高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 含答案

复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．2．若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．[典例] 已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43. [答案] －45 －43[类题通法]利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．[题组训练]1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6 解析：选C 由三角函数的定义知： tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－cos π6sin π6＝－3212＝－ 3.又sin5π6＞0，cos 5π6＜0. 所以α是第四象限角，因此α的最小正值为5π3.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.3．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．2．(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．[典例] 已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2. 即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) ＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. [类题通法]三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．[题组训练]1．若sin (π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－23B ．－66C.66 D.23解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－1－sin 2α＝－23. 2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.3．计算：sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝________. 解析：因为sin4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32， cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝cos 25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32， 所以sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝－32×32＝－34. 答案：－344．已知sin(180°＋α)＝－1010，0°＜α＜90°， 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[典例] (广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.[类题通法]解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[题组训练]1．(重庆高考)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：选A tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.2．计算：cos π12cos 5π12＝________.解析：cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14.答案：14.3．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且tan(α＋β)＝2tan α.4tan α2＝1－tan 2α2，则α＋β＝________.解析：∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2tanα24tanα2＝12， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. 答案：π44．在△ABC 中，sin B ＝cos A ，若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .解：因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.因sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32，知A ＝30°. 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解：选D r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， ∴x ＝－2 3.故选D.2．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π＜α＜－3π2，∴－π＜α2＜－3π4，∴cos α2＜0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14， 即cos 2α＝14. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3，故选D.4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8 解析：选D ∵sin α－cos α＝－52， ∴1－2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝－18，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝－8. 5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝⎛⎭⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎫－13＝103，故选A. 6．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝2425. 7．在0°～720°中与2π5角终边相同的角为________．解析：因为25π＝25π×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°， 所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝72°； 当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°中与2π5角终边相同的角为72°，432°.答案：72°，432°8．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝_______________________. 解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝34. 因为α为钝角，即π2＜α＜π，所以－3π4＜π4－α＜－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＜0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝－74. 答案：－749．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－22，则 2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.解析：∵tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－22， ∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2. ∵π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴tan θ＜0，∴tan θ＝－22， 2cos 2 θ2－sin θ－tan 5π42sin (θ＋π4)＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2.答案：3＋2 2 10．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.解：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2cos 220°＝cos 40°＋12cos 220°＝ 2. 11．已知cos α－sin α＝3 25，且π＜α＜3π2，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值． 解：∵cos α－sin α＝325， ∴1－2sin αcos α＝1825， ∴2sin αcos α＝725. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， ∴sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0, ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0，解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴tan α＜0， ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题 如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示 前提条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论 当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断u u u r AB 与uuur CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)[解] u u u rAB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，uuu r CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴u u u r AB ，uuur CD 共线． 又uuu r CD ＝－2u u u r AB ，∴u u u r AB ，uuur CD 方向相反．综上，u u u r AB 与uuur CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解． 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知uuu r OA ＝(3,4)，uuu r OB ＝(7,12)，u u u rOC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量uuu r OA ＝(k,12)，uuu r OB ＝(4,5)，u u u rOC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(4,8)， u u u r AC ＝u u u r OC －uuu rOA ＝(6,12)， ∴u u u r AC ＝32u u u r AB ，即u u u r AB 与u u u rAC 共线．