宁夏固原市高考数学填空题狂刷集锦填空题含答案有解析1．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P 、Q ，高分别为2、1，底面半径为1．A 为底面圆周上的定点，B 为底面圆周上的动点（不与A 重合）．下列四个结论：①三棱锥P ABQ -体积的最大值为12；②直线PB 与平面PAQ 所成角的最大值为6π； ③当直线BQ 与AP 所成角最小时，其正弦值为10； ④直线BQ 与AP 所成角的最大值为2π； 其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）2．设(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，0a >，0b >，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则11a b+的最小值是_______． 3．如图所示，梯形ABCD 中，BC CD ⊥，AE DC ⊥于E ，M ，N 分别是AD ，AC 的中点，将四边形ABCE 沿AE 折起（不与平面ADE 重合），以下结论①//MN 面DEC ；②AE MN ⊥；③//MN AB ．则不论ABCE 折至何位置都有_______．4． 两等差数列{a n }和{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++=__________． 5．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，⋅⋅⋅，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 546．若直线l 1：y ＝kx+1与直线l 2关于点（2，3）对称，则直线l 2恒过定点_____，l 1与l 2的距离的最大值是_____.7．已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的通项公式为______8．一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 . 9．函数23sin cos cos y x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为______. 10．已知正实数x ，y 满足22x y +=，则21x y+的最小值为________. 11．设x cos α=，且3,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππα，则arcsin x 的取值范围是______. 12．若4sin θ5=，则cos2θ=______． 13．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.14．已知向量a ，b 的夹角为60°，2a =，1b =，则a b ⋅=______． 15．求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒︒︒︒︒＋＋＋＋＋的值为________．16．已知sin α+cosα=15，则sin2α=__ 17．如图是一正方体的表面展开图.B 、N 、Q 都是所在棱的中点.则在原正方体中：①MN 与CD 异面；②//MN 平面PQC ；③平面MPQ ⊥平面CQN ；④EQ 与平面AQB 形成的线面角的正弦值是23；⑤二面角 M BQ E --的余弦值为45.其中真命题的序号是______.18．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =__________．20．（6分）已知向量(2,1)m =，(,2)n x =，若m n ⊥，则实数x =__________. 21．（6分）已知向量,,1,2a b a b ==，且210a b +=，则a b ⋅=___________．22．（8分）如果()*12n S n n =++⋅⋅⋅+∈N ，()*32232,111n n n S S S T n n S S S =⨯⨯⋅⋅⋅⨯∈---N ≥，则2017T 的值为________（用分数形式表示）23．（8分）函数sin 3cos y x x =+在[0,2]π的递减区间是__________ 24．（10分）若数列满足，，，则该数列的通项公式______．25．（10分）在ABC ∆中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =________． 26．（12分）已知0a >，0b >，111a b+=，则4a b +的最小值为________． 27．（12分）在等比数列{}n a 中，已知1232341,2a a a a a a ++=++=，则8910a a a ++=________________. 28．执行右边的程序框图，若输入的N 是4，则输出p 的值是 ．29．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切(0)a >，则a =________. 30．在ABC △中，23,2a b ==，3ABC S ∆=C =_____.31．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 32．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.33．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，点M 为△ABC 内切圆的圆心，过点M 作动直线l 与线段AB ，AC 都相交，将△ABC 沿动直线l 翻折，使翻折后的点A 在平面BCM 上的射影P 落在直线BC 上，点A 在直线l 上的射影为Q ，则PQ AQ的最小值为_____．34．设()3sin cos 2sin x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为________.35．已知直线//m 平面β，P β∈，那么在平面β内过点P 与直线m 平行的直线有________条.参考答案填空题含答案有解析 1．①③ 【解析】 【分析】由①可知P ABQ A PBQ V V --=只需求点A 到面PBQ 的最大值对于②，求直线PB 与平面PAQ 所成角的最大值，可转化为PB 到轴截面距离的最大值问题进行求解 对于③④，可采用建系法进行分析 【详解】 选项①如图所示，当OA OB ⊥时，四棱锥体积最大，131=1322A PBQ PBQV S OA -⋅=⨯⨯= 选项②中，线PB 与平面PAQ 所成角最大值的正弦值为1tan 2BO BPO PO ∠==，所以6BPO π∠≠ 选项③和④，如图所示：以垂直于OC 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OP 方向为z 轴，其中()0,1,0A -设()cos ,sin ,0B θθ()002P ,,,()0,0,1Q -.()=0,1,2AP ,()cos ,cos ,1BQ θθ=---设直线BQ 与AP 所成角为α，cos cos =AP BQ AP BQα⋅-=⋅，当cos 1θ=时，cos α取到最大值，cos 10α=，此时10sin α=，由于[]cos 1,1θ∈-，[]cos 21,3θ∴--∈，cos 0α≠，所以α取不到2π答案选①、③ 【点睛】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解. 2．