平面向量和直线方程(学生版)

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。

了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。

规定：0与任一向量平行。

（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。

中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。

错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。

平面向量的直线方程和平面方程平面向量（也称为二维向量）是指由两个有大小和方向的实数组成的有序对。

在数学中，平面向量常用来描述平面上的几何问题和运动问题。

平面向量的直线方程和平面方程是在解决与平面向量相关的问题时非常重要的工具。

本文将详细介绍平面向量的直线方程和平面方程的定义、求解方法以及应用。

一、平面向量的直线方程平面向量的直线方程是用来描述位于平面上的一条直线的数学表达式。

直线方程通常以参数方程或标准方程的形式给出。

1. 参数方程在平面向量中，直线的参数方程可以表示为：$$\vec{r}=\vec{a}+t\vec{d}$$其中，$\vec{r}$为直线上一点的位置向量，$\vec{a}$为直线上的已知点的位置向量，$\vec{d}$为直线的方向向量，$t$为参数。

2. 标准方程平面向量的直线方程的标准方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{a})=0$$其中，$\vec{n}$为直线的法向量，$\vec{r}$为直线上任意一点的位置向量，$\vec{a}$为直线上已知点的位置向量。

二、平面的方程平面的方程用来描述一个平面在空间中的位置和性质。

平面方程通常以一般式、点法式或法向量式给出。

1. 一般式平面的一般式方程可以表示为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中，$A,B,C$是平面的法向量的分量，$D$为常数。

2. 点法式平面的点法式方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{a})=0$$其中，$\vec{n}$为平面的法向量，$\vec{r}$为平面上任意一点的位置向量，$\vec{a}$为平面上已知的一点的位置向量。

3. 法向量式平面的法向量式方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot\vec{r}=d$$其中，$\vec{n}$为平面的法向量，$\vec{r}$为平面上任意一点的位置向量，$d$为常数。

三、平面向量的直线方程和平面方程的应用平面向量的直线方程和平面方程在解决几何和物理问题时经常用到。

平面向量的平面方程与直线方程平面向量是平面几何中的重要概念，通过平面向量可以描述平面上的点、直线以及平面的方程等。

在本文中，我们将讨论平面向量的平面方程与直线方程，并且通过例题详细介绍其应用。

一、平面向量的平面方程平面向量的平面方程是指通过给定的平面向量，求出该平面上任意一点的坐标，从而得到平面的方程。

具体而言，设平面向量为a⃗，平面上一点为P(x, y)。

根据平面向量与坐标向量的关系，平面上一点的坐标可以表示为a⃗ = O P⃗，即(x, y) = x i⃗ + y j⃗。

将平面向量写成坐标的形式，设a⃗ = (p, q)，其中p、q为常数，则有(x, y) = x i⃗ + y j⃗ = (xp)i⃗ + (yq)j⃗。

由于(x, y)为平面上任意一点的坐标，所以p、q为具体的常数。

因此，通过给定的平面向量a⃗，平面上一点的坐标可以表示为(x, y) = (xp, yq)。

以上述结果为基础，我们可以推导出平面向量的一般形式方程。

将(x, y)代入(x, y) = (xp, yq)中，化简得到px + qy - 1 = 0。

因此，平面向量的平面方程为px + qy - 1 = 0。

二、直线方程与平面向量的关系直线方程与平面向量之间存在一定的关系。

在平面几何中，直线的方程常常通过直线上的一点以及方向向量来确定。

而方向向量与平面向量可以进行等价转化。

设直线方程为L: r⃗ = r0⃗ + λv⃗，其中r⃗表示直线上一点的位置向量，r0⃗表示直线上已知的一点，v⃗表示直线的方向向量，λ为实数。

我们需要将方向向量v⃗转化为平面向量a⃗通过对直线方程进行化简，我们可以得到r⃗ - r0⃗ = λv⃗。

其中，r⃗ - r0⃗表示从已知点r0⃗到直线上任意一点的向量。

我们将该向量记作b⃗，即b⃗ = r⃗ - r0⃗。

由于b⃗与v⃗同向，所以可以将b⃗表示为与v⃗成比例的平面向量。

即存在实数k，使得b⃗ = k v⃗，其中v⃗ = (p, q)，v⃗ = p⃗ i + q⃗j。

平面向量的向量方程与直线方程平面向量在数学中是一个重要的概念，它可以用向量方程和直线方程来表达。

在本文中，我将为您详细介绍平面向量的向量方程与直线方程，并通过几个例子来说明其应用。

一、向量方程的定义和性质向量方程是指用向量的形式来表达等式的方程。

在平面向量中，向量方程可以用向量的形式表示。

设有平面向量 AB ，其中 A 和 B 是起点和终点的位置向量，向量 AB 可以表示为：AB = OB - OA其中 OA 和 OB 分别是向量 AB 的起点和终点的位置向量。

向量方程更常用的表示形式是以向量为变量的形式，即用向量表示向量。

以向量 a 为例，向量方程可以表示为：r = a + λd其中 r 为向量的位置向量，a 为 r 在某一点的位置向量，d 为常向量，λ 为实数。

向量方程r = a + λd 描述了平面上的所有点 r ，这些点可以由起点 a 沿着常向量 d 所组成。

二、直线方程的定义和性质直线方程是指用方程的形式来表达直线的方程。

在平面向量中，直线方程可以用向量的形式表示。

设有平面向量 AB ，其中 A 和 B 是直线上两个不同点的位置向量，那么直线 AB 可以表示为：r = a + λd其中 r 为向量的位置向量，a 为直线上的某一点的位置向量，d 为方向向量，λ 为实数。

直线方程r = a + λd 描述了平面上的所有点 r ，这些点可以由直线上的某一点 a 沿着方向向量 d 所组成。

三、平面向量的向量方程与直线方程的应用1. 平面向量的向量方程的应用平面向量的向量方程可以用于表示平面上的一些几何关系。

比如，我们可以通过向量方程来表示平行线的关系。

如果两条直线的方向向量相等，那么这两条直线是平行的。

通过向量方程可以很方便地判断两条直线是否平行。

2. 平面向量的直线方程的应用平面向量的直线方程可以用于表示直线上的一些几何关系。

比如，我们可以通过直线方程来求直线与坐标轴的交点。

将直线方程 r = a +λd 代入坐标轴的方程，就可以求得交点的坐标。

专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________.1．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________. 2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________. 3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)①若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |③若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．4．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 5．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.7．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b |b |，则|p |＝________.8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．第Ⅱ卷：提能增分卷1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA ＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．[练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．3．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB ③AO ＝12AB ＋12AD④AE ＝53AB ＋AD6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ卷：提能增分卷(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.1．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 2．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.2．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________． 4．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是________．[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．角度二 平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.平面向量与三角函数的综合[典例]sin α)，b ＝(cos β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．2．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．3．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BC BD ⋅的值为________．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EMEC ⋅的取值范围是________．6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．。