又∵u u u r AB 与u u u rAC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则u u u r AB ，u u u rAC 共线，∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(4－k ，－7)， u u u r AC ＝u u u r OC －uuu rOA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0. 解得k ＝－2或k ＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A ，B ，C 三点是否共线，一般是看u u u r AB 与u u u r BC ，或u u u r AB 与u u u rAC ，或u u u r AC 与u u u r BC是否共线，若共线，则A ，B ，C 三点共线；(2)使用A ，B ，C 三点共线这一条件建立方程求参数时，利用u u u r AC ＝λu u u r BC ，或u u u r AB ＝λu u u r BC ，或u u u rAB ＝λu u u r AC 都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，u u u r AB 与uuur CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：u u u rAB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)， u u u rBC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)， uuu rCD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由u u u r AB 与uuur CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又u u u r AB 与uuur CD 方向相同，所以x ＝2.此时，u u u rAB ＝(2,1)，u u u r BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以u u u r AB 与u u ur BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|u u u rAD|＝1，则|u u u rDC|＝1，|u u u rAB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵u u u rED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，u u u rBC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴u u u rED＝u u u rBC，∴u u u rED∥u u u rBC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，u u u rAB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，uuu rCD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴u u u rAB与uuu rCD共线．u u u rAD＝(－1,2)，u u u rBC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴u u u rAD与u u u rBC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵u u u rBC＝(－2,1)，u u u rAD＝(－1,2)，∴|u u u rBC|＝5＝|u u u rAD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设uuu rOP＝tuuu rOB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则u u u rAP＝uuu rOP－uuu rOA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，u u u r AC＝u u u rOC－uuu rOA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由u u u r AP ，u u u rAC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴uuur OP ＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，则uuu r OP ＝(x ，y )，uuu rOB ＝(4,4)． ∵uuu r OP ，uuu rOB 共线，∴4x －4y ＝0.①又uuu r CP ＝(x －2，y －6)，u u u rCA ＝(2，－6)，且向量uuu r CP ，u u u rCA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥u u u rAB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得u u u rAB ＝(3,1)，∵a ∥u u u r AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与u u u rAB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D u u u rAB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.解析：u u u rAB ＝(x ＋1，－6)，u u u r AC ＝(4，－1)， ∵u u u r AB ∥u u u rAC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且u u u r AE ＝13u u u r AC ，u u u r BF ＝13u u u r BC ，求证：u u u r EF ∥u u u r AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有u u u r AC ＝(2,2)，u u u r BC ＝(－2,3)，u u u rAB ＝(4，－1)． ∵u u u r AE ＝13u u u r AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，u u u r EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴u u u r EF ∥u u u r AB .10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)． (1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，∴u u u r AB ∥u u u r AC ，而u u u rAB ＝(－8,8)，u u u r AC ＝(3，y ＋6)，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，即y ＝－9.3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1,1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1,1)，d ＝a －b ＝－(－1,1)，即c ∥d 且c 与d 反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D 设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ，则u u u r AB ＝u u u rDC ，∴D (－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB ，则u u u r AC ＝u u u rBD ，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则u u u r AC ＝u u u rDB ，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知u u u r AB ＝(6,1)，u u u r BC ＝(x ，y )，uuu r CD ＝(－2，－3)，u u u r BC ∥u u u rDA ，则x ＋2y 的值为________．解析：∵u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u ur BC ＋uuu r CD ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴u u u r DA ＝－u u u rAD ＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)． ∵u u u r BC ∥u u u r DA ，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：06．已知向量uuu r OA ＝(3，－4)，uuu r OB ＝(6，－3)，u u u rOC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即u u u r AB 与u u u rAC 不共线．∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(3,1)，u u u r AC ＝u u u r OC －uuu r OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若u u u r AC ＝2u u u rAB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则u u u r AB 与u u u rAC 共线．u u u rAB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，u u u r AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若u u u r AC ＝2u u u rAB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则u u u rDP ＝(x －1，y )，u u u rDB ＝(5,4)，u u u r CA ＝(－3,6)，u u u r DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得u u u r DP ＝u u u u rλDB ＝(5λ，4λ)．又∵uuu r CP ＝u u u r DP －u u u rDC ＝(5λ－4,4λ)，由于uuu r CP 与u u u rCA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，∴u u u r DP ＝47u u u r DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