3+【解析】 【分析】根据,,A B C 三点共线求得,a b 的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值. 【详解】依题意()()1,1,1,2AB a AC b =-=--，由于,,A B C 三点共线，所以()()1211a b -⋅=--⋅，化简得21a b +=，故()1111223b a a b a b ab a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭33≥+=+2b a a b =，即112a b =-=时，取得最小值3+ 【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题. 3．①② 【解析】 【分析】根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假． 【详解】作出折起后的几何图形，如图所示：．因为M ，N 分别是AD ，AC 的中点，所以MN 是ACD 的中位线，所以//MN CD ．而MN ⊂面CDE ，所以//MN 面DEC ，①正确；无论怎样折起，始终有,AE DE AE CE ⊥⊥，所以AE ⊥面DEC ，即有AE CD ⊥，而//MN CD ，所以AE MN ⊥，②正确；折起后，M ∉面ABCE ，N ∈面ABCE ，且N AB ∉，故MN 与AB 是异面直线，③错误．故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题． 4．14924【解析】数列{a n }和{b n }为等差数列，所以()()1212201212112171512121217212149221213242a a a a a a Sb b b b b b T +⨯++⨯+=====+⨯+++. 点睛：等差数列的常考性质：{a n }是等差数列，若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+. 5．1 【解析】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，1．第四粒编号为1． 考点：随机数表． 6．（4，5） 2. 【解析】 【分析】根据1l 所过定点与2l 所过定点关于()2,3对称可得，1l 与2l 的距离的最大值就是两定点之间的距离. 【详解】∵直线1l ：1y kx =+经过定点()0,1，又两直线关于点2,3对称，则两直线经过的定点也关于点2,3对称∴直线2l 恒过定点()4,5，∴1l 与2l =故答案为：()4,5，. 【点睛】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题. 7．23n a n =- 【解析】由题意可得，21123a a a +=-++（）（）（）， 解得0a = ． ∴等差数列{}n a 的前三项为-1，1，1．则1121212n a d a n n =-=∴=-+-=-，．（） 1． 故答案为23n a n =- ． 8．5 【解析】设一部门抽取的员工人数为x,则60,520240x x ==. 9．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域． 【详解】21cos 2111cos cos 2sin 2cos 2sin 22222262x y x x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++=++ ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，13sin 20,622x π⎛⎫⎛⎤∴++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故答案为：3(0,]．本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论． 10．4 【解析】 【分析】将21x y +变形为()12122x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，展开，利用基本不等式求最值. 【详解】解：()21121141222224222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当4y x x y =时等号成立，又22x y +=，得11,2x y ==，此时等号成立， 故答案为：4. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，特别是掌握“1”的妙用，是基础题. 11．,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】通过cos α可求得x 的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得arcsin x 的取值范围. 【详解】3cos ,,44ππαα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x ，cos 12α∴-，即12-x .由反正弦函数的定义可得arcsin 42ππ-x，即arcsin x 的取值范围为,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为： ,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题. 12．725-【详解】45sin θ=, 则2247212sin 12525cos θθ⎛⎫-=-⨯=- ⎪⎝⎭＝， 故答案为725-. 13．3365-【解析】 【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin ,3522β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭. 故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 14．1把向量a ，b 的夹角为60°，且2a =，1b =，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案． 【详解】由向量a ，b 的夹角为60°，且2a =，1b =，则1cos602112a b a b ⋅==⨯⨯=. 故答案为1 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题． 15．44.5 【解析】 【分析】通过诱导公式sin89cos1︒=︒，得出22sin 1sin 891︒+︒=，依此类推，得出原式的值． 【详解】()sin89sin 901cos1︒=︒-︒=︒，2222sin 1sin 89sin 1cos 11∴︒+︒=︒+︒=，同理sin2sin881sin44sin461︒+︒=︒+︒=，，，222221sin 1sin 2sin 3sin 88sin 894444.52∴︒+︒+︒++︒+︒=+=，故答案为44.5. 【点睛】本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出22sin 1sin 891︒+︒=是解题的关键，属于基础题． 16．