C J chxdx = shx + C jj :" 2 = b(x +±(r ) + CZ/?-2n_2j y/x 2 +a 2dx = — ylx 2 +a 2 + 牛ln(x + y/x 2 +a 2) + C2 2f ^jx 2 -a 2dx = - Jx 2 -a 2 -— J 2 2 j >la 2 -x 2clx = ?-Ju 2 -x 2+ 牛arcsin — + C高等数学公式x-a x + a In *2 "2 I n = J sin" xdx =J cos" xdx =111 X + J + C2・ 2u1一"2sin x = ----- , cosx 二 ----- ?1 + w 21 + w 2双曲正^.thx = — =e ~e chx e x +e r arshx = ln(x + Jx' +1)archx = ±ln(x + y/x 2 一 1) arthx = —In2三角函数公式: •诱导公式：、^数 角卜、sin costgctg ・a・ sina cosa-tga-ctga90°-a cosa sina ctga tga 90°+a cosa ・ sina -ctga -tga 180°-a sina ・ cosa -tga -ctga 180°+a ・ sina ・ cosa tga ctga 270°-a -cosa ・ sina ctga tga 270°+a -cosa sina -ctga-tga 360°-a -sina cosa・tga -ctga 360°+a sina cosa tgactga•倍角公式:dx =2du 1 +w 2一些初等函数: 双曲正弦:曲¥ =X . -x双曲余弦乂加=__—2两个重要极限：v sinx ‘lini ------ = 1lim (1 + 丄)x =e = 2.718281828459045... x X•和差角公式:sin(a±0) = sinacos0 土 cosasin 0 cos((z±/7) = cosacos/7 + sin<zsin 0 fg(a±0) =tga 土 tg 。

平面重心计算公式在物理学和工程学中，重心是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个物体或系统的平衡性质。

在平面几何中，计算平面图形的重心是一个常见的问题，可以通过一些简单的公式来实现。

本文将介绍平面重心的计算公式，并通过一些例子来展示如何应用这些公式。

首先，让我们来看一下什么是平面重心。

在平面几何中，平面图形的重心可以被定义为一个点，该点与图形的每个点的位置乘以其质量（或者面积）的乘积之和等于零。

简单来说，重心就是一个平面图形的质量中心，它可以被用来描述图形的平衡性质。

对于一些简单的平面图形，我们可以通过一些简单的公式来计算它们的重心。

下面是一些常见的平面图形的重心计算公式：1. 矩形，对于一个矩形，其重心位于其对角线的交点处，即重心的横坐标为矩形中心的横坐标，纵坐标为矩形中心的纵坐标。

2. 三角形，对于一个三角形，其重心位于其三条中线的交点处，即重心的横坐标为三角形三个顶点横坐标的平均值，纵坐标为三角形三个顶点纵坐标的平均值。

3. 圆形，对于一个圆形，其重心位于其圆心处，即重心的横坐标和纵坐标均为圆心的坐标。

以上是一些简单的平面图形的重心计算公式，但对于一些更加复杂的图形，我们可以通过积分的方法来计算其重心。

下面我们将通过一些例子来展示如何应用这些公式和方法来计算平面图形的重心。

例1，矩形的重心计算。

假设有一个长为a，宽为b的矩形，我们可以通过上面提到的公式来计算其重心。

根据公式，矩形的重心位于其对角线的交点处，即重心的横坐标为矩形中心的横坐标，纵坐标为矩形中心的纵坐标。

因此，矩形的重心坐标为（a/2，b/2）。

例2，三角形的重心计算。

假设有一个三角形，其三个顶点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以通过上面提到的公式来计算其重心。

根据公式，三角形的重心位于其三条中线的交点处，即重心的横坐标为三角形三个顶点横坐标的平均值，纵坐标为三角形三个顶点纵坐标的平均值。

因此，三角形的重心坐标为（（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3）。

第 1 页 共 1 页 高中物理：探究确定薄板重心的方法
1．利用二力平衡原理
二力平衡时，两个力等大反向．
2．方法一：支撑法
轴对称的碗、碟等，它们的重心在中轴线上，它们的重心可用支撑法找到，用一个手指将碗、碟等顶起，碗、碟等水平静止时，即可找到其重心．
方法二：悬挂法
(1)适用条件：物体呈薄板形状，如薄木板、玻璃等．
(2)过程：如图所示，先在A 点把物体悬挂起来，物体静止时，所受的重力与悬绳的拉力在同一竖直线上，所以物体的重心一定在通过A 点的竖直线AB 上；然后在C 点把物体悬挂起来，同理知，物体的重心一定在通过C 点的竖直线CD 上，AB 和CD 的交点O ，就是物体的重心位置．
如图所示，一个半径为R 的圆球，其重心不在球心O 上，将它置
于水平地面上，则平衡时球与地面的接触点为A ，若将它置于倾角为30°
的粗糙斜面上，则平衡时球与斜面的接触点为B (球不会下滑)，已知弧
AB 对应的圆心角为60°，则圆球重心离球心O 的距离是________．
解析：如图所示，当小球在斜面上处于静止时，小球的重力作用线一定通过B 点，又知小球放在水平面上静止时，球与地面的接触点为A ，则其重力的作用线与OA 重合，综上所述，球的重心应位于过B 点的竖直线和OA 的交点C ，由几何关系知，∠CBO ＝30°，由
此得圆球重心距球心O 的距离为OC ＝R sin 30°＝R 2
. 答案：R 2。