平面向量应用举例预习课本P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？[新知初探]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量m v 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积．[小试身手]1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．5答案：D2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ，则四边形ABCD 是( ) A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形答案：C3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．答案：－11题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明：法一：设AD ＝a ，AB ＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ＝DA ＋AE ＝－a ＋12b ，AF ＝AB ＋BF ＝b ＋12a ，所以AF ·DE ＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ＝(2,1)，DE ＝(1，－2)．因为AF ·DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2. 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB ＝12. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 证明：设AB ＝m ，AD ＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，∴FO ＝FA ＋AO ＝13BA ＋12AC＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE ＝OC ＋CE ＝12AC ＋13CD＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . ∴FO ＝OE .又O 为FO 和OE 的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ， 而|BD |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12，又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC |＝6，即AC ＝ 6.用向量方法解决平面几何问题的步骤[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．[解] (1) 如图，设AB 表示水流的速度，AD 表示渡船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB ＋AD ＝AC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC |＝|AB |＝12.5，|AD |＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F·s .∵AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W 1＝F 1·AB ＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W 2＝F 2·AB ＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一题多变]1．[变设问]本例(2)条件不变，求F 1，F 2的合力F 为质点所做的功．解：W ＝F ·AB ＝(F 1＋F 2)·AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F 1，F 2分别对该质点做的功．解：AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一 学业水平达标1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝⎛⎭⎫－1，－73，B ⎝⎛⎭⎫1，13，C ⎝⎛⎭⎫－12，2，D ⎝⎛⎭⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫2，83，DC ＝(3,4)， ∴AB ＝23DC ，∴AB ∥DC ，即AB ∥DC .又|AB |＝4＋649＝103，|DC |＝9＋16＝5， ∴|AB |≠|DC |，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ，∴BD 2―→＝⎝⎛⎭⎫12 AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ， 即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 5．已知△ABC 满足2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C 由题意得，AB 2＝AB ·AC ＋AB ·CB ＋CA ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＋CA ·CB ＝AB 2＋CA ·CB ，∴CA ·CB ＝0，∴CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形．6．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功是________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：17．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析： 如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC |＝10， 则|OA |＝|OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 答案：108．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52.答案：－529．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )， D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－a ，a2， CE ＝⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ·CE ＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0， 所以AD ⊥CE ，即AD ⊥CE .10．已知点A (2，－1)．求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程． 解：设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则AP ＝(x －2，y ＋1)．由题意知AP ∥a ，故5(y ＋1)－(x －2)＝0， 即x －5y －7＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为 x －5y －7＝0.层级二 应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m /s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m /sD ．12 m/s解析：选B 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝12BC ，则AD ·BD 的值为( )A ．－52B.52 C ．－54D.54解析：选C 因为BD ＝12BC ，所以点D 是BC 的中点，则AD ＝12(AB ＋AC )，BD ＝12BC ＝12(AC －AB )，所以AD ·BD ＝12(AB ＋AC )·12(AC －AB )＝14(2AC －2AB )＝14(22－32)＝－54，选C.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是( ) A. 2 B ．2 C ．0 D ．1解析：选A ∵AF ＝AD ＋DF ，AB ·AF ＝AB ·(AD ＋DF )＝AB ·AD ＋AB ·DF ＝AB ·DF ＝2|DF |＝2，∴|DF |＝1，|CF |＝2－1，∴AE ·BF ＝(AB ＋BE )·(BC ＋CF )＝AB ·CF ＋BE ·BC ＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2PA ＋2PB ＋PC ＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( )A.15B.25C.14D.13解析：选A 设AB 的中点是D . ∵PA ＋PB ＝2PD ＝－12PC ，∴PD ＝－14PC ，∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15.5．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，则△ABC 的形状为________．解析：(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA ) ＝(AB －AC )·(OB －OA ＋OC －OA ) ＝(AB －AC )·(AB ＋AC ) ＝|AB |2－|AC |2＝0， ∴|AB |＝|AC |. 答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．解析：物体m 的位移大小为|s |＝2sin 37°＝103(m)， 则支持力对物体m 所做的功为 W 1＝F·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)； 重力对物体m 所做的功为 W 2＝G ·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)． 答案：0 987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°；|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求合力F 所做的功．解：以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)，所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，故合力F 所做的功为W ＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×4 2 ＝42×6 3＝246(J)．即合力F 所做的功为24 6 J.8.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ； (2)求证：A ，G ，C 三点共线． 解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：因为D ，G ，F 三点共线，则DG ―→＝λDF ， 即AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .因为B ，G ，E 三点共线，则BG ―→＝μBE ， 即AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE 中(如图)，AB ＋BC －DC ＝( ) A ．AC B ．AD C ．BDD ．BE解析：选B ∵AB ＋BC －DC ＝AC ＋CD ＝AD . 