平面向量与直线的关系及直线方程的计算方法在数学中，平面向量与直线的关系非常重要，它们相互影响，在几何图形的分析和计算中都扮演着重要的角色。

本文将探讨平面向量与直线的关系，以及直线方程的计算方法。

一、平面向量与直线的关系在平面直角坐标系中，直线上的每个点都可以用一个坐标表示。

而平面向量可以表示坐标系中一个点的平移。

因此，我们可以通过平面向量与直线之间的关系来描述直线的性质。

1. 平行关系两个向量平行，意味着它们有相同的方向。

同样地，两条直线平行，意味着它们具有相同的斜率。

在平面中，若有一直线L上的两个不同点A和B，它们所对应的向量为→AB和→BA。

若→AB与→BA平行，则可得出直线L的斜率，从而判定直线是否平行。

2. 垂直关系两个向量垂直，意味着它们的内积为零。

同样地，两条直线垂直，意味着它们的斜率乘积为-1。

如果直线L1和直线L2的斜率分别为k1和k2，且k1 * k2 = -1，则可以得出直线L1和直线L2垂直的结论。

二、直线方程的计算方法为了描述直线在平面上的位置和性质，我们需要求解直线的方程。

直线方程的计算方法有多种，下面介绍两种常见的方法。

1. 一般式方程一般式方程是直线方程的一种常见形式，可以表示任何一条直线。

一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

直线的斜率可以通过这个方程的系数A和B来计算，即k = -A/B。

2. 截距式方程截距式方程是描述直线在坐标系中截距关系的一种形式。

直线在x轴和y轴上的截距分别为a和b，截距式方程的形式为x/a + y/b = 1。

直线的斜率可以通过截距式方程的参数来计算，即k = -a/b。

三、实际应用平面向量与直线的关系和直线方程的计算方法在几何图形、物理学等领域有着广泛的应用。

1. 直线的位置关系通过平面向量和直线方程的计算方法，我们可以确定两条直线之间的位置关系，如平行、垂直或相交。

这在几何图形的分析中非常重要，有助于解决与位置相关的问题。

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示[学习目标]1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量3.会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点)导语牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？一、空间中点的向量和直线的向量表示问题1在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？提示在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示，我们把向量OP →称为点P 的位置向量．问题2空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l .如何用向量表示直线l ?提示如图1，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP →＝t a ，即AP →＝tAB →.如图2，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，①将AB →＝a 代入①式，得OP →＝OA →＋tAB →.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．知识梳理1．设A 是直线l 上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP →＝t a ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，即OP →＝OA →＋tAB →.2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)与直线l 平行或重合的任意非零向量a 都是直线l 的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．例1(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线BC 1的一个方向向量为________．答案(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)解析因为DD 1∥AA 1，AA 1—→＝(0,0,1)，故直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；因为BC 1∥AD 1，AD 1—→＝(0,1,1)，故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．(2)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1，3)，且直线l 过A (0，y ,3)和B (－1,2，z )两点，则y －z 等于()A ．0B ．1C.32D ．3答案A解析∵A (0，y ,3)，B (－1,2，z )，∴AB →＝(－1,2－y ，z －3)，∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3)，故设AB →＝k m .1＝2k ，－y ＝－k ，－3＝3k .＝－12，＝32，＝32.∴y －z ＝0.反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．跟踪训练1(1)(多选)若M (1,0，－1)，N (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是()A ．(2,2,6)B ．(1,1,3)C ．(3,1,1)D ．(－3,0,1)答案AB解析∵MN →＝(1,1,3)，M ，N 在直线l 上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量．(2)已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3，5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若a ∥b ，则x ，y 的值分别是()A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10答案A解析因为a ∥b ，a ＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b ＝λa ，即(－4，x ，y )＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)，4＝2λ，＝－3λ，＝5λ，＝－2，＝6，＝－10，所以x ，y 的值分别是6和－10.二、空间中平面的向量表示知识梳理1.如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b .2.如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．课本例1如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2，M 是AB 的中点．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面BCC 1B 1的法向量；(2)求平面MCA 1的法向量．解(1)因为y 轴垂直于平面BCC 1B 1，所以n 1＝(0,1,0)是平面BCC 1B 1的一个法向量．(2)因为AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2，M 是AB 的中点，所以M ，C ，A 1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)．因此MC →＝(－3,2,0)，MA 1—→＝(0，－2,2)．设n 2＝(x ，y ，z )是平面MCA 1的法向量，则n 2⊥MC →，n 2⊥MA 1—→.2·MC →＝－3x ＋2y ＝0，2·MA 1—→＝－2y ＋2z ＝0.＝23z ，＝z .取z ＝3，则x ＝2，y ＝3.于是n 2＝(2,3,3)是平面MCA 1的一个法向量．例2已知四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量)．∵D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)，∴DC →＝(1,2,0)，DS →＝(－1,0,2)，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝x ＋2y ＝0，·DS →＝－x ＋2z ＝0，令x ＝1，解得y ＝－12，z ＝12，∴n ，－12，即平面SCD 的一个法向量为n ，－12，∵x 轴⊥平面SAB ，∴m ＝(1,0,0)即为平面SAB 的一个法向量．反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如AC →，AB →.(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(3)·AC →＝0，·AB →＝0，并求解．(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱A 1D 1,A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量．解设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,2)，(1)设平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，∵DB →＝(2,2,0)，DD 1—→＝(0,0,2)，·n ＝0，1→·n ＝0，x 1＋2y 1＝0，z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝0，∴平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(1，－1,0)．(答案不唯一)(2)∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)，设平面BDEF 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)．·m ＝0，·m ＝0，x 2＋2y 2＝0，2＋2z 2＝0，令x 2＝2，则y 2＝－2，z 2＝－1，∴平面BDEF 的一个法向量为m ＝(2，－2，－1)．(答案不唯一)1．知识清单：(1)空间中点、直线、平面的向量表示．(2)直线的方向向量．(3)平面的法向量．2．方法归纳：待定系数法、赋值法．3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为()A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)答案A解析因为AB →＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．2．(多选)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是()A.AB →B.AA 1—→C.B 1B —→D.A 1C 1—→答案BC3．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是()A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)答案D解析由题意可得要求平面α的一个法向量，即求与n 共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．4．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案x ＋2y －3z ＝0解析由题意得e ⊥OM →，则OM →·e ＝(x ，y ，z )·(1,2，－3)＝0，故x ＋2y －3z ＝0.1．已知向量a ＝(2，－1,3)和b ＝(－4,2x 2,6x )都是直线l 的方向向量，则x 的值是()A ．－1B ．1或－1C ．－3D ．1答案A解析由题意得a ∥b ，x 2＝2，x ＝－6，解得x ＝－1.2．向量n ＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量中，也是平面α的一个法向量的是()A ．(－1,0,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)答案B解析非零向量(－1,1，－1)与n 平行，故(－1,1，－1)也是平面α的一个法向量，而A ，C ，D 中向量均不与向量n 平行，所以不能作为平面α的一个法向量．