线面平行垂直知识点

四年级数学上册垂直与平行知识点
一、认识同一平面内两条直线的位置关系。

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交。

二、平行线。

1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

2. 表示方法：直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b，读作 a 平行于 b。

三、垂线。

1. 定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

2. 表示方法：直线 a 与直线 b 互相垂直，记作 a⊥b，读作 a 垂直于 b。

四、点到直线的距离。

从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

五、画垂线的方法。

1. 过直线上一点画这条直线的垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂足，沿着另一条直角边画直线。

2. 过直线外一点画这条直线的垂线：把三角尺的一条直角边与这条直线重合，让三角尺的另一条直角边通过这个已知点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。

六、画平行线的方法。

1. 用直尺和三角尺画平行线：先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，再将直尺与三角尺的另一条直角边重合，然后沿着直尺平移三角尺，当三角尺的直角边与已知点重合时，沿着这条直角边画直线，就是已知直线的平行线。

2. 用两个三角尺画平行线：先将一个三角尺的一条直角边与已知直线重合，再将另一个三角尺的一条直角边紧贴着第一个三角尺的另一条直角边，然后沿着第二个三角尺平移第一个三角尺，当第一个三角尺的直角边与已知点重合时，沿着这条直角边画直线，就是已知直线的平行线。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

平行线和垂直线知识点在几何学中，平行线和垂直线是两个基本的概念。

它们在直线和平面的研究中具有重要的意义。

本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。

一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。

具体而言，对于两条直线l和m，如果它们在同一个平面上且不相交，我们可以说直线l与直线m是平行的，记作l ∥ m。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：如果一条直线与两条平行线相交，那么它将分成两个相对应的锐角和两个相对应的钝角。