高等数学公式导数公式(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx( a x ) a x ln a1(log a x)x ln a基本积分表(arcsin x)11x2 (arccos x)11x2 (arctgx )11 x2 (arcctgx )11x2tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx22a x dx22x a dx22 a xa2x2ln cosx Cln sin x Cln secx tgx Cln cscx ctgx C1arctgxCa a1 ln x a C2a x a1ln a x C2a a xxarcsin Cdx sec2 xdx tgx Ccos2 xdx csc2 xdx ctgx Csin 2 xsecx tgxdx secx Ccsc x ctgxdx csc x Ca x dx a x Cln ashxdx chx Cchxdx shx Cdx ln( x x2a2 )Cx2a22sin n xdx2cos n xdx n1I n 2I n00nx2 a 2 dx x x2a2 a 2ln( x x 2a2 )C22x2a2 dx x x 2a2 a 2ln x x2a2C22a2x2dx xa2x2a2arcsinx22Ca三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1 u 2x2duu 21 u2 ，u tg ，dxu 2121一些初等函数：两个种烟极限：双曲正弦 : shx e x e xlim sin x 12xx 0e x e x1 x e 2.718281828459045...双曲余弦 : chxlim (1 )2xxe x e x双曲正切 : thx shxchxe x e xarshx ln( x x 2 ）1 archx ln( x x2 1)1 1 xarthxlnx2 1·诱导公式：函 数角 A - α90° - α90°+α180°- α180°+α270°- α270°+α360°- α360°+αsin - sin α cos α cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos α cos α tg- tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg- ctg αtg α- tg α- ctg αctg αtg α- tg α- ctg αctg α·和差角公式：·和差化积公式：sin( ) sin cos cos sin sinsin 2sincos cos( ) coscossin sin22sinsin2cossin tg ()tg tg 1 tg tg22coscos2 coscosctg ctg 1 ctg ()22ctgctgcos cos2sinsin22弧微分公式： ds 1 y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量； s ： M M 弧长。

高等数学公式空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

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1．利用二力平衡原理
二力平衡时，两个力等大反向．
2．方法一：支撑法
轴对称的碗、碟等，它们的重心在中轴线上，它们的重心可用支撑法找到，用一个手指将碗、碟等顶起，碗、碟等水平静止时，即可找到其重心．
方法二：悬挂法
(1)适用条件：物体呈薄板形状，如薄木板、玻璃等．
(2)过程：如图所示，先在A 点把物体悬挂起来，物体静止时，所受的重力与悬绳的拉力在同一竖直线上，所以物体的重心一定在通过A 点的竖直线AB 上；然后在C 点把物体悬挂起来，同理知，物体的重心一定在通过C 点的竖直线CD 上，AB 和CD 的交点O ，就是物体的重心位置．
如图所示，一个半径为R 的圆球，其重心不在球心O 上，将它置
于水平地面上，则平衡时球与地面的接触点为A ，若将它置于倾角为30°
的粗糙斜面上，则平衡时球与斜面的接触点为B (球不会下滑)，已知弧
AB 对应的圆心角为60°，则圆球重心离球心O 的距离是________．
解析：如图所示，当小球在斜面上处于静止时，小球的重力作用线一定通过B 点，又知小球放在水平面上静止时，球与地面的接触点为A ，则其重力的作用线与OA 重合，综上所述，球的重心应位于过B 点的竖直线和OA 的交点C ，由几何关系知，∠CBO ＝30°，由
此得圆球重心距球心O 的距离为OC ＝R sin 30°＝R 2
. 答案：R 2。

