甘肃省兰州市永登县2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理

高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足z+i=（i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则双曲线的渐近方程是（）A．y=x B．y=x C．y=±2x D．y=±4x3．（5分）一动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相外切，且与直线l：x=1相切，则动圆圆心轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”D．对于命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥05．（5分）直线l与椭圆C：=1相交于A，B两点，若直线l的方程为x ﹣2y+1=0，则线段AB的中点坐标是（）A．（﹣，﹣）B．（，﹣） C．（1，1） D．（﹣，）6．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.27．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．2 D．49．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）10．（5分）抛物线C：y2=12x的准线与x轴交于点P，A是抛物线C上的一点，F 是抛物线C的焦点，若|AP|=|AF|，则点A的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．211．（5分）已知f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（1，2）B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4）D．（1，2）∪（3，4）12．（5分）关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=3lnx+x+2在点P处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．14．（5分）若椭圆=1的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为．15．（5分）已知函数f（x）=在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1=x（x＞0）求得x=，类似上述过程，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O点，AB=BC=2，异面直线DB与D1C所成的角的余弦值（Ⅰ）求此长方体的体积；（Ⅱ）求截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值；（Ⅲ）在棱B1B上找一点P，使得PD⊥平面D1AC．20．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1）且边AC，BC所在的直线的斜率之积等于m（m≠0）（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型；（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．22．（10分）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足z+i=（i为虚数单位），则=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z+i=，得，则=1+2i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则双曲线的渐近方程是（）A．y=x B．y=x C．y=±2x D．y=±4x【分析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c，再由双曲线的a，b，c的关系，解方程可得a=1，由双曲线的渐近线方程即可得到所求．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（，0），可得双曲线的c=，即有a2+4=5，解得a=1，则双曲线的方程为x2﹣=1，即有双曲线的渐近方程是y=±2x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）一动圆与定圆F：（x+2）2+y2=1相外切，且与直线l：x=1相切，则动圆圆心轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=﹣4x D．y2=﹣8x【分析】设P点坐标为（x，y），A（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，从而|PA|﹣d=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程．【解答】解：设P点坐标为（x，y），A（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r∴|PA|﹣d=1，即：﹣（1﹣x）=1，化简得：y2=﹣8x．∴动圆圆心轨迹方程为y2=﹣8x．故选：D．【点评】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”D．对于命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 【分析】A．利用逆否命题的定义即可判断出．B．若p∧q为假命题，则p、q至少一个为假命题，即可判断出正误；C．由x2﹣3x+2=0解得x=1，2，即可判断出；D．利用￢p的定义即可判断出．【解答】解：A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B．若p∧q为假命题，则p、q至少一个为假命题，因此不正确；C．由x2﹣3x+2=0解得x=1，2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0的充分不必要条件”，正确；D．命题p：∃x0∈R使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）直线l与椭圆C：=1相交于A，B两点，若直线l的方程为x ﹣2y+1=0，则线段AB的中点坐标是（）A．（﹣，﹣）B．（，﹣） C．（1，1） D．（﹣，）【分析】把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，运用韦达定理，中点坐标公式可得线段AB的中点的纵坐标，代入直线x﹣2y=﹣1可得线段AB的中点的横坐标，可得答案．【解答】解：把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，由根与系数的关系可得：y1+y2=，故线段AB的中点的纵坐标是，把y=代入直线x﹣2y=﹣1可得x=﹣，故线段AB的中点坐标是（﹣，）．故选：D．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，一元二次方程根与系数的关系，把直线x﹣2y+1=0代入椭圆C：=1的方程，消去x，化简可得6y2﹣4y﹣7=0，是解题的关键．6．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．7．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．8．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】运用离心率公式，焦点到渐近线的距离为，可得b，可得双曲线的几何量，求解焦距即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，可得，b=，可得c2=4a2=a2+b2，解得a2=1，c=2，所以2c=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】推导出函数f（x）为奇函数，且函数f（x）是减函数，从而不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0等价为f（x+1）＞f（2x﹣2），进而x+1＜2x﹣2，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，∴f（﹣x）=﹣sinx+x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是减函数，则不等式f（x+1）+f（2﹣2x）＞0等价为f（x+1）＞﹣f（2﹣2x）=f（2x﹣2），即x+1＜2x﹣2，解得x＞3，故不等式的解集为（3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数奇偶性、增减性的合理运用．10．（5分）抛物线C：y2=12x的准线与x轴交于点P，A是抛物线C上的一点，F 是抛物线C的焦点，若|AP|=|AF|，则点A的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．2【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，可得P，F的坐标，设出A（m，n），代入抛物线的方程，由|AP|=|AF|，运用两点的距离公式，化简整理，解方程即可得到所求坐标．【解答】解：抛物线C：y2=12x的焦点F（3，0），准线方程为x=﹣3，可得P（﹣3，0），设A（m，n），且12m=n2，①若|AP|=|AF|，可得=•，化简可得m2﹣18m+9+n2=0，②由①②可得m2﹣6m+9=0，解得m=3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要是焦点和准线方程的运用，考查两点的距离公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）已知f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A．（1，2） B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4）D．（1，2）∪（3，4）【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：，函数的极值点为：x=2，x=4，要使f（x）=x2﹣6x+8lnx在[m，m+1]上不是单调函数可得m＜2＜m+1或m＜4＜m+1，解得m∈（1，2）∪（3，4）．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值点以及函数的单调性的判断，考查计算能力．