分式思维拓展训练

初中数学思维拓展训练数学是研究数量、结构、变化和空间等概念的一门学科。

它不仅是一门基础学科，也是一门应用广泛的学科。

在中学阶段，数学思维的培养尤为重要，它能够帮助学生提高逻辑思维能力、解决问题的能力，以及创新思维的能力。

主要学习内容初中数学的学习内容主要包括：有理数、整式、分式、方程、不等式、函数、几何等。

每个部分都有其独特的特点和难点，需要学生进行深入的学习和理解。

学习注意事项在学习数学的过程中，需要注意以下几点：1.注重基础：数学是一门循序渐进的学科，需要学生打好基础，才能进行更深入的学习。

2.多做练习：数学是一门需要通过大量练习来提高的学科，学生需要多做练习，才能掌握知识点。

3.培养逻辑思维：数学是一门逻辑性很强的学科，学生需要培养逻辑思维，才能更好地理解和应用数学知识。

主要学习方法和技巧方法一：理解概念在学习数学时，首先要理解概念。

理解概念需要从两个方面入手：一是理解概念的内涵，二是理解概念的外延。

理解概念的内涵，就是要理解概念的定义、性质、特点等；理解概念的外延，就是要了解概念的应用范围、相关知识点等。

方法二：多做练习多做练习是学习数学的重要方法。

通过多做练习，可以加深对知识点的理解，提高解题能力，培养逻辑思维。

在做练习时，需要注意以下几点：一是要注意时间管理，合理安排时间，提高效率；二是要注意错题整理，及时总结错误，避免重复犯错；三是要注意知识点梳理，及时复习巩固，提高记忆效果。

方法三：参与讨论参与讨论是学习数学的有效技巧。

通过参与讨论，可以与他人分享学习心得，互相启发，拓展思维。

在参与讨论时，需要注意以下几点：一是要积极发言，表达自己的观点，提高沟通能力；二是要虚心倾听，借鉴他人的经验，提高自己的学习能力；三是要注重团队协作，发挥集体智慧，提高解决问题的能力。

中考备考技巧1.制定学习计划：根据自己的实际情况，制定合理的学习计划，明确学习目标和进度。

2.分析历年中考题目：通过分析历年中考题目，了解中考题目的特点和趋势，有针对性地进行复习。

1.3 分 式 总分100分（1~11每小题5分，12~14每小题10分, 15题15分）姓名： 家长签字：1.若x,y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A.y x x -+2 B.22x y C.2332x y D.22)(2y x y - 2.如果a-b=3ab,那么=-ba 11 。

3.已知a 、b 为实数，且ab=1,a ≠1,设M=11+++b b a a ，N=1111+++b a ，则M ，N 的大小关系是（ ） A.M ＞N B.M=N C.M ＜N D.无法确定4.若a+b+c=0，且abc ≠0,则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c c a b c b a 111111的值为（ ）A.1B. 0C. -1D. -35.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx ax x x 恒成立，则（a 2+b 2-2ab ）-8a+8b+17的值是（）A.50B. 37C. 29D. 265.已知,12131=-n m 则式子n mn m mmn n 669634-+-+的值是（ ） A.35- B. 45- C. 85 D. 356.若,31=+x x 则=+122x x 。

7.已知x 2-3x+1=0,则代数式12+-x x x的值是 。

8.已知m 2+2m-2=0,那么代数式2442+∙⎪⎭⎫⎝⎛++m m m m m 的值是（ ）A.-2B. -1C. 2D. 39.已知2414122--=+m n n m ，则n m 11-的值等于（ ）A.1B. 0C. -1D. 41-10.已知 (x-y)(2x-y)=0 (xy ≠0),则x yy x+的值为（ ）A.2B. 212- C. -2或212- D. 2或21211.已知,41=+a a 则21⎪⎭⎫⎝⎛-a a = 。

12.先化简，再求值)225(262---÷--x x x x ，其中x=-2.13.先化简，再求值x x x x x x 44)242(22++÷-+-，其中x 是0,1,2这三个数中合适的数。