性质2：平行线具有传递性，即如果直线l与直线m平行，直线m 与直线n平行，那么直线l与直线n也平行。

性质3：如果两条平行线分别与第三条直线相交，那么相应的对应角是相等的。

性质4：如果两条直线分别与一组平行线相交，那么对应角是相等的。

二、垂直线的定义和性质垂直线是指两条直线形成的角度为90度的直线。

具体而言，对于两条直线l和m，如果它们相交且所成的角度为90度，我们可以说直线l与直线m是垂直的，记作l ⊥ m。

垂直线具有以下性质：性质1：一条直线与平面上的一条垂直线相交，则它与该垂直线所成的角度为90度。

性质2：如果两条直线互相垂直，那么它们是共面的。

三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线是两种不同的情况，但它们之间存在一些重要的关系。

性质1：如果两条平行线被一条横切线相交，那么所成的对应角是相等的。

性质2：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率乘积为-1。

性质3：如果一条直线与一组平行线相交，那么它所成的角度与这组平行线的对应角度相等。

性质4：如果两条直线互相垂直，那么它们的方向余弦的乘积为0。

以上是平行线和垂直线的一些基本定义和性质。

这些概念在几何学中占有重要地位，不仅在纸上的学习中有用，也在实际生活中的测量和建筑等领域有广泛的应用。

对于学习几何学的人来说，掌握这些知识点是必不可少的。

总结：通过本文的介绍，我们了解到平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。

平行线与垂直线知识点总结平行线和垂直线是几何中重要的概念。

它们之间存在一些关键性的属性和定理，了解这些知识点对于理解几何学的基础原理和解题技巧至关重要。

本文将对平行线和垂直线的定义、性质以及相关定理进行总结。

一、平行线1. 定义：平行线是在同一个平面中，永远不相交的两条直线。

用符号“//”表示两条平行线。

2. 性质：- 平行线之间存在等距离：两条平行线的任意两点之间的距离相等。

- 平行线的斜率相等：两条平行线的斜率是相等的。

- 平行线具有传递性：若直线a//b，b//c，则a//c。

3. 平行线的判定：- 垂直平分线判定法：如果两条线段的中垂线重合，则这两条线段平行。

- 角平分线判定法：如果两条角的角平分线平行，则两条角所在的直线平行。

- 逆否命题判定法：如果两条直线的对应角都不相等，则这两条直线平行。

- 同位角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的同位角相等。

- 内错角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的内错角互补。

- 外错角定理：两条平行线被一条横切线所交，所形成的外错角相等。

二、垂直线1. 定义：垂直线是在同一个平面中，相交时所成的角度为90度的两条直线。

2. 性质：- 垂直线之间的角度为90度。

- 垂直线的斜率乘积为-1。

- 垂直线上的任意线段之间距离相等。

3. 垂直线的判定：- 垂直平分线判定法：如果两条线段的中垂线垂直，则这两条线段垂直。

- 互相垂直的直线判定法：如果两条直线斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。

- 同位角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的同位角相等。

- 内错角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的内错角互补。

- 外错角定理：两条垂直线被一条直线所交，所形成的外错角相等。

总结：平行线和垂直线是几何学中十分重要的概念。

平行线具有等距离和相等斜率的特点，垂直线具有90度的角度和斜率乘积为-1的特点。

我们可以利用垂直线和平行线的性质来判断线段和直线的关系，以及解决各类几何题目。

立体几何知识点总结一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；b)l⊂α—直线l在平面α内；c)a⊄α—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法四、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点五、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a ∥β④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法 （ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 八.空间的各种距离 点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。

本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。

一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。

3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。

二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。

3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。

三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。

2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。

3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。

四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。

2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。

3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。

通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。

高三几何垂直平行知识点高三阶段，几何学是数学学科中的一个重要部分，其中包括了垂直和平行的概念。

垂直和平行是几何学中最基本的关系之一，并且在解决几何问题时经常被使用。

以下是高三几何中的垂直和平行的相关知识点。

1. 平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。

平行线具有以下性质：- 平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。

- 两条平行线之间的夹角为零。

- 平行线具有传递性，即如果一条直线与一条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交。

2. 垂直线的定义与性质垂直线是指在同一个平面上，两条直线相交时，交点的两条相邻角度相等的直线。

垂直线具有以下性质：- 垂直线上的任意两点到另一条垂直线的距离相等。

- 两条垂直线之间的夹角为九十度，即形成直角。

- 垂直线与水平线相交时，形成九十度角。

- 垂直线具有传递性，即如果一条直线与一条垂直线相交，那么它与另一条垂直线也相交。

3. 垂直平分线垂直平分线是指将一条线段或角分成两个相等部分，并且与该线段或角垂直相交的线。

垂直平分线具有以下性质：- 垂直平分线的两边相等，并且与被分割的线段或角垂直相交。

- 垂直平分线将线段或角分成两个相等的部分。

4. 平行线与转角转角是指一条线段绕着一个端点旋转所形成的角度。

平行线与转角的相关性质包括：- 转角不会改变平行线的平行性质，即两条平行线的转角相等。

- 转角是平行线间的锐角或钝角。

5. 弦与切线弦是指圆上的两个点之间的线段，而切线是指与圆相切且仅相交于一个点的线段。

弦和切线与垂直平行的关系有：- 圆的直径是一个特殊的弦，它同时也是圆上的最长弦，且恰好与圆上的两个点连线垂直。

- 切线与弦相交于圆的边缘，且形成垂直的角度。

以上是高三几何中关于垂直和平行的一些基本知识点。

掌握这些概念和性质，能够帮助解决几何学中的许多问题。

在解题过程中，灵活运用这些知识，可以更加准确地得出答案，并提高解题效率。

希望这些知识点对你在高三几何学习中有所帮助。

线面平行知识点总结一、线面平行的定义1. 线面平行是指在三维空间中，两条直线或者一个直线与一个平面的关系。

如果两条直线在同一个平面上且不相交，则它们是线面平行的；如果一条直线与一个平面平行，则它们是线面平行的。

2. 线面平行的判断方法：- 根据定义，两条直线在同一个平面上且不相交即为线线平行，可以通过观察二维平面投影来进行判断；- 通过向量的性质来判断，如果两条直线在同一个平面上且它们的方向向量平行，则它们是线线平行的；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。

3. 线面平行的特点：- 对于线线平行，它们在同一个平面上且不相交；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。

二、线面平行的应用1. 几何形状的判断- 在空间几何中，线面平行的概念常常用于判断几何形状的性质。

例如，在判断一个立方体的对角线是否在同一个平面上时，就可以利用线面平行的性质来进行推理。

2. 建模与设计- 在工程建模和设计中，线面平行的概念也有着重要的应用。

例如在建筑设计中，为了保证构件的安装与连接，需要考虑构件之间的线面平行关系，以确保各构件之间的准确配合。

三、线面平行的相关定理1. 平行线性质定理- 定理1：两条直线在同一个平面上且平行，则它们的方向向量成比例；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值。

2. 平面平行性质定理- 定理1：如果两个平行的平面被交叉一条直线所截，则它们的法向量成比例；- 定理2：如果两个平面平行，那么它们的法向量成比例，且它们之间的距离是相等的。