12．（5分）关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=3lnx+x+2在点P处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是（1，3）．【分析】设切点P（m，n），可得n=4m﹣1，3lnm+m+2=n，求出曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得m的方程，解得m=1，n=3，即可得到所求P的坐标．【解答】解：设切点P（m，n），可得n=4m﹣1，3lnm+m+2=n，由y=3lnx+x+2的导数为y′=+1，由切线方程4x﹣y﹣1=0，可得1+=4，解得m=1，n=3．即有切点P（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用切线方程是解题的关键，属于基础题．14．（5分）若椭圆=1的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4．【分析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为=1，∴a2=6，b2=4，可得c2=a2﹣b2=2，即a=，c=，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，则有m+n=2a=2，m2+n2=4c2=8，即（m+m）2=m2+n2+2mn，则24=8+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|•|PF2|=8．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×8=4．故答案为：4．【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．15．（5分）已知函数f（x）=在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是[﹣，0] ．【分析】利用导数判断f（x）在[﹣2，0]上的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的最小值，得出f（x）在（0，2]的最小值的范围，讨论a的符号得出f（x）在（0，2]上的单调性，根据最小值的范围列不等式求出a的范围．【解答】解：x≤0时，f′（x）=3x2+12x+9，令f′（x）=0得x=﹣1或x=﹣3．∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，在（﹣1，0]上单调递增，∴f（x）在[﹣2，0]上的最小值为f（﹣1）=﹣1．∵f（x）在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，∴f（x）在（0，2]上的最小值大于或等于﹣1．若a=0，则f（x）=0在（0，2]上恒成立，符合题意；若a＞0，则f（x）=alnx在（0，2]上单调递增，且x→0时，f（x）→﹣∞，不符合题意；若a＜0，则f（x）=alnx（0，2]上单调递减，f（x）的最小值为f（2）=aln2≥﹣1，解得：﹣≤a＜0，综上，﹣≤a≤0．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1=x（x＞0）求得x=，类似上述过程，则=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=﹣1舍去．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．【分析】（1）先求出函数的表达式，通过求导得出斜率k的值，再求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）先求出函数的导数，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而求出函数的单调区间．【解答】解：（1）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（2）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0得x=﹣a或，∵a＞0，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得x＜﹣a或，此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和．【点评】本题考查了导数的应用，求曲线的切线方程，考查了函数的单调性，是一道基础题．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O点，AB=BC=2，异面直线DB与D1C所成的角的余弦值（Ⅰ）求此长方体的体积；（Ⅱ）求截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值；（Ⅲ）在棱B1B上找一点P，使得PD⊥平面D1AC．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出此长方体的体积．（Ⅱ）求出平面ABCD的一个法向量和平面D1AC的法向量，利用向量法能求出截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值．（Ⅲ）设P（2，2，z），则=（2，2，z），由PD⊥平面D1AC，利用向量法能求出棱B1B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D1AC．【解答】解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），设D1（0，0，h），则=（2，2，0），=（0，2，﹣h），∵异面直线DB与D1C所成的角的余弦值，∴cos＜，＞===，解得h=4，∴此长方体的体积V=Sh=2×2×4=16．（Ⅱ）=（0，0，4）是平面ABCD的一个法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，4），设平面D1AC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2，1），设截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的平面角为θ，则cosθ===，∴截面D1AC和底面ABCD所成二面角（锐角）的余弦值为．（Ⅲ）设P（2，2，z），则=（2，2，z），∵PD⊥平面D1AC，∴，解得z=1．∴棱B1B上存在一点P，当BP=1时，使得PD⊥平面D1AC．【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1）且边AC，BC所在的直线的斜率之积等于m（m≠0）（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型；（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）设C（x，y），由题意得﹣mx2+y2=1（x≠0），由m＜﹣1，m=﹣1，﹣1＜m＜0三种分类讨论，能顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2），（x1x2≠0），当m=﹣时，轨迹E的方程为（x≠0），依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线MQ与x轴的交点为定点，并能求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），由已知，即﹣mx2+y2=1（x≠0），当m＜﹣1时，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，﹣1）两点的椭圆；当m=﹣1时，轨迹E表示以点（0，0）为圆心，以1为半径，且除去点（0，1），（0，﹣1）两点的圆；当﹣1＜m＜0，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，﹣1）两点的双曲线．证明：（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2），（x1x2≠0），当m=﹣时，轨迹E的方程为（x≠0），依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，联立，整理，得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴，，∵M、Q不重合，则x1≠x2，y1≠﹣y2，∴直线MQ的方程为y﹣y1=，令y=0，得x=x1+=ty1+1+•+1=+1=2，∴直线MQ与x轴的交点为定点，该定点的坐标为（2，0）．【点评】本题考查顶点的轨迹方程的求法，考查曲线类型的判断，考查直线与x 轴的交点为定点的证明，考查圆锥曲线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）（2017春•湖北期末）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，﹣x2+（a2﹣）x+2a2+4a}．（1）设，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数a∈（﹣2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图象即可判定；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣x﹣4a，对该函数在∈（a+2，+∞）的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．【解答】解：（1）设，…（1分）令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）递增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）递减，…（2分）∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2﹣1≥2lnx，∴f（x）=x2﹣1…（3分）设，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图象可知，这两个函数的图象在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2…（5分）（或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有两根可得）（2）假设存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，则，对x∈（a+2，+∞）恒成立，即，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）①设，令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）递增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）递减，∴H（x）max=h（2）=ln2﹣1，当0＜a+2＜2即﹣2＜a＜0时，4a＞ln2﹣1，∴，∵a＜0，∴4．