3．已知向量AB →＝(2,4，x )，平面α的一个法向量n ＝(1，y ,3)，若AB ⊂α，则()A ．x ＝6，y ＝2B ．x ＝2，y ＝6C ．3x ＋4y ＋2＝0D ．4x ＋3y ＋2＝0答案C解析由题意可知AB →·n ＝0，可得3x ＋4y ＋2＝0.4．已知A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是()A ．(1,1,1)，33，，13，，33，－答案B解析设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又AB →＝(0，－1,1)，BC →＝(－1,1,0)，·n ＝－y ＋z ＝0，·n ＝－x ＋y ＝0.∴x ＝y ＝z ，又∵单位向量的模为1，故只有B 正确．5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是()A ．(1，－1,1)，3，－31，3答案B解析对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →，－4则PA →·n ，－4＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.6．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列结论正确的是()A ．直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)B ．直线BC 1的一个方向向量为(0，－1，－1)C ．平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)D ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析不妨设正方体的棱长为1，则DD 1—→＝(0,0,1)，故A 正确；C 1(1,1,1)，B (1,0,0)，BC 1—→＝(0,1,1)，向量(0，－1，－1)与向量(0,1,1)平行，故B 正确；AD ⊥平面ABB 1A 1，而AD →＝(0,1,0)，故C 正确；如图，连接BC ，A 1D ，AD 1，则平面B 1CD 即为平面B 1CDA 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1⊥A 1D ，由CD ⊥平面DAA 1D 1，AD 1⊂平面DAA 1D 1，得CD ⊥AD 1，又CD ∩A 1D ＝D ，CD ，A 1D ⊂平面B 1CDA 1，所以AD 1⊥平面B 1CDA 1，而AD 1—→＝(0,1,1)，即平面B 1CD 的一个法向量为(0,1,1)，而向量(0,1,1)与向量(1,1,1)不平行，故D 错误．7．在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n 1＝(2,1,1)与n 2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l ，则直线l 的一个方向向量为________．(写出一个方向向量的坐标)答案1，－答案不唯一)解析设直线l 的方向向量为d ＝(x ，y ，z )⊥n 1，⊥n 2，x ＋y ＋z ＝0，y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝12，所以直线l 的一个方向向量为d 1，－8．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若点P (a ,1,1)在平面ABC 内，则a ＝________.答案－1解析设平面ABC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，·AB →＝－x ＋y ＝0，·AC →＝－x ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)，因为P (a ,1,1)在平面ABC 内，则n ·AP →＝a －1＋1＋1＝0，解得a ＝－1.9．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)．(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC →是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．解(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC →＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(答案不唯一)(2)由题意得AM →＝(x －2，y －2，z －2)，∵BC →⊥平面α，AM ⊂α，∴BC →⊥AM →，则BC →·AM →＝0，∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0.∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0.化简得x －y ＋z －2＝0.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，E 是PC 的中点，求平面EDB 的一个法向量．解建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得D (0,0,0)，，12，B (1,1,0)，于是DE →，12，DB →＝(1,1,0)．设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DE →，n ⊥DB →，·DE →＝12y ＋12z ＝0，·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，故平面EDB 的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．(答案不唯一)11.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB 的一个法向量的是()，1B ．(1，2，1)C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)答案A 解析因为PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ,1)，·PA →＝0，·AB →＝0，－2＝0，x ＋y ＝0，＝2，＝2，所以n ＝(2,2,1)．，1＝12n ，因此，平面PAB ，112．(多选)已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是()A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案AD 解析因为|a |＝22＋42＋x 2＝6，所以x ＝±4.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，即y ＝－1－12x ，所以当x ＝4时，y ＝－3；当x ＝－4时，y ＝1.所以x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.13．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →|＝34，则B 点的坐标为()A ．(18,17，－17) B.(－14，－19,17)，72， D.2，－112，答案A 解析设B 点坐标为(x ，y ，z )，则AB →＝λa (λ>0)，即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12)，因为|AB →|＝34，即64λ2＋81λ2＋144λ2＝34，解得λ＝2，所以x ＝18，y ＝17，z ＝－17.14．若，2，－1C 2，1α内三点，设平面α的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.答案2∶3∶(－4)解析由已知得，AB →，－3AC →2，－1∵a 是平面α的法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，－3y －74z ＝0，2x －y －74z ＝0，＝23y ，＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y －43y 2∶3∶(－4)．15．(多选)已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)，若c 为平面α的一个法向量，则()A ．m ＝－1B ．m ＝1C ．n ＝2D ．n ＝－2答案AC 解析c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α·a ＝0，·b ＝0，＋4＋m ＋2n －4＋m －n ＋1＝0，(m ＋2n －4)－(m －n ＋1)＝0，＝－1，＝2.16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：AP →是平面ABCD 的法向量；(2)求平行四边形ABCD 的面积．(1)证明因为AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，所以AP ⊥AB ，AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD .所以AP →是平面ABCD 的法向量．(2)解因为|AB →|＝22＋(－1)2＋(－4)2＝21，|AD →|＝42＋22＋02＝25，AB →·AD →＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，所以cos 〈AB →，AD →〉＝621×25＝335，故sin 〈AB →，AD →〉＝3235，S ▱ABCD ＝|AB →|·|AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝8 6.。

平面向量的直线和平面方程平面向量直线的特征在平面解析几何中，平面直线可以由平面向量表示。

平面向量有大小和方向，可以用来描述平面上的直线。

平面向量的直线特征包括斜率和方向向量。

斜率表示直线的倾斜程度，而方向向量表示直线的方向。

斜率等于直线的纵坐标之差除以横坐标之差。

如果两个向量a和b在平面上，则直线的斜率为 (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别表示两个向量a和b的坐标。

方向向量是指引导直线方向的向量。

在平面直线AB上，方向向量可以是从A指向B的向量。

方向向量可以通过两个点的坐标之差得到。

例如，如果两点A(x1,y1)和B(x2,y2)在平面上，则方向向量为 (x2-x1,y2-y1)。

平面方程的表示方法平面方程用于描述平面的数学表达式。

在平面解析几何中，有三种常见的平面方程形式：点法式、一般式和截距式。

1. 点法式点法式是由平面上的一个点和垂直于平面的法向量决定的。

设平面上一点为A(x1, y1)，法向量为n=(a, b)，则平面方程可以表示为 a(x-x1) + b(y-y1) = 0。

2. 一般式一般式是由平面上的三个点确定的，该形式下的平面方程一般为Ax + By + Cz + D = 0。

其中，A、B、C为平面法向量的三个分量，D 为常数。

3. 截距式截距式是由平面与x、y、z轴上的截距确定的。

设平面与x轴、y 轴和z轴的截距分别为a、b和c，则截距式下的平面方程为 x/a + y/b + z/c = 1。

应用实例下面通过实例来更详细地说明平面向量的直线和平面方程。

示例1：平面向量直线考虑平面上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)。

我们可以通过向量AB来表示平面直线。

向量AB的坐标之差为 (3-1, 4-2) = (2, 2)。

这是平面直线的方向向量。

斜率为 (4-2)/(3-1) = 1。

因此，平面直线的方程为 y = x + 1。

示例2：平面方程考虑平面上的三个点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)。

平面向量的向量方程与直线方程平面向量是向量的一种特殊形式，它具有大小和方向。

在数学中，平面向量通常用有序对(x, y)表示。

向量的加法和数乘运算使平面向量的运算具有良好的性质。

在本文中，我们将讨论平面向量的向量方程和与之相关的直线方程。

一、平面向量的向量方程给定平面上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过这两点构造一个平面向量AB。