分式方程拓展训练培优提高分式方程拓展训练一、分式方程的特殊解法1.交叉相乘法例1：解方程：$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2}$解法：交叉相乘得到$x(x+2)=3$，化简后得到$x^2+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，但$x=-3$不符合原方程的定义域，所以解为$x=1$。

2.化归法例2：解方程：$\frac{12}{x-1}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-1}$解法：通分得到$\frac{10}{x-1}=\frac{1}{x-1}$，解得$x=11$。

3.左边通分法例3：解方程：$\frac{x-8}{x-7}-\frac{1}{x+7-x}=\frac{8}{x-7-x}$解法：左边通分得到$\frac{(x-8)-(x+7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{8}{-2x}$，化简得到$-x^2+2x-15=0$，解得$x=3$或$x=-5$，但$x=-5$不符合原方程的定义域，所以解为$x=3$。

4.分子对等法例4：解方程：$\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}=\frac{b}{x}+\frac{1}{x-1}$，其中$a\neq b$解法：分子对等得到$\frac{x-1+a-1}{ax(a-1)}=\frac{bx+1+abx-ab}{x(x-1)ax(a-1)}$，化简得到$abx^2+(a+b-2)bx+a-1=0$，由于$a\neq b$，所以系数$a+b-2=0$，解得$a=1$，代入原方程得到$x=2$。

5.观察比较法例5：解方程：$\frac{4x}{5x-2}+\frac{17}{5x-2}=\frac{5x+24}{4x}$解法：观察到分母都含有$5x-2$，设$5x-2=t$，则原方程化为$\frac{4}{t}+\frac{17}{t}=\frac{t+24}{4(t+2)}$，化简得到$t^2-50t+76=0$，解得$t=2$或$t=48$，代回得到$x=\frac{4}{5}$或$x=\frac{50}{9}$，但$x=\frac{50}{9}$不符合原方程的定义域，所以解为$x=\frac{4}{5}$。

思维特训(十五) 分式方程的特殊解法方法点津 ·1．局部通分，分子相等法：方程两边通分后，出现分子相等，又分式相等，所以得分母相等求解．2．拆项法：若分式的分子、分母的次数相同，可逆用分式的加减法法则，把分式写成整式＋分式的形式，再利用等式的性质，把方程进行简化．3．化积为差法：即利用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，通过正负项抵消，起到简化方程的目的． 典题精练 ·类型之一 局部通分，分子相等法1．解方程：x －2x －1－x －4x －3＝x －6x －5－x －8x －7.2．阅读下列材料：方程1x ＋1－1x ＝1x －2－1x －3的解为x ＝1， 方程1x －1x －1＝1x －3－1x －4的解为x ＝2， 方程1x －1－1x －2＝1x －4－1x －5的解为x ＝3，… (1)请你观察上述方程与解的特征，写出一个解为x ＝5的分式方程；(2)写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解．类型之二 拆项法3．解下列分式方程：(1)5x －96x －19＋x －8x －9＝4x －19x －6＋2x －21x －8；(2)13－2x 11－2x ＋17－2x 15－2x ＝19－2x 17－2x ＋11－2x 9－2x.类型之三 化积为差法4．解方程：1x ＋10＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＋…＋1（x ＋9）（x ＋10）＝25.5．阅读下列材料：11×3＝12×(1－13)， 13×5＝12×(13－15)， 15×7＝12×(15－17)，… 受此启发，请你解下面的方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18.详解详析1．解：两边通分，得（x －2）（x －3）－（x －1）（x －4）（x －1）（x －3）＝ （x －6）（x －7）－（x －5）（x －8）（x －5）（x －7）， 即2x 2－4x ＋3＝2x 2－12x ＋35， ∴x 2－4x ＋3＝x 2－12x ＋35，移项、合并同类项，得8x ＝32，解得x ＝4.经检验，x ＝4是分式方程的解．2．解：(1)1x －3－1x －4＝1x －6－1x －7. (2)1x －n －1x －（n ＋1）＝1x －（n ＋3）－1x －（n ＋4）(n 为整数)， 解为x ＝n ＋2.3．解：(1)原方程可化为(5－1x －19)＋(1＋1x －9)＝(4＋5x －6)＋(2－5x －8)， 即1x －9－1x －19＝5x －6－5x －8， ∴－10（x －9）（x －19）＝－10（x －6）（x －8）， ∴(x －9)(x －19)＝(x －6)(x －8)，即14x ＝123，∴x ＝12314. 经检验，x ＝12314是原方程的解． (2)原方程可化为(1＋211－2x )＋(1＋215－2x )＝(1＋217－2x )＋(1＋29－2x)， 即211－2x ＋215－2x ＝217－2x ＋29－2x ， ∴211－2x －29－2x ＝217－2x －215－2x ， ∴－4（11－2x ）（9－2x ）＝－4（17－2x ）（15－2x ）， ∴(11－2x )(9－2x )＝(17－2x )(15－2x )，解得x ＝132. 经检验，x ＝132是原方程的解．4．解：∵1（x ＋1）（x ＋2）＝1x ＋1－1x ＋2， 1（x ＋2）（x ＋3）＝1x ＋2－1x ＋3，…， 1（x ＋9）（x ＋10）＝1x ＋9－1x ＋10， ∴原方程可化为1x ＋10＋1x ＋1－1x ＋2＋1x ＋2－1x ＋3＋…＋1x ＋9－1x ＋10＝25， ∴1x ＋1＝25，解得x ＝32. 经检验，x ＝32是原方程的解． 5．解：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18， 13(1x －1x ＋3)＋13(1x ＋3－1x ＋6)＋13(1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18， 13(1x －1x ＋9)＝32x ＋18， 2(x ＋9)－2x ＝9x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．。