故当时，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）当a+2≥2即a≥0时，H（x）在（a+2，+∞）上递减，∴．∵，∴H（a+2）≤H（0）=ln2﹣1＜0，故当a≥0时，对x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）②若（x+2）（x﹣a2）＞0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[﹣1，2]…（11分）由①及②得，．故存在实数a∈（﹣2，+∞），使得对x∈（a+2，+∞）恒成立，且a的取值范围为…（12分）【点评】本题考查了函数的零点的个数判定，及函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．22．（10分）（2017春•湖北期末）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．【分析】（1）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，得点P到两条渐近线的距离积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证．（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），P到两条渐近线的距离记为d1，d2∵两条渐近线为x﹣2y=0，x+2y=0…..2'∴…..4’又∵点P在曲线C上，∴=，得（常数）即点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数….6’（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得|PA|2=…8’∵，可得=∴|PA|2==…..9’又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’【点评】本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．。

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017z（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ． i2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（ ）A ．x y cos =是周期函数B ．三角函数是周期函数C ．x y cos =是三角函数D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:已知X 的数学期望9.8)(=X E ,则y 的值为( ).A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．直线x y 4=与曲线2x y =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32B ．332C ．3216 D ．216 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（ ）A ．21B ．1C ．21-D ．1-7．2016年6月9日是我们的传统节日——“端午节”，这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”， 事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）A ．157B ．151C ．71D ．768．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数xe xf )(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是 （ ）A B C D9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（ ）A ．540种B ．240种C ．180种D ．150种 10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若R b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”类比推出“若C b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==⇒+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”③“若R b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”④“若R x ∈，则111||<<-⇒<x x ”类比推出“C z ∈，则111||<<-⇒<z z ” 其中类比结论正确．．．．的为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('2<-⋅+x xf x f x ,则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1(+∞D ．),1()0,1(+∞⋃-12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足a b a f b f x f --=)()()(1，ab a f b f x f --=)()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”。

兰州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则△y：△x为（）A . △x++2B . △x﹣﹣2C . △x+2D . 2+△x﹣2. （2分）已知复数z1=2+i，z2=1+2i，则z=在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有（）A . 36个B . 42个C . 30个D . 35个4. （2分）(2014·重庆理) 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A . 72B . 120C . 144D . 1685. （2分）有一批产品，其中12件是正品，4件是次品，有放回的任取4件，若X表示取到次品的件数，则D（X）=（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·中山期末) 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．A . 1 193B . 1 359C . 2 718D . 3 4137. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A . 180种B . 120种C . 90种D . 60种9. （2分）某班学生在一次月考中数学不及格的占16%，语文不及格的占7%，两门都不及格的占4%，已知该班某学生在月考中语文不及格，则该学生在月考中数学不及格的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·民勤期中) 类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．A . ①②④B . ①③C . ②④D . ①③④12. （2分）若函数f（x）=x6 ，则f′（﹣1）=（）A . 6B . ﹣6C . 1D . ﹣1二、填空题 (共4题；共8分)13. （2分）若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________14. （1分） (2016高二下·汕头期末) 的展开式的常数项是________．15. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．（请用分数表示结果）16. （4分）(2017·西安模拟) 有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为________、________、________、________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0．（1）求实数a、b的值；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．18. （15分） (2017高二下·鸡泽期末) 从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（用数字作答）（1）男、女同学各2名；（2）男、女同学分别至少有1名；（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出。