2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( )A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B. 3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C ∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝( )A.12 B.13 C.23D ．±13解析：选B 由MN ＝13BC ，且BC ＝AC －AB ，得λ＝13.6．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD ＝2AB －3BC ，则点D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知AD ＝(x ＋1，y －2)，AB ＝(3,1)，BC ＝ (1，－4)，∴2AB －3BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A.7．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90 °B ．30°C ．45°D ．60°解析： 选D 如图，用OA 表示水速，OB 表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC ＝|AC ||OA |＝|OB ||OA |＝|v 静||v 水|＝3，∴∠AOC ＝60°，故选D.8．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A ∵AD ＋BE ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(BA ＋AE )＋(CB ＋BF ) ＝13BC ＋13AC ＋⎝⎛⎭⎫CB ＋13 BA ＝13BA ＋13BC ＋13AC ＋CB ＝－13BC ， ∴(AD ＋BE ＋CF )与BC 平行且方向相反． 9．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．10．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析：选C 因为|OA |＝|OB |＝|OC |，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA ＋NB ＋NC ＝0，得NA ＋NB ＝－NC ＝CN ，由中线的性质可知点N 在AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC的重心；由PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA 得PA ·PB －PB ·PC ＝PB ·CA ＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．11．已知平面上直线l 与e 所在直线平行且e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′，则''O A ＝λe ，其中λ等于( )A.115 B ．－115C ．2D ．－2解析：选D 由题意可知|''O A |＝|OA |cos(π－θ)(θ为OA 与e 的夹角)． ∵O (0,0)，A (1，－2)，∴OA ＝(1，－2)．∵e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，∴OA ·e ＝1×⎝⎛⎭⎫－45＋(－2)×35＝－2＝|OA |·|e |·cos θ，∴|OA |·cos θ＝－2.又∵|''O A |＝|λ|·|e |，∴λ＝±2.又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 12．在△ABC 中，有下列四个命题： ①AB －AC ＝BC ； ②AB ＋BC ＋CA ＝0；③若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC ·AB >0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．②③④解析：选C ∵AB －AC ＝CB ＝－BC ≠BC ，∴①错误．AB ＋BC ＋CA ＝AC ＋CA ＝AC －AC ＝0，∴②正确．由(AB ＋AC )·(AB －AC )＝2AB －2AC ＝0，得|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．AC ·AB >0⇒cos 〈AC ，AB 〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )(a －2b )＝|a 2|－a·b －2|b |2＝1－a·b －8＝－7，∴a·b ＝0，∴a ⊥b .故a ，b 的夹角为π2.答案：π214．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7. 答案：715．已知向量AB 与AC 的夹角为120 °，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λAB 2＋AC 2＋(λ－1)·AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：71216.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ ＝λDC ，CP ＝(1－λ)CB ，则AP ·AQ 的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设Q (m ，n )，由DQ ＝λDC 得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB 得，(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP ·AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故AP ·AQ ∈[0,2]．答案：[0,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． ∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c |<5，∴|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值． 解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上， ∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM ＝(2y ，y )．又MA MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)， ∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时， 有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)， |MA |＝34，|MB |＝2，MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA ·MB |MA ||MB |＝－834×2＝－41717.19．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，(1)用OA ，OB 表示OC .(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解：(1)因为2 AC ＋CB ＝0， 所以2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0， 2OC －2OA ＋OB －OC ＝0，所以OC ＝2OA －OB .(2)证明：如图，DA ＝DO ＋OA ＝－12OB ＋OA＝12(2OA －OB )． 故DA ＝12OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．20．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)连接AF ，由已知得AM ＝AD ＋DM ―→＝12a ＋b .∵AF ＝AB ＋BF ＝a ＋13b ，∴HF ＝HA ―→＋AF ＝－12b ＋⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－6，从而AM ·HF ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ·AC ＝0，|AB |＝12，|BC |＝15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．(1)求AD ·CB 的值； (2)判断AE ·CB 的值是否为一个常数，并说明理由． 解：(1)∵AB ·AC ＝0，∴AB ⊥AC . 又|AB |＝12，|BC |＝15，∴|AC |＝9.由已知可得AD ＝12(AB ＋AC )，CB ＝AB －AC ，∴AD ·CB ＝12(AB ＋AC )·(AB －AC ) ＝12(2AB －2AC ) ＝12(144－81)＝632. (2)AE ·CB 的值为一个常数．理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴DE ·CB ＝0.故AE ·CB ＝(AD ＋DE )·CB ＝AD ·CB ＋DE ·CB ＝AD ·CB ＝632. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ； 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

平面向量的实际背景及基本概念预习课本P74～76，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？[新知初探]1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a ＝b .(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量平行．[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)单位向量的模都相等．( )(4)向量 AB 与向量BA 是相等向量．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B3．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN 表示B ．方向是由M 指向NC ．始点是MD ．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有______．答案： AB ， DC[典例] 有下列说法：①向量 AB 和向量BA 长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC 是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量 AB，BC，CD，AD.解：如图所示．[典例] 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且 OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有 OD ， BC ， AO ，FE .(2)与a 共线的向量有 EF ， BC ， OD ， FE ， CB ， DO ， AO ， DA ，AD .(3)与a 相等的向量有 EF ， DO ， CB ；与b 相等的向量有 DC ， EO ，FA ；与c相等的向量有 FO ， ED ，AB .