《分式》拓展训练教案 教学目标：知识与技能：（1）复习巩固分式相关知识，提高对分式的意义、分式的运算、分式方程的理解和运用；（2）提升运用分式知识解决问题的思维能力，提高解题的技能、技巧．过程与方法：（1）经历方法探究的过程，得到解题方法的提炼和深化；（2）通过对有一定深度和广度问题的探究，把思维拓展作为培养学生学习能力的重要手段；（3）尝试相互合作、研究讨论的学习模式．情感态度价值观：（1）培养学生热爱数学，敢于钻研，科学、严谨的学习态度；（2）培养学生大胆交流，合作共进的学习意识．教学重、难点：重点：分式运算的拓展．难点：分式应用的拓展．教学方法：小组讨论，讲练结合．教学过程：一、课内变式：1．当m =__________时，分式()()21332m m m m ---+的值的零． 2．要使分式11xx-有意义，则x 的取值范围是_____________． 3．已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，则a =___________，b =____________． 4．若关于x 的方程212x a x +=--的解为正数，则a 的取值范围是____________． 操作方法：让学生先尝试，再由能力强的学生上台讲解，如还有疑问再同桌讨论，最后老师公布答案．二、典例精讲：例1：解方程：22221111132567129208x x x x x x x x +++=++++++++ 提示：先将分母分解因式，再尝试拆项，由学生试解．例2：已知0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．16 D ．20 提示：考虑三项的完全平方形式，尝试变形．例3：设a 、b 、c 满足0abc ≠且a b c +=，求222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值． 提示：先通分，再尝试合理分组，再通过对a b c +=的合理变形代入化简原式求值．三、课后练习：1．已知2310x x -+=，则2421x x x ++的值为_____________．2．若a b x a b -=+，且0a ≠，则b a等于（ ） A ．11x x -+ B ．11x x +- C ．11x x -+ D ．11x x +- 3．已知()22221111x x A B C x x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值． 4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买多少枝？5．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，求11111a b c c +++++的值． 四、课时小结：（略）五、课外作业：1.收集与分式相关拓展延伸问题，交流学习心得；2.加强运用所学知识解决实际问题的实践．六、板书设计：（略）七、教学反思：。