假设平面上还有一点P(x, y)，我们想要找到一个向量OP，使得向量OP和向量AB方向相同，长度成比例。

我们可以通过以下公式得到向量OP的表达式：OP = OA + AP其中，OA 是点O到点A的向量，AP 是点A 到点P 的向量。

根据几何直观，我们可以得出向量 OP 的坐标表示：OP = (x, y) = (x₁, y₁) + t(x₂ - x₁, y₂ - y₁)这就是平面向量的向量方程，其中t 是一个实数。

通过改变t 的值，我们可以得到平面上线段 AB 上任意一点对应的向量。

二、平面向量与直线的关系在平面上，我们可以利用向量方程来推导直线的方程。

考虑一个向量 u (a, b)，它垂直于直线 L。

假设直线 L 上存在一点 P (x, y)，我们可以得到以下关系：u · OP = 0其中，·表示向量的点乘。

展开这个点乘表达式，我们可以得到：a(x - x₁) + b(y - y₁) = 0这就是直线 L 的方程，其中 (x₁, y₁) 是直线上已知的一点。

三、示例应用现在，让我们通过一个示例来应用平面向量的向量方程和直线方程。

假设我们有两个点 A(2, 1) 和 B(4, 3)，我们想要找到平面上线段 AB 上所有点的坐标表示。

根据向量方程，我们可以得到：(x, y) = (2, 1) + t(4 - 2, 3 - 1)展开这个式子，我们得到：(x, y) = (2, 1) + t(2, 2)整理后，我们可以得到：x = 2 + 2ty = 1 + 2t这样，我们就得到了平面上线段 AB 上所有点的坐标表示。

平面向量的单位向量与直线方程平面向量是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

在平面向量中，单位向量是一个非常常见且重要的概念，而直线方程也与平面向量密切相关。

本文将深入探讨平面向量的单位向量及其应用于直线方程的问题。

一、平面向量的单位向量在平面直角坐标系中，平面向量可以用一个有序数对来表示，比如向量a可以表示为a = (a₁, a₂)。

我们知道，向量的长度可以通过勾股定理来计算，即向量的长度为√(a₁² + a₂²)。

单位向量是指其长度为1的向量。

对于一个非零向量a，它的单位向量a 可以通过以下公式得到：a = a / ||a||其中，||a|| 表示向量a的长度。

根据这个公式，我们可以将给定的向量转化为单位向量。

例如，对于向量a = (3, 4)，其长度为√(3² + 4²) = 5。

根据单位向量的定义，我们有：a = a / ||a|| = (3, 4) / 5 = (3/5, 4/5)这样，我们就得到了向量a的单位向量。

二、单位向量在直线方程中的应用直线方程是研究平面上直线性质的基本工具之一。

在平面向量中，单位向量可以应用于直线方程的推导和计算中。

首先，我们回顾一下直线方程的一般形式：aa + aa + a = 0其中，a、a和a都是常数，a和a是直线上任意一点的坐标。

我们知道，一个向量可以与直线方程唯一对应，这个向量被称为直线的法向量。

对于直线方程aa + aa + a = 0，其法向量可以表示为：a = (a, a)这样，我们可以通过给定的直线方程，求出其法向量，并将其转化为单位向量。

例如，对于直线方程2a + 3a - 6 = 0，我们可以得到其法向量为a = (2, 3)。

然后，我们可以将a转化为单位向量：a = a / ||a|| = (2, 3) / √(2² + 3²) = (2/√13, 3/√13)这样，我们就得到了直线方程2a + 3a - 6 = 0的单位法向量。

学而思高中完整讲义：向量.板块四.平面向量的应用.学生版题型一：向量综合【例1】 设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=②a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-中， 真命题是（ ）A ．①② B．②③ C．③④ D．②④【例2】 设向量a b ，满足：||3a =，||4b =，0a b ⋅=．以a b a b -，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【例3】 ⑴ 已知(13)A ,，()37B ,，(60)C ,，(81)D ,-，求证：AB ⊥CD ．⑵ 已知(32)a ,=--，(44)b ,=．求23a b +，cos a ,b <>．⑶ 已知(12)a x y ,x y =++-，(22)b x y ,x y =-+-，若23a b =，求x 、y 的值．【例4】 关于平面向量a b c ，，．有下列三个命题：①若a b a c ⋅⋅=，则b c =．②若(1)a k =，，(26)b =-，，a b ∥，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒． 其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）【例5】 如图，以原点和(52)A ,为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=︒，求点B 和向量AB 的坐标．【例6】 设(1)A a ，，(2)B b ，，(45)C ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=典例分析【例7】 已知(,)P x y ，(1,0)A -，向量PA 与(1,1)m =共线.（1）求y 关于x 的函数；（2）是否在直线2y x =和直线3y x =上分别存在一点,B C ，使得满足BPC ∠为锐角时x 取值集合为{|x x <x >？若存在，求出这样的,B C 的坐标；若不存在，说明理由.【例8】 已知向量,a b 满足||||1a b ==，且||3||a kb ka b -=+，其中0k >.（1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值； （2）当a b ⋅取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小，并对这一结果作出几何解释.【例9】 已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP ＝OA ＋t AB OP OA AB求：(1) t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.【例10】 已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量,,OA OB OC 满足23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+•-+-•=,记()y f x =.求函数()y f x =的解析式；【例11】 已知{}|(10)(01)R P a a m m ==+∈，，，，{}|(11)(11)R Q b b n n ==+-∈，，，是两个向量集合，则P Q =（ ）A ．{}(11)，B ．{}(11)-，C ．{}(10)，D ．{}(01)，题型二：与三角函数综合【例12】 已知向量(2cos ,2sin )a θθ=，(,),(0,1)2b πθπ∈=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【例13】 已知a b c ，，为ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)m =-，，(cos sin )n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C+=，则角B = ．【例14】 已知向量(cos sin )a αα=，，(cos sin )b ββ=，，且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是_______．【例15】 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且,2πx π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.⑴求a b ⋅及a b +；⑵求函数()f x a b a b =⋅++的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值.【例16】 若cos sin αα()，a =，cos sin ββ()，b =，且k k =-a +b b ，其中0k >． （1）用k 表示a b ；（2）求当1k =时，a 与b 所成角(0)πθθ≤≤的大小．【例17】 已知向量cos sin θθ()，m=和2sin cos θθ(-)，n =，()π2πθ∈，，且825=m +n ，求cos 2π8θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【例18】 设(1cos sin )αα+，a =，1cos sin ββ(-)，b =，0(1)，c =，(0)πα∈，，(0)πβ∈，，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ（1）用α表示1θ；（2）若12π6θθ-=，求sin 4αβ+的值．【例19】 已知O 为坐标原点，2(2cos 1)OA x =，，(13sin 2)OB x a =+，（R x ∈，R a ∈，a 为常数），若y OA OB =，（1）求y 关于x 的函数解析式()f x ；（2）若0πx 2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并指出函数()(R)f x x ∈的单调区间．【例20】 在锐角ABC △中，已知2cos 2cos 32cos()A B A B +=++，求角C 的度数．【例21】 设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量()13cos sin 22a b αα⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，． ⑴证明：向量a b +与a b -垂直；⑵当22a b a b +=-时，求角α．【例22】 已知点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα，且0πα<<．⑴若7OA OC +=OB 与OC 的夹角；⑵若AC BC ⊥，求tan α的值．【例23】 已知A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，(3cos ,3sin )C αα．⑴若(),0πα∈-且AC BC =，求角α的值；⑵若0AC BC ⋅=，求22sin sin 21tan ααα++的值．【例24】 已知向量(cos sin )(22)a x ,x ,b ,==，若85a b ⋅=，且42ππx <<.⑴试求出cos 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭和tan 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；⑵求sin 2(1tan )1tan x x x +-的值.【例25】 设向量()()3sin cos cos cos a x x b x x ==，，，，记()f x a b =⋅．⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵画出函数()f x 在区间111212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图，并指出该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？⑶若63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．【例26】 已知向量33cos sin 22x x a ,⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos sin 22x x b ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且02πx ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，⑴求a b ⋅及a b +；⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求λ的值．【例27】 设平面上P 、Q 两点的坐标分别是cos ,sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33cos ,sin 22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．⑴求PQ 的表达式；⑵记()2()4R f x PQ PQ λλ=-∈，求函数()f x 的最小值．【例28】,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m =，(cos ,sin )22C Cn =-，且m 与n 的夹角为3π，求C ；【例29】 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m = 与(sin ,1cos )n B B =-的夹角为3π，求角B 的大小【例30】 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B 、3(cos ,sin ),(,).22C ππααα∈（1）若||||AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值。