3. 线面平行的性质定理- 定理1：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，并且与这个平面内的直线相交，则这两条直线的夹角等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角。

四、线面平行的相关问题1. 直线在平面内的投影问题- 给定一个直线和一个平面，在平面上求直线的投影。

平行线与垂直线的认识与判断知识点总结一、平行线的定义与性质平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。

根据平行线的定义和性质，可以总结出以下知识点：1. 定理1：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的对应角相等。

2. 定理2：如果两条直线与一条平行线相交，那么与这两条直线对应的的两组内错角互补。

3. 定理3：如果两条平行线分别与一条直线相交，那么对应角相等，内错角互补。

4. 定理4：如果两条直线被一条平行线截断，那么截断线上的对应线段成比例。

二、垂直线的定义与性质垂直线是与另一条线段、线、平面或者其中一个副角成直角的线。

根据垂直线的定义和性质，可以总结出以下知识点：1. 定理1：如果两条直线相交且互相垂直，那么它们之间的角是直角。

2. 定理2：如果一条直线与另一条与之垂直的线交于一点，那么对于这两条直线上的任意两组内错角和对应角，它们的和都是直角。

三、平行线与垂直线的判断方法判断两条直线是否平行或垂直，可以根据以下方法进行：1. 判断平行线的方法：a) 观察是否有两条直线上的对应角相等或内错角互补，如果成立，则两条直线平行。

b) 如果两条直线的斜率相等，但不相交，则这两条直线平行。

c) 如果两条直线的法向量相等，则这两条直线平行。

2. 判断垂直线的方法：a) 观察是否有两条直线上的对应角和内错角的和为直角，如果成立，则两条直线垂直。

b) 如果两条直线的斜率互为相反数，且不相交，则这两条直线垂直。

c) 如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。

四、应用举例下面以几个实例来应用平行线与垂直线的知识：例1：已知直线L1：y = 2x + 3，直线L2：y = -0.5x + 5。

判断L1和L2的关系。

解：通过观察可以发现，L1和L2的斜率互为相反数，且它们的直线方程不同，不相交。

所以根据判断垂直线的方法，可以判断L1和L2垂直。

例2：已知直线L1：y = 3x + 2，直线L2：y = 3x + 5。

线面平行垂直知识点一、线面平行的定义和性质1.定义：线面平行是指一条直线与一个平面内的所有直线都不相交。

2.性质：a.对于一个平面内的一条直线和平面外的任意一条直线，它们都不能同时与该平面平行。

b.平行线与同一平面内的另一条直线的关系：如果两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线要么相交，要么重合。

c.平行线与不同平面内的直线的关系：如果两条直线分别与两个不相交平面平行，则这两条直线不相交。

二、线面垂直的定义和性质1.定义：线面垂直是指一条直线与一个平面内的所有直线都垂直相交。

2.性质：a.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。

b.平行于同一个平面内的两条直线不存在垂直关系。

c.如果两个平面垂直，则其法线向量互相垂直。

三、线面平行和垂直的判定方法1.平行判定：线面平行的判定可以通过向量的方法、斜率的方法和直线与平面的交点判定方法等。

例如，若两个平面的法线向量相等或平行，则这两个平面是平行的。

2.垂直判定：线面垂直的判定可以通过两条直线的方向向量相互垂直、用点法式判断直线与平面之间的关系等方法。

例如，若一条直线与一个平面垂直，则这条直线的方向向量与该平面的法线向量垂直。

四、线面平行和垂直的应用1.线面平行和垂直的知识可以用于建筑设计中，例如判断条墙与地面是否平行或垂直，从而影响建筑的结构布局。

2.在工程测量中，线面平行和垂直关系的知识可以用于量测一些平面的倾斜度和水平度等参数。

3.在图形的投影与透视等绘图问题中，线面平行和垂直关系的知识可以帮助我们正确地绘制出图形的形状和位置。

综上所述，线面平行和垂直是几何学中非常重要的概念，其涉及到线与面之间的相互关系。

了解线面平行和垂直的定义、性质以及判定方法，可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题，并应用于实际生活和工作中。

高中平行和垂直知识点总结
高中数学中，平行和垂直是重要概念之一，以下是有关平行和垂直的一些知识点总结:
1. 平行线：同一平面内，不相交且彼此相等的两条线段称为平行线。