分式计算的拓展课后练习（二）
主讲教师：黄炜北京四中数学教师
题一：化简并求值：．
题二：已知：x2xy+6y2=0，那么的值为．
题三：若x＞0，试比较和的大小．
题四：已知两个分式A=，B=，其中x≠2，则A与B的关系是．题五：已知a＞b＞0，m＜0，比较的大小．
题六：已知，求的值．
题七：已知方程x2+3x的两根为x1、x2，求值．
题八：分式的最小值是多少？
分式计算的拓展
课后练习参考答案
题一：15．
详解：=15．题二：答案：．
详解：∵x2xy+6y2=0，
∴(x y)(x y)= 0，
∴x y=0或x y=0，
即x=2y或x=3y，
∴当x=2y时，=；
当x=3y时，
原式的值为：．
题三：答案：当0＜x＜1时，＜；
题四：当x=1时，=；
题五：当x＞1时，＞．
详解：对x＞0进行分类，
0＜x＜1时，＜1，＞1；
当x=1时=1，=1；
当x＞1时，＞1，＜1．
由此可以得到答案．
当0＜x＜1时，＜；
当x=1时，=；
当x＞1时，＞．
题六：答案：互为相反数．
详解：∵B==，又∵A=，
∴A+B=+=0，
∴A与B的关系是互为相反数．。

【分式】综合拓展训练一．选择题1．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠4C．x≠0且x≠﹣4D．x≠﹣42．化简的结果是（）A．B．C．D．3．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则﹣的值为（）A．B．﹣C．﹣1D．﹣34．目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（）A．2×10﹣8m B．2×10﹣9m C．2×10﹣10m D．2×10﹣11m5．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2+的值为（）A．11B．9C．7D．57．定义运算“※”：a※b＝，如果5※x＝2，那么x的值为（）A．4B．4或10C．10D．4或8．甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．下列运算中正确的是（）A．B．C．D．10．若关于x的方程有正数解，则（）A．m＞0且m≠3B．m＜6且m≠3C．m＜0D．m＞6二．填空题11．当x＝时，分式无意义．12．若＝﹣2，则＝．13．若x、y、z满足3x+7y+z＝1和4x+10y+z＝2001，则分式的值为．14．用换元法解方程时，若设＝t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．15．如果b﹣a＝﹣6，那么的值是．三．解答题16．计算：（1）（2a﹣b）（a+3b）﹣（a+2b）2；（2）（）．17．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？18．化简：（1）+•；（2）（+）÷．19．李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？20．一般情况下，不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得成立的一对数a，b为“有效数对”，记为（a，b）．（1）判断数对①（﹣2，1），②（3，3）中是“有效数对”的是；（只填序号）（2）若（k，﹣1）是“有效数对”，求k的值；（3）若（4，m）是“有效数对”，求代数式的值．。

分式计算的拓展课后练习（一）题四： 已知A =11x +，B =2121x x x -++，当x ≠-1时，比较A 与B 的大小． 题五： 已知a ，b ，m 是正实数，且a ＜b ，求证：a a mb b m +<+．分式计算的拓展课后练习参考答案题一： -15.详解：原式12332331511()(4)1415222-⨯---=---=-.题二： 3.详解：原式=()()11122x y x y x y x x y x y x +-+--⋅++ =()1122x y x x ---=y -xa 详解：当a ＞1时，a ＞1a ；当a =1时，a =1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a ；当a =0时，1a 不存在，没法比较；当-1＜a ＜0时，a ＞1a ；当a = -1时，a =1a ；当a ＜-1时，a ＜1a ；综上所得：当a ＞1或-1＜a ＜0时，a ＞1a ；当a =±1时，a =1a ；当a =0时，1a 不存在，不能比较；当0＜a ＜1时或a ＜-1时，a ＜1a ．题四： A ＞B ．详解：根据题意得：A -B =11x +-2121x x x -++=11x +-21(1)x x -+=22(1)x +， 当x ≠-1时，22(1)x +＞0，所以A -B ＞0，即A ＞B ．题五： a a mb b m +<+．详解：由a ，b ，m 是正实数，故要证a a mb b m +<+， 只要证a (+m )＜b (+m )只要证ab +am ＜ab +bm ，只要证am ＜bm ，而m ＞0，只要证 a ＜b ，由条件a ＜b 成立，故原不等式成立．题六： 13．详解：∵112x y +=且xy ≠0∴x +y =2xy ，∴353x xy y x xy y -+++=()35x y xy x y xy +-++=652xy xy xy xy -+=13． 详解：（1）∵x 2-5x -1=0，∴x -5-1x =0，∴x -1x =5，∴两边平方得：x 2-2+21x =25，x 2+21x =27；（2）∵x 2-5x -1=0，∴x 2-5x =1，∴2x 2-5x +21x =x 2-5x +x 2+21x =1+27=28．题七： 4．问题转化为考虑函数z=x2+2x+2的最小值，∵z=x2+2x+2=(x+1)2+1∴当x=-1时，z min=1，∴y min=6-2=4，即分式22365112x xx x++++的最小值是4．。