《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。

那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。

《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。

为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。

本节内容也是全章重要内容之一。

二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。

（2）：平面两点间的距离公式。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。

通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。

如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。

平面向量的直线和直线方程直线是几何学中的基础概念，它在平面向量中有着重要的应用。

本文将介绍平面向量的直线及其方程，并探讨其相关性质和应用。

一、平面向量的直线定义在平面直角坐标系中，若存在两个向量a和b，且b不为零向量，则a + tb（t为实数）所表示的点集合，称为平面向量的直线。

其中，向量a被称为直线的方向向量，b被称为直线上的一点。

二、直线的方程1. 参数方程通过向量a和b，我们可以得到直线的参数方程。

设直线上有一点P，其坐标为(x,y)，根据向量的加法运算，我们可以得到向量OP = OA + AP的关系。

即OP = OA + AP = OA + t(b)其中，t为实数，表示向量b的倍数。

根据坐标的定义，可以得到OP = (x,y)OA = (x₀,y₀)AP = (tb)则上述关系可以进一步简化为(x,y) = (tx₀ + x₀, ty₀ + y₀)这就是直线的参数方程。

2. 一般方程将参数方程中的参数t消去，即可得到直线的一般方程。

我们通过同除以b的模长来消去t，即x - x₀ / b₁ = y - y₀ / b₂其中，b₁和b₂分别为向量b在x轴和y轴上的分量。

该方程即为直线的一般方程。

三、直线的性质和应用1. 直线的斜率在直线的一般方程中，我们可以观察到，两个点的坐标之差与向量b成正比。

设斜率为k，则有(k₁ - k) / (k₂ - k) = (x₁ - x) / (y₁ - y)其中，(k₁, k₂)和(x₁, y₁)分别为直线上任意两点的坐标。

这个性质可以用来计算直线的斜率，进而判断直线的倾斜方向和斜率的大小。

2. 直线的垂直与平行关系若有向量m和向量n，且它们的点积为零，则两个向量垂直。

同样地，若向量p和向量q的比值为实数k，则两个向量平行。

利用这个性质，我们可以判断两条直线是否垂直或平行。

3. 点到直线的距离设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P(x₀, y₀)为直线外的一点。

平面向量的直线方程和平面方程平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它可以用来描述平面上的运动、位置和变换。

在解决平面向量的直线方程和平面方程时，我们需要了解基本的概念和方法，并且能够运用它们来解决实际问题。

本文将从直线方程和平面方程的定义开始，然后详细介绍其求解方法和应用。

直线方程是一种描述平面上的直线的方程，它可以用来确定直线的位置和方向。

我们可以通过两点确定一条直线，设直线上的两点为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)此为直线的对称式方程，它表示直线上任意一点与A、B两点间的比例关系。

根据这个关系，我们可以得出直线的参数方程和一般方程。

参数方程是通过参数表示直线上的所有点的方程，设直线上一点为P(x, y, z)，则参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1) * ty = y1 + (y2 - y1) * tz = z1 + (z2 - z1) * t其中t为参数，t的取值范围为实数。

一般方程是通过直线的法线向量表示的，设直线的法线向量为n(A, B, C)，直线上一点为P(x, y, z)，则一般方程可以表示为：A * (x - x1) +B * (y - y1) +C * (z - z1) = 0这个方程可以用来判断一点是否在直线上。

接下来，我们来讨论平面方程的求解方法和应用。

平面方程是描述平面的方程，可以用来确定平面的位置和特征。

我们可以通过一个点和法线向量来确定一个平面，设平面上的一点为P(x1, y1, z1)，法线向量为n(A, B, C)，则平面方程可以表示为：A * (x - x1) +B * (y - y1) +C * (z - z1) = 0这个方程也可以写成一般式：Ax + By + Cz + D = 0其中D = -A * x1 - B * y1 - C * z1。