第三节二重积分的计算 (2)有些二重积分，其积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等.此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.分布图示★利用极坐标系计算二重积分★二重积分化为二次积分★例1★例2 ★例3★例4★例5 ★例6★例7★例8 ★例9 ★例10★平面薄片的重心★例11★例★平面薄片的转动惯量★例12 13★平面薄片对质点的引力★例14★一般曲线坐标系中二重积分的计算★例15 ★例16 ★例17★内容小结★课堂练习★习题9-3 ★返回内容要点一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元d rdrd ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为x r cos , y r sin , 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式f (x, y) dxdy f (r cos ,r sin )rdrd (3.1)DD二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算二重积分的一般换元分式. 例题选讲在极坐标系下二重积分的计算22例1(E01)计算e(x y)d ,其中D是由圆x2 y2 R2所围成的区域.D解如图，在极坐标系下，积分区域D的积分限为0 2 , 0 r R,于是(x 2y2)2 Rr 2Rr2e (x y )d d e r rdr 2 e r rdr D0 0 0(1 e R).例2计算二重积分D1d x x2dy y2,其中D是由x2 y2 1所确定的圆域解如图(见系统演示)，区域D 在极坐标下可表示为0 r 1, 0 2 ,Rr220er d( r2)r2R(e r |0R )22(1 cos2 )d .2例 5(E04) 写出在极坐标系下二重积分f ( x, y)dxdy 的二次积分，其中区域DD {( x,y)|1 x y 1 x 2, 0 x 1}.解利用极坐标变换 x rcos , y r sin , 易见直线方程 x y 1的极坐标形式为 1r, sin cos故积分区域 D 的积分限为 0 , 1 r 1,2 sin cos 所以1f (x, y)dxdy 2d 1 f(r cos ,r sin )rdr.D sin cos例 6 计 算 (x 2 y 2 )dxdy , 其 中 D 为 由 圆 x 2 y 2 2y, x 2 y 2 4y 及 直 线 Dx 3y 0, y 3x 0 所围成的平面闭区域21 2 20 21[ln(1 r 2)] 0d21 1 ln2d ln2 22ln 2.22例 3(E02)计算sin( x y )dxdy ,其中积分区域Dx 2 y 222D 是由 1 x 2 y 2 4 所确定的圆环域 .解由对称性，可只考虑第一象限部分 ,D 4D 1, 注意到被积函数也有对称性 ,则有sin(x2x2y2)y2)dxdyDx 2 y 2)4sin( x 2 y 2)Dx 2y 2)dxdy4 02 d 12sin r rdr 4. r2例 4(E03)计算 y2 dxdy ,其中 D 是由曲线Dxx 22y 22x 所围成的平面区域 .解积分区域 D 是以点 (1,0)为圆心，以 1 为半径的圆域，如图 .其边界曲线的极坐标方程 为 r 2cos .于是区域 D 的积分限为22, 0 r 2cos .所以2 y2dxdy Dx 222r sin2 2 rdrd D r cos2 d2cos sin 222 rdrcos222sin 2d2故 D 1 d x x 2dy y 2rdr223解 y 3x 022x y 4y r 4sin x 3y 062y 2y r 2sin解 如 图 ， 令 x r cos ,y rsin , 则 D 的 边 界 的 极 坐 标 方 程 分 别 变r a,r ac o s 及 3 4. D 1 :02,acos r a;D 2 : 2 3 4,0 r a.D12 a34 ad f(rcos ,rsin )rdr d f(rcos ,rsin )rdr. 0 acos 2 0例 8(E05)求曲线 (x 2 y 2)2 2a 2(x 2 y 2)和x 2 y 2 a 所围成区域 D 的面积 .解根据对称性有 D 4D 1, 在极坐标系下(x 2 y 2)22a 2(x 2y 2) r a 2cos2 ,故所求面积a 2cos22 2 dxdy 4 dxdy 4 rdrd 4 6 d rdr 4a 2 6 cos2 d a20 a 0DD 1D 1例 9(E06)求球体 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面 x 2 y 2 2ax (a 0) 所截得的 (含在圆x 2所以 (x 2 y 2)dxdyD例 7 将 二 重积 分y2 a2, xa 2,24sin3d2sin r 26rdr 60 3sin 4d 15( 3).62f(x,y)d 化为极坐标形式的二次积分,其中 D 是曲 D2 a及直线 x y 0 所围成上半平面的区域 4f(x,y)d f(x,y)d f (x,y)d DD2x 2y2 a 2r a,r a 2cos2 , 得交点 A raa,6 ,3.3柱面内的部分 )立体的体积解如图，由对称性，有V 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy,D其中 D 为半圆周 y 2ax x 2,及 x 轴所围成的闭区域 . 在极坐标中，积分区域 D:0 2,0 r 2acos .32a 3 2 (1 sin 3 )d 32a33 0 3x 2例 10(E07) 计算概率积分 e xdx.R解记I(R) e x2dx,其平方y )dxdy e(x y )dxdy e (x y )dxdy.D 2根据例 1 的结果 ,即有 (1 e R ) I 2(R) (1 e 2R ).44令 R , 并利用夹逼定理 ,得故所求概率积分x 2e dx .二重积分的应用例 11(E08) 求位于两圆 2sin 和 4sin 之间的均匀薄片的重心(图 9-3-13)解如图，因为闭区域 D 对称于 y 轴，故重心 C(x,y)必位于 y 轴上，于是 ,1 x 0, y yd .AD易见积分区域 D 的面积等于这两个圆的面积之差 ,即 A 3 . 