[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC 相等的向量．解：与向量 BC 相等的向量有 OD ， AO ，FE .2．[变条件，变设问]在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？ 解：由正六边形性质知，△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与 AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC ．AO ＝1D ．| AO |＝| BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故 AO 与BO 无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又 AO 与 BO 均为单位向量．∴| AO |＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB |＝1，| AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则| BC |＝________.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以| BC |＝ 3.答案： 37．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1， 所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案：③8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .答案：①③④9.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)写出与向量AB 相等的向量；(2)写出与OA 的模相等的向量．解：(1)与向量AB 相等的向量是 DC .(2)与 OA 的模相等的向量有： OB ， OC ， OD ， BO ， CO ， DO ， AO .10.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出 AD ， DC ，CB ， AB .(2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量 AD ， DC ，CB ， AB 如图所示．(2)由题意知 AD ＝BC .所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以 AB ＝ DC ，则B 地相对于A 地的位移为“在北偏东60°的方向距A 地6千米”．层级二 应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A ． AD ＝BCB ． AC ＝ BDC ． PE ＝ PFD ． EP ＝ PF解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：A 中， AD 与 BC 方向不同，故 AD ＝BC 错误；B 中， AC 与 BD 方向不同，故 AC ＝BD 错误；C 中， PE 与 PF 方向相反，故 PE ＝PF 错误；D 中， EP 与 PF 方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故 EP ＝PF 正确．2．下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．终点相同的两个向量不共线 C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线 D ．单位向量的长度为1解析：选D A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a 与b 可能共线．3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③解析：选B a 为任一非零向量，所以|a |＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即 CE ＝ EA .5．四边形ABCD 满足 AD ＝ BC ，且| AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．解析：∵ AD ＝ BC ，∴AD ∥BC 且|AD |＝| BC |，∴四边形ABCD 是平行四边形．又| AC |＝|BD |知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量 OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与 AD 相等的向量为 OC ；与 OA 共线的向量为 DC ，EB ；与 OA 的模相等的向量为 OB ， OC ， DC ， EB ，AD .答案： OC DC ， EB OB ， OC ， DC ， EB ， AD7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量 DE ，FD 共线的向量．解：(1)与 DE 长度相等的向量是EF ，FD ， AF ， FC ， BD ， DA ， CE ，EB .(2)与 FD 相等的向量是 CE ，EB .(3)与DE 共线的向量是 AC ， AF ， FC ；与 FD 共线的向量是 CE ， EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0；(2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．解：(1)要使 AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，要使得 AB 是单位向量，必须且只需|AB |＝1.由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22， 所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有|1 AB |2＝| OA |2＋|1 OB |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即|1AB |＝1.上式表示，向量1AB 是单位向量．同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2―→也是单位向量． 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，向量 AB 是单位向量．。

2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[点睛] (1)定理中a 是非零向量，其原因是：若a ＝0，b ≠0时，虽有a 与b 共线，但不存在实数λ使b ＝λa 成立；若a ＝b ＝0，a 与b 显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b ＝λa 成立．(2)a 是非零向量，b 可以是0，这时0＝λa ，所以有λ＝0，如果b 不是0，那么λ是不为零的实数．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若ma ＝mb ，则a ＝b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b答案：A3．在四边形ABCD 中，若AB ＝－12CD ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：C4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______. 答案：－a ＋8b[例1] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .[典例]N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a . CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .如图，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .解：∵BM ＝13BC ＝16BA ＝16(OA －OB )＝16(a －b )，∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN ＝13CD ＝16OD ，∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23(OA ＋OB )＝23(a ＋b )． ∴MN ＝ON －OM ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量的共线确定参数2．已知a ，b 是不共线的两个非零向量，当8a ＋kb 与ka ＋2b 共线时，求实数k 的值． 解：∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )， 即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC .求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．AB AC AB AC AB AC层级一 学业水平达标1．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝( ) A ．57bB ．－57bC ．75bD ．－75b解析：选B b 与a 反向，故a ＝λb (λ＜0)，|a |＝－λ|b |，则5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a ＝57b .2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ， 又∵BD 与AB 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A ．13a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b . 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.答案：－1或3 9．计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(2m －n )a －mb －(m －n )(a －b )(m ，n 为实数)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0. (2)原式＝2ma －na －mb －m (a －b )＋n (a －b ) ＝2ma －na －mb －ma ＋mb ＋na －nb ＝ma －nb .10．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.层级二 应试能力达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ， ∴PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，∴PA ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PA ＋PA ＋PC ＝0， ∴2PA ＝CP ，∴点P 在线段AC 上．5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )7．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

