平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)

平面几何入门（12）叶中豪（老封）知识要点几何作图是平面几何四大部分之一。

学习几何作图必须先学会作比较简单、经常应用的图形，即学会基本作图，它们是解较复杂作图题的依据和基础。

熟练地运用基本作图方法，还能有利于确实正确的证题思路，帮助证题。

基本作图（1）作已知线段的垂直平分线。

（2）把已知线段n等分。

（3）作已知角的平分线。

（4）作一角等于已经角。

（5）过已知点作已知直线的垂线和平行线。

（6）利用三角形全等法则构作三角形。

注：边边角也允许，有两解两已。

解作图题的步骤1．解作图题一般应先“审题”，弄清题中的已知条件和求作的图形，画出草图，标上字母进行分析，找出作图方法；然后按照题目的要求结合草图写出已知、求作；再认真画出求作的图形，并写出作法。

2．较复杂的三角形作图问题，大都归结为首先作出最简单的“奠基三角形”，并在此基础上完成全部作图。

三角形奠基法根据题中的已知条件，通过分析找出一个能够直接作图的三角形，以奠定全部作图的基础。

数学鉴赏几何三大问题大约在二千四百多年前，在古希腊盛传着下列三大作图问题：（1）立方倍积问题——求作一立方体，使它的体积是一已知立方体的体积的两倍。

（2）三等分角问题——把一个已知角三等分。

（3）化圆为方问题——求作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积。

这三个作图题是著名的古典难题。

人们一开始就试图寻求这三大问题的正面解答，但一直未能获得成功。

十九世纪中叶，法国数学家伽罗瓦在他死后的确1846年发表的论文里，证明了五次以上的代数方程一般不具有代数解（即高次方程的根一般不能通过关于方程的系数的根式来表示），并提出了伽罗瓦理论。

应用伽罗瓦理论可以证明，这三大问题是不能用尺规给出解答的。

这样，几何三大问题也就彻底解决了。

例题和习题1．已知三角形的两边及其中一边上的中线，作三角形。

2．已知一边和这边上的中线和高，作三角形。

3．已知斜边及两直角边的差，求作直角三角形。

4．已知一边，另一边上的高和中线，求作三角形。

平面几何入门（16）叶中豪（老封）例题和习题1. 在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 中点，直线MN 交AB 于P 、交AC 于Q 。

求证：AP ＝AQ 。

解法一：如图取BC 中点L ，连接ML 、NL 。

因为LM 是❒BEC 的中位线，所以LM=1/2CE同理，LN=1/2BD 又BD=CE ，所以LM=LN ，所以∠qml=∠PNL又因为LN ∥BD ，∠APQ=∠PNL （内错角），LM ∥AC ，∠AQP=∠QML所以，∠APQ=∠AQP,即AP=AQ解法二：取DE 中点L ，连LM ，LN 。

与解法一类似。

2. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取BD ，在AC 的延长线上取CE ，使BD ＝CE 。

求证：BC 平分线段DE 。

解法一： 过D 做DF ∥AE ，因为❒ABC 是等腰三角形，所以❒DBF 也是等腰❒，即DF=BD=CE 。

在❒DFM 和❒ECM 中，DF=CE ，∠DMF=∠EMC(对顶角), ∠DFM=∠MCE （内错角），❒DFM ≅ ❒ECM ，则DM=EM解法二：过E 做EF ∥AB 与BC 延长线交于F ，证明与解法一类似，证明❒BMD ≅ ❒FME解法三：过D 、E 做BC 的垂线，交BC 和BC 延长线于G 、H Rt ❒DBG ≅ Rt ❒ECH （AAS ）所以DG=EH 又Rt ❒DMG ≅ Rt ❒EHM （AAS ）所以DM=EM解法四：过D 做DF ∥BC 交AC 于F 。

因为AB=AC ，所以FC=BD=CE ，即CM 是❒EDF 的中位线，所以M 是DE 的中点。

解法五：过E 做EF ∥BC 交AB 延长线于F与解法四类似，BM 是❒DEF 的中位线3. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过点M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F 。