兰州市数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁RA）∩B=（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，2）C . （﹣1，1]D . （1，2）2. （2分） i是虚数单位，复数z=1﹣i，则 =（）A . ﹣1﹣iB . ﹣1+iC . 1+iD . 1﹣i3. （2分）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·甘肃期末) 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二下·临漳期中) 若（x﹣2）5=a0+a1x+…+a5x5 ，则a1+a2+a3+a4+a5═（）A . 31B . 32C . 33D . ﹣17. （2分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2＜X≤4）=0.6826，则P（X＞4）=（）A . 0.1588B . 0.1587C . 0.1586D . 0.15858. （2分） (2017高二下·赣州期中) 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的回归系数r如下，其中变量之间线性相关程度最高的模型是（）A . 模型1对应的r为﹣0.98B . 模型2对应的r为0.80C . 模型3对应的r为0.50D . 模型4对应的r为﹣0.259. （2分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A . 60种B . 63种C . 65种D . 66种10. （2分）随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（）A . 3000元B . 2400元C . 1600元D . 1000元11. （2分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A . 232B . 252C . 472D . 48412. （2分） (2016高一上·武城期中) 已知函数f（x）=e1+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A .B .C . （﹣，）D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·惠东月考) 的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）14. （1分）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：根据表中的数据断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为________15. （1分） (2017高二上·乐山期末) 已知命题p：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣ =1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是________16. （1分） (2019高二下·深圳月考) 已知函数在上总是单调函数，则a 的取值范围是________三、解答题 (共6题；共95分)17. （5分） (2018高二上·铜仁期中) 某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的中位数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取3个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是三个学生的数学成绩的次数为，求的分布列．18. （30分）(2018·沈阳模拟) 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟（1）请计算“送达时间”的平均数与方差；（2）请计算“送达时间”的平均数与方差；（3）根据茎叶图填写下表：送达时间35分钟以内包括35分钟超过35分钟频数A B频率C D在答题卡上写出A，B，C，D的值；（4）根据茎叶图填写下表：送达时间35分钟以内包括35分钟超过35分钟频数A B频率C D在答题卡上写出A，B，C，D的值；（5）在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．（6）在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．19. （20分） (2019高二下·濉溪月考) 已知函数 .（1）若，求的单调区间；（2）若，求的单调区间；（3）若，证明， .（4）若，证明， .20. （15分）(2019·上饶模拟) 设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求在点处的切线的斜率；（2）若存在，使，求正数的取值范围．（3）若存在，使，求正数的取值范围．21. （5分）(2019·衡阳模拟) 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程是(m>0,t为参数)，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴交于点，与曲线交于点，且，求实数的值．22. （20分） (2018高三上·玉溪月考) 已知函数．（1）解不等式；（2）解不等式；（3）若，对，使成立，求实数取值范围．（4）若，对，使成立，求实数取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共95分) 17-1、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略18-4、答案：略18-5、答案：略18-6、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略19-4、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略21-1、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略。

2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （） A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（）①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若a =，B A 2=，则B cos 等于（） A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ．63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k >俯视图8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm 9.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A.()0,+∞B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()axx -的展开式中的常数项为. 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为. 16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991+++n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截，倾斜角为45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.FE C 1B 1A 1CBA21.（本小题共12分）已知函数()1x f x e x =--（Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10xa e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25- 15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n qa a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n ()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则113222B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.FE C 1B 1A 1CBA又AFEF F =，∴1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),(,0,0),(0,(0,)2222F A B E -，1()2AE =-，1(AB =-.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF的法向量1(0,m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，10,0n AE nAB ⎧⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪⎩由∴可取(3,1,n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||m nmn m n θ⨯+-+⨯=<>===. ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为619. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生, 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分CC所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x，∴得上交点为)22,1(-，∴121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵倾斜角为45的直线l 过点F ，∴直线l 的方程为)1(45tan -=x y，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称. 21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1xf x e '=-()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10xf x e '=-=0x =0x >时，()0f x '>，0x <时，()0f x '< ()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210xe x tx ---≥恒成立，设()21.xg x e x tx =---()'12.xg x e tx ∴=--由(Ⅱ)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。

高二数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）1.1.设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )A. 2或－8B. －8或－2C. －2或8D. 2或8【答案】D【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.详解：由，且，又集合，实数的值为或，故选D.点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.2.已知命题，则命题的否定为 ( )A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.3.函数，则的定义域为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，，∴的定义域是，故：且，解得或，故选B．考点：对数的运算性质．4.4.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A. -B. 1或2C. 1D. 2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.5.5.方程至少有一个负实根的充要条件是（）A.B.C.D. 或【答案】C【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；若方程有两个负的实根，则必有．②若时，可得也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，。