八年级下册数学分式拓展提高题1、已知分式—91862-+aa 的值为正整数，求整数a 的值。

2、已知yx =3，求yxy x xy xy 2222232+--+的值。

3、（1）已知x 2－3x+1=0，求x 2+x 21的值；（2）若x+x 1=3，求1242++x x x 的值。

4、若实数a 、b 满足b a +a b=2，求ba b a ab ab 22224++++的值。

5、计算：2)22bb a -（÷)23ab a+（.)2ab ab -（。

（规律：①先算乘方，再算乘除，注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式。

②分式乘方时要先确定乘方结果的符号，负数的偶次幂为正，负数的奇数幂为负。

6、已知a 、b 、c 为实数，且b a ab +=31，c b ab +=41，c a ac +=51，那么acbc ab abc++的值是多少？（点拨：取倒数的方法。

）7、课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,-20132012,0,2012时，分别求出11222-+-xx x ÷122+-x x 的值。

小明一看说“太复杂了，怎麽算呢？”你能帮小明这个问题吗？请你写出具体过程。

8、观察下列等式：211⨯=1-21，321⨯=21-31，431⨯=31-41，将以上三个等式两边分别相加，得211⨯+321⨯+431⨯=1-21+21-31+31-41=1-41=43。

（1）猜想：)1(1+n n =（ ）， （2）直接写出下列各式的计算结果：①211⨯+321⨯+431⨯+〃〃〃+201020091⨯+201120101⨯=（ ） ②211⨯+321⨯+431⨯+〃〃〃+n n )11-（+)1(1+n n =（ ）（3）探究并计算：421⨯+641⨯+861⨯+〃〃〃+201020081⨯+201220101⨯。

9、（1）若分式方程22-x +42-x mx =23+x 有增根，求m 的值； （2）若分式方程112--x k -x x -21=xx k +-25有增根x=-1,求k 的值。

分式拓展专题分式拓展专题一、分数认识的三次深化与发展1.分数与除法在自然数集合里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数集合扩充为非负有理数集合后，除法运算才变得畅通无阻。

例如，3÷4＝？在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。

如何理解3÷4＝的数学意义呢？⑴表示3是4的。

其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。

一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。

⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。

这里，3和都表示量，而4是量数。

事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。

例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：⑴3是的几分之几？从上图，可以看出：3÷＝。

⑵3平均分成份，每份是多少？因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。

从上图，也可以看出：3÷＝。

注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。

所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。

当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。

这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。

2.百分数百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。

我们先来解决下面的实际问题：在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。

下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。

队员踢点球的次数罚中的次数 3号队员 20 18 5号队员 25 21 7号队员13 12 从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大小。