1、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。

求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。

2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。

（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。

取△DEF的内心I。

易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。

得∠PA1I ＝90°。

同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。

故A1、B1、C1、P、I五点共圆。

证毕评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。

设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。

”取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。

3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。

这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。

（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。

垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly 等人广泛研究。

几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
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平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。

2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。

求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。

3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。

设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。

求证：O1、O2、A三点共线。

（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。

求证：E、P、F三点共线。

5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。

求证：E、P、F三点共线。

6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。

求证：S四边形AMIN＝S△IBC。

7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。

求证：A、E、F三点共线。

8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。

过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。

求证：S、G、T三点共线。

9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。

求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。

10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。

求证：A、F、M三点共线。

11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。

求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。

12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。

平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。

在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。

G是△ABC的重心。

求证：△GEF∽△OPQ。

PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。

结果发觉其难度并不大。

当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。

求证：DI垂直于EF。

”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。

结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。

而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。

II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。

I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。

平面几何入门（1）(上海叶中豪)知识要点一、相关概念基本概念：点，直线（线段、射线、直线）点：两点间的距离直线：垂线（垂足），对顶角，平行线（同位角，内错角，同旁内角）线段：中点，垂直平分线（中垂线），垂线段，斜线段，射影角：顶点，边，邻角，余角，补角，邻补角，锐角，直角，钝角，平角，周角，角平分线三角形：边，角，面积，周长，中线，高，角平分线四边形：正方形，长方形（矩形），平行四边形，菱形，梯形等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形推理：定义，命题（真命题，假命题），公理，定理，逆命题（逆定理），证明，直接证法，间接证法（反证法，同一法）其它：辅助线，尺规作图，轨迹二、基本性质1 公理过两点有且只有一条直线2 公理两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 对顶角相等6 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直7 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行10 两直线平行，同位角相等11 两直线平行，内错角相等12 两直线平行，同旁内角互补13平行线间的距离处处相等14 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补15 一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角相等或互补16 同位角相等，两直线平行17 内错角相等，两直线平行18 同旁内角互补，两直线平行19 定理三角形两边的和大于第三边20 推论三角形两边的差小于第三边21 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°22 推论1 直角三角形的两个锐角互余23 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和24 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角25 等腰三角形的底角相等；底角相等的一定是等腰三角形26 等边三角形的的三个内角都等于60°三、全等三角形两个全等三角形的对应边、对应角相等；对应边上的中线、高线相等；对应角的角平分线相等。

数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】⾼中平⾯⼏何叶中豪学习要点⼏何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应⽤⼏何变换及相似理论位似及其应⽤完全四边形与Miquel点垂⾜三⾓形与等⾓共轭反演与配极，调和四边形射影⼏何复数法及重⼼坐标⽅法例题和习题1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且()sin 1tan sin 2θθγγ?+=。

求证：2EF=DE+DC 。

（10081902.gsp ） 2．已知相交两圆O 和O'交于A 、B 两点，且O'恰在圆O 上，P 为圆O 的AO'B 弧段上任意⼀点。

∠APB 的平分线交圆O'于Q 点。

求证：PQ 2=PA ×PB 。

（ gsp ）3．设三⾓形ABC 的Fermat 点为R ，连结AR ，BR ，CR ，三⾓形ABR ，BCR ，ACR 的九点圆⼼分别为D ，E ，F ，则三⾓形DEF 为正三⾓形。

（10082602.gsp ）4．在△ABC 中，已知∠A 的内⾓平分线和外⾓平分线分别交外接圆于D 、E ，点A关于D 、E 的对称点分别为F 、G ，△ADG 和△AEF 的外接圆交于A 和另⼀点P 。

求证：AP//BC 。

（10092102.gsp ）5．圆O 1和圆O 2相交于A 、B 两点，P 是直线AB 上⼀点，过P 作两圆作切线，分别切圆O 1和圆O 2于点C 、D ，⼜两圆的⼀条外公切线分别切圆O 1和圆O 2于点E ，F 。

求证：AB 、CE 、DF 共点。

（10092201.gsp ）6．四边形ABCD 中，M 是AB 边中点，且MC=MD ，过C 、D 分别作BC 、AD 的垂线，两条垂线交于P 点，再作PQ ⊥AB 于Q 。

高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。