2017-2018学年度第二学期期末考试 高二数学(理科)试题（2018.7）考试时间120分钟 满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知复数z =i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．43 B ．3i 4- C ．43 D ．42.下列求导运算正确的是A. )'1(xx +＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x3．已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +- ，则A . 1,13x y ==B . 1,42x y ==-C . 12,4x y ==- D . 1,1x y ==-4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，且(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.845．设曲线xx x y 12++=在点)3,1(处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = A ．2B ．2-C ．12-D ．126．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B (10,0.6)，则Eη，Dη分别是A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 7. 下表为某班5位同学身高x (单位：cm )与体重y (单位kg )的数据,若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+,则a 的值为A ．-121.04B ．123.2C ．21D ．-45.128. (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是A ．－3B ．－2C ．2D ．39．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是A. ),3()3,(+∞--∞B. )3,3(-C. ),3[]3,(+∞--∞D.]3,3[- 10. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心 圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点 到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第 11行的实心圆点的个数是A ．53B ．54C ．55D ．5611．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲 乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为A ．215105==p a B. 214105==p a C. 215210==p a D. 214210==p a12．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e '+==，21)1(=f ，则下列结论正确的是A ．)(x xf 在(0,)+∞单调递增B ．)(x xf 在),0(+∞单调递减C ．)(x xf 在(0,)+∞上有极大值21D ．)(x xf 在(0,)+∞上有极小值21第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省兰州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·会宁期中) 复数z= 的共轭复数是（）A . 2+IB . 2﹣IC . ﹣1+ID . ﹣1﹣i2. （2分）已知一个物体的运动方程是s＝1+t＋t2 ，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是（）A . 6米/秒B . 7米/秒C . 8米/秒D . 9米/秒3. （2分） (2016高二下·晋中期中) 一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，从两个包内任取一本的取法有（）种．A . 15B . 4C . 9D . 204. （2分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④5. （2分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型1的相关指数R2为0.96B . 模型2的相关指数R2为0.90C . 模型3的相关指数R2为0.61D . 模型4的相关指数R2为0.236. （2分）(2012·天津理) 在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A . 10B . ﹣10C . 40D . ﹣407. （2分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A . [ -,1）B . [ -,）C . [,）D . [,1）8. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（）A . 0.02B . 0.08C . 0.18D . 0.7210. （2分）(2017·辽宁模拟) 函数f（x）的定义域是（0，），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，则（）A . f（）＞ f（）B . sin1•f（1）＞f（）C . f（）＞ f（）D . f（）＞ f（）11. （2分）某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后退1步，再向前走4步后退2步，··· ，再向前走步后退n步，··· .当他走完第2008步后就一直往出发地走.此人从出发地到回到原地一共走了（）步.A . 3924B . 3925C . 3926D . 392712. （2分）函数图象如图,则函数的单调递增区间为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·赤峰期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则________．14. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=2x3﹣ x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为________15. （1分） (2017·山西模拟) 某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂5个不同的车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行时间学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有________种．16. （1分） (2018高二下·遵化期中) 给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于， ________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高二下·泰州期中) 在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．（1）求它是第几项；（2）求的范围．18. （5分） (2017高二下·咸阳期末) 数列{an}满足an+1= （n∈N*），且a1=0，（Ⅰ）计算a2、a3、a4 ，并推测an的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．19. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号t12345销量（万辆）0.50.61 1.4 1.7参考公式及数据：①回归方程，其中，，② ，.（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2） 2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元）206060302010将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望 .20. （5分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数的图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若方程有三个实数解，求实数的取值范围．21. （5分）(2016·肇庆模拟) 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．22. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 已知函数( 为常数)有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）记的两个不同的极值点分别为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．（5分）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种2．（5分）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（ ） A ．1，2，…，6B ．1，2，…，7C ．1，2，…，11D ．1，2，3…3．（5分）若随机变量η的分布列如表：则当P （η＜x ）＝0.8时，实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≤2B ．1≤x ≤2C ．1＜x ≤2D ．1＜x ＜24．