2. 垂直线：相交于一点且互相平分的两条线段称为垂直线。

3. 平行线和垂直线的性质:
a. 平行线间的垂线是不存在的。

b. 任何一条平行线与另一条直线的交点，都是这两个直线的中点。

c. 垂直线是两条平行线分别与另一条直线的交点。

d. 两条平行线间的垂线相等且互相平分。

e. 平行线和垂直线都是相交于一点的两条线段。

4. 垂直线和平行线的关系:
a. 垂直线是平行线的一种特殊形态，两条垂直线相交于一点。

b. 任何一条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等。

c. 两条平行线永远不会相交，但可能会与垂直线相交。

5. 平行线和垂直线的图形表示:
a. 平行线用粗实线表示，垂直线用细实线表示。

b. 在平面直角坐标系中，平行线和垂直线的方程分别为:x 轴和y 轴的方程。

c. 垂直线的表示在矢量图中比较常见，垂直线用黑实线表示，箭头表示方向。

以上是高中数学中有关平行和垂直的一些知识点总结，希望有所帮助。

直线与平面平行、垂直有关知识点直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ii.思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜想在什么条件下直线a与平面a平行.（a|| b）
直线与平面平行的判断
※判定定理的证明
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行
、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
要点诠释：定义中“平面
条直线”不同（线线垂直内的任意一条直线”就是
指“平面内的所有直线”，这与“无数
线面垂直）
知识点二、二面角
I.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角( dihedral angle ).这条直线叫做
二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角一AB —.(简记P — AB —Q)
.面角的平面角的三个特征：i .点在棱上
ii .线在面内
iii . 与棱垂直
n .二面角的平面角：在二面角一丨一的棱|上任取一点0,以点0为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱I的射线0A和0B，则射线0A和0B构成的A0B叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：0°180°.。

直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。

其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。

本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。

一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。

1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。

直线可由一个点和一个方向确定。

在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。

2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。

平面由三个非共线的点决定。

在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。

二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。

同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。

2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。

(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。

三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。

2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。

(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。

四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。

同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。

高三平行与垂直知识点在数学中，平行与垂直是两个重要的概念。

它们在几何学和代数学中都扮演着重要的角色。

本文将介绍高三学生在学习平行与垂直时需要了解的知识点，包括定义、判定条件以及相关性质。

一、平行线的定义及判定条件：平行线是指在同一平面上始终保持相同的方向，永不相交的两条直线。

以下是平行线的定义及判定条件：1. 若两条直线在同一平面上没有交点且距离始终相等，则这两条直线是平行的。

2. 若两条直线的斜率相等但不相交，则这两条直线是平行的。

3. 若两条直线的法向量相等，则这两条直线是平行的。

二、垂直线的定义及判定条件：垂直线是指两条直线在交点处互相垂直的性质。

以下是垂直线的定义及判定条件：1. 若两条直线的斜率相乘为-1，则这两条直线垂直。

2. 若两条直线的方向角相差90度，则这两条直线垂直。

3. 若两条直线的乘积斜率为-1，则这两条直线垂直。

三、平行线和垂直线的性质：1. 平行线的性质：（1）平行线与一条横切线的交点所对应的内角相等。

（2）平行线与一条横切线的交点所对应的外角互补。

（3）平行线上的任意两条相交线所对应的对顶角相等。

（4）平行线上的两个异面直角锐角对应角相等。

2. 垂直线的性质：（1）垂直线与一条横切线的交点所对应的内角为直角。

（2）垂直线与一条横切线的交点所对应的外角为直角。

（3）垂直线上的任意两条相交线所对应的对顶角互补。

（4）垂直线上的两个异面直角钝角对应角相等。

四、平行线和垂直线的应用：1. 平行线的应用：（1）在构造平行四边形或矩形时，需要用到平行线的性质。

（2）在解决几何证明问题时，平行线的性质常常被用作推理的基础。

2. 垂直线的应用：（1）在建筑工程中，垂直线用于确定建筑物的垂直性。

（2）在解决各类几何问题时，垂直线与平行线的性质被广泛应用。

综上所述，高三学生需要掌握平行线和垂直线的定义、判定条件以及相关性质。

理解并应用这些知识点，可以帮助学生更好地解决几何问题，并在数学学习中取得较好的成绩。

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。

判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。

1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。

（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。

（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。

直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。

（2）两个平行直线的斜率相同。

（3）两个平行直线的方向向量相同。

（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。

2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。

（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。

直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。

（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。

（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。

（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。

（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。

关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。

这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。

直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。

基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。

CC1推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 12、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点求证：BCD EF 平面//2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点求证：EFG AC 平面//直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .四、两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。