专题七 平面向量的等和线根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →＝xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y ＝1，反之如果x ＋y ＝1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1．以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y ＝0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →＝kPF →(其中k ＝|PC ||PF |＝|PE ||P A |＝|PD ||PB |)，则PC →＝kPF →＝kλP A →＋kμPB →．又PC →＝xP A →＋yPB → (x ，y ∈R )，所以x ＋y ＝kλ＋kμ＝k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数． 考点一 根据等和线求基底系数和的值 【方法总结】根据等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA→＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．答案 ①③ 解析 由向量共线的充要条件可得，当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA →＋v OB →成立，且u ＋v ＝1，所以点P 位于阴影区域内的充要条件是“满足OP →＝uOA →＋v OB →，且u ＞0，v ＞0，u ＋v ＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P 位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝34OA →＋(OA →－OB →)＋23OB →＝74OA →－13OB →，而－13<0，故不符合条件．综上可知，只有①③正确．(2)设向量OA →，OB →不共线(O 为坐标原点)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且0≤λ≤μ≤1，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A 解析 当λ＝0时，OC →＝μOB →，故点C 所有可能的位置区域应该包括边界OB →或OB →的一部分，故排除B ，C ，D 项．故选A 项．(3)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14 D ．1答案 A 解析 通法 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN ||AM |．由图易知，|AN ||AM |＝12，故选A ．(4)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 通法 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF→＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43． 等和线法 如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |＝43，故选B ． A(5)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为_______．答案 23解析 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k＝|AO ||AM |．由图易知，|AO ||AM |＝23． B(6)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )BA ．1B ．34C ．23D ．12答案 B 解析 通法 ∵为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．等和线法 如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B ．(7)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．54答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．等和线法 如图，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，则MT 为值是1的等和线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AB ||AT |．由图易知，|AB ||AT |＝45，故选C ．(8) (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为________．答案 12 解析 如图，过点A 作AF →＝DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，∴DF ＝12BH ，因此λ1＋λ2＝12．(9)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，且AF →＝λa ＋μb ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12答案 A 解析 等和线法 如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A ．C考点二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围) 【方法总结】根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．当点P 是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线l ，因点P 无论在l 何处，对应α＋β的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”(或“等值线”)，然后将“等和线”l 在动点P 的“可行域”内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法”．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．答案 [3，4] 解析 等和线法 直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[AN AM ，ADAM]＝[3，4]．(2)(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2 解析 通法 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．等和线法 令x ＋y ＝k ，所有与直线AB 角度，不难得到k ＝|DO ||OE |＝2．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 等和线法 如图，作CE ⊥BD 于E ，由△CDE ∽△DBA 知CE DA ＝CD BD ，即CE 1＝110，所以CE ＝1010，设与BD 平行且与圆C 相切的直线交AD 延长线于点F ，作DH 垂直该线于点H ，显然DH ＝2CE ＝105，由△DFH ∽△BDA 得DF BD ＝DH BA ，即DF10＝105 3，所以DF ＝23，过点P 作直线l ∥BD ，交AD 的延长线于点M ，设t ＝AMAD，则x ＋y ＝t ，由图形知“等值线”l 可从直线BD 的位置平移至直线FH 的位置(不包括BD 和FH )，由平面几何知识可得1＝AD AD <AM AD <AF AD ＝53，即1<t <53，故x ＋y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53.(5)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为CD 的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 上一动点，Q 为三角形SMN 内一点(含边界),若PQ →＝xAM →＋yBN →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 [34，1] 解析 如图，作PE →＝BN →，PF →＝AM →，过S 直线MN 的平行线，由等和线定理知，(x ＋y )max ＝1，(x ＋y )min ＝34．(6)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．A等和线法 BM →＝xBA →＋yBD →＝2x (12BA →)＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，作出值1为的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB ||PB |＝2．∴2x ＋y 取得最大值2．故选C ．(7) 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1，0) 解析 通法 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．等和线法 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．(8)已知点O 为△ABC 的边AB 的中点，D 为边BC 的三等分点，DC ＝2DB ，P 为△ADC 内(包括边界)任一点，若OP →＝xOB →＋yOD →，则x －2y 的取值范围为________．答案 [－8，－1] 解析 等和线法 如图，延长DO 至点E ，使DO ＝2OE ，则OE →＝－12OD →，则OP →＝xOB →＋yOD →＝xOB →＋(－2y ) OE →，令z ＝－2y ，则x －2y ＝x ＋z ，OP →＝xOB →＋zOE →，设过点A ，C ，P 与BE 平行的直线分别为为l 1，l 2，l ，设l ，l 2交线段OD 延长线于点M ，H ，l 1交线段OD 于点K ，令x ＋z ＝t ，由图形知，t ＝－OMOE ，“等和线”l 可从l 1的位置平移至l 2的位置，由平面几何知识可知△OBE ≌△OAK ，△DBE∽△DCH ，所以OE OK ＝OB OA ＝1，BD CD ＝DE DH ＝3OE DH ＝12，所以1＝OK OE ≤OM OE ≤OH OE ＝OD ＋DH OE ＝2OE ＋6OEOE ＝8，则－8≤t ≤－1，故x －2y 的取值范围为[－8，－1]．(9)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．答案 12 解析 通法 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1，1)，D (0，1)．设P (cos θ，sin θ)，∴AC →＝(1，1)，AP →＝(cos θ，sin θ)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，∵AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝⎛⎭⎫λ2＋μcos θ，－λ＋μsin θ＝(1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ．∴(λ＋μ)′＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2>0，故λ＋μ在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为3＋0－22＋0＝12．等和线法 由题意，作AK →＝DE →，设AD →＝λAC →，直线AC 与PK 直线相交于点D ，则有AD →＝λxAK →＋λyAP →，由等和线定理，λx ＋λy ＝1，从而x ＋y ＝1λ，当点P 与B 点重合时，如图，λmax ＝2，此时，(x ＋y ) max ＝12．(10) (2013·安徽)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．