（5分）2006年世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小组出线），这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为（ ） A ．64B ．72C ．60D ．565．（5分）（1+x ）7的展开式中x 2的系数是（ ） A ．42B ．35C ．28D ．216．（5分）为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是（）A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关7．（5分）某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得：x i＝52，y i＝228，x i2＝478，x i y i＝1849，则y与x之间的回归直线方程是（）A．＝11.47+2.62x B．＝﹣11.47+2.62xC．＝2.62+11.47x D．＝11.47﹣2.62x8．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．9．（5分）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B．p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）C．1﹣p1p2D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）10．（5分）已知（n∈N*）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数之和是（）A．0B．256C．64D．11．（5分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①y＝bx+a；②y＝c+d；③y＝p+qlnx；④y＝；⑤y ＝c1x2+c2，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（）A．①②B．②③C．②④D．③⑤12．（5分）设（1﹣2x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+++…+则的值为（）A．2B．﹣2C．2043D．2046二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．（5分）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．（用数字作答）14．（5分）已知X服从二项分布B（100，0.2），则E（﹣3X﹣2）＝．15．（5分）一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为．16．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝必过（，）；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得x2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%．其中错误的个数是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为．（1）在上表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为；（2）是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？18．（12分）在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题．求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下．第2次抽到理科题的概率．19．（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．20．（12分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程＝x+，其中＝﹣2．现预测当气温为﹣4℃时，用电量的度数约为多少？21．（12分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；（2）求η的分布列及期望E（η）．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．【考点】D2：分步乘法计数原理．【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选：D．【点评】本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别．2．【考点】C1：随机事件．【解答】解：∵袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，∴ξ的可能值为1，2， (7)故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的可能取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意无放回抽样的性质的合理运用．3．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：由离散型随机变量的概率分布列知：P（η＝﹣2）＝0.1，P（η＜0）＝0.3，P（η＜1）＝0.5，P（η＜2）＝0.8则当P（η＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是1＜x≤2．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：先进行单循环赛，有8＝48场，进行第一轮淘汰赛，16个队打8场，决出4强，打4场，再分别举行2场决出胜负，两胜者打1场决出冠、亚军，两负者打1场决出三、四名，共举行：48+8+4+2+1+1＝64场．故选：A．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r+1＝x r故展开式中x2的系数是＝21故选：D．【点评】本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键6．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，P（k≈9.643＞7.879）＝0.005∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义．7．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由题意，＝6.5，＝28.5，∴b＝≈2.62，a＝28.5﹣2.62•6.5＝11.47，∴y与x之间的回归直线方程是＝11.47+2.62x．故选：A．【点评】本题主要考查了线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．8．【考点】CM：条件概率与独立事件．【解答】解：由题意事件A＝{两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6＝30，事件B：出现一个5点，有10种，∴P（B|A）＝＝，故选：A．【点评】本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个5点，以及P（B|A），比较基础．9．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：根据题意，恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，则所求概率是p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1），故选：B．【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．10．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据（x2﹣）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，得展开式中项数是2×4﹣1＝7，∴n＝7﹣1＝6；令x＝1，得展开式中的所有项的系数和是＝．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式的各项系数特点的应用问题，是基础题目．11．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：从散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近，或对数曲线（上部分）的附近，所以函数y＝c+d或y＝p+qlnx较适宜．故选：B．【点评】本题考查了散点图与对应函数模型的应用问题，是基础题．12．【考点】8E：数列的求和；DA：二项式定理．【解答】解：令x＝0得a0＝1令x＝得0＝所以所以故选：B．【点评】本题考查求二项展开式的系数和常用的方法是：赋值法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则不同的招聘方案共有A53＝60种；故答案为：60．【点评】本题考查排列数公式的应用，注意区分排列、组合，属于基础题．14．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：由于X～B（100，0.2），则E（X）＝np＝100×0.2＝20，E（﹣3X﹣2）＝﹣3E（X）﹣2＝﹣62．故答案为：﹣62．【点评】本题考查二项分布的期望的求法，是基本知识的考查．15．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6，9，12，15，所以ξ的分布列为：E（ξ）＝6×+9×+12×+15×＝＝．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．16．【考点】BC：极差、方差与标准差；BL：独立性检验；BP：回归分析．【解答】解：①，根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故①正确；②一个回归方程＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；③线性回归方程＝x+必过样本中心点，故③正确；④曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13，079，则其两个变量有关系的可能性是99.9%．故⑤不正确综上可知有三个说法是错误的，故答案为：3．