八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。

二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。

字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。

2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。

3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。

式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。

分式与分式方程拓展重点知识一、分式化简求值拓展：解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。

如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径：(1) 直接运用条件；(2) 变形运用条件；(3) 综合运用条件；(4) 挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能.1.单一化简型：例1：先化简，再求值：aa a a a a a 22122232-++⋅--，其中2-=a .2.双化简型：例2：先化简，再求值：022,)2()2()14(2322323222=-++⋅++-÷++-x x x x x x x x x x x x 其中3.“自力更生”型：例3：已知0)233(122=+++-b a b a ，求)])(1[(22b a a a b a a b a b +---÷+的值.4.“倒数”型：例4：已知10112=++x x x ，求1242++x x x 的值.5.“参数”型：例5：（1）已知432z y x ==，求zxyz xy z y x 3232222+++-的值. （2）已知m cb a b ac a c b =+=+=+，求m 的值.变式练习：1.已知511=+y x ，则=+++-yxy x y xy x 2252 . 2.已知=++=--4321,01x x x x x 则 . 3.（1）如果=+-=++22424235155,411xx x x x x 那么 ； （2）若dc b ad c b a a d d c c b b a +-+-+-===则,的值是 . 4.已知5331,01423242=++++=++ama a ma a a a 且，求m 的值. 5.已知ba ab b ab a b a 634452,3211--+-=+则代数式的值为 . 6.已知实数a ，满足2221,31a a a a +=+则的值为 .7.已知=--++==≠c b a c b a a c c b b a abc 3223,,0则且 . 8.若32,p p p p yx z z y x x z y y x z z y x x z y ++=-+-+=-+-+=++-+则的值为 . 9.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++≠b a c a c b c b a c b a abc 111111,0,0则且的值为（ ）. A.0 B.1 C.-1 D.-310.已知=-+--=-xy xy xy y x y x 69732,323则（ ）. A.41 B. 41- C. 31- D.31 11.先化简，再求值:1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a12.已知)0(643≠==xyz z y x ，求222z y x zx yz xy ++++的值.13.已知xz y x y z y x z z y x ++-=+-=-+，且0≠xyz ，求xyz x z z y y x ))()((+++的值14.已知b a b a +=-111，求2222a b b a +的值.二、待定系数法求字母的值：例1：已知3312++=+n B n A n n （B A ,为常数），求A 、B 的值.例2：已知21)2)(1(32++-+=+-+x C x B x A x x x x （C B A ,,为常数），求A 、B 、C 的值.变式练习：1.已知2132432-+-=-+-x b x a x x x （b a ,为常数），求ab 的值.2.已知113)1)(1(2732++-+=-++-x B x A x x x x （B A ,为常数），求B A 24-的值.3. 已知22121)1)(21(1x C Bx x A x x ++++=++，求A ，B ，C 的值.三、分式方程的拓展：例1：（1）已知关于x 的分式方程111=--++x k x k x 的解为负数，求k 的取值范围. （2）当a 为何值时，关于x 的分式方程()23122112+-+=---x x a x a x 总无解？例2：关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是cx c x 2,21==，求关于x 的方程1212-+=-+a a x x 的两个解？例3：一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管.甲、乙两管一起开放，1小时可以注满全池的21.乙、丙两管一起开放，1小时可以注满全池的32.丙、甲两管一起开放，1小时12分可以注满全池，如果三管一起开放，几分钟可以注满全池的31？变式练习：1.分式221012622++++x x x x 可取的最小值为（ ）. A.14 B.5 C.6 D.不存在2.使分式1112++x x 的值为整数的全部自然数x 的和是3.分式221012622++++x x x x 可取得的最小值为 4.如果1716346-=+-y x y x ，那么y x = 5.已知:x 满足方程20061120061=--x x,则代数式2007200520062004+-x x 的值是_____. 6．解方程:（1）708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x（2）15315106752116104223223++-++=+++++x x x x x x x x x x7.解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+-=-++12155310y x y x y x y x8. a 为何值时，分式方程()01113=++++-x x a x x x 无解？9．已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，求b a ,之值.10.已知关于的分式方程152=--+xx a x . （1）若方程的增根为，求的值；（2）若方程有增根，求的值；（3）若方程无解，求的值.11.一辆玩具车走12米路，前轮比后轮多转6圈，如果前轮周长增加41，后轮周长增加51，那么走12米路前轮比后轮要多转4圈，求原先前轮和后轮的周长？。