22B ．23C ．42D ．43答案 D 解析 等和线法 如图，分别作OC →＝－OA →，OD →＝－OB →．当λ≥0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域2；当λ<0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域4．综上所述可得，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S ＝2×23＝43．故选D ．【对点训练】1．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →， 则λ＋μ的取值范围为( )ABCDO 1342AA ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4] 1．答案 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝0，(λ＋μ)max ＝3．故选C ．2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．2．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 通法 由题意可求得AD ＝1，CD＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 等和线法 如图，(1＋μ)min ＝1，μmin ＝0．(1＋μ)max ＝32，μmax ＝12．3．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意 一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________．3．答案 [1，32] 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝1，(λ＋μ)max ＝32．4．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．24．答案 B 解析 通法 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2． 等和线法 确定值为1的等和线AB ，过动点C 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|CO ||PO |．由图易知，当等和线与圆相切时，k 取最大值，此时|MO ||NO |＝2，∴x ＋y 取得最大值2．故选B ．5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆 上及其内部的动点，设AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．5．答案 [2，5] 解析 等和线法 如图1时，m ＋n 的值最小且m ＋n ＝ANAB ＝2，如图2时，m ＋n 的值最大且m ＋n ＝AMAB＝5，6．如图，已知点P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为______．F6．答案 73 解析 等和线法 由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为|AP ||AM |＝43，x 2＋y 2的最小值为|AQ ||AM |＝13．故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|(2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)| ≤43＋13＝73．7．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．7．答案 [1，3] 解析 等和线法 依题意，OC →＝xOA →＋3y (OB →3)，如图，作OB ′→＝OB →3，重新调整基底为OA →，OB →′，设k ＝x ＋3y ，显然，当C 在A 点时，经过k ＝1的等和线，当C 在B 点时，经过k ＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．8．如图，G 为△ADE 的重心，P 为△GDE 内任一点(包括边界)，B ，C 均为AD ，AE 上的三等分点(靠近 点A )，AP →＝αAB →＋βAC →，则α＋12β的取值范围是________．P8．答案 ⎣⎡⎦⎤32，3 解析 等和线法 如图，在线段AE 上取点F ，使AC ＝CF ，则AP →＝αAB →＋12βAF →，设12β ＝γ，则AP →＝αAB →＋γAF →，连接BF ，延长EG 交AD 于点H ，因为G 为△ADE 的重心，所以H 为AD 的中点，又B ，C 均为AD ，AE 上靠近点A 的三等分点，所以AF FE ＝ABBH ＝2，所以BF ∥HE ，过点P 作直线l ∥HE 交AD 于点M ，设α＋γ＝t ，则t ＝AMAB ，由图形知，“等值线”l 可从直线HE 的位置平移到过点D 的位置，由平面几何知识可知32＝AH AB ≤AM AB ≤AD AB ＝3，故32≤t ≤3，即α＋γ∈⎣⎡⎦⎤32，3，故α＋12β的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3． 9．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC xOA yOB =+．其中x ，y ∈R ，则23x y +的最大值是( )AB ．3 CD ．5 9．答案 A 解析 通法点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，∴可以设圆的参数方程cos x θ=，sin y θ=，[0θ∈︒，90]︒，232cos 3sin )x y θθθϕ∴+=+=+，其中cos ϕ，sin ϕ=，3513x y∴+，当且仅当sin()1θϕ+=时取等号．x y ∴+当三角函数取到1时成立．故选A ．等和线法 OC →＝xOA →＋yOB →＝2x (12OA →)＋3y (13OB →)＝2xOE →＋3yOF →，2x ＋3y ＝k ，则k ＝|OD ||OM |＝13．10．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________．10．答案 2 解析 通法 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋ 2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2． 等和线法 可转化为例2(2)．11．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， 则5λ＋3μ的最大值为______． 11．答案102解析 通法 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0， 3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．等和线法 AP →＝λAB →＋μAD →＝5λAB →)＋3μAD →)＝5λAM →＋3μAN →，5λ＋3μ＝k ，则k＝102．BAN12．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x －y 的取值范围是________．12．答案 [1-，1] 解析 通法 设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中1(2A；(1,0)B ；(cos ,sin )C θθ（其中(0)3BOC πθθ∠=，有若OC →＝xOA →＋yOB→＝(cos θ，1sin )(2xθ=(1y +，0)；整理得：1cos 2x y θ+=sinθ=，解得x =cos y θ=，则cos cos 2sin()6x y πθθθθ-=-+-=-，其中(0)3πθ；易知cos cos 2sin()6x y πθθθθ-==-=-，为增函数，由单调性易得其值域为[1-，1]，故答案为[1-，1]．等和线法13．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//AB DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+，其中x ，y ∈R ，则4x y -的最大值为( )A ．3B ．3C ．2D ．3+13．答案 B 解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(0,1)D ，(1,1)C ，(2,0)B ，直线BD 的方程为220x y +-=，C 到BD 的距离d =，∴圆弧以点C 为圆心的圆方程为221(1)(1)4x y -+-=，设(,)P m n 则(,)AP m n =，(0,1)AD =，(2,0)AB =，(1,1)BC =-，若AP xAB yBC =+，(m ∴，)(2n x y =-，)y ，2m x y ∴=-，n y =，P 在圆内或圆上，A221(21)(1)4x y y ∴--+-，设4x y t -=，则4y x t =-，代入上式整理得2280(4816)870x t x t -+++，设22()80(4816)870f x x t x t =-+++，1[2x ∈，3]2，则1()023()02f f ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得5232t+，故4x y -的最大值为3，故选B ．等和线法14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上，且与A ，B 不重合的一个动点，OC →＝xOA →＋yOB →，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )A ．1(, 1)2B ．(1, 3)C ．1(, 2)2D ．1(, 3)314．答案 C 解析 通法 以O 为原点，OB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(0)3COB πθθ∠=<<， 1OB =，则(cos ,sin )C θθ，(1,0)B ，1(2A ，由OC xOA yOB =+，得1cos 2sin y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴cos x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，cos (0)3u x y πλθλθθ∴=+=+<<，(0)u x y λλ=+>存在最大值，()u θ∴存在极值点，sin u θλθ'∴=-在(0,)3πθ∈上有零点．令0u '=，则tan θ=，(0,)3πθ∈，∴tan θ=，∴122λ<<，λ∴的取值范围为1(,2)2．故选C ．等和线法15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点A ，B 满足||||2OA OB ==，1OA OB =，则点集{}|, ||||2, , P OP OA OB λμλμλμ=++∈R 所表示的区域的面积是( )A． B． C． D．15．答案 D 解析2cos 1OA OB AOB =⨯∠=，1cos 2AOB ∴∠=，即60AOB ∠=︒．（1）若0λ>， 0μ>，设2OE OA =，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=+，||||2λμλμ+=+，故当2λμ+=时，E ，F，P 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin 602OEF S ∆=⨯︒=．(2)若0λ<，0μ>，设2OE OA =-，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=-+，||||2λμλμ+=-+，故当2λμ-+=时，P ，E，F 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin1202OEF S ∆=⨯︒=同理可得：当0λ>，0μ<时，P 点表示的区域面积为，当0λ<，0μ<时，P点表示的区域面积为综上，P 点表示的区域面积为4=．故选D ．等和线法。