2425-【解析】∵15sin cos αα+=， ∴21(),25sin cos αα+=即11225sin cos αα+=， 则242225sin sin cos ααα==-. 故答案为：2425-. 17．①②④ 【解析】 【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的【详解】根据条件将正方体进行还原如下图所示：对于命题①，由图形可知，直线MN 与CD 异面，命题①正确；对于命题②，N 、Q 分别为所在棱的中点，易证四边形MNQP 为平行四边形，所以，//MN PQ ，MN ⊄平面PQC ，PQ ⊂平面PQC ，//MN ∴平面PQC ，命题②正确； 对于命题③，在正方体中，MP ⊥平面PQC ，由于四边形MNQP 为平行四边形，//QN MP ∴，QN ∴⊥平面PQC . CQ 、PQ ⊂平面PQC ，QN CQ ∴⊥，QN PQ ⊥.则二面角C QN P --所成的角为CQP ∠，显然CQP ∠不是直角，则平面MPQ 与平面CQN 不垂直，命题③错误；对于命题④，设正方体的棱长为2，易知EF ⊥平面AQB ，则EQ 与平面AQB 所成的角为EQF ∠，由勾股定理可得22AE =223EQ AE AQ =+=， 在Rt EFQ ∆中，2sin 3EF EQF EQ ∠==，即直线EQ 与平面AQB 所成线面角的正弦值为23，命题④正确； 对于命题⑤，在正方体中，MP ⊥平面MEFG ，且//BQ MP ，BQ ∴⊥平面MEFG . BE 、BM ⊂平面MEFG ，BQ BE ∴⊥，BQ BM ⊥，所以，二面角M BQ E --的平面角为MBE ∠，在MBE ∆中，由勾股定理得225BM BE BF EF =+=2ME =， 由余弦定理得2223cos 25BM BE ME MBE BM BE +-∠==⋅，命题⑤错误. 故答案为①②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．1i -【解析】分析：由复数的除法运算可得解.详解：由1iz i =+，得()1111i i i z i i ++===--. 故答案为：1i -.点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题.19．5【解析】【分析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】226a b +=，22452b a ++≤=当b =1,a b ==.故答案为：5【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.20．1-【解析】【分析】根据平面向量m n ⊥时0m n =，列方程求出x 的值．【详解】解：向量(2,1)m =，(,2)n x =，若m n ⊥，则0m n =，即220x +=，解得1x =-．故答案为：1-．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．21．12【解析】【分析】 把210a b +=平方，将1,2a b ==代入，化简即可得结果.【详解】 因为1,2a b ==， 所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， 12a b ∴⋅=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.22．2017673【解析】【分析】先求出()12nn n S +=，可得1121n n S n n S n n +=⋅-+-，再代值计算即可. 【详解】 ()1122n n n S n +=++⋅⋅⋅+= ()()()()12111212112n n n n S n n n n S n n n n ++∴===⋅+-+-+-- 201724T ∴=35⨯4⨯62015⨯⋅⋅⋅⨯20172016⨯20172018⨯2019⎛⎫ ⎪⎝⎭3⨯41⨯52⨯32016⨯⋅⋅⋅⨯201420172015⨯20182016⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭ 232017201820172018201912673⨯⨯=⨯=⨯⨯.故答案为：2017673 【点睛】 本题考查了等差数列的前n 项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题. 23．7[,]66ππ 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论． 【详解】 13sin 3cos 2(sin cos )2sin()23y x x x x x π=+=+=+， 由322232k x k πππππ+≤+≤+得72266k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 0k =时，766x ππ≤≤．即所求减区间为7[,]66ππ． 故答案为7[,]66ππ． 【点睛】本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．24．【解析】【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列中，，， 可得数列是等比数列，等比为3，．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．25．2；【解析】【分析】利用余弦定理可构造关于b 的方程，解方程求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：23702b b +-= 解得：2b =或72b =-（舍） 2b ∴= 本题正确结果：2【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.26．1【解析】【分析】由题意整体代入可得()11445a b a b a b b a ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，由基本不等式可得． 【详解】由0a >，0b >，111a b +=，则()1144559a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭． 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝3且b ＝32时，4a b +取得最小值1． 故答案为：1．【点睛】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题． 27．128【解析】1231a a a ++=()234123a a a a a a q ++=++2q ∴=()7789101232128a a a a a a q ++=++==28．24【解析】【分析】【详解】试题分析：根据框图的循环结构，依次1,111k p ==⨯=；112,122k p =+==⨯=；213,236k p =+==⨯=；314,6424k p =+==⨯=．跳出循环输出24p =．考点：算法程序框图．29．1【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离d ==12a +=，由于0a >，所以1a =.故答案为：1【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.30．30︒或150︒【解析】【分析】本题首先可以通过解三角形面积公式得出sin C 的值，再根据三角形内角的取值范围得出角C 的值。