【点评】本题考查线性回归方程，考查独立性检验，考查方差的变化特点，考查相关关系，是一个考查的知识点比较多的题目，解题的关键是理解概念，掌握公式．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：则表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为5，30，80，20，55，45；（2）根据列联表数据可得K2的观测值为k＝≈9.091＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题．18．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）在5道题中有3道理科题和2道文科题．不放回地依次抽取2道题．第1次抽到理科题的概率p1＝．（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率：p2＝＝．（3）设事件A表示“第1次抽到理科题”，事件B表示“第2次抽到理科题”，则P（A）＝，P（AB）＝＝，∴在第1次抽到理科题的条件下．第2次抽到理科题的概率：P（B|A）＝＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式、相互独立事件概率计算公式、条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．【考点】B8：频率分布直方图；D5：组合及组合数公式．【解答】解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）＝12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为＝，重量不超过505克的概为1﹣＝；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，属于基础题．20．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由题意可知，计算＝（18+13+10﹣1）＝10，＝（24+34+38+64）＝40，且＝﹣2，回归方程＝﹣2x+过点（10，40），解得＝60，所以当x＝﹣4时，＝﹣2×（﹣4）+60＝68；即当气温为﹣4℃时，用电量的度数约为68度．【点评】本题考查了线性回归方程与应用问题，是基础题．21．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）∵服从B∽（3，0.4），运用概率公式P＝（0.4）k（1﹣0.4）3﹣k ∴，（2）∵采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．∴可能取值为200元，250元，300元．根据表格知识得出：P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.4，P（η＝250）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝0.2+0.2＝0.4，P（η＝300）＝1﹣P（η＝200）﹣P（η＝250）＝1﹣0.4﹣0.4＝0.2．η的分布列为：E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2＝240（元）．【点评】本题考察了独立重复使用二项分布的概率问题，考察了学生的阅读分析实际问题的能力，属于中档题．22．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），∴P（A i）＝（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）＝；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B＝A3∪A4，∴P（B）＝P（A3）+P（A4）＝（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ＝0）＝P（A2）＝P（ξ＝2）＝P（A1）+P（A3）＝，P（ξ＝4）＝P（A0）+P（A4）＝∴ξ的分布列是数学期望Eξ＝【点评】本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．。

2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 设全集U是实数集R ,集合M x x 2或x 2 , N x x2 4x 3 0 ,则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{ x | 2 x 1}B ．{ x | 2 x 2}C．{ x |1 x 2} D．{ x | x 2}2.下面是关于复数z 1 3i的四个命题：其中的真命题为（）1 i①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数 z 的虚部是-2③复数 z 是纯虚数④ z 5A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④1 0.2 13．设 a log 1 3 , b , c 23,则（）32A ．B．C．D．4．已知向量a＝ (1，－cos )，b＝ (1， 2 cos )且a⊥b，则cos2 等于 ()1 2A ．－ 1B ． 0 C. 2 D. 25. 在ABC 中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若a32B ，则 cosB 等于（）b ，A2A．3 3 3Ｄ．3 3B．Ｃ．64 56．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为S=35 ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A. k7B.k 6C.k 6D.k 68. 若某几何体的三视图 (单位： cm )如图所示，则该几何体的体积等于 ()A. 10cm 3B. 20cm 3C. 30cm 3D. 40cm 39.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若 am2bm 2 ，则 a b”的逆命题是真命题B ．命题“存在 xR, x 2 x 0 ”的否定是： “任意 x R, x 2x 0 ”C ．命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p”和命题“q”均为真命题D ．“ b 0”是“函数 f ( x) ax 2bx c 是偶函数”的充分不必要条件10 ．右图是函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)( A 0，0， | |)图像的一部分．为了得到2这个函数的图像，只要将 y ＝ sin x(x ∈R)的图像上所有的点 ( ) A . 向左平移 π1，纵坐标不变 .3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2B . 向左平移 π2 倍，纵坐标不变 .3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的C . 向左平移 π16 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变 .D . 向左平移 π2 倍，纵坐标不变 .6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4 35正视图侧视图3俯视图11.已知定义在 R 上的函数 y fx 对任意 x 都满足 fx 1f x ，且当 0x 1时， fx x ，则函数g xf xln | x | 的零点个数为 ( )A ． 2B． 3C.4D．512. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f ( x) f ( x) 1, f (0)4,则不等式 e x f ( x) e x3 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（）A. 0,B.,03,C.,00,D. 3,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13.函数 yf (x) 的定义域为 ( ， 1] ，则函数 y f [log 2 (x 2 2)] 的定义域是 ________14. 已知 a(sin t cost)dt ，则 ( x1 )6的展开式中的常数项为.ax15. 函数 f (x) 1 log a x ( a 0, a 1) 的图像恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 2 0上，其中 mn 0,则11 得最小值为 .m n16．已知函数 fxln x, x 0若方程 f x ax 有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是．2x 1,x 0三、解答题：共70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 17~21 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共12 分）设数列{ a n }的前 n项和为 S n ,a1 10, a n n11 n 1099 ，a 9S 9n（ 1）求证：a n 1 是等比数列；(2) 若数列b n 满足 b n1n N ,lg a n 1lg a n 1 1求数列b n 的前 n 项和 T n；C118. （本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱 AA1 A1平面 ABC ，ABC 为等腰直角三角形，BAC 90 ，且EAB AA1 , E, F 分别是 CC1 , BC 的中点.（Ⅰ）求证： B1 F 平面 AEF ； C（Ⅱ）求锐二面角B1 AE F 的余弦值. F 19.某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试 A成绩（被抽取学生的成绩均不低于 160 分,且不高于 185 分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （ 1）请先求出 n 、 a 、b、 c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（ 2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、 4、 5 组中用分层抽样抽取第二轮面试，求第3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，第 4 组中有ξ名学生被考官 A 面试，求ξ的分布列和数学期望 .