考向17 平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =，则CB =A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n + 【答案】B【解析】因为3CB CA AB CA AD =+=+，又因为AD CD CA =-，所以23CB CA CD =-+，即23CB m n =-+．故选B ．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2020江苏第13题）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠，即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb （b ≠0），则a 与b 共线 （2）证明三点共线若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →.(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)2．向量的中线公式:若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12b B ．12a －12b C ．－12a －12b D ．－12a ＋12b2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD → B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC → D ．2AD →－2AC →4．如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 满足CF →＝2FB →，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD → C.12AB →－23AD → D ．14AB →＋12AD →5.在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝( )A.13 B ．12 C ．－12 D ．－136．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．(多选)如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是( )A.AP →＝13AB → B ．AQ →＝23AB → C ．BP ＝－23AB → D ．AQ →＝BP →8．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b9．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________．10．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)一、单选题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．123．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．4D ．25．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．26．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（ ） A ．AB AC + B ．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在ABC 中，P 、Q 分别是边AB 、AC 上的点，且13AP AB =，13BQ BC =，若AB a =，AC b =，则PQ =（ ） A ．1133a b +B ．1133a b -+C ．1133a b -D ．1133a b --9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．110．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()21PA PB O O +⋅=（ ） A ．4 B ．42C ．8D ．8211．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 355510BG -++ B 355510BG --+ C 515510BG --+ D 3555BG -+12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（ ）A ．AD DB OB OA +=- B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅二、多选题13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（ ）A ．AC AE BF -=B ．32AC AE AD +=C ．2||AD AB AB ⋅= D ．AD 在AB 上的投影向量为AB14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（ ） A ．若平面上四个点P ，A ，B ，C ，1344PA PB PC =+，则A ．B ，C 三点共线 B ．已知向量(1,1),(3,)a b x ==-，若3x <，则,a b 为钝角.C ．若G 为△ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．若sin2sin2A B =，△ABC 一定为等腰三角形三、填空题15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数2,3,5,的图形，设四边形ABCD 的对角线交于点O ，若CO OA λ=，则λ=___________________．16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA λ→→=，AT AC μ→→=，则λμ+的值为______．1.（2015）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =-2．（20181）在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( )A ．34AB → - 14AC → B ． 14AB → - 34AC → C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC → 3.ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =( )A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b+4.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）A ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC5.（20132）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ．6.（20173）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．27.在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足02=++AC AB OA ，1===AB OB OA ，则CB CA ⋅等于_______.8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ．9．(2015北京)在中，点，满足，，若，则；．1．【答案】D【解析】MD →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a)＝－12a ＋12b. 【解析】因为向量a |a|的方向与向量a 相同，向量b |b|的方向与向量b 相同，且a |a|＝b|b|，所以向量a 与向量b方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b |b|，故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件． 3.【答案】D【解析】连接CD ，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD.所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D. 4．【答案】C【解析】因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF →＝2FB →，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选C. 5.【答案】A【解析】由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →)＝－16AB →＋12AC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13，故选A. 6．【答案】B【解析】由CB →＝λPA →＋PB →得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →.则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在直线AC 上． 7．【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误． 8．【答案】AB【解析】对于A ，因为向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ，所以a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0，则非零向量a ，b 是共线向量， 故B 正确；对于C ，xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能保证a ，b 共线，故C 不正确；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB ＝a ，CD ＝b ，AB ，CD 不一定是梯形的上、下底，故D 错误．故选AB. 9【答案】-4【解析】因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4. 10．【答案】b －a －a －b【解析】如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .1．【答案】B 【解析】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 故选：B. 【解析】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠， 所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ． 【解析】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥ 所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=- 整理得：()()531x m n λλ-=+又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ． 【解析】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点）， 所以21x y +=，故()12122222214529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立， 故选：A 【解析】1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，由A ，B ，C 三点共线，则AB AC ∥，则()1212(21)a e e e b e λ-+=-则有121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，则有21a b +=()0,0a b >>则212144(2)4428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当11,24a b ==时等号成立）故选：A 6．【答案】D【解析】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点， 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D 7．【答案】C【解析】因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C. 8．【答案】A 【解析】如图所示：1233PQ BQ BP BC BA =-=-()1233AC AB AB =-+1133AB AC =+1133a b =+.故选：A.【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A. 10．【答案】C【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r 若圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形， 则：22h r ==，因为AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，所以在PAB △中，1O 为AB 中点 ()2112112112122cos ,PA PB O O PO O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅=⋅⋅<>又在12PO O 中，1222,1O O h PO r ====，且122O O PO ⊥，则15PO = 如图：为圆柱的一个轴截面所以12121121225cos ,cos 55O O PO O O PO O PO <>=∠=== ()21121121252cos ,25285PA PB O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅⋅<>=⨯⨯⨯=故选：C. 11．【答案】D【解析】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因512BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()222EO BE BO BO ---===， 于是得552BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有5510BO BG +=， 同理有512AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155210()AF BG BA -+=-55512BG BA =--， 从而有5135255255BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以35525BF BA BG -=+. 故选：D 12．【答案】C【解析】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确， 对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确， 对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误，对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确． 故选：C13．【答案】BCD【解析】因为ABCDEF 为正六边形，即每个内角都为120︒ 对于A ，AC AE EC FB BF -==≠,故A 错误.对于B ，连接,AE AC ,CE ，AD 则ACE 为等边三角形，设六边形边长为a ，CE 中点为M ，连接AM ，则3CE a =，2AD a =，32AM a =，所以322AM AD =即322AC AE AM AD +==，故B 正确. 对于C ，由B 选项可知，21cos6022AD AB AD AB a a a ⋅=︒=⋅⨯= 且22AB a =，故C 正确.对于D ，因为2AD AB =，所以AD 在AB 上的投影向量为cos60AB AD AB AB⋅︒⋅=故D ，正确. 故选:BCD. 14．【答案】AC 【解析】对于A ，由1344PA PB PC =+，所以1344PA PC PB PC PC -=+-，即14CA CB =，所以,CA CB 共线，因为,CA CB 有公共端点，所以A ．B ，C 三点共线，所以A 正确，对于B ，当3x =-时，(3,3)b =--，此时3b a =-，则,b a 的夹角为180︒，不是钝角，所以B 错误， 对于C ，延长AG ，交BC 于D ，因为G 为△ABC 的重心，所以D 为BC 的中点，2AG GD =， 所以2GB GC GD +=，所以AG GB GC =+，所以0GA GB GC ++=，所以C 正确，对于D ，因为sin2sin2A B =，(),0,A B π∈，所以22A B =或22180A B +=︒，所以A B =或90A B +=︒，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以D 错误， 故选：AC15．【答案】21-【解析】,ABC ACD 都为直角三角形，45ACB ∠=，∴135BCD ∠=，22.5α∠==CDB ，22tan tan 211tan ααα==-，解得tan 21α=-，∴21OC =-，2(21)1OA =--= ∴21OCOAλ==-．故答案为：21-. 16．【答案】1【解析】：设直线1B P 的直线方程为1y kx =+，联立椭圆方程化简得22(14)80k x kx ++=， 所以0x =或2814k x k -=+，当2814k x k -=+时，221414k y k -=+，所以222814(,)1414k k P k k--++.当2x =时，21y k =+，所以(2,21)T k +， 所以22221411148414B Pk k k k k k -++==--+，所以直线2B P 的方程为11,4y x k =-- 当0y =时，所以4x k =-. 所以(4,0)S k -， 因为OS OA λ→→=，AT AC μ→→=， 所以=λ4021=2,2121k k k u k ----=-=+， 所以1λμ+=. 故答案为：11.【答案】A【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB 1433=-+AB AC ．故选A2．【答案】B 【解析】11312444EB EA ABAD AB AB AC ABAB AC 故选A3.【答案】B【解析】()222,133b AD CD CA AD CA AB CA CB CA DB a 由题意：===+=+=+-21213333CB CA a b =+=+,故选B4.【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=,故选A5.【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+,BD BA AD AD DC =+=-, 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=6.【答案】3【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ， (2,1)D ，(,)P x y ，由等面积法可得圆的半径为25， 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，所以|2|21514z -+≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 7.【答案】3【解析】,0,02=+++=++AC OA AB OA AC AB OA ,,,OB OC O B C 三点共线又1==OB OA ，1,OA OB OC ABAC6,3,2,1π=∠==∴==ACB AC BC AB OA 故 cos36CA CB CA CB ，故答案为38．【答案】3 【解析】由可得，，由=+得，即，两式相加得，y PABCD，所以，所以．9．【答案】【解析】由=．所以，．。