1．1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°任意角的概念[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°终边相同角的表示[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.象限角的判断[典例]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.角αn ，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] 法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得 n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上． 2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．(2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题： (1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．1．1.2 弧 度 制预习课本P6～9，思考并完成以下问题 (1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad ，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝lr.[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad 的单位“rad ”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad ＝360° 180°＝π_radπ rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数 弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式 扇形面积公式 角度制l ＝n πr180 S ＝n πr 2360弧度制l ＝α·r (0<α<2π)S ＝12lr ＝12αr 2(0<α<2π)[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r ，l ，S “知二求二”，它实质上是方程思想的运用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．若α＝k π＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限答案：C3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3答案：D4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6角度与弧度的换算[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5. (2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4. 用弧度制表示角的集合[典例] 已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． [解] (1)2 005°＝2 005×π180 rad ＝401π36rad ＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36rad ，又π<41π36<3π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z)，由－5π≤2k π＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________． 解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4， 所以－1 125°＝－8π＋7π4.答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .扇形的弧长公式及面积公式1．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2. 故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ， ∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π.解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.第二课时三角函数线预习课本P15～17，思考并完成以下问题(1)有向线段是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？[新知初探]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT 即为正切线向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A ．π4B ．3π4 C ．7π4D ．3π4或7π4 答案：D4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：>三角函数线的作法[典例] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .三角函数线的应用1．利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5. 解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan2π3＝AT ； 4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′， 由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以①sin2π3>sin 4π5，②tan 2π3<tan 4π5. 题点二：利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3 ≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z .1．利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．3．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0，∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3. 解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z.所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4 <x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，。

复习课(三) 平面向量1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.[答案]12 －16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝12BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行 计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ，得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0，所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：121．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π， 所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C. 6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.答案： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )， 又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值 范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ， ∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2π＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝12a ＋b ，AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数． 其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角内容要求 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).【预习评价】(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22．答案 ±2 2(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________．解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝3×1＋(－1)×(－2)10·5＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4． 答案 π4题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．答案 B规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2． 【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型二 平面向量的模【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10解析 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝10．答案 B(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)．令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20]．由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案42 5规律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．【训练2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10C．5 D．25解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5．答案 C方向1 向量的夹角问题【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12．∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案 C方向2 向量垂直问题【例3-2】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析 设c ＝(x ，y )，则a ＋c ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－79，y ＝－73.即c ＝(－79，－73)．答案 D规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ．(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向． 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎫－∞，－12． (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．课堂达标1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x ＝( )。