再利用极坐标计算积分 :2 4sin2 56 4 ydr 2sin drd sin dr 2dr 56 sin 4d 7 .0 2sin 3 0V 4 4a 2r 2rdrd 4 2dD2acos4a 2 r 2rdrI 2(R)e xdxR x2 e xdyRx 2e dx2 2 2ydy e(x y )dxdy.DD 12x(e, 411解由积分区域的对称性知 F x F y 0,F zak D (x 2 (yx,2y)da 2)3/2akD (x 2 y d2 a 2)3/22Rak d00rdr 2 2 3/2 (r a )2 ka1R 2 a 2F 0,0,2 kaR 2a 2因此 y 77,所求重心是 C(0,7/3).33例 12(E09)设一均匀的直角三角形薄板(面密度为常量)，两直角边长分别为 a 、b ，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量 .解设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，对 y 轴的转动惯量2b 3hI vu 2dudv12D例 14 求面密度为常量、 半径为 R 的均匀圆形薄片：点 M 0(0,0,a) 处的单位质点的引力 (a 0).故所求引力为I yx 2dxdydyD同理 ,对 x 轴的转动惯量I xD y 2dxdy 112ab 3. D例 13 已知均匀矩形板 (面密度为常数 ) 的长和宽分别为 其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量 .解先求形心b 和 h ,计算此矩形板对于通过 1 x xdxdy,1 y ydxdy.A区域面积 A b h. 因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标 xbh 2, y 2将坐标系平移如图，对 u 轴的转动惯量hbI uv 2dudv2hv 2dv 2b du b 2D2h2h v 2dv bh 3212同理， 对 v 轴的转动惯量x 2y 2R 2, z 0 对位于 z 轴上的yb x 2dx112a 3b .在一般曲线坐标系中二重积分的计算 x 2 y 2 z 2例 15(E10)求椭球体 x2 y 2 z 21的体积 . a 2 b 2 c 2解由对称性知，所求体积为22 xy a 2 b 2d ,ab22其中积分区域 D ： x 2 y 2 1, x 0,a 2 b2例 17(E11)求曲线 xy a 2,xy 2a 2, y x, y 2x(x 0, y 0) 所围平面图形的面积 .解 如果在直角坐标下计算，需要求曲线的交点 ,并画出平面图形，还需将积分区域分割成几块小区域来计算面积，很麻烦，现在可巧妙地作曲线坐标变换 .1 2vy 0.令 x ar cos , y brsin 称其为广义极坐标变换则区域 D 的积分限为 0 , 0 r 21,又 J(x,y)(r, )acos bsinar sin brcosabr,2 12 01 r 2d(1 r 特别地，当 a b c 时，则得到球体的体积为 4 a 3. 3/2 12 于是 V 8abc d 1 r 2rdr 8abc 2) 4abc.3yx例 16计算 e y x dxdy,其中 D 由 x 轴、 y 轴和直线 x y 2所围成的闭区域 . D 解令u y x, v y x,则区域 D D , 且 x 0v u v u x , y . 22u v; y 0 u v; x y 2 v 2.J((u x,,v y ))12 1 21 2 1 2yx yx所以 e y x dxdyDu e v D1 dudv 22 vu dv e vdu0v1 2(e e 1)vdv e e 120作变换 xy u, y x v, 则有 a 2 u 2a 2,1 v 2.因为(u,v)(x,y)y y2 x2 y2v, 及由第 8 章第五节知 x(x,y) (u,v) 1, 从而有 (u,v) (x,y)2a 2 2 d ad 2u1 注:题中利用函数组 u u(x,y),v v(x,y)与反函数组 x x(u,v), y y(u, v)之间偏导数的 关系式(x, y) (u,v) 1, (u,v) (x,y)来求 (x, y) ,避免了从原函数组直接解出反函数组的困难.但在简单情况下， 也可以直接解出(u,v)来直接计算之 .课堂练习22 2 21.计算|x 2y 22|d ,其中 D:x 2y 23.D2.设半径为 1 的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离 坐标及关于 x 轴 (直径边 )的转动惯量 .3.计算重积分D x y ye (x y)2d ,其中 D 是由直线 x y 1, x 0 和 y 0 所围成 .1a2 2 1 a 2dv dv ln 2.2v 2 1 v 2是， ,求此半圆的重心。

对称图形对称位置的形心推导
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。

据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形。

形心是一个对称轴的截面，一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。

把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。

形心计算公式是∫∫Dxdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫Dydxdy=重心纵坐标×D的面积。

形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。

z轴上的形心=对y轴的静距/图形面积。

面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。

n维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。

如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。