组号分组频数频率频率/组距第 1 组160,165 5 0.050 0.080.07B1B6名学生进入第 2 组165,170a b 0.060.05第 3 组170,175 30 c第 4 组175,180 20 0.200 第 5 组[180,185] 10 0.100 0.040.030.020.01O160 165 170 175 180 185成绩20.（本小题共 12 分）已知椭圆x2 y21(a b 0) 的一个焦点F 与抛物线 y2 4x 的焦点重合，且截a2 b2抛物线的准线所得弦长为 2 ，倾斜角为45 的直线 l 过点F.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线 y2 4x 上是否存在一点M ，使得 M 与 F1关于直线l对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.21. （本小题共12 分）已知函数 f ( x) e x 1 x （Ⅰ）求 y f ( x) 在点1, f (1) 处的切线方程；（Ⅱ）若存在x0 1,ln 4，满足 a e x 1 x成立，求 a 的取值范围；3（Ⅲ）当 x 0 时， f (x) tx2 恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、 23 题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22． (本小题满分10 分)选修 4— 4：极坐标系与参数方程．x 2 3 t在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 5 为参数．曲线 2 x 2 y 2 4 y 0 ，以坐标xoy (t ) C :y 2 4 t5原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为 ( 2 2,4)．(I)求曲线 C2的极坐标方程；(Ⅱ )若 C1与 C2相交于M 、 N 两点，求1 1PM 的值 .PN23． (本小题满分10 分)选修 4— 5：不等式选讲已知 f x 2x m m R ．(I) 当m=0 时，求不等式 f x x 2 5 的解集；(Ⅱ )对于任意实数x ，不等式2x 2 f x m2成立，求 m 的取值范围．2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .CCABBCDBBA BA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13.2,22， 214.5 15. 216（. 0, 1）2e三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 17~21 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .17.（本小题共 12 分）解：（ 1）依题意， a 299 ，故a 21 10 ，a 11当 n 2时， a n9S n 1 9n①又 a n 1 9S n 9n 9②②－①整理得： a n 1110 ，故 a n1 是等比数列，a n 1（ 2）由（ 1）知，且 a n 1a 1 1 q n 110n ，lg a n 1 n ， lg a n 1b n111 lg a n11n( n 1)lg a nT n11112 23 34n n 1111 1 1 1 111n n N2 23 34nn 1n118. （本小题满分 12 分）（Ⅰ）连结AF ，∵ F 是等腰直角三角形ABC 斜边 BC 的中点，∴C 1AF BC .又三棱柱 ABCA 1B 1C 1 为直三棱柱，E∴面 ABC 面 BB 1C 1C ，∴ AF面 BB 1C 1C ， AF B 1F .C设 ABAA 1 1 ，则 B 1F6, EF3, B 1E 3 .2221n 1B 1A 1BFA∴ B 1F 2 EF 2 B 1 E 2 ，∴ B 1F EF .又 AF EFF ，∴ B 1 F 平面 AEF .（Ⅱ）以 F 为坐标原点， FA , FB 分别为 x, y 轴建立直角坐标系如图，设 AB AA 1 1 ，则 F (0,0,0), A(2,0,0), B 1(0,2,1), E(0,2 , 1) ， z222 22 2 1 2 2 C 1B 1,1) .AE (, , ) ， AB 1(,22 222A 1由（Ⅰ）知， B 1 F 平面 AEF ，E∴可取平面 AEF 的法向量 mFB 1 (0, 2,1) .B2 CF 设平面 B 1 AE 的法向量为 n ( x, y, z) ，yAx由n AE 0,n AB 1∴可取 n (3, 1,2 2) .设锐二面角 B 1AE F 的大小为，m n0 32 ( 1) 1 2 2 6 则 cos| cos m, n |2.| m || n |2 ) 2 12602(32( 1)2(2 2)22∴所求锐二面角 B 1 AE F 的余弦值为6 .619.（本小题共 12 分）【解】：（ 1）由第 1 组的数据可得 n5 100 ，第 2 组的频率 b = 0.07 5 0.350，0.050第 2 组的频数为 a =100 0.07 535人 ,第 3 组的频率为 c =300.300 ,100频率分布直方图如右:（ 2）因为第 3、 4、5 组共有 60 名学生 , 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学 为 :第 3 组 :306 3 人 , 6 分60第 4 组 :2062 人 , 7 分60频率/组距0.080.07 0.06 0.05 0.040.03生 , 每 组 分 别0.020.01O160 165 170 175 180 185成绩第 5 组 :106 1人 ,8 分60所以第 3、4、 5 组分别抽取 3 人、 2 人、 1 人 .（ 3）由题意知变量ξ的可能取值是0， 1， 2该变量符合超几何分布，∴∴分布列是ξ0 1 2P∴20. （本小题共 12 分）解：（Ⅰ）抛物线y2 4x 的焦点为 F (1,0) ，准线方程为x 1，∴ a 2 b2 1 ①又椭圆截抛物线的准线x 1所得弦长为 2 ，1 1∴得上交点为 ( 1,2 2 1②) ，∴2b22 a由①代入②得 2b4 b2 1 0 ，解得 b 2 1 或 b2 1 （舍去），2从而 a 2 b2 1 2∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为x2 y22 11（Ⅱ）∵倾斜角为 45 的直线 l 过点 F ，∴直线 l 的方程为 y tan 45 ( x 1) ，即 y x 1 ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1 ( 1,0) ，设M (x0, y0)与 F1关于直线 l 对称，则得y0 01 1x0 1x0 1，即 M (1, 2) ，，解得y0 0 x0 ( 1)1 y0 22 2又 M (1, 2) 满足 y2 4x ，故点M在抛物线上.所以抛物线 y 2 4x 上存在一点 M (1, 2) ，使得M与F1关于直线 l 对称.21.（本小题共 12 分）解： ( Ⅰ ) f x e x 1 f 1 e 2f x 在 1, f 1 处的切线方程为：y e 2 e 1 x 1即 y e 1 x 1( Ⅱ ) a e x 1 x 即 a f x 令 f x e x 1 0 x 0x 0 时， f x 0 ， x 0 时， f x 0 f x 在,0 上减，在0, 上增又 x0 1,ln 4时， f x 的最大值在区间端点处取到 . 3f 1 e 1 1 1 1 f ln 4 41 ln4e 3 3 3f 1 f4 1 414 1 1 4 lne 3lne 3ln03 3 3f 1 f ln 4 f x 在1,ln 4 上最大值为1 ，3 3 e故 a 的取值范围是： a <1e.（Ⅲ）由已知得 x 0, 时e x x 1 tx2 0 恒成立，设 g x e x x 1 tx2 . g ' x e x 1 2tx.由 ( Ⅱ ) 知e x 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立，故 g ' x x 2tx 1 2t x, 从而当1 2t 0,即 t 10 x 0 ，g x 为增函数，又 g 0 0,时， g ' x2于是当 x 0 时， g x 0, 即 f ( x) 2 , t 1tx 时符合题意。

2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =U ，则集合）（B A C U I 中的元素共有（ ） A .3个 B. 4个C.5个D.6个2. 复数3223ii+=-( ) A.1 B.1-C.iD.i -3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a=（ ） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24. 在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ）A ．12B ．34C ．23D ．145. 已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=（ ）A.711B.711-C. 713D.713-6．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是（ ） A ．15 B ．-15C ．60D ． -607.执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出 的a 值是（ ）A. 2B. 1C.21D.1-8. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（ ） A.150°B.120°C.60°D.30°9. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种B.180种C.300种D.345种10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ； （2）已知),2(~2σN X ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y； （4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411.正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC △外接圆半径为26，则该正方体外接球的表面积为( ) A.2πB.8πC.12πD.16π12.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若11(),()a f b ef e e e==--，()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。