第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的． 三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识． 重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解． 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？ 推进新课新知探究 提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？②如图1，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：图1a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j )＋(x 2i ＋y 2j )＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， 即a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 同理a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．又λa ＝λ(x 1i ＋y 1j )＝λx 1i ＋λy 1j .∴λa ＝(λx 1，λy 1)．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB →平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量AB →的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现：向量AB →的模与向量OP →的模是相等的． 由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式： |AB →|＝|OP →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么11x y ＝22x y是向量a 、b 共线的什么条件？活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.消去λ后得x 1y 2－x 2y 1＝0. 这就是说，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时向量a 、b (b ≠0)共线．又我们知道x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1y 2＝x 2y 1是等价的，但这与y 1x 1＝y 2x 2是不等价的．因为当x 1＝x 2＝0时，x 1y 2－x 2y 1＝0成立，但y 1x 1与y 2x 2均无意义．因此y 1x 1＝y 2x 2是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线． ②充分不必要条件． 提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a ＝λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.讨论结果：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：(1)消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0， ∴x 2、y 2中至少有一个不为0.(2)充要条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1、x 2有可能为0)．(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.应用示例思路1例1已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)； a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D，试求顶点D 的坐标．图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图2，设顶点D 的坐标为(x ，y )． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )． 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)， 而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．图31时，仿例2得：D 1＝(2,2)B 时，仿例2得：D 2＝(4,6)ACB 时，仿例2得：D 3＝(－(1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 又2×6－3×4＝0， ∴AB →∥AC →，且直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向.例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：设P (x ，y )，由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ(x 2－x )y －y 1＝λ(y 2－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图4，由向量的线性运算可知图4OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图5，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12(图5(1))，那么图5OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→ ＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1PPP 2＝2(图5(2))，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A (1,2)，B (4,5)，O 为坐标原点，OP ＝OA ＋tAB .若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)． ∴OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t <－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算，将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习． 解答：1．(1)a ＋b ＝(3,6)，a －b ＝(－7,2)；(2)a ＋b ＝(1,11)，a －b ＝(7，－5)； (3)a ＋b ＝(0,0)，a －b ＝(4,6)；(4)a ＋b ＝(3,4)，a －b ＝(3，－4)． 2．－2a ＋4b ＝(－6，－8)，4a ＋3b ＝(12,5)．3．(1)AB →＝(3,4)，BA →＝(－3，－4)；(2)AB →＝(9，－1)，BA →＝(－9,1)； (3)AB →＝(0,2)，BA →＝(0，－2)；(4)AB →＝(5,0)，BA →＝(－5,0)． 4．AB ∥CD .证明：AB →＝(1，－1)，CD →＝(1，－1)，所以AB →＝CD →.所以AB ∥CD .点评：本题有两个要求：一是判断，二是证明．通过作图发现规律，提出猜想，然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程．5．(1)(3,2)；(2)(1,4)；(3)(4，－5)．6．(103，1)或(143，－1)．7．解：设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．点评：本题希望通过向量方法求解，培养学生应用向量的意识． 课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．作业课本习题2.3 A 组5、6.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A (－2，－3)，点B (4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0，又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)．(2)公式法：依据定比分点坐标公式． x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P (12，y )分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ(－8)1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎨⎧λ＝517，y ＝4922.二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B2．已知A (1,1)，B (－1,0)，C (0,1)，D (x ，y )，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( ) A ．(－2,0) B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B3．若点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．2 答案：D4．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________.答案：4 725．已知ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．答案：(－12，－4)6．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？答案：解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋7×6＝0. ∴k 2－9k －22＝0. 解得k ＝11或k ＝－2.7．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？答案：解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)， ∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)，